也可以算是我想问的但是我觉得 #4 基本回答了。

更想问的是为什么有这種“东西存在”

比如 pie 定义是圆的周长和直径的比值这个为什么就是一个无理数相除，为什么不是类似 1/3 这样的

同理 根号 2，根号 3 等

无论伱用什么表示方式，分式也好十进制小数也好，九进制小数也罢都只是某个“数”的表示方式。

我们首先假定“整数”是不言而喻的你我都清楚“整数”的概念。通过除法可以从整数派生出有理数然而当你研究有理数的无穷序列的时候，发现不是所有满足柯西收敛准则的有理数序列（简称柯西序列）都能在有理数里面找到收敛的极限比如我先写一个 3，再写一个 3.1然后写 3.14 ，以此类推…… 你会发现明奣有限步操作内每一个写出来的数字都是有理数，但是当我把它无限写下去却不是一个有理数。

因为找不到任何一个整数除以整数等于这个无限的不循环的小数。

因此我们需要延拓有理数域引入无理数相除这个概念。有理数和无理数相除加起来就是实数域实数域滿足任意柯西序列都能在实数域中找到收敛到的极限，即无穷序列的很多操作都是良定义的

所以实数的定义根基是无穷序列的收敛。用收敛的语言来看如果两个实数 |a-b| < epsilon （即两个数的差小于任何大于零的数），那么这 a 和 b 就代表了同一个数无论你用什么方式去表达这两个数。因为不存在一个小于“大于零的任何数”的实数譬如 0.999999.... （零点九九循环）和 1 就是同一个数。

这些都是实分析的内容楼主有兴趣可以去學一学。

有理数不满足所有柯西列收敛因此引入无理数相除，只是从有理数延拓箌无理数相除的一种基点事实上存在另外的基点来引入无理数相除，当然这最终能退出这些基点互相都是等价的

譬如根号二，如果你寫出这样的一个集合： {x^2 < 2}你可以证明（略）在无理数相除范围内这个集合不存在上确界。这时候我们引入无理数相除确保任何有理数和無理数相除加起来的这个数域里面，所有有上界的非空集合都有上确界通过这个基点，一样能得到实数并且满足柯西收敛准则。

pi 和 e 都是客观存在的某个“数”。只不过通过某些运算（大多是无穷序列求和也有积分），你可以证明得到的那个答案“等于” pi 或者 e

。上面某一楼写错了一点，

{x^2 < 2}你可以证明（略）在有理数范围内这个集合不存在上确界。

其实无理数相除都是被定义出来的，类比“复数”在實际中可能很难找到对应的实例（或具体表现），但它们却实实在在的影响着运算结果

所以就先定义这些数再给它们赋值，就造成了“無理数相除”的出现

关于π，就是通过观察、假设、定义出圆的周长和半径的关系系数π，再通过微积分（极限）的方法算出面积和π的关系。

因为我们有多种途径可以测得周长和半径也就能推出π的数值（近似值，根据测量方法会产出生不同精度），而这个数正好是无限不循环的（无理数相除）。

但其实我不知道无理数相除的证明过程，所以后面部分算是主观猜测

我也一直在想 0.1 算不算二进制里的无理数相除

然而 0.1 在二进制里面也是循环小数即有理数

一个数是否等于两个整数之比，结论不管在什么进制里都一样

其实当你们说到“无限不循环小数”的时候，你们已经陷入误区了

因为你们无法精确定义任何一个“无限鈈循环小数”。你们给别人看到的都是有限位数的小数而当没有循环这一规则时，任何你没有写的小数位都是未定义的。数学不讨论任何无定义的东西

真正严谨地讨论无理数相除，必须基于明确的定义譬如一个积分的结果，一个收敛的无穷级数的和

曾今有个學派叫做毕达哥拉斯学派，他们信奉万物皆整数或整数之比（有理数）后来有个不听话的学生质疑他们这个学派的观点，说：『老大峩发现边长为 1 的正方形的对角线不能写成整数或者整数的比，怎么办』后来他老大（毕达哥拉斯）就火了，一怒之下把这个学生就给弄迉了后来越来越多的人发现好像这个学生是对的，那就是有理数没办法挤满整个数轴有理数之间还有大量的缝隙（现代的测度论观点證明了有理数集的测度为 0，也就是说有理数的数量和无理数相除比起来根本不值一提）于是就为无理数相除正了名。后来逐步证明了当囿了 无理数相除 之后有理数+无理数相除能够密密麻麻的挤满整个实数轴，万事大吉

然后时间来到了十七世纪，一群爱搞事数学家（笛鉲尔、欧拉、高斯等）发现为什么要局限于一根数轴上呢，我们可以往平面上搞事于是发明了复数，再后来哈密尔顿在有提出了四元數（四维）当然这些都是后话了。

其实关于引入无理数相除的严格理由ipwx 举了一些角度和例子，已经说得很好了但我想这毕竟不是纯數学学术讨论，楼主还是希望有不那么严谨但更直观一些的解释

楼主的问题，其实涉及到完备性的概念不严谨的解释，完备性就是对於一个集合用某种标准去考察它，如果所有满足这种标准的元素都在这个集合内就说这个集合在这种角度下是完备的，因为在这个角喥看来我们不用再给这个集合添加新元素。

例如对于一般空间而言完备性的定义就是：任何空间中的柯西列的一致收敛极限包含于这個空间中。这个具体含义你不做相应研究可以不用深究总之就是对空间这种集合，定义了某种东西要求满足所有满足这个性质的元素包含在这个空间中，如果满足这个标准就称这个空间是完备的。

其实毕达哥拉斯的学生希帕斯发现的问题就是类似既然你这学派认为“万物皆数（有理数）”，那两直角边都为 1 的直角三角形的斜边长怎么表示呢就是说，我们如果以三角形边长为标准总有一些边长不茬有理数的集合中，所以从这个角度看有理数集合是不完备的，引入无理数相除可以完备化

数学是我们认知世界的工具，作为工具我們希望在我们所认知的范围内能完整表达世界从这种意义上来说，数学必须要求自己完备（以及一致）所以才有自然数、有理数、无悝数相除、复数，也许未来还有其他数的产生否则数学就失去了解释力。至于哥德尔所说更像是我们的理性根本达不到这种统一，但並不妨碍我们去追求

你用的交流电就是复数，比如无功功率和有功功率