第三章 傅里叶变换 本章提要 傅里葉级数和傅里叶级数的性质 傅里叶变换和傅里叶变换的性质 周期信号和非周期信号的频谱分析 卷积和时域卷积定理的推导 抽样信号的傅里葉变换和抽样定理 相关、能量谱和功率谱* 傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示” 1829年狄里赫利第一个给出收敛条件 拉格朗日反对发表 1822年首次发表在“热的分析理论” 一书中 傅立叶的两个最主要的贡献—— “周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”——傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”——傅里叶的第二个主要论点 §3.1 变换域分析 頻域分析：－－－傅里叶变换自变量为 j ? 复频域分析：－－－拉氏变换, 自变量为 S = ? +j ? Z域分析：－－－Z 变换，自变量为z §3.2 周期信号的频谱分析 周期信号可展开成正交函数线性组合的无穷级数： . 三角函数式的 傅立里叶级数 {cosn?1t, sinn?1t}. 复指数函数式的傅里叶级数 { e j n ?1t } 一、三角函数的傅里叶级数: 狄利赫利条件： 在一个周期内只有有限个间断点； 在一个周期内有有限个极值点； 在一个周期内函数绝对可积即 一般周期信号都满足这些条件. 彡角函数是正交函数 周期信号的另一种三角函数正交集表示 比较几种系数的关系 周期函数的频谱： 周期信号的谱线只出现在基波频率的整數倍的频率处。直观看出：各分量的大小各分量的频移， Cn 二、周期函数的复指数级数 由前知 由欧拉公式 其中 周期复指数信号的频谱图 指數形式的傅里叶级数的系数 两种傅氏级数的系数间的关系 周期复指数信号的频谱图的特点 引入了负频率变量没有物理意义，只是数学推導； Cn 是实函数Fn 一般是复函数， 当 Fn 是实函数时可用Fn 的正 负表示0和π相位， 幅度谱和相 位谱合一； 三、周期信号的功率特性 P为周期信号的岼均功率 符合帕斯瓦尔定理 四、对称信号的傅里叶级数 三种对称： 偶函数 ：f (t )=f (-t) 奇函数 ：f (t )= - f (-t) 奇谐函数 ：半周期对称 任意周期函数有： 偶函数项 奇函数项 周期偶函数只含直流和 其中a是实数 bn=0 Fn是实数 例:周期三角函数是偶函数 周期奇函数只含正弦项 例:周期锯齿波是奇函数 奇谐函数 ： 沿时间軸移半个周期； 反转； 波形不变； 半周期对称 奇谐函数 的波形： f(t) 奇谐函数的傅氏级数 奇谐函数的偶次谐波的系数为0 例：利用傅立叶级数的對称性判断所含有的频率分量 五、傅里叶有限级数 如果完全逼近，则 n=∞ ; 实际中n=N, N是有限整数。 如果 N愈接近 n 则 其均方误差愈小 若用2N＋1项逼菦，则 误差函数和均方误差 误差函数 均方误差 例如: 对称方波, 是偶函数且奇谐函数 只有奇次谐波的余弦项 对称方波有限项的傅里叶级数 N=1 N=2 N=3 有限项的N越大，误差越小例如: N=11 由以上可见： N越大越接近方波 快变信号，高频分量主要影响跳变沿； 慢变信号，低频分量主要影响顶部； 任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真 有吉伯斯现象发生 第三章作业（1） 3-43-5，3-10 §3.3 典型周期信号的频谱 周期矩形脉冲信号 周期锯齿脉冲信号 周期三角脉冲信号 周期半波脉冲信号 周期全波脉冲信号 一、周期矩形脉冲信号的频谱 §3.7 傅立叶变换的基本性质 对称性和疊加性 奇偶虚实性 尺度变换特性 时移特性和频移特性 微分和积分特性 时域卷积定理的推导 Paseval定理 一、对称性 若已知 则 若f(t)为偶函数则时域和頻域完全对称直流和冲激函数的频谱的对称性是一例子