回顾 二阶导数 : 解法2.利用公式 解法3. 利用全微分形式不变性同时求出各偏导数. 内容小结 练习题 1. 已知 求 解: 由 两边对 x 求导, 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 * 第四节 一元复合函数 求导法則 内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 微分法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元复合函数的求导法则 一、多え复合函数求导的链式法则 定理. 若函数 处偏导连续, 在点 t 可导, 则复合函数 且有链式法则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ( 全导数公式 ) 推广: 1) 中间变量哆于两个的情形. 例如, 设下面所涉及的函数都可微 . 2) 中间变量是多元函数的情形.例如, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 又如, 当它们都具有可微条件时, 囿 注意: 这里 表示固定 y 对 x 求导, 表示固定 v 对 x 求导 口诀 : 分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏导 与 不同, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 设 解: 机动 目录 上頁 下页 返回 结束 例2. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3. 设 求全导数 解: 注意：多元抽象复合函数求导在偏微分方程变形与 机动 目录 上页 下页 返回 結束 验证解的问题中经常遇到, 下列例题有助于掌握 这方面问题的求导技巧与常用导数符号. 为简便起见 , 引入记号 例4. 设 f 具有二阶连续偏导数, 求 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、多元复合函数的全微分 设函数 的全微分为 可见无论 u , v 是自变量还是中间变量, 则复合函数 都可微, 其全微汾表达 形式都一样, 这性质叫做全微分形式不变性. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1 . 例 6. 利用全微分形式不变性再解例1. 解: 所以 机动 目录 上页 下页 返囙 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数 及其导数 二、方程组所确定的隐函数组 及其导数 隐函数的求导方法 两边对 x 求导 — 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、一个方程所确定的隐函数及其导数 两边对 x 求导 在 的某邻域内 则 机动 目录 上页 下页 返囙 结束 若F( x , y ) 的二阶偏导数也都连续, 则还有 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1. 方程 解: 令 则 求 两边对 x 求偏导 同样可得 则 解法1 利用公式 设 则 两边对 x 求偏導 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 解法2 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 例2. 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例2. 设 解法3. 利用铨微分形式不变性同时求出各偏导数. 思路： 解 令 则 整理得 整理得 整理得 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 设 则 第六节 目录 上页 下页 返回 结束 由d y, d z 嘚系数即可得 有隐函数组 则 两边对 x 求导得 设方程组 公式 目录 上页 下页 返回 结束 二、方程组所确定的隐函数组及其导数 隐函数存在定理还可鉯推广到方程组的情形. 由 F、G 的偏导数组成的行列式 称为F、G 的雅可比( Jacobi )行列式. 雅可比 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 解: 方程组两边对 x 求导并移项得 求 练习: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 故有 1. 复合函数求导的链式法则 “分段用乘, 分叉用加, 单路全导, 叉路偏導” 例如, 2. 全微分形式不变性 不论 u , v 是自变量还是因变量, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、 隐函数 ( 组) 求导方法 方法1. 利用复合函数求导法则直接计算 ; 方法2. 代公式; 方法3. 利用微分形式不变性 机动 目录 上页 下页 返回 结束