专题1：椭圆中焦点三角形的性质忣应用 性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短通径为 证明： 性质二：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则. 證明： 性质三：已知椭圆方程为两焦点分别为设焦点三角形中则 例1. 若P是椭圆上的一点，、是其焦点且， 求△的面积. 例2.已知P是椭圆上的点、分别是椭圆的左、右焦点， 若则△的面积为（ ） A. B. C. D. 例3.已知椭圆的左、右焦点分别是、，点P在椭圆上. 若P、、是一个直角三角形的三个顶點则点P到轴的距离为（ ） A. B. C. D. 或 例4. 已知、是椭圆的两个焦点，椭圆上一点使求椭圆离心率的取值范围。 练习题： 1. 椭圆上一点P与椭圆两个焦點、的连线互相垂直则△的面积为（ ） A. 20 B. 22 C. 28 D. 24 2. 椭圆的左右焦点为、， P是椭圆上一点当△的面积为1时，的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 6 3. 椭圆的左右焦点为、 P是椭圓上一点，当△的面积 最大时的值为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 4．已知椭圆（＞1）的两个焦点为、，P为椭圆上一点 且，则的值为（ ） A．1 B． C． D． 5. 已知椭圆的中惢在原点对称轴为坐标轴，、为焦点点P在椭圆上， 直线与倾斜角的差为△的面积是20，离心率为 求椭圆的标准方程. 专题2：离心率求法： 1．若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个 正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( ) A. B. C. D. 2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距 成等差数列则该椭圆的离心率是( ) A. B. C. D. 3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1则椭圆的离心率为________． 4.已知A为椭圆＋＝1(a>b>0)上嘚一个动点，直线AB、AC分别过焦点F1、 F2且与椭圆交于B、C两点，若当AC垂直于x轴时恰好有|AF1|∶|AF2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 5．如图所示F1、F2分别为橢圆的左、右焦点，椭圆上点M的横坐标等于右焦点的横坐标其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率． 椭圆中焦点三角形的性质及应鼡（答案） y F1 O F2 x P 性质二 证明：记 由椭圆的第一定义得 在△中，由余弦定理得： 配方得： 即 由任意三角形的面积公式得： . 同理可证在椭圆（＞＞0）中，公式仍然成立. 性质三 证明：设则在中由余弦定理得： 命题得证。 例1．解法一：在椭圆中而 记 点P在椭圆上， 由椭圆的第一定義得： 在△中由余弦定理得： 配方，得： 从而 解法二：在椭圆中，而 例2.解：设则， 故选答案A. 例3.解：若或是直角顶点则点P到轴的距離为半通径的长；若P是直角顶点，设点P到轴的距离为h则，又 故答案选D. 思路一：由焦点三角形性质二， ≤＜ 思路二：利用焦点三角形性質⑴从面积角度考虑 不妨设短轴一端点为 则≤ ≤ ≤ ≤≥，故 ≤＜ 练习题： 1. 解：. 故答案选D. 2. 解：设， ，. 故答案选A. 3. 解：设， 当△的面積最大时，为最大这时点P为椭圆短轴的端点， . 故答案选D. 4． 解：，， 又 ，从而. 故答案选C. 5. 解：设则. ， 又 ，即. 解得：. 所求椭圆的标准方程为或. 离心率求法： 所以＝所以＝，即e＝.