[text]返回顶部&/&一道引人深思的数学题围观&·&&0评论&·&&0香蕉&/&&&/&&已收藏&/&&/&一道引人深思的数学题
澳门回归祖国一周年庆典活动 中 。 在 澳门濠江中学， 给 该校老师表示数学是很重要的一门学科，他更当场提出他读中学时所学的一道“五点共圆”平面几何题：
假设：任意一个星形，五个三角形，外接圆交于五点。求证：这五点共圆。（在任意五角星AJEIDHCGBF中，△AFJ、△JEI、△IDH、△HCG和△GBF各自的外接圆顺次相交的交点分别为K、O、N、M、L。求证：K、O、N、M、L五点共圆。）
五星角是我国的主要国家象征，此题真是寓意精妙。据说，数学大师丘成桐也用了半小时才悟出此难题答案。丘成桐在一次演讲中说：
一个很有名的例子，澳门濠江中学提出的五点共圆的问题。我第一次听说觉得非常有意思，很多读者对这个问题都很感兴趣，都想从基本定理出发推导这个定理。最近我很惊讶地听说，很多数学教育家们坚持不教证明，原因是学生们不容易接受这种思考。诚然，从一个没有逻辑思想训练的学生，到接受这种训练是有代价的。怎么样训练逻辑思考是比中学学习其他学科更为重要的。
破解这道题，用到的基本原理仅仅是初中知识：圆内接四边形对角互补（及其逆定理）。但正如所有的欧氏几何题一样，虽然已有机器证明的方法，依然是不错的脑力训练，如果不够机智敏锐，没有逻辑思考的能力，纵然具备高深的知识，也无计可施。最近，在国际数学奥林匹克竞赛上美国队首次击败中国队，这些比赛题目也并没有用到大学里的高等数学知识，但题目依然非常难，104支参赛队，有74支得了0分。
这也是为什么，小学生的数学作业难倒大学教授的情况，并不稀罕。对小学生来说，用代数方法，可以理解为用了更先进的数学工具，工具先进了，人就可以懒一些，而用算术方法，就要费更多的脑筋了；好比不乘电梯坚持爬楼，可以锻炼身体，为了训练脑力，许多小学老师往往规定解题不许用代数，只许用算术。江主席在如此高龄，还勇于“爬楼”，确实是“不大容易”。
还是在那一年，美国《科学》杂志撰写了一篇社论，题为《科学在中国：意义与承诺》，文中特别提到了，中国是一个发展中国家，推进科学发展必须坚持“有所为，有所不为”。而数学则被他列为要集中力量取得新进展的学科之一。与数学并列，被他特别点名要“有所为”的，还有动植物基因、信息科学、神经科学、人工智能、生态科学、凝聚态物理和地球科学。
2002年，第24届国际数学家大会在中国举行，这是100多年来中国第一次，也是至今唯一一次主办这个四年一度的国际盛会。菲尔兹奖都是颁给40岁以下的青年才俊的，那一届的菲尔兹奖得主是法国数学家洛朗o拉佛阁和俄罗斯数学家弗拉基米尔o沃沃斯基 。
1965年，美国控制论学者L.A.扎德发表论文《模糊集合论》，建立了模糊数学这门新学科。扎德教授有一本著作被翻译成中文，叫《模糊集合、语言变量及模糊逻辑》（The&Concept&of&a&Linguistic&Variable&&&Its&Application&to&Approximate&Reasoning），不知是否也在苏步青寄去的书里。
模糊数学打破了非此即彼的绝对关系，在管理、决策上能有很多应用，江主席一定从中有所“启发思考”。
“先秦的数学家提出了勾股定理，南北朝的祖冲之算出圆周率”，为这两个在国际上常被忽略的“中国贡献”再次正名，对《庄子》中数学思想的领悟：
记得我在高中读书时，老师给我们讲微积分，第一课就是讲《庄子》中的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，很形象地使我建立起极限的概念。这表明中国古人就已认识到事物的发展变化是无限的，也说明我们的先人对自然界的认识已达到相当的水平。早在公元前二千五百年，中国人就开始了仰观天文、俯察地理的活动，逐渐形成了“天人合一”的宇宙观。
据北京工业大学数理学院教授梁在中回忆：“庄子曰：一尺之锤，日取其半，万世不竭。”他一边写，一边绘声绘色的给同学们讲这句话的意思，就是一尺那么长的一根棍，每天取其中的一半，这样永远取下去，从理论上讲，是取不穷尽的。
数学式子把这句话的含义准确的表达出来，并说这是我们老祖宗的极其重要的极限思想。讲完这句话以后，他又紧接着给同学们讲导数的概念，并在黑板上写出公式。
梁在中回忆，讲完极限的思想、导数的概念后，兴致勃勃地走下讲台，看到屏幕上的讲课内容，一边说道：“啊！讲求导数极值的方法”，一边挥手和同学们告别。（注：准确说，应该是通过求导推算函数的极值，故应是“导数求极值”）
虽然这些内容，往往只是在高等数学入门课上被一笔带过，但这可能是数学史上被争论最久的一个难题。无论是在哈佛的演讲，还是在北理工的课堂上，《庄子》里的那段名言 都有出现 。与庄子这段话相对的，是古希腊智者所思考的芝诺悖论，要是庄子的话正确，是不是“阿基里斯永远也追不上乌龟”了？
关于芝诺悖论，有过很多文章解释，这里不再展开讨论，但必须说明一点，许多自以为解决了这个悖论的文章，其实都是有漏洞的，或者并没有解释透彻。比如，用无穷级数收敛来证明，这个证明用到了极限概念。而极限概念，正是为了解决芝诺悖论而定义出来的。用这个概念再反证这个悖论明显是不合理的。如果有人不服气，自认为可以轻易地圆满解释这个矛盾，不妨自问一下，凭什么认为自己比牛顿（注：牛顿被称为微积分的“发明者”，请注意和“发现者”这个词的区别）、贝克莱、罗尔、欧拉、
（注：马克思曾批评极限概念建立者柯西“莫名其妙地扬弃了差值”）等大师更有信心。
千万不要小看了东西方先哲在极限问题上的这个思想碰撞，其揭示的矛盾甚至导致了第二次数学危机，从危机爆发的十七世纪直到二十一世纪，始终都存在着不同意见。而现代物理学的许多成果，至今依然在继续回答这个让江主席兴奋的自然奥秘。
从平面几何这样常能难倒数学教授的初等数学基本功，到微积分这样的高等数学基础，以至于模糊数学这样的前沿数学学科，数学功底是多么深不可测。
附：“五点共圆”问题的一个证明
连接CN、HN、KN、IN、MN、MG、ML、LF、LK、KA
∵∠ACN＋∠AIN＝∠NHD＋∠AIN＝∠NID＋∠AIN＝180&&∴A、I、N、C四点共圆
同理A、K、I、C四点共圆从而A、C、N、K四点共圆
∴∠GMN＝∠GCN＝∠ACN＝180&－∠AKN又∠LMG＝180&－∠LFG＝∠LFA＝∠LKA
∴∠LMN＝∠LMG＋∠GMN＝∠LKA＋(180&－∠AKN)
∴∠LMN＋∠LKN＝∠LKA＋(180&－∠AKN)＋∠LKN＝180&&故K、L、M、N四点共圆
同理可证O、L、M、N四点共圆
∴K、O、N、M、L五点共圆。
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一道数学题
证明：在R上，无理数比有理数多。
无理数多于有理数的证明
　　本证明最初发表在sohu的科普论坛，是为了澄清讨论中关于有理数无理数之争的。证明中的大部分定义、定理内容参考自夏道行等著的《实变函数论与泛函分析》这本书。经过筛选与简化，只需要具有高中程度，就完全可以看懂。但因为通俗性与严谨性是成反比的，为了证明严格一些，只好牺牲通俗性，所以如果高中数学都没学过的人恐怕有点吃力。
　　对集合论有点了解但不完全理解的人，或者以前根本没概念的人，当你仔细花上点时间将以下内容看完的时候，我想都会有较大的收获的。因为有些结论，将会改变以往你根深蒂固的直觉。
好了，废话不多讲，下面先从集合的概念开始说起。
　　一些概念定义：
　　(1)如果集A中的元素，都是集B的元素，那么称A是B的子集。记做A(B（符号是∪横过来的样子，打不出来，暂以(代替）。
根据定义有A(A。
　　(2)另外我们定义不含任何元素的集合为空集，规定空集是任何集合的子集。空集记做φ。
　　(3)如果集合A(B，而B中确实存在不属于A的元素，那么称A是B的真子集。
　　(4)如果A(B，且B(A，那么A、B由相同的元素组成，此时称A=B。
　　(5)由集A和集B的一切元素组成的集合，叫A和B的和集或并集。记做A∪B。
　　(6)所有既属于集A又属于集B的元素组成的集合，叫A和B的通集或交集。记做A∩B。
　　这两个概念可以推广到任意个集合进行并或者交的情形。
　　(7)若A∩B=φ，称A、B不相交，否则称A、B相交。
　　从以上概念定义可以推导出集合运算的一些性质：
　　1. A∪A=A， A∩A=A
　　2. A∪φ=A， A∩φ=φ（φ类似于0，∪类似于加法运算，∩类似于乘法运算）
　　3. A∪B=B∪A， A∩B=B∩A （并、交的交换律）
　　4. (A∪B)∪C=A∪(B∪C)， (A∩B)∩C=A∩(B∩C) （并、交的结合律）
　　5. (A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C) （分配律）
　　再来定义集合的“减法”：
　　(8)集合A中所有不属于集合B的元素组成的集合，称作集A减集B的差集，记做A-B。注意这里并不要求B(A。
　　(9)如果B(A，则称差集A-B为集B关于集A的余集。记做C(A,B)。
　　(10)(A-B)∪(B-A)称做A、B的对称差。记做A△B。实际上它就是那些只属于A或只属于B的元素组成的集合。
　　同样从以上概念定义可以推导出集合“减法”运算的一些性质：
　　6. 如果A(B，那么A-B=φ
　　7. (A-B)∩C=(A∩C)-(B∩C) （“减法”的分配律）
　　8. (C-A)-B=C-(A∪B)
　　9. A∪B = (A△B)∪(A∩B)
　　以上只是集合的一些基本概念定义。下面来定义集合的映射：
　　(11)设A、B是两个非空集，如果存在一个规则ψ，使得对于A中的任何一个元素x，按照规则ψ，在B中有一个确定的元素y与之对应，那么称这个规则ψ是从A到B的映射。元素y称做元素x（在映射ψ下）的象。记做y=ψ(x)。
　　(12)对任一个固定的y，称适合关系y=ψ(x)的x全体为y（在映射ψ之下）的原象。集合A称作映射ψ的定义域，ψ(A)称作映射ψ的值域。注意ψ(A)不一定等于B，只能说它一定是B的子集。
　　(13)如果ψ(A)=B，那么称ψ是 A到B上的 映射，又称为A到B的满射。
　　特别地，如果A、B都是实数或复数集，那么ψ就是我们高中时候学过的所谓函数了。所以函数不过是集合论中的一个特例罢了。
　　下面要讲讲一一对应（这些概念都跟函数中概念类似）。
　　(14)设ψ是 A到B中的 映射，若对每一个属于ψ(A)值域的y，A中只有一个元素x满足ψ(x)=y，那么称ψ是可逆映射或一对一的映射，或单射。
　　换句话说，对A中任意两个元素x1，x2，当x1不等于x2时，必然有ψ(x1)不等于ψ(x2)，那么ψ就是 A到B的 可逆映射。
　　(15)设ψ是 集A到集B上的 可逆映射，那么称ψ为A到B的一一对应或双射。
　　也就是，如果ψ是A到B的一一对应，意味着对于A中任何一个元素a，有唯一的b=ψ(a)，且对B中的每一个元素b，必在A中有唯一的元素a，适合ψ(a)=b。
　　这里尤其要注意“A到B中的(或A到B的)可逆映射”跟“A到B上的可逆映射”的区别。否则容易将可逆映射跟一一对应搞混。相信高中时候专心记笔记的人还有印象吧，因为讲函数的时候，这个中跟上的区别仍然会强调的。
　　例如，假设ψ是A到B中的可逆映射，那么或许在B中还存在某个元素y，它是无法由ψ来从A中任何一个元素对应过来的。但如果ψ是A到B上的一一对应，那么这样的y是不存在的。
　　对等的概念。
　　(16)设A、B是两个集，如果存在一个A到B的一一对应，那么称集A与集B对等（或相似），记为A～B，规定空集跟自身对等。
　　接下来，集合的势的概念快要出来了。而对等的概念是我们建立势的理论从而对集合进行比较的基础。
　　例如，正偶数集合和自然数集，ψ:n-&2n，即可使得两集合之间建立一一对应，因此他们是对等的。
　　显然，对等具有以下性质：
　　10. A～A，对等的自反性
　　11. 若A～B，那么B～A，对等的对称性
　　12. 若A～B，B～C，则A～C，对等的传递性
　　刚才已经强调过，若ψ是A到B中的可逆映射，ψ未必是A到B的一一对应。但我们知道ψ实现了A到值域ψ(A)的一一对应。因此A与B的子集ψ(A)对等。
　　如果A与B的子集对等，而B又与A的子集对等，那么可以证明A、B是对等的。这个定理叫伯恩斯坦(Bernstein)定理。
　　好了，前面这些概念和定理都是在做铺垫，现在我们要正式开始进行集合个数的比较了。
　　集论最初的一个基本课题就是研究元素个数有多少的问题，我们称之为集的势论。
　　关于事物的多或少是很普通的概念，例如，问：某班学生人数与教室的凳子数哪个多？最笨但也最显然的方法是规定每个学生都去坐在凳子上，而且一个学生只能坐一张凳子。最后，如果有学生没坐到凳子，那么便是学生多。如果最后有凳子空着，那么便是凳子多。
　　所以，类比上面这样的方法，我们引入以下这个定义：
　　设A、B是两个集。
　　(1)如果A和B对等，那么称A和B具有相同的势（或基数）。记集A的势为P(A)（其实正确的写法是A上面两横，因为无法打出这样的符号，就以P(A)代替，不影响讨论）。A和B具有相同的势时，记为P(A)=P(B)。
　　(2)如果A对等于B的某个子集B1，那么称A的势小于或等于B的势，记为P(A)
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相关问答：5道趣味数学题，最后一道让人泪崩!
很多家长在辅导孩子做作业的时候，总是会遇到一些让人哭笑不得的题目。尤其是一些数学题，看起来很简单，但是连家长也做不对。更让人吃惊的是，一些大学数学教授看到这些小学生做的数学题，也近乎是处于奔溃的边缘。
今天，我们不讨论这些题目是否有存在的价值和意。我专门搜集了5道充满趣味性的数学题，有难有易，不妨和孩子一起见识一下，反正，最后一道题是绕晕了不少人!
第一道题是心算题，很多人会把答案算成5100，其实正确答案是4100，不信就拿计算机算一算？
二 燃烧的蜡烛。关于蜡烛的题型近几年出现的频率也比较高，看起来简单，实际难度不小。
正确答案剩下5支蜡烛。请注意题目问了“最后”！“最后”3支蜡烛都燃烧完了，只剩下被吹灭的5支蜡烛。因此提醒大家做这类题的时候要格外的认真，仔细。
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很多时候，随着年龄的增长以及接受知识的增多，孩子的思维模式会被固定下来。正如以上这道题，知道答案之后4=1 的你，会不会觉得自己有时候想太多了!
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喝水问题的设置也比较贴近生活，所以孩子们做起相关题型来会不会更加得心应手呢? 然而事实并非是这样的。
此题的答案是27瓶水。 由题可知3个人1天喝1瓶水，那么3个人9天喝9瓶水，9个人9天喝3×9=27瓶水。
五古诗数学题
个人觉得这道题型十分有意思。
不知道你做对了几道题呢?其实最终的测试结果并不重要，很多时候，会了一道题并不代表什么，毕竟，学习要的是技巧，而不仅只是一个固定的答案，要知道思维的开发更加重要!
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