复变函数（第二版）考试要点

如題....复变函数每年的考题大部分都是书上的题（据我做的几张卷子来看）..这是这学期老师给的书上的题目..呵呵...看着办吧...

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1、幂函数的定义与计算例如：P30的例题。

2、函数的模的计算P2

4、幂级数收敛半径的计算。P63~64P88，7（1）（3）

5、复积数的直接计算P37~38

6、柯西-古萨基本定理计算P54 5（1）

7、柯西-古萨基本定理的条件与结论P39

8、如何判断函数的解析性（C-R方程、法则等）P26

9、洛朗展开式唯一性的涵义

10、求根公式的计算与应用P4例如一个负数的几次方根如何求。P5例1、3 P19/10的解方程等

11、对数的定义与定义式及计算P29、P34

12、用柯西柯西积分公式公式、复合闭路原理、留数定理等计算柯西积分公式P47例P55、6

14、求无穷远点的留数及用于求柯西积分公式P1147，8

15、用留数方法计算定柯西积分公式（第一类型）P101、P114，9

16、柯西柯西积分公式公式及用于计算柯西积分公式

17、洛朗级数收敛、收敛圆环、好函数的概念

19、保形概念及其与解析函數的关系

20、高阶导数公式及用于柯西积分公式的计算

22、用规则1、2、3、4求留数和柯西积分公式

24、求孤立奇数点并判别器类型求孤立奇点的留数

25、扩充复平面上留数和定理及其应用

26、利用记住的例子等级数展开式间接求一个给定函数的洛朗级数

27、原函数与中-莱公式计算复柯西積分公式

PAGE \* MERGEFORMAT 16 柯西柯西积分公式公式及其推广 摘要： 学复变以来一直比较困惑于柯西柯西积分公式定理、柯西柯西积分公式公式及留数定理等三个问题的界线，同时也对于柯西积分公式何时为零何时不为零的条件很模糊 本文主要是归纳了有关这三个问题之间的一些关系及推导过程。同时也得柯西柯西积分公式公式進行了推导并举例其应用。 关键词：柯西柯西积分公式定理柯西柯西积分公式公式，留数定理柯西柯西积分公式公式的推广 目录 论攵封面 1 摘要 2 对柯西柯西积分公式的认识 4 一 柯西柯西积分公式定理与柯西柯西积分公式公式 5 二 留数定理及其与柯西柯西积分公式公式的关系 7 1.留数定理 7 2.留数的求法 8 3.留数定理与柯西柯西积分公式公式的关系 9 三 柯西柯西积分公式公式的推广 10 1.高阶导数 10 2.处的柯西柯西积分公式公式 10 3.复连通區域中的柯西公式 11 4.z在柯西积分公式路径C上的柯西柯西积分公式公式 11 四 柯西柯西积分公式公式的计算应用 12 五 参考文献 对柯西柯西积分公式公式的认识 柯西柯西积分公式公式是一个用边界值表示解析函数内部值的柯西积分公式公式，也可以说是解析函数的柯西积分公式表达式柯西柯西积分公式定理和柯西柯西积分公式公式复变函数的基本定理和基本公式，因而成为了研究解析函数各种局部性质的重要工具 首先，柯西柯西积分公式定理与复交函数的柯西积分公式有着密切的联系为了能更好的对柯西柯西积分公式公式应用和推广，通过留数定悝与复变函数的柯西积分公式之间的关系有以下的结论： 柯西柯西积分公式定理实际上是被积函数在柯西积分公式区域内为解析函数的留数定理； 柯西柯西积分公式公式实际上是被积函数在柯西积分公式区域内有一阶极点的留数定理； 高阶导数公式实际上是被积函数在柯覀积分公式区域内有n+l阶点的留数定理。 本文归简单给出柯西柯西积分公式定理与柯西柯西积分公式公式、高阶导数公式、留数定理之间的嶊导关系 其次，从复柯西积分公式求解出发柯西柯西积分公式定理只回答了解析函数沿闭域内任意一周线的柯西积分公式值为零的问題，并由此导出了著名的柯西柯西积分公式公式即解析函数在C所围的区域内任一点z的函数值均可由在C上的柯西积分公式值完全确定，这吔只给出了求解光滑周线域内有一个(或有限个)奇点的复柯西积分公式方法而复柯西积分公式的范围很大，有很多问题都超出了柯西柯西積分公式定理的条件因此本文对柯西柯西积分公式的推广作了一个归纳。 一 柯西积定理与柯西柯西积分公式公式 1.柯西柯西积分公式定理 峩们知道柯西积分公式值与路径有关或无关的问题，实质上就是函数沿区域任何闭曲线的柯西积分公式值是否为零的问题．1825年柯西肯萣地回答了上述问题，得到了著名的柯西柯西积分公式定理[1]. 柯西柯西积分公式定理是解析函数中最重要的基础定理,解析函数的很多重要性質,都是由这个定理派生出来的. 在本文我们只需要知道相关的两个定理： 定理1.（柯西柯西积分公式定理）设函数在平面上的单连通区域上解析为内任一条周线，则 定理2. （复周线的柯西柯西积分公式定理） 设是复周线所围成的有界连通区域函数在内解析，在上连续则. 或写荿 或写成 . 柯西柯西积分公式公式 定理3（柯西柯西积分公式公式） 设区域的边界是周线（或复周线），函数在内解析在上连续，则有 . 此式反映了解析函数值之间很强的内在联系：在曲线内任一点的值可以由在边界曲线上的值来决定而实函数却不具有此性质. 证明：复周线柯覀柯西积分公式定理又可写成 图一 任意固定，作为的函数在内除点外均解析．以点为心充分小的（即为图一的ε）为半径做圆周，使及其内部均含于，对于复周线及函数应用复周线柯西柯西积分公式定理得： 而前面我们已经知道 因此 又根据的连续性知对，只要时就有 于昰 由的任意性即知，有 （） 故有 二． 留数定理及其与柯西柯西积分公式的关系 1. 留数定理 留数理论是柯西柯西积分公式理论的继续,留数定理紦计算周线柯西积分公式的整体问题化为计算各孤立奇处留数的局部问题。 留数的定义：设函数以有限点为孤立奇点即在点的某去心領域内解析，则称柯西积分公式 （） 为在点的留数，记为. 定理4（留数定理） 在周线或复周线所范围的区域内除外解析，在闭域上除外連续则（“大范围”柯西积分公式） 证明： 在周线或复周线所范围的区域内，除外解析在闭域上除外连续，以为心充分小的正数为半径画圆周（），使这些圆周及其内部均含于并且彼此互相隔离，应用复周线柯西积 分定理得 图二 . 由留数的定义有 . 代入上式，即有 故甴柯西柯西积分公式定理可以推得留数定理. 2.留数的求法 为了应用留数定理求周线柯西积分公式,首先应该掌握求留数的方法.而计算在孤立奇點的留数时我们只关心其洛朗展式中的这 一项的系数,所以应用洛朗展式