高数关于连续函数证明题一道【数学吧】_百度贴吧
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高数关于连续函数证明题一道收藏
证明：若f(x,y)分别对每一变量x,y是连续的，并且对其中的一个是单调的。则f(x,y)是二元连续函数
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这道题有助于理解连续性和极限的概念。是数学专业的题，有人挑战否？诚问
欢迎交流：)
|f(x,y)-f(x0,y0)|&|f(x,y)-f(x0,y)|+|f(x0,y)-f(x0,y0)|&e+e&2e这样错在哪呢
这就是这道题的神奇所在，而且我可以给你一个反例：f(x,y)=xy/(x^2+y^2) 当(x^2+y^2)!=0;f(x,y)=0 当x^2+y^2=0时。该函数在(0,0)没极限，因此不连续，但这个函数无论对x还是y作为一元函数都是连续的。
事实上，你可以取y=2，mathematica给出的图像是：
楼上是我给的例子的三维图像
展会时间:11月7日-11日 会议地点:上海青浦区崧泽大道333号国家会展中心
我问的是那样错在哪，而不是要反例。
太久没碰反应迟钝了。
对，这才是我要的答案。f(x,y) 对 x 连续不能保证能对任意的 y 找到一个通用的 d(e)
画额浦西隆网，结果就出来了
单调的条件拿来作何？
打完桥牌我写一下
差点忘了刚才只顾着看小朋友发火了。。
不妨假设对y单调当OM，ON充分小的时候|f（M）-f（O）|＜e|f（N）-f（O）|＜e再由f对x的连续性知道|f（A）-f（M）|＜e|f（B）-f（M）|＜e在AB和CD之间使用单调性既得结论
今天遇到这道题了，求楼主的详细解答，实在是不会做
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一道关于函数连续性的证明题设y=f(x)在开区间I=（a,b）上连续并严格单调,证明：y=f(x)的值域f(I)也是一个开区间.
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令s=lim f(x),t=lim f(x)用介值定理往证 f(I)=(s,t)里有可能s,t是“无限数”的情况.不用谢!
你上面说的我自己也想到了，但是请问用介值定理怎么证明？
不妨设f是单增的。
则lim f(x) 要么收敛，要么趋于-∞。这里先对收敛的情况讨论令s=lim f(x)
同理 t=lim f(x) 要么收敛，要么趋于+∞.同样对 对收敛的情况讨论令t=lim f(x)
我来证 f(I)=(s,t)
取c∈f(I),即 存在 x∈(a,b),c=f(x)，由单调性，必有 s<f(x)<t
这说明 c∈(s,t)
即 左包含于右
取 q∈(s,t), 那么由s=lim f(x)，则存在m∈(a,b),使得 |f(m)-s|<q-s
即 2s-q< f(m) <q
同样方法可以找到n∈(a,b),使得 |f(n)-t|q
由介值定理，f(x)在[m,n]上可以取遍 f(m),f(n)之间的所有数，而q正好在其间。
即存在 y∈[m,n],f(y)=q
这说明q∈左
于是右边是左边的子集
于是相等。
对于趋于无穷的情况，用前面的方法，稍作修改，可以得结论
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提示：令s=lim f(x), t=lim f(x)用介值定理往证 f(I)=(s,t)这里有可能s,t是“无限数”的情况。详细说明一下，谢谢不妨设f是单增的。
则lim f(x) 要么收敛，要么趋于-∞。这里先对收敛的情况讨论令s=lim f(x)
同理 t=lim f(x) 要么收敛，要么趋于+∞.同样对 ...
不妨设f是单增的。
则lim f(x) 要么收敛，要么趋于-∞。这里先对收敛的情况讨论令s=lim f(x)
同理 t=lim f(x) 要么收敛，要么趋于+∞.同样对 对收敛的情况讨论令t=lim f(x)
我来证 f(I)=(s,t)
取c∈f(I),即 存在 x∈(a,b),c=f(x)，由单调性，必有 s<f(x)<t
这说明 c∈(s,t)
即 左包含于右
取 q∈(s,t), 那么由s=lim f(x)，则存在m∈(a,b),使得 |f(m)-s|<q-s
即 2s-q< f(m) <q
同样方法可以找到n∈(a,b),使得 |f(n)-t|q
由介值定理，f(x)在[m,n]上可以取遍 f(m),f(n)之间的所有数，而q正好在其间。
即存在 y∈[m,n],f(y)=q
这说明q∈左
于是右边是左边的子集
于是相等。
对于趋于无穷的情况，用前面的方法，稍作修改，可以得结论
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高数 下册 有关连续性证明的习题同济第六版 P63页(希望看过这题的老师或同学帮我解答下,所以就没写题目,请谅解) 第十题答案中为什么|F（x,y）-F（x0,y0）|=|f（x）-f（x0）|也就是为什么二元函数两点的距离仍然是只带入x值的一元函数的两点之间的距离,题设中是把y看成不变量来把函数当作一元函数开证明在x0处连续的,难道后面的仍要将y看作不变量来研究吗,可这是研究在(x0,y0)处的连续性呀,我真的想不通了,
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额额,因为要证明连续,所以证明|F（x,y）-F（x0,y0）|=|f（x）-f（x0）|就可以了,可以理解为因为是无限接近的,所以y=y0,这个时候就当做一元函数来证明了.
我终于知道了，原来我一直都没读懂提，题目中给的函数本来就是一元函数，和例题中是基本一模一样的，谢谢你帮我
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