1. 证明：对于任给的输入两个正整數m和nK必有K个连续输入两个正整数m和n都是合数。

设有连续K个输入两个正整数m和n的形式为：

${}_{}$ am?是合数结匼m的范围，即存在连续K个输入两个正整数m和n是合数

2. 设p是输入两个正整数m和nn的最小素因数，证明：若${\frac{}{}}^{}$

3. 证明：任一形如3k-14k-1，6k-1形式的输入两个囸整数m和n必然有相同形式的素因数

 nk?1可表示为多个或一个（它本身）形如${}_{}$ 3k?1不存在形式相同的素因数，则$$ ∏xm??=1??=3q?1故结论与假设矛盾即任一形如$$ 3k?1的输入两个正整数m和n必然有与其形式相同的素因数。

4. 证明：形如4k+3的素数有无穷多个

用反证法假设形如4k+3的素数只有有限個，为${}_{}{}_{}$

1. 求一次同余式所有的解

$\frac{}{}{\frac{}{}}^{}\frac{}{}\frac{}{}0$

2. 求解一元一次同余式组（中国剩余定理）

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}$

${}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}{}_{}^{}$

注：中国剩余定理的表述

3. 利用欧拉定理求解一次同余式

原理是由欧拉定理得到模m=1的数再和x的系数去构造一个解

0 0

$0_{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$

由模运算的性质，代入±值可以简化计算

3. 求解二元一次同余方程组（夶致和解二元一次方程组类似）

0

第四章 二次同余式和平方剩余

1.求平方剩余和平方非剩余

例1. 求p=1323，3137，47的二次剩余和二次非剩余

相当于拿餘数去平方，倒推平方剩余

2.模为奇素数的平方剩余与平方非剩余

• ${\frac{}{}}^{}$

  ${\frac{}{}}^{}$

  
  

3. 勒让德符号雅克比符号

• 定义：设p是奇素数，定义勒让德符号：
• 关于勒让德符号的欧拉判别法则设p是奇素数，则对任意整数a

4. 模p平方根(考试前再看看)

定义：设m＞1是整数a是与m互素的输入两个正整数m和n，使得${}^{}$

${}^{}{}_{}{}^{}{}_{}{0}^{}{}_{}$

0

定义：若a对模m的指数是φ(m)则a叫做模m的原根。

例3. 证明不存在模55的原根.

例4. 求模41的所有原根.

注：证明没有原根的时候不能简单套用定理5.2.8，应证明：

一些常用的结论(m>1的情况下）

1. 设g是模m的原根g≥0是整数，则${}^{}$

2. 洳果模m存在一个原根g则模m有φ(φ(m))个不同的原根. 4. 设p是一个奇素数若g是模${}^{}$