上勒贝格测度是赋予的子集一個、、或者的标准方法。它广泛应用于特别是用于定义。可以赋予一个体积的集合被称为勒贝格可测；勒贝格可测集A的体积或者说记作λ(A)一个值为∞的勒贝格测度是可能的，但是即使如此在假设成立时，Rⁿ的所有子集也不都是勒贝格可测的的“奇特”行为导致了这样嘚命题，它是选择公理的一个结果

• 如果A是一个区间[a, b]， 那么其勒贝格测度是区间长度b?a 开区间 (a, b)的长度与闭区间一样，因为两集合的差是零测集
• 是一个勒贝格测度为零的的例子。

Rⁿ 上的勒贝格测度有如下的性质

1. 如果 A 是个或个两两互不相交的勒贝格可测集的并那么A 也是勒贝格可测的，并且λ(A) 就是这些可测集的测度的和（或无穷级数的和）
2. 如果A 勒贝格可测的，那么它的补集（相对于Rⁿ ）也是可测的
3. 对于每个勒贝格可测集A，λ(A) ≥ 0
4. 如果A与B是勒贝格可测的，且A是B的子集那么λ(A) ≤ λ(B)。 (由 2, 3 及 4可得)
5. 可数多个是勒贝格可测集的交或者并仍然是勒贝格鈳测的。 (由23 可得)。
6. 如果A是一个或且是Rⁿ(甚至Borel集，见待补)的子集，那么 A 是勒贝格可测的
7. 如果A是一个勒贝格可测集，并有 λ(A) = 0 ()则 A 的任何┅个子集也是空集。
8. 如果A是勒贝格可测的，则关于的扩张（定义为）也是勒贝格可测的其测度为。
9. 更广泛地说设 T是一个 ，A是一个Rⁿ 的勒贝格可测子集则 T(A)也是勒贝格可测的，其测度为

简要地说，Rⁿ的勒贝格可测子集组成一个含所有区间及其笛卡尔积的σ代数，且λ是其上唯一的的、不变的、满足的测度

勒贝格测度是σ有限测度。

勒贝格测度的现代结构，基于是发明的。

固定中的盒子是形如的集合，其中这个盒子的体积定义为

对于任何Rⁿ的子集A，我们可以定义它的外测度：

是可数个盒子的集合它的并集覆盖了

然后定义集合A为勒贝格鈳测的，如果对于所有集合都有：

这些勒贝格可测的集合形成了一个。勒贝格测度定义为λ(A) = λ^*(A)对于任何勒贝格可测的集合A

根据，存在實数R的一个勒贝格不可测的子集如果A是的任何测度为正数的子集，那么A便有勒贝格不可测的子集