第一讲 数列极限 上、下确界 1、定義： 1）设若，则称M是数集S的一个上界这时称S上有界；若，则称L是数集S的一个下界这时称S下有界；当S既有上界又有下界时就称S为有界數集。 2）设若，且则称M是数集S的上确界，记；若且，则称L是数集S的下确界记。 2、性质： 1）（确界原理）设，若S有上界则S有上確界；若S有下界，则S有下确界 2）当S无上界时，记；当S无下界时记。 3） 4）。 5） 6）。（武大93） 7）设是D上的有界函数则 3、应用研究 1）設为一个正无穷大数列，E为的一切项组成的数集试证必存在自然数p，使得（武大94） 二、数列极限 1、定义： 1），称为收敛数列； 2）称為数列； 3），称为数列； 4）称为数列； 5），称为无穷小数列； 2、性质 1）唯一性：若 2）有界性：若为收敛数列，则为有界数列 3）保号性： 4）保不等式性：若 5）迫敛性：若 6）四则运算：若则 。 7）Stolz定理：设为严格增的数列若存在，则 证明： （1），则（用归纳法证明） ， ； （2）设，由（1）得又，所以又因为，从而 3、极限存在条件： 1）（Cauchy收敛准则）收敛的充要条件是； 2）（单调有界收敛原理）若单調增上有界则收敛，且；若单调减下有界则收敛，且； 3）（致密性定理）有界数列必有收敛子列 4）收敛的充要条件是 4、子列：称为嘚子列： 1）收敛的充要条件是的任何子列都收敛； 2）存在都存在，且； 3）满足至多有限项满足有无穷多项，称A为的上极限；满足至多有限项满足有无穷多项，称B为的下极限；存在 （1）； （2）； （3）； （4） 三、应用研究 1、设，证明存在 证：令 ， 从而． ２、证明存在並求其值。 证明：显然。若则， 从而，由得从而， 若由，得则，总之有即 3、，求证： （武大00） 证明：，若，则从而存在，在取极限得，所以 4、设，如果数列收敛计算其极限，并证明数列 收敛于上述极限（武大99） 证明：由，可归纳证得：从而嘟存在，令由，取极限得所以数列 收敛，且 5、设数列有一子列收敛且及都有无穷个元，而及都为单调数列问上否收敛？为什么（武大98） 证明：1）单调数列若有收敛子列，则本身收敛： 2）由1）知及都收敛又因为，故收敛 6、设，且证明数列中存在一子序列是收斂的子序列。（武大97） 7、设令，证明（武大96） 8、设无上界，证明存在子序列使得。（武大95） 9、设证明极限存在并求极限.（北大02） 证奣：易知当时，单调增；当时单调减，从而极限存在令，在两边取极限得再由得。 10、求极限.（北大01） 解：当时，；当时；当時， 11、设在点右导，求极限.（北大01） 解： 12、.（北大98） 13、证明： （1）为递减数列：（用） （2） （华东师大00） 14、设中数列，满足其中,证明： 若有界则有界； 若收敛，则收敛（清华01） 证明：（1）设，由于从而。 （2）设 15、（1）用语言证明：。 （2）设函数在点可导且。求： （3）求极限 ，其中（清华00） 16、求极限（清华99） 17、设，证明 （上海交大04） 证明 由Stolz公式。 18、设(为已知)求.（南京大学00） 19、求（浙大01） 20、试证：单调数列收敛到的充要条件是存在子列收敛到。（武汉所00） 1