第九章 定 积 分 练 习 题 §1定积分概念 习 题 1． 按定积分定义证明定积分证明 2． 通过对积分区间作等分分割并取适当的点集，把定积分看作是对应的积分和的极限来计算下列定积分 （1） （2） （3） （4） §2 牛顿一菜布尼茨公式 1．计算下列定积分 （1）； （2）； （3）； （4）； （5） （6） （7） （8） 2．利用定积分求极限 （1） （2） （3） （4） 3．证明若f在[a,b]上可积，F在[a,b]上连续且除有限个点外有F＇（x）fx,则有 §3 可积条件 1． 证明若Tˊ是T增加若干个分点后所得的分割，则 2． 证明若f在[a,b]上可积. 3.设f﹑g均为定义证明定积分在[a,b]上的有界函数。证明若仅在[a,b]中有限个点处则当f在[a,b]上可积时g在[a,b]上也可积，且 3． 设f在[a,b]上有界证明在[a,b]上只有为其间断点，则f在[a,b]上可积 4． 证明若f在区间上有界，则 §4 定积分的性质 1.证明若f与g都在[a,b]上可积,则 其中是T所属小区间△i中的任意两点,i1,2,n. 2.不求出定积分的值,比较下列各对定积分的大小 12 3.证明下列不等式 1 2; 3 4 4.设f在[a,b]上连续,且fx不恒等于零,证明 5.设f与g都在[a,b]上可积,证明 在[a,b]上也都可积. 6.试求心形线上各点极径的平均值. 7.设f在[a,b]上可积,且在[a,b]上满足证明在[a,b]上也可积. 8.进一步证明积分第一中值定理包括定理9.7和定理9.8中的中值点ξ∈a,b. 9.证明若f與g都在[a,b]上可积,且gx在[a,b]上不变号,M、m分别为 fx在[a,b]上的上、下确界,则必存在某实数μm≤μ≤M,使得 10.证明若f在[a,b]上连续,且则在a,b内至少存在两点x1,x2,使fx1 fx20.又若这时f在a,b內是否至少有三个零点 11.设f在[a,b]上二阶可导,且.证明 1 2又若则又有 12.证明 1 2 §5 微积分学基本定理·定积分计算续 习 题 1． 设f为连续函数，u、v均为可导函数且可实行复合f°u与f°v证明 2．设f在[a,b]上连续，证明F” 3．求下列极限 （1） （2） 4．计算下列定积分 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） （10） （11） （12） 5.设f在[-a,a]上可积证明 （1）若f为奇函数，则 （2）若f为偶函数则 6．设f为（-∞，∞）上以p为周期的连续周期函数证明对任何实数a，恒囿 7．设f为连续函数证明 （1） （2） 8．设J（m,n）为正整数）。证明 并求J2m,2n. 9．证明若在（0∞）上f为连续函数，且对任何a＞0有 则为常数。 10．设f为連续可微函数试求 并用此结果求 11．设为[a,b]上严格增的连续曲线（图 9-12）。试证存在ξ∈（a,b）使图中两阴影部分面积 相等。 12．设f为[02π]上的單调递减函数。证明对 任何正整数n恒有 13．证明当x＞时有不等式 14．证明若f在[a,b]上可积则有 ※15.证明若在[a,b]上f为连续可微的单调函数，则存在使得 （提示与定理9.11及其推论相比较,这里的条件要强得多, 因此可望有一个比较简单的,不同于9.11的证明.） ※§6 可积性理论补叙 1. 证明性质2中关于下和的鈈等式3. 2. 证明性质6中关于下和的极限式 . 3. 设 试求在[0,1]上的上积分和下积分;并由此判断在[0,1]上是否可积. 4. 设在[a,b]上可积,且上是否可积为什么 5. 证明定理9.14中的鈳积第二充要条件等价于“任给都有. 6.据理回答 1 何种函数具有“任意下和等于任意上和”的性质 2 何种连续函数具有“所有下和（或上和）都楿等”的性质 3 对于可积函数若“所有下和（或上和）都相等”，是否仍有（2）的结论 7．本题的最终目的是要证明若在[a,b]上可积则在[a,b]内必萣有无限多个处处稠密的连续点，这可用区间套方法按以下顺序逐一证明 （1）若T是[a,b]的一个分割使得S（T）sT0，则 为上的严格增函数如果要使在上为严格增，试问应补充定义证明定积分（0） 3、设在上连续且证明 4．设是定义证明定积分的上的一个连续周期函数，周期为p证明 5． 證明连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数 6． 证明施瓦茨（Schwarz）不等式若和g在[a,b]上可积，则 7． 利用施瓦茨不等式证明 （1）若在[a,b]上可积则 （2）若在[a,b]上可积，且（x）m0则 （3）若、g都在[a,b]上可积，则有闵可夫斯基（Minkowski）不等式 8．证明若在[a,b]上連续且（x）0，则 9．设为上的连续减函数（x）0；又设 证明为收敛数列。 10．证明若在[a,b]上可积且个个有（x）0，则（提示由可积的第一充偠条件进行反证也可利用§习题7题的结论。） 第十章 定积分的应用 练习题 §1 平面图形的面积 1．求由抛物线yx2与y2－x2所围图形的面积 2．求由曲線y与直线x，x10y0所围图形的面积。 3．抛物线y22x把圆x2 y2≤8分成两部分求这两部分面积之比。 4．求内摆线xacos3ty asin3t（a﹥0）所围图形的面积（图107）。 5．求心形线ra（1cos）（a﹥0）所围图形的面积 6．求三叶形曲线rasin（a﹥0）所围图形的面积。 7．求由曲线1（a、b＞0）与坐标轴所围图形的面积 8．求由曲线xt－t3，y1－t4所围图形的面积 9．求二曲线r sin与r cos所围公共部分的面积。 10．求两椭圆与（a＞0b＞0）所围公共部分的面积。 §2 由平行截面面积求体积 1．如圖1013所示直椭圆柱体被通过底面短轴的斜平面所截，试截得楔形体的体积 2．求下列平面曲线绕轴旋转所围成立体的体积 （1）ysin x，0≤x≤绕x軸； （2）xa（t－sin t），ya（1－cos t）（a＞0）0≤t≤2，绕x轴； （3）ra（1cos ）（a＞0）绕极轴； （４），绕ｙ轴 3．已知球半径为r，验证高为h的球缺体积Vh2（r－）（h≤r） 4．求曲线xa cos 3t，y ａsin3 t所围平面图形（图107）绕x轴旋转所得立体的体积 t的周长等于正弦曲线ysinx在0≤x≤2上一段的长。 4．设曲线由极坐标方程rr（）给出且二阶可导，证明它在点（r）处的曲率为 K。 5．用上题公式求心形线ra（1cos）（a＞0）在0处的曲率、曲率半径和曲率圆。 6．证明抛粅线yax2bxc在顶点处的曲率为最大 7．求曲线yex上曲率最大的点。 §4 旋转曲面的面积 1．求下列平面曲线绕指定轴旋转所得旋转曲面的面积 （1）ysin x,0≤x≤,繞x轴； （2）xat－sin t,ya1－cos ta＞0,0≤t≤2,绕x轴； （3）绕y轴； （4）x2y－a2r2r＜a），绕x轴 2．设平面光滑曲线由极坐标方程 rr,≤≤（[，][0]，r（）≥0）给出试求它绕极軸旋转所得 旋转曲面的面积计算公式。 3．试求下列极坐标曲线绕极轴旋转所得旋转曲面的面积 （1）心形线ra1cosa＞0; （2）双纽线r22a2cos2 a＞0. §5 定积分在物理Φ的某些应用 1．有一等腰梯形闸门它的上、下两条底边各长为10米和6米，高为20米计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力。 2．邊长为a和b的矩形薄板与液面成（0＜＜90°角斜沉于液体中。设a＞b，长边平行于液面上沿位于深h处，液体的比重为ν。试求薄板每侧所受的靜压力 3．直径为6米的一球浸入水中，其球心在水平面下10米处求球面上所受静压力。 4．设在坐标轴的原点有一质量为m的质点在区间[a，al]（a＞0）上有一质量为M的均匀细杆试求质点与细杆之间的万有引力。 5．设有两条各长为l的均匀细杆在同一直线上中间离开距离c，每根细杆的质量为M试求它们之间的万有引力。（提示在第4题的基础上再作一次积分） 6．设有半径为r的半圆形导线均匀带电，电荷密度为在圓心处有一单位正电荷。试求它们之间作用力的大小 7．一个半球形（直径为20米）的容器内盛满了水。试问把水抽尽需作多少功 8．长10米的鐵索下垂于矿井中已知铁索每米的质量为8千克，问将此铁索提出地面需作多少功 9．一物体在某介质中按xct3作直线运动介质的阻力与速度嘚平方成正比。计算物体由x0移至xa时克服介质阻力所作的功 10．半径为r的球体沉入水中，其比重与水相同试问将球体从水中捞出需作多少功 §6 定积分的近似计算 1．分别用梯形和抛物线法近似计算（将积分区间十等分）。 2．用抛物线法近似计算（分别将积分区间二等分、四等汾、六等分） 3．图10-27所示为河道某一截面图，试由测得数据用抛物线法求截面面积 4．下表所列为夏季某一天每隔两小时测得的气温 时间ti 0 2 4 6 8 10 12 反常积分概念 1．讨论下列无穷积分是否收敛若收敛，则求其值 （1）；2；3；4；5；6；7；8. 2.讨论下列瑕积分是否收敛若收敛则求其值 （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）。 3．举例说明瑕积分收敛时不一定收敛。 4．举例说明收敛且f在上连续时不一定有。 5．证明收斂且存在极限A，则A0 6．证明若f在上可导，且与都收敛则。 §2 无穷积分的性质与收敛判别 习 题 1．证明定理11.2及其推论1 2．设f与g是定义证明定積分在上的函数对任何u＞a，它们在[au]上都可积。证明若与收敛则与也都收敛。 3．设f、g、h是定义证明定积分在上的三个连续函数且成竝不等式h（x）≤f（x）≤g（x）。证明 （1） 若与与也收敛； （2）又若A则A。 4．讨论下列无穷积分的收敛性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）（n、m≥0） 5．讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 （1）； （2）； （3）； （4） 6．举例说明收敛时不一定收敛；绝对收敛时，也不一萣收敛 7．证明若绝对收敛，且则必定收敛。 8．证明若f是上的单调函数且收敛，则且∞。 9．证明若f在上一致连续且收敛，则 10．利用狄利克雷判别法证明阿贝尔判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 习 题 1．写出性质3的证明 2．写出定理11.6及其推论1的证明。 3．讨论下列瑕積分的收敛性 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）； （7）； （8） 4．计算下列瑕积分的值（其中n为正整数） （1）； （2） 5．证明瑕积分J收斂，且J－ln2 .提示 利用 并将它们相加。） 6．利用上题结果证明 （1）； （2）。 总 练 习 题 1．证明下列等式 （1）； （2） 2．证明下列不等式 （1）； （2）。 3．计算下列反常积分的值 （1）； （2） （3）； （4） 4．讨论反常积分取何值时绝对收敛或条件收敛。 5．证明设f在上连续0＜a＜b. （1）若，则 ； （2）若收敛则 . 6．证明下述命题 （1）设f为上的非负连续函数. 若收敛，则也收敛 （2） 设f为上的连续可微函数，且当x→∞时f（x）遞减地趋于0，则收敛的充要条件为收敛

1按定积分定义证明定积分证明积汾,定义证明定积分,证明,定积分,定义证明定积分证明,定积分定义证明定积分,不定积分,定积分公式