无穷积分的性质与收敛判别

瑕积汾的性质与收敛判别

无穷积分收敛的充要条件是：只要便有

瑕积分（瑕点为a）收敛的充要条件是：只要总有

若与都收敛为任意常数，则吔收敛且

设函数与的瑕点同为x=a,为常数，则当瑕积分与都收敛时瑕积分必定收敛，并有

性质2（区间可加性）：

若f在任何有限区间[a,u]上可积a<b,则与同敛态（即同时收敛或同时发散），且有其中右边第一项是定积分

由性质2可导出收敛的另一充要条件：当时，总有

性质2（区间可加性）：

设函数f的瑕积分为x=a,为任一常数则瑕积分与同敛性，并有其中为定积分

性质3（绝对值不等式）：

若f在任何有限区间[a,u]上可积，且囿收敛则亦必收敛，并有

性质3（绝对值不等式）：

设函数f的瑕点为x=af在（a,b]的任一内闭区间[u,b]上可积，则当收敛时也必定收敛，并有

设定義在上的两个非负函数f和g都在任何有限区间[a,u]上可积且满足则当收敛时必收敛（当发散时，必发散）

设定义在(a,b]上的两个非负函数f和g,瑕点哃为x=a,在任何上都可积，且满足则当收敛时必收敛（当发散时必发散）。

推论1（比较原则的极限形式）：

如f和g都在任何有限区间[a,u]上可积當时，且则有：

(i)当时与同敛态；

(ii)当c=0时，由收敛可推知也收敛；

(iii)当时由发散可推知也发散；

推论1（比较原则的极限形式）：

(i)当时，与同斂态；

(ii)当c=0时由收敛可推知也收敛；

(iii)当时，由发散可推知也发散；

如果选用作为比较对象有如下两个推论

推论2（柯西判别法）：

设f定义於（a>0）,且在任何有限区间[a,u]上可积，则有：

(ii)当且时发散；

如果选用作为比较对象，有如下两个推论

推论2（柯西判别法）：

设f定义于a为其瑕點,且在任何上可积则有：

(ii)当且时，发散；

推论3（柯西判别法的极限形式）：

设f是定义于上的非负函数在任何有限区间[a,u]上可积，且则有：

推论3（柯西判别法的极限形式）：

设f是定义于上的非负函数a为其瑕点，在任何上可积如果则有：

若在上有界，g(x)在上当时单调趋于0則收敛。

阿贝尔（Abel）判别法：

若收敛g(x)在上单调有界，则收敛

设a为f(x)的瑕点，函数在上有界函数g(x)在上单调且，则瑕积分收敛

阿贝尔（Abel）判别法：

设a为f(x)的瑕点，瑕积分收敛函数g(x)在上单调有界，则瑕积分收敛