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公开课(学案)空间向量在立体几何中的应用(三)二面角及其度量.doc 2页
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公开课(学案)空间向量在立体几何中的应用(三)二面角及其度量
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空间向量在几何中的应用（三）——二面角及其度量
授课教师：一高中
授课班级：满足高中
高二（2）班
一、【复习引入】
如何应用向量法求空间中两条异面直线所成角以及直线与平面所成角？
思考：如何定义空间中两个平面所成角？能否运用平面的法向量求出两平面所成角？
二、【概念生成】
1.二面角的概念：
平面内的一条直线把平面分为两个部分，其中的每一部分叫做
；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做
，这条直线叫做二面角的
，每个半平面叫做二面角的
.若棱为，两个面分别为的二面角记为.
2.二面角的图形表示：
第一种是卧式法，也称为平卧式第二种是立式法，也称为直立式
3．二面角的平面角：
过二面角的棱上的一点分别在两个半平面内作棱的两条
线，则叫做二面角的平面角
规定：（1）二面角的平面角范围是；（2）二面角的平面角为直角时，则称为
三、【应用探究】应用法向量求解二面角
【基本原理1】 从二面角的定义出发，通过二面角棱在两个半平面内的法向量，求二面角.
例1.如图，平面，，，，，求二面角的大小.
【基本原理2】 设 分别为平面的法向量，二面角的大小为，向量 的夹角为，则构成二面角的两个平面的法向量的夹角与二面角的平面角
规律总结：若在上图1中，我们称指向二面角内侧，指向二面角外侧，
则当与指向二面角
侧时，二面角大小与法向量成角相等；
当与指向二面角
侧时，二面角大小与法向量成角互补.
例2.长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC中点，求此时二面角A—A1D—Q的大小．
四、【巩固训练】如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，AD//BC，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=，AB=BC=1，AD=。 求侧面SCD与面SBA所成的二面角的大小。
正在加载中，请稍后...立体几何求二面角的cos值避免判断结果的正负_百度经验
&&&&&&&&&中学立体几何求二面角的cos值避免判断结果的正负听语音
百度经验:jingyan.baidu.com高中立体几何题常常有一小题是让求某二面角的cos值，但用向量法解题时得到的结果正负号可能与正确答案不符，这就需要通过判断角是钝角还是锐角来确定cos值的正负，一般情况下通过题中所给的图很容易就可以判断所求二面角的类型，但万一无法准确判断呢？这里有一种绕开这个障碍的方法。百度经验:jingyan.baidu.com所要解答的立体几何试题草稿纸，笔百度经验:jingyan.baidu.com1按照实际情况建立合适的坐标系，具体做法同学们应该都很熟悉，这里不再多说2设出法向量：分别设出构成两个角的法向量，注意：设出的两个平面的法向量要保证& ”绕轴顺向“。绕轴顺向：如图所示，箭头表示向量，两个红色箭头绕着两平面的交线呈顺向，两个黑色尖头也呈顺向。3设出法向量（x,y,z）时跟通常设法相比i，只需注意把 z 的值设为能使向量呈顺向且方便计算的值即可。4按照这样的方法假设出法向量，然后按照一般方法计算就行了，计算出的结果不用再考虑改变正负号，计算出的结果是什么符号就是什么符号。找几道题感受感受吧。END百度经验:jingyan.baidu.com第二步中的“绕轴顺向”是关键经验内容仅供参考，如果您需解决具体问题(尤其法律、医学等领域)，建议您详细咨询相关领域专业人士。作者声明：本篇经验系本人依照真实经历原创，未经许可，谢绝转载。投票(2)已投票(2)有得(0)我有疑问(0)◆◆说说为什么给这篇经验投票吧！我为什么投票...你还可以输入500字◆◆只有签约作者及以上等级才可发有得&你还可以输入1000字◆◆如对这篇经验有疑问，可反馈给作者，经验作者会尽力为您解决！你还可以输入500字相关经验04013热门杂志第1期作文书写技巧964次分享第12期祝你好“孕”497次分享第1期当我们有了孩子345次分享第1期新学期 新气象169次分享第1期孕妇饮食指导580次分享◆请扫描分享到朋友圈空间向量解立体几何中的线面角、线线角和二面角问题好用吗？_百度知道
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用一般的立体几何图形上的方法更需要空间想象力有时候不一定能马上想到而使用空间向量的话求这些角度就直接代入数字计算得到结果即可相对简单一些吧
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3.2立体几何中的向量方法(平行、垂直、夹角、距离)(高中数学人教版选修2-1)解读.ppt 114页
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３.２ 立体几何中的向量方法 （6）综合问题 l l 注意法向量的方向：同进同出，二面角等于法向量夹角的补角；一进一出，二面角等于法向量夹角 L
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。如图，向量
， 则二面角
二面角 若二面角
, 则 ②法向量法 D
3.已知三点A(2,3,-3,),B(4,5,-2), C(6,8,0)及向量
与 平面ABC的法向量的夹角的余弦。 是平面ABC的一个法向量 例2：
的棱长为 1. 解1
建立直角坐标系. A1 x D1 B1 A D B C C1 y z E F 例题3. 在长方体ABCD—A1B1C1D1中，
AB=2，BC=4，AA1=2,点Q是BC的中点，
求此时二面角A—A1D—Q的余弦． O（A） B A1 C1 B1 D1 D C Q z y x
解 ： 如图2，建立空间直角坐标系． 依题意：A1（0，0，2），Q（2，2，0），
D（0，4，0）， 2 4 2 面AA1D的法向量 设面A1DQ的法向量为 则
则 ． (4)夹角 设直线l，m的方向向量分别为
的法向量分别为
线线夹角 线面夹角 面面夹角 的棱长为 1. 解1 A1 D1 B1 A D B C C1 3 练3:
的棱长为 1. 解2
建立直角坐标系. A1 x D1 B1 A D B C C1 y z 平面ABD1的一个法向量为 平面CBD1的一个法向量为 3.2立体几何中的向量方法 (5)距离问题 (1)
A(x1,y1,z1),
B(x2,y2,z2),
则 (5)空间“距离”问题 距离问题： (2)
点P与直线l的距离为d , 则 距离问题： (3)
点P与平面α的距离为d , 则 d α β A C B 点B到平面α的距离: 3. 点到平面距离的向量计算公式 向量法求点到平面的距离： P A 如图，已知点P（x0,y0,z0）, 在平面
内任意取一点A（x1,y1,z1）， 一个法向量 其中 也就是AP在法向量n上的投影的绝对值 距离问题： (4)
平面α与β的距离为d , 则 m D C P A a b C D A B CD为a,b的公垂线 则 A，B分别在直线a,b上 已知a,b是异面直线，n为a的法向量 （5）异面直线间的距离
间的距离可转化为向量
在n上的射影长，
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求点E到直线A1B的距离. 点E到直线A1B的距离为 例2
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点, 求B1到面A1BE的距离；
如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.
法1:∵面D1CB1∥面A1BD
∴ D1到面A1BD的距离即
为面D1CB1到面A1BD的距离 面到面的距离
例4： 如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1的中点，求异面直线D1B与A1E的距离. 向量的模 用空间向量解决立体几何问题的步骤： 面面距离 回归图形 点面距离 二面角 平面角 向量的夹角 回归图形 z x y A B C C1 即 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 E A1 B1 例1 如图，60°的二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直AB，已知AB＝4，AC＝6，BD＝8，求CD的长.
B A C D 第115页的思考解答(由学生课外学习)
课本例2.如图甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。从A，B到直线 （库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
,CD的长为 , AB的长为
.求库底与水坝所成二面角的余弦值.
分析：如图， 化为向量问题 由图可知有向量关系 进行向量运算尝试 A B C D D N M A B C D! B! C! A! 法3: 即
线性表示,故
是共面向量,∴MN∥平面A1BD 法三：证明
可以用平面A1BD中的两不共线向量线性
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