6．若实数x₀满足p（x₀）=x₀则称x=x₀为函数p（x）的不动点．
（1）求函数f（x）=lnx+1的不动点；
①若a=0时，存在一个实数${x_0}∈[\frac{1}{2}2]$，使得x=x₀既是g（x）的不动点又是g'（x）的不动点（g'（x）是函数g（x）的導函数），求实数b的取值范围；
②令h（x）=g'（x）（a≠0）若存在实数m，使mh（m），h（h（m））h（h（h（m）））成各项都为正数的等比数列，求證：函数h（x）存在不动点．

．由a≤-1直线AB的斜率恒大于常数m，知g′（x）=e

=m（a≤-1），由此能求出实数m的取值范围．

．由此能够推导出存在正整数a=2．使得1

解：（1）∵f（x）=e

∵f（x）≥0对一切x∈R恒成立

∵a≤-1，直线AB的斜率恒大于常数m

∴实数m的取值范围是（-∞，3]．

在x＜0时t′（x）＜0f（x）递减；在x＞0时t′（x）＞0，f（x）递增．

∴t（x）最小值为f（0）=0故e

故存在正整数a=2．使得1

本题考查满足条件的实数的最大值的求法，考查满足条件地实数的取值范围的求法探索满足条件的实数的最小徝．综合性强，难度大．解题时要认真审题合理地运算导数性质进行等价转化．