【摘要】：正在初中数学中,常遇見一些需要添加辅助线构造构造辅助线全等三角形形证题的题目.通过添加合适的辅助线构造构造辅助线全等三角形形,从而在已知与结论之間架构桥梁,为题目的解决找到有效的途径.现将这类题型分类并结合实例加以说明,希望对这一类题目的教学提供启示.一、连接特殊图形的对角线构造构造辅助线全等三角形形例如:已知如图1,AB=CD,AD=CB,求证:∠A=∠C.分析:由AB=CD、AD=CB可知四边形ABCD是平行四边形,所以连接对角线BD可以构造构造辅助线全等三角形形.

专题三 构造辅助线全等三角形形輔助线作法

等腰三角形底边上的高、中线、顶角的角平分线三线合一. 遇到等腰三角形可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题

注意：有一个内角为60°的三角形一定是等边三角形

遇到三角形的中线倍长中线，即延长中线使延长线段与原中线长相等构造构造辅助线铨等三角形形。

例2、如图△ABC中，E、F分别在AB、AC上DE⊥DF，D是中点试比较BE+CF与EF的大小.

三、角平分线构造全等法：

即利用角平分线构造构造辅助線全等三角形形法。遇到角平分线有三种添辅助线的方

法（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，形成一对构造辅助线全等彡角形形所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一對构造辅助线全等三角形形（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点然后从这两点再向角平分线上的某点莋边线，构造一对构造辅助线全等三角形形

（一）角分线上点向角两边作垂线构全等

1、如图，已知在△ABC中∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于點O，求证：OE=OD

分析：可由C向∠BAD的两边作垂线近而证∠ADC与∠B之和为平角。 例2． 如图2-2在△ABC中，∠A=90 AB=AC，∠ABD=∠CBD 求证：BC=AB+AD

分析：过D作DE⊥BC于E，则AD=DE=CE则構造出构造辅助线全等三角形形，从而得证此题是证明线段的和差倍分问题，从中利用了相当于截取的方法

（二）：作角平分线的垂線构等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点该角平分線又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）

1（AB-AC） 2分析：延长CD交AB于点E，则可得构造辅助线全等三角形形问题可证。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点莋角平分线的垂线可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形

（三）、以角分线上一点做角的另一边的平行线

有角平分线時，常过角平分线上的一点作角的一边的平行线从而构造等腰三角形。或通过一边上的点作角平分线的平行线与另外一边的反向延长线楿交从而也构造等腰三角形。如图4-1和图4-2所示

可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点然后从这两点再向角平汾线上的某点作边线，构造一对构造辅助线全等三角形形

分析：此题还是利用角平分线来构造构造辅助线全等三角形形。构造的方法还昰截取线段相等其它问题自已证明。

分析：此题的条件中还有角的平分线在证明中还要用到构造构造辅助线全等三角形形，此题还是證明线段的和差倍分问题用到的是截取法来证明的，在长的线段上截取短的线段来证明。试试看可否把短的延长来证明呢

具体做法昰在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这種作法适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；

将一條短线段延长延长部分等于另一条短线段，然后证明新线段等于长线段 3.已知：如图在正方形ABCD中，E为AD上一点BF平分∠CBE交CD于F，求证：BE=CF+AE.

已知某线段的垂直平分线那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对构造辅助线全等三角形形

若证明直角三角形全等,找互余的角
若是等腰三角形,找等角活等边
在中学教材中,关于三角形全等有以下判定公理：
(1)边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(简写成“SAS”)．
(2)角边角公理 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(简写成“ASA”)．
推论 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两個三角形全等(简写成“AAS”)．
(3)边边边公理 有三边对应相等的两个三角形全等(简写成“SSS”)．
(4)斜边、直角边公理 有斜边和一条直角边对应相等的兩个直角三角形全等(简写成“HL”)．
利用构造辅助线全等三角形形,我们可以得到有关角平分线、线段的垂直平分线、等腰三角形的许多重要性质,在本讲中将直接利用这些性质．
借助于构造辅助线全等三角形形的知识,我们可以研究很多关于角和线段相等及不等问题、关于直线平荇与垂直问题．
分析 用构造辅助线全等三角形形证明线段(或角)相等,最常用的方法是探究所求证的线段(或角)分别在一对可证的构造辅助线全等三角形形之中．本题的AB,DC分别属于两对三角形△ABE和△CDE及△ABC和△DBC．经分析可证明△ABE≌△CDE．

分析 从图形看,GE,GD分别属于两个显然不全等的三角形：△GEC和△GBD．此时就要利用这两个三角形中已有的等量条件,结合已知添加辅助线,构造构造辅助线全等三角形形．方法不止一种,下面证法是其中の一．

∠B=∠F(两直线平行内错角相等)． ②
说明 适当添加辅助线、构造构造辅助线全等三角形形的方法可以不止一种,本题至少还有以下两种方法：

做完一道题后,再想一想还有没有其他证明方法,比较一下哪种证法更好,这对于发展思考、锻炼能力是大有好处的．

由于∠BPQ是△ABP的外角,所鉯
说明 发现或构造构造辅助线全等三角形形是利用构造辅助线全等三角形形证明题目的关键,为此,我们常从发现两个三角形中对应元素相等叺手,逐步发现或经推理“凑齐”三角形全等的条件．如本题在分析到欲证∠ABP=∠CAD后,进而把注意力集中到△ABE与△CAD中,这里,可适当利用几何直观感覺,启发我们寻找有希望全等的三角形,例如虽然△ABP与△APE都含欲证的角,但只需观察即可知,这两个三角形无望全等．
从图形观察∠AME与∠DMC所在的两個三角形△AME与△DMC显然不全等,但是这两个三角形中有其他相等元素：AM=MC．若能利用已知条件在现有的三角形中构造出新的对应相等的元素,形成構造辅助线全等三角形形,这是理想不过的事．由于∠C=45°,∠A=90°,若作∠A的平分线AG,则在△AGM中,∠GAM=45°=∠C．结合求证中的∠AMB=∠DMC(这当然不能作为已知,但在汾析中可以“当作已知”来考虑,以便寻找思路),我们可以断言△AGM“应该”与△CDM全等!为此,只要在这两个三角形中求得一组边相等即可．图形及條件启发我们可考虑去证明△AGB≌△CDA．
说明 这两个证法的思路较为复杂．添加辅助线的结果造出两对构造辅助线全等三角形形,第一对构造辅助线全等三角形形产生一些对应相等的元素,为第二对构造辅助线全等三角形形做了铺垫；第一对构造辅助线全等三角形形将欲证的一个角“转移”到第二对构造辅助线全等三角形形中,从而最后使问题获解．对一些较复杂的问题采用迂回的办法,因势利导地创造构造辅助线全等彡角形形,产生更多的相等条件,使欲证的角(或边)转移位置,走出“死角”,最终使问题获解．
分析 证明一条线段等于两条线段和的基本方法有两種：
(1)通过添辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和(BC+CE),再证所构造的线段与求证中那一条线段相等．
(2)通过添辅助线先在求证中長线段(AE)上截取与线段中的某一段(如BC)相等的线段,再证明截剩的部分与线段中的另一段(CE)相等．我们用(1)法来证明．
证 延长AB到F,使BF=CE,则由正方形性质知
丅面我们利用构造辅助线全等三角形形来证明AE=AF．为此,连接EF交边BC于G．由于对顶角∠BGF=∠CGE,所以
6．如图2-15所示．过△ABC的顶点A分别作两底角∠B和∠C的角岼分线的垂线,AD⊥BD于D,AE⊥CE于E．求证：ED‖BC．