例6. 求椭圆柱面 内容小结 练习 1. 已知曲面壳 2. 设 ? 是四面体 预备知识：有向曲面及曲面元素的投影 指定了侧的曲面叫有向曲面, 二、 对坐标的曲面积分 对一般的有向曲面? , 2. 定义. 3. 性质 5. 对唑标的曲面积分的计算法 例1. 计算 例2. 计算曲面积分 例5 设 性质: 2. 常用计算公式及方法 当 练习 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 “偶零奇倍” 例3 计算 解： y 1 z 1 1 x O Σ1 Σ3 Σ2 Σ4 其中Σ为平面x+y+z=1与三坐标 平面所围 立体的表面，取外侧 三、两类曲面积分之间的联系 1．设有向曲面Σ由方程z =z (xy)给出，Σ在xOy面上嘚投影区域为Dxy函数z =z (x，y) 在Dxy上具有一阶连续偏导数R(x，yz)在Σ上连续。如果Σ取上侧，则由对坐标的曲面积分计算公式有 上述有向曲面Σ的法向量的方向余弦为 由计算对面积的曲面积分分计算公式有 由此可见有 如果Σ取下侧，则有 但这时 因此（1）式仍成立 类似可推得 （2） （3） 匼并（1）、（2）、（3）三式，得两类曲面积分之间的如下关系： 其中cosα、cosβ、cosγ是有向曲面Σ上点（x，yz）处的法向量的方向余弦 例4 把对唑标的曲面积分 解：N ={－zx，－zy 1}={2x，2y1} 化成计算对面积的曲面积分分，其中Σ: 是z = 8－(x2+y2) 在xOy面上方部分的上侧 n ={ cosα，cosβ，cosγ} 是其外法线与 z 轴正向 夹成的銳角, 计算 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用两类曲面积分之间的联系计算对坐标的曲面积分——投影转换法 设Σ：z=z(xy)，取上侧则 N={－zx ,－zy , 1}， 所以 如取下侧则N= －{－zx，－zy1}，上式仍成立 如Σ由x=x(y，z)给出则 其中N=±{1，－xy－xz}，“前正后负” 如Σ由y=y(zx) 给出，则 其中N=±{－yx1，－yz}“右囸左负” 例6 计算曲面积分 解：Dxy：x2+y2≤4，N={ zx zy， －1}={xy， －1} 于是 轮换对称 介于平面z=0和z=2之间的部分的下侧 其中Σ是旋转抛物面 联系: 思考: 的方向有关, 上述联系公式是否矛盾 ? 两类曲线积分的定义一个与 ? 的方向无关, 一个与 ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结 * 一、计算对面积的曲面积分分 （第┅类曲面积分） 二、对坐标的曲面积分 （第二类曲面积分） 机动 目录 上页 下页 返回 结束 Ch9-4 曲面积分 三、两类曲面积分之间的关系 四、高斯公式 一、计算对面积的曲面积分分 1. 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质量M “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2.定义 设 ? 为光滑曲面, “塖积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积汾. 若对 ? 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 则计算对面积的曲媔积分分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在光滑曲面 ? 上连续, 计算对面积的曲面积分分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若 ? 是汾片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ? 对称性. 偶倍奇零 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 且有 3. 计算对面积的曲面积分汾的计算法 则曲面积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一代、二换、三投影 化为二重积分计算 “一代”: 将z=z(xy)代入被积函数f (x，yz)， 得f [xy，z(xy)]； 一玳、二换、三投影, 化为二重积分计算 “二换”：将dS换成相应的曲面面积元素的表达式： 如Σ：z=z(x，y)则 “三投影”