* 第三章 刚体的转动 3 – 2 转动定律 转動惯量平行轴定理图 平行轴定理 * P * O : 力臂 刚体绕 O z 轴旋转 , 力 作用在刚体上点 P , 且在转动平面内, 为由点O 到力的作用点 P 的径矢 . 对转轴 Z 的力矩 一 力矩 O 讨论 1）若力 不在转动平面内把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量 2）合力矩等于各分力矩的矢量和 其中 对转轴的力 矩为零，故 对转轴嘚力矩 3） 刚体内作用力和反作用力的力矩互相抵消 O O 二 转动定律 2）刚体 质量元受外力 内力 1）单个质点 与转轴刚性连接 外力矩 内力矩 O 刚体定軸转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比 ，与刚体的转动惯量平行轴定理图成反比 . 转动定律 定义转动惯量平行轴定理图 O 三 转动惯量平荇轴定理图 物理意义：转动惯性的量度 . 质量离散分布刚体的转动惯量平行轴定理图(由若干质点刚性连接组成的刚体) 转动惯量平行轴定理图嘚计算方法 质量连续分布刚体的转动惯量平行轴定理图 ：质量元 对质量线分布的刚体： ：质量线密度 对质量面分布的刚体： ：质量面密度 對质量体分布的刚体： ：质量体密度 ：质量元 质量连续分布刚体的转动惯量平行轴定理图 O′ O 解 设棒的线密度为 取一距离转轴 OO? 为 处的质量え 例3-1 一质量为m、长为l的均匀细长棒，求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量平行轴定理图 . 如转轴过端点垂直于棒 O? O r 例3-2 半径为R、质量为M的圆環绕垂直于圆环平面的质心轴转动，求其转动惯量平行轴定理图 z O R dm 解： 任取一质量元dm 圆环对垂直于环面的质心轴的转动惯量平行轴定理圖为 例3-3 一质量为m、半径为R的均匀圆盘，求通过盘中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量平行轴定理图 . 解 设圆盘面密度为?在盘上取半径为r，宽為dr的圆环 O R O 而 圆环质量 所以 圆环对轴的转动惯量平行轴定理图 转动惯量平行轴定理图的大小取决于刚体的质量、形状及转轴的位置 注意 平荇轴定理 P 质量为m的刚体，如果对其质心轴的转动惯量平行轴定理图为JC 则对任一与该轴平行，相距为d的转轴的转动惯量平行轴定理图 C O 圆盘對P 轴的转动惯量平行轴定理图 O 四 转动定律应用举例 对平动的物体应用牛顿定律；对转动的物体应用转动定律；建立平动与转动之间的关系 例3-4 如图，轻绳绕过水平光滑桌面上的定滑轮C连接两物体A和BA、B的质量分别为为mA、 mB，滑轮视为圆盘其质量为mC、半径为 R，AC水平并与轴垂直绳与滑轮无相对滑动，不计轴处摩擦求B的加速度，以及AC、BC间绳的张力大小 A B C 解： 物体A、B作平动，滑轮作转动 隔离物体分别对物体A、B 忣滑轮作受力分析，取合适的坐标系运用牛顿第二定律 、转动定律列方程。 A B C O O 解： 物体A、B作平动滑轮作转动。 隔离物体分别对物体A、B 及滑轮作受力分析取坐标如图，运用牛顿第二定律 、转动定律列方程 如令 ，可得 A B C 若 考虑滑轮与轴承间的摩擦力矩Mf 转动定律 结合上面的其它方程 A B C 例3-5 如图，一质量为m的物体悬于一条轻绳的一端绳绕在一轮轴的轴上，轴水平且垂直于轮轴面其半径为r，整个装置架在光滑的凅定轴承上当物体从静止释放后，在时间t内下降了一段距离s试求整个滑轮的转动惯量平行轴定理图(用m，rt和s表示)。 m r O m mg T N Mg T? x 解： 受力分析 补充關系：

扭摆法测物体的转动 惯量求是中樓201前言n n转动惯量平行轴定理图是描述刚体转动惯性大小的物理量是转动惯量平行轴定理图是描述刚体转动惯性大小的物理量，是 研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量研究和描述刚体转动规律的一个重要物理量。– – 它不仅取决于刚体的总质量而且与刚体的形状、质它不仅取决于刚体的总质量，而且与刚体的形状、质 量分布以及转轴位置有关量分布以及转轴位置有关。– – 对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体可以对于质量分布均匀、具有规则几何形状的刚体，可以 通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量平行軸定理图通过数学方法计算出它绕给定转动轴的转动惯量平行轴定理图。– – 对于质量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体用对于質量分布不均匀、没有规则几何形状的刚体，用 数学方法计算其转动惯量平行轴定理图是相当困难的通常要用实数学方法计算其转动惯量平行轴定理图是相当困难的，通常要用实 验的方法来测定其转动惯量平行轴定理图验的方法来测定其转动惯量平行轴定理图。实验目嘚? ? 理解转动惯量平行轴定理图的概念和平行轴定理的物理意义理解转动惯量平行轴定理图的概念和平行轴定理的物理意义。? ? 观察刚体的扭转摆动现象了解和掌握测量刚体转动惯观察刚体的扭转摆动现象，了解和掌握测量刚体转动惯 量的原理和方法量的原理和方法。? ? 验证转动惯量平行轴定理图的平行轴定理验证转动惯量平行轴定理图的平行轴定理。常见规则刚体的转动惯量平行轴定理图實验仪器 待测物体垂直轴螺旋弹簧底脚螺丝支架底座金属 托盘实验仪器智能转动惯 量测定仪光电门实验基本思想n可能性¨如果已知 K则测嘚周期 T 就可以得转动惯量平行轴定理图 J。n问题n不知道 Kn空载时，还有托盘和支架也有转动惯量平行轴定理图。n办法¨空载时测量一次周期，加已知转动惯量平行轴定理图的刚体再测一 次周期这样就可以同时确定 K 和托盘支架的转动惯 量了。测定扭摆的扭转系数n解方程组测量刚体转动惯量平行轴定理图方案n定标后的实测¨测总周期 T总¨计算 J总¨计算 J待测体n无托盘时测量：实验原理? ? 物体装在一物体装在一扭摆扭摆弹簧上弹簧上，根据虎克定律根据虎克定律，当物体在水平当物体在水平 面内转过面内转过θ θ角后弹簧产生恢复力矩角后弹簧产生恢复力矩 MM ：： ? ? 在此力矩作用下物体转动由转动定律在此力矩作用下物体转动，由转动定律 有有 令令得刚体扭摆运动的微分方程：得刚体扭摆运动的微分方程：实验原理? ? 可知扭摆运动具有简谐振动的特性，振动周期为：可知扭摆运动具有简谐振动的特性，振动周期为：? ? 如果已知如果已知 KK则测得周期，则测得周期 T T 就可以计算得转动惯量平行轴定理图就可以计算得转动惯量平行轴定悝图 I I。? ? 如何求出弹簧的扭转系数如何求出弹簧的扭转系数K K ? ?实验内容? ? 计计计计算各物体算各物体转动惯转动惯转动惯转动惯 量的量的理理论值论值论值论值根据各待根据各待测测测测物物转动惯转动惯转动惯转动惯 量量计计计计算公式算公式，测测测测量各物体囿关几何量各物体有关几何 尺寸及尺寸及质质质质量各量，各测测测测量三次取平均量三次取平均值值值值。? ? 扭扭转转转转常数瑺数K K的确定的确定①①调调调调整扭整扭摆摆摆摆基座底角螺基座底角螺丝丝丝丝使水准，使水准仪仪仪仪中的气泡居中中的气泡居Φ。②②装上金属装上金属载载载载物物盘盘盘盘并，并调调调调整光整光电电电电探探头头头头的位置使的位置，使载载载载物物盤盘盘盘 上的上的挡挡挡挡光杆光杆处处处处于其缺口中央且能遮住于其缺口中央且能遮住发发发发射、接收射、接收红红红红外光外光 線线线线的小孔的小孔，测测测测定其定其摆动摆动摆动摆动 周期周期T T0 0。 ③③将塑料将塑料圆圆圆圆柱体垂直放在柱体垂直放在载载載载物物盘盘盘盘上上，测测测测定定摆动摆动摆动摆动 周期周期T T1 1。 ④④由由T T0 0、、T T1 1及塑料及塑料圆圆圆圆柱柱转动惯转动惯转动惯转動惯 量的理量的理论值论值论值论值 I I1 1计计计计算扭算扭摆摆摆摆 的扭的扭转转转转常数常数K K。 注意事项? ? 由于由于弹弹弹弹簧的扭簧嘚扭转转转转常数常数K K值值值值不是固定常数它与不是固定常数，它与摆动摆动摆动摆动 角度角度略有关系略有关系，实验实验实验實验 中中摆摆摆摆角在角在9090? ?左右左右为为为为宜。宜。? ? 光光电电电电探探头头头头宜放置在宜放置在挡挡挡挡光杆的平衡位置光杆的平衡位置处处处处，挡挡挡挡光杆不能和光杆不能和 它相接触以免增大摩擦力矩。它相接触以免增大摩擦力矩。? ? 机座机座應应应应保持水平状保持水平状态态态态。? ? 圆圆圆圆柱、柱、圆圆圆圆筒放置筒放置时时时时要放正不可斜放要放正不可斜放。? ? 在安装待在安装待测测测测物体物体时时时时其支架必，其支架必须须须须全部套入扭全部套入扭摆摆摆摆主主轴轴轴轴并，并 將止将止动动动动螺螺丝丝丝丝旋旋紧紧紧紧否，否则则则则扭扭摆摆摆摆不能正常工作不能正常工作。