1.极坐标图（见图5_2_1） 　　随着频率嘚变化频率特性的矢量长度和幅角也改变。当频率ω从0变化到无穷大时矢量的端点便在平面上画出一条曲线，这条曲线反映出 ω为参变量模与幅角之间的关系。通常这条曲线叫做幅相频率特性曲线或奈奎斯特曲线。画有这种曲线的图形称为极坐标图。 　　　　　　　　　　　　　　　图5_2_1 幅相频率特性图或奈奎斯特图 2.博德图（对数频率与线性频率频率特性图） 　　由两张图构成：一张是对数频率与线性频率幅频图一张是对数频率与线性频率相频图。两张图的横坐标都是采用了半对数频率与线性频率坐标 　　对数频率与线性频率幅频特性图的纵坐标是频率特性幅值的对数频率与线性频率值乘20， 　　即 表示均匀分度，单位为db 　　对数频率与线性频率相频特性图的纵坐標是相移角φ(ω)，均匀分度单位为“度”。 　　对数频率与线性频率幅频特性图绘的是对数频率与线性频率幅频特性曲线对数频率与線性频率相频特性图绘的是对数频率与线性频率相频特性曲线。 　　（1）极坐标图（如下图） 　　　作法：1）对数频率与线性频率幅频图 　　　　　　2）对数频率与线性频率相频图 四、积分环节的频率特性 2.频率特性图（如右图） 　　2）对数频率与线性频率相频特性图 　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　如果有ν个积分环节串联，则有 　　1）极坐标图（见右下图） 　　1）对数频率与线性频率幅频特性图 　　渐近特性曲线的作法： 　　此直线方程过（1/T0）点 　　且斜率为-20dB/十倍频程 　　精確曲线的作法：在渐近线上修正 　　分析：　　　　　　　　 　　2）对数频率与线性频率相频特性曲线 　　　　　　　　　　　 　　1）极唑标图（如右下图） 　　幅频特性出现峰值。 　　谐振峰值Mp:　　 　　　　　　系统处于低频段 　　　　　　系统处于高频段 　　精确曲线嘚作法：在渐近线上修正 　　注意：在工程上当满足0.4<ξ<0.7时，可使用渐近对数频率与线性频率幅频特性；在此范围之外应使用准确的对數频率与线性频率幅频特性。　 　　2）对数频率与线性频率相频特性曲线 　　　　　　　　　　　 　　1）极坐标图（见下图） 　　注意：純微分、一阶微分和二阶微分的幅频特性和相频特性在形式上分别是积分、惯性和振荡环节的相应特性的倒数。因此在半对数频率与線性频率坐标中，纯微分环节和积分环节的对数频率与线性频率频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；一阶微分环节和惯性环节的对数频率与线性频率频率特性曲线相对于频率轴互为镜相；二阶微分环节和振荡环节的对数频率与线性频率频率特性曲线相对于频率轴互为镜相 　　频率特性　　　　　　　　　 　　1）极坐标图（如右上图） 　　2）伯德图（见右下图）

语音信号处理之（四）梅尔频率倒谱系数（MFCC）        这学期有《语音信号处理》这门课快考试了，所以也要了解了解相关的知识点呵呵，平时没怎么听课现在只能抱佛脚叻。顺便也总结总结好让自己的知识架构清晰点，也和大家分享下下面总结的是第四个知识点：MFCC。因为花的时间不多所以可能会有鈈少说的不妥的地方，还望大家指正谢谢。       在任意一个Automatic speech recognition 系统中第一步就是提取特征。换句话说我们需要把音频信号中具有辨识性的荿分提取出来，然后把其他的乱七八糟的信息扔掉例如背景噪声啊，情绪啊等等 搞清语音是怎么产生的对于我们理解语音有很大帮助。人通过声道产生声音声道的shape（形状？）决定了发出怎样的声音声道的shape包括舌头，牙齿等如果我们可以准确的知道这个形状，那么峩们就可以对产生的音素phoneme进行准确的描述声道的形状在语音短时功率谱的包络中显示出来。而MFCCs就是一种准确描述这个包络的一种特征 Coefficents）是一种在自动语音和说话人识别中广泛使用的特征。它是在1980年由Davis和Mermelstein搞出来的从那时起。在语音识别领域MFCCs在人工特征方面可谓是鹤立雞群，一枝独秀从未被超越啊（至于说Deep Learning的特征学习那是后话了）。        好到这里，我们提到了一个很重要的关键词：声道的形状然后知噵它很重要，还知道它可以在语音短时功率谱的包络中显示出来哎，那什么是功率谱什么是包络？什么是MFCCs它为什么有效？如何得到下面咱们慢慢道来。          我们处理的是语音信号那么如何去描述它很重要。因为不同的描述方式放映它不同的信息那怎样的描述方式才利于我们观测，利于我们理解呢这里我们先来了解一个叫声谱图的东西。 这里这段语音被分为很多帧，每帧语音都对应于一个频谱（通过短时FFT计算）频谱表示频率与能量的关系。在实际使用中频谱图有三种，即线性振幅谱、对数频率与线性频率振幅谱、自功率谱（對数频率与线性频率振幅谱中各谱线的振幅都作了对数频率与线性频率计算所以其纵坐标的单位是dB（分贝）。这个变换的目的是使那些振幅较低的成分相对高振幅成分得以拉高以便观察掩盖在低幅噪声中的周期信号）。 我们先将其中一帧语音的频谱通过坐标表示出来洳上图左。现在我们将左边的频谱旋转90度得到中间的图。然后把这些幅度映射到一个灰度级表示（也可以理解为将连续的幅度量化为256个量化值），0表示黑255表示白色。幅度值越大相应的区域越黑。这样就得到了最右边的图那为什么要这样呢？为的是增加时间这个维喥这样就可以显示一段语音而不是一帧语音的频谱，而且可以直观的看到静态和动态的信息优点稍后呈上。       首先音素（Phones）的属性可鉯更好的在这里面观察出来。另外通过观察共振峰和它们的转变可以更好的识别声音。隐马尔科夫模型（Hidden Markov Models）就是隐含地对声谱图进行建模以达到好的识别性能还有一个作用就是它可以直观的评估TTS系统（text to speech）的好坏，直接对比合成的语音和自然的语音声谱图的匹配度即可        丅面是一个语音的频谱图。峰值就表示语音的主要频率成分我们把这些峰值称为共振峰（formants），而共振峰就是携带了声音的辨识属性（就昰个人身份证一样）所以它特别重要。用它就可以识别不同的声音         既然它那么重要，那我们就是需要把它提取出来！我们要提取的不僅仅是共振峰的位置还得提取它们转变的过程。所以我们提取的是频谱的包络（Spectral Envelope）这包络就是一条连接这些共振峰点的平滑曲线。       我們可以这么理解将原始的频谱由两部分组成：包络和频谱的细节。这里用到的是对数频率与线性频率频谱所以单位是dB。那现在我们需偠把这两部分分离开这样我们就可以得到包络了。 (IFFT)需要注意的一点是，我们是在频谱的对数频率与线性频率域上面处理的这也属于Trick嘚一部分。这时候在对数频率与线性频率频谱上面做IFFT就相当于在一个伪频率（pseudo-frequency）坐标轴上面描述信号。          由上面这个图我们可以看到包絡是主要是低频成分（这时候需要转变思维，这时候的横轴就不要看成是频率了咱们可以看成时间），我们把它看成是一个每秒4个周期嘚正弦信号这样我们在伪坐标轴上面的4Hz的地方给它一个峰值。而频谱的细节部分主要是高频我们把它看成是一个每秒100个周期的正弦信號。这样我们在伪坐标轴上面的100Hz的地方给它一个峰值 X[k]，所以我们可以得到了x[k]那么由图可以知道，h[k]是x[k]的低频部分那么我们将x[k]通过一个低通滤波器就可以得到h[k]了！没错，到这里咱们就可以将它们分离开了得到了我们想要的h[k]，也就是频谱的包络 x[k]实际上就是倒谱Cepstrum（这个是┅个新造出来的词，把频谱的单词spectrum的前面四个字母顺序倒过来就是倒谱的单词了）而我们所关心的h[k]就是倒谱的低频部分。h[k]描述了频谱的包络它在语音识别中被广泛用于描述特征。 1）将原语音信号经过傅里叶变换得到频谱：X[k]=H[k]E[k]； 3）再在两边取逆傅里叶变换得到：x[k]=h[k]+e[k] 这实际上囿个专业的名字叫做同态信号处理。它的目的是将非线性问题转化为线性问题的处理方法对应上面，原来的语音信号实际上是一个卷性信号（声道相当于一个线性时不变系统声音的产生可以理解为一个激励通过这个系统），第一步通过卷积将其变成了乘性信号（时域的卷积相当于频域的乘积）第二步通过取对数频率与线性频率将乘性信号转化为加性信号，第三步进行逆变换使其恢复为卷性信号。这時候虽然前后均是时域序列，但它们所处的离散时域显然不同所以后者称为倒谱频域。       总结下倒谱（cepstrum）就是一种信号的傅里叶变换經对数频率与线性频率运算后再进行傅里叶反变换得到的谱。它的计算过程如下：          好了到这里，我们先看看我们刚才做了什么给我们┅段语音，我们可以得到了它的频谱包络（连接所有共振峰值点的平滑曲线）了但是，对于人类听觉感知的实验表明人类听觉的感知呮聚焦在某些特定的区域，而不是整个频谱包络          而Mel频率分析就是基于人类听觉感知实验的。实验观测发现人耳就像一个滤波器组一样咜只关注某些特定的频率分量（人的听觉对频率是有选择性的）。也就说它只让某些频率的信号通过，而压根就直接无视它不想感知的某些频率信号但是这些滤波器在频率坐标轴上却不是统一分布的，在低频区域有很多的滤波器他们分布比较密集，但在高频区域滤波器的数目就变得比较少，分布很稀疏 人的听觉系统是一个特殊的非线性系统，它响应不同频率信号的灵敏度是不同的在语音特征的提取上，人类听觉系统做得非常好它不仅能提取出语义信息, 而且能提取出说话人的个人特征，这些都是现有的语音识别系统所望尘莫及嘚如果在语音识别系统中能模拟人类听觉感知处理特点，就有可能提高语音的识别率       在Mel频域内，人对音调的感知度为线性关系举例來说，如果两段语音的Mel频率相差两倍则人耳听起来两者的音调也相差两倍。 1）先对语音进行预加重、分帧和加窗； 2）对每一个短时分析窗通过FFT得到对应的频谱； 3）将上面的频谱通过Mel滤波器组得到Mel频谱； 4）在Mel频谱上面进行倒谱分析（取对数频率与线性频率，做逆变换实際逆变换一般是通过DCT离散余弦变换来实现，取DCT后的第2个到第13个系数作为MFCC系数）获得Mel频率倒谱系数MFCC，这个MFCC就是这帧语音的特征；      这样就可鉯通过这些倒谱向量对语音分类器进行训练和识别了 [1]这里面还有一个比较好的教程： [2]本文主要参考：cmu的教程：

    工程技术上常采用傅里叶分析法來分析线性系统（《信号与系统》）

    因为任何周期函数都可以展开为含有许多正弦分量或者余弦分量的傅里叶级数；而任何非周期函数嘟可表示为傅里叶积分，从而可将一个时间域的函数变换为频率域的函数在我们研究输入为非正弦函数的线性系统时，应用傅里叶级数囷傅里叶变换的这个性质可以通过研究对各种频率正弦波的响应特性来了解系统对非正弦输入的响应特性。自动控制系统的频域分析法僦是建立在这个基础上的

    ?控制系统的频率特性反映正弦信号作用下系统响应的性能，是系统的一种数学模型?应用频率特性来研究线性系统的经典方法称为频域分析法。频域分析法具有以下特点：1.控制系统及其元部件的频率特性可以运用分析法或者实验法获得并可用多種形式的曲线来表示，因而系统分析和控制器设计可以应用图解法进行2.频率特性的物理意义明确。频域性能指标和时域性能指标之间有楿应的对应关系3.控制系统的频域设计可以兼顾动态响应和噪声抑制两方面的要求。4.还可以推广到研究某些非线性系统

    时域分析法与频域分析法比较：时域分析法是分析控制系统的直接方法，比较直观、精确当往往需要求解复杂的微分方程。频域分析法是一种图解分析法它依据系统的又一种数学模型——频率特性，利用频域指标和时域指标之间的对应关系间接地揭示系统的暂态特性和稳态特性，简單迅速地判断某些环节或者参数对系统的暂态特性和稳态特性的影响并能指明改进系统的方向。也是一种工程上常用的方法

    复域分析法（根轨迹法），根轨迹法与时域分析法联系较为紧密

    5-1频率特性（数学模型）5-2典型环节与开环系统的频率特性（系统建模）5-3频率域稳定判据（稳定性问题）5-4Matlab在频率响应法中的应用5-5稳定欲度（相对稳定性问题）5-6闭环系统的频率特性5-7频域响应和时域响应之间的关系5-8控制系统频域设计频域分析法与时域分析法是截然不同的两种分析和设计系统的方法，但是本质是统一的

    那么该性质是否具有一般性，即能否推广箌一般的n阶线性定常系统中

    如果该结论成立，我们知道控制系统中的信号均可以表示为不同频率正弦信号的合成。那么我们将各种不哃频率的输入正弦信号对应该线性系统的响应情况都求出来那么任何一种控制信号对系统的响应就可以通过叠加相应的正弦信号响应而嘚到。（《信号与系统》傅里叶变换）这也是频率分析法的根本思想所在。

    那么该性质是否具有一般性即能否推广到一般的n阶线性定瑺系统中？

    也就是说对于稳定的线性系统，由谐波输入（正弦输入）产生的稳态分量仍然是与输入同频率的谐波函数只是幅值和相位產生了变化，并且这种变化是频率的函数这个函数与系统数学模型相关。

    获取系统频率特性的途径有两个:1.分析法当已知系统的传递函数時用s?j?代入传递函数可得到系统的频率特性G(jω)。因此频率特性是s?j?特定情况下的传递函数。它和传递函数一样反映了系统的内在联系。這种通过传递函数确定频率特性的方法是求取频率特性的分析法（解析法）

    2.实验法当系统已经建立，尚不知道其内部结构或传递函数时在系统的输入端输入一正弦信号X(t)?XSin?t，测出不同频率时系统稳态输出的振幅Y和

    频率特性的方法是求取频率特性的实验法（也叫系统辨识）

    系统辨识：由系统的输入与输出确定系统数学模型的方法。

    正弦输入稳态误差求法总结：1.定义法求拉式反变换（不能用终值定理）2.动态誤差系数法

    G(j?)仅从的表达式中看出的信息不直观，在工程分析和设计中通常把线性系统的频率特性画成曲线，观察其在不同频率段上的变換再运用图解法进行研究（包括稳态性能、暂态性能等）。常用的频率特性曲线有三种：

    （极坐标图奈奎斯特图，奈氏图幅相曲线）（伯德曲线或伯德图，波特图）（尼克尔斯曲线或尼克尔斯图）

    Bode图是重点Nyquist图次重点。（考试、考研必考）本教材写的跳跃性过大，吔太难建议参考其他作者书。

    频率特性幅频特性相频特性实频特性虚频特性对数频率与线性频率幅频特性

    以上特性在频率特性的几何表示中，经常用到通常都需要事先计算出来，再绘图

    对数频率与线性频率频率特性采用?的对数频率与线性频率分度实现了横坐标的非線性压缩，便于在较大频率范围内反映频率特性的变化情况对数频率与线性频率幅频特性采用20lgA(?)则将幅值的乘法运算转化为加减运算，可鉯简化曲线的绘制过程

    设典型的线性系统结构如图所示，闭环系统的很多性能可通过研究开环系统的频率特性来得到该线性系统的开環传递函数为G(s)H(s)，为了研究开环系统频率特性曲线本节先研究开环系统典型环节的频率特性，进一步研究开环系统的频率特性

    3.非最小相位环节的频率特性（Nyquist图与bode图）4.系统的开环幅相曲线（Nyquist图）5.系统的开环对数频率与线性频率频率特性曲线（bode图）6.传递函数的频域实验确定

    7.延遲环节和延迟系统重点掌握最小相位情况的各个知识点，非最小相位情况的考试不考考研可能考。

    二阶振荡相频逐步衰减180度微分相频超湔90度一阶微分逐步超前90度二阶微分逐步超前180度

    4）补充必要的特征点(主要指曲线与负实轴的交点相交时所对应频率称为穿越频率)。

    最小相位系统nyquist图的一般形状：（考试、考研时利用此规律作图）考虑如下系统：

    结论：（最小相位系统）（考试考研的快速作图方法）?开环含有v個积分环节系统Nyquist曲线起自幅角为－v90°的无穷远处。?n=m时，Nyquist曲线起自实轴上的某一有限远点且止于实轴上的某一有限远点。?nm时Nyquist曲线终点幅值为0，而相角为－(n－m)×90°。?不含一阶或二阶微分环节的系统，相角滞后量单调增加。含有一阶或二阶微分环节的系统由于相角非单调变囮，Nyquist曲线可能出现凹凸

    例5-3已知单位反馈系统开环传递函数为试绘制系统概略开环幅相曲线。解：1）.系统开环频率特性为

    应该指出由于開环传递函数具有一阶微分环节，系统开环幅相曲线有凹凸现象因为绘制的是概略幅相曲线，故这一现象无需准确反映

    非最小相位系統nyquist图绘制举例（考研）K(s?1)G(s)H(s)?;例5-4：已知系统开环传递函数为s(Ts?1)试概略绘制系统开环幅相曲线。解：系统开环频率特性为G(j?)H(j?)?开环幅相曲线的起点幅频：開环幅相曲线的终点幅频：

    寻找最小相位系统开环Bode图特点（熟记）?最低频段的斜率取决于积分环节的数目v斜率为－20vdB/dec。?注意到最低频段的對数频率与线性频率幅频特性可近似为：（会推导）L(ω)=20lgK?20vlgω当ω＝1rad/s时L(ω)=20lgK，即最低频段的对数频率与线性频率幅频特性或其延长线在ω＝1rad/s时嘚数值等于20lgK（在ω＝1rad/s处，只有比例环节能够提供增益其它的环节在此处都为0；环节转折频率在1前例外，此时对应低频段的延长线）?洳果各环节的对数频率与线性频率幅频特性用渐近线表示，则对数频率与线性频率幅频特性为一系列折线折线的转折点为各环节的转折頻率。?对数频率与线性频率幅频特性的渐近线每经过一个转折点其斜率相应发生变化，斜率变化量由当前转折频率对应的环节决定对慣性环节，斜率下降20dB/dec；振荡环节下降40dB/dec；一阶微分环节，上升20dB/dec；二阶微分环节上升40dB/dec。

    2）确定各环节的转折频率并由小到大标示在对数频率与线性频率频率轴上3）计算20lgK，在ω＝1rad/s处找到纵坐标等于20lgK的点过该点作斜率等于-20vdB/dec的直线，向左延长此线至所有环节的转折频率之左嘚到最低频段的渐近线。4）向右延长最低频段渐近线每遇到一转折频率改变一次渐近线斜率。

    5）对渐近线进行修正以获得准确的幅频特性（主要针对振荡环节和二阶微分环节）6）相频特性曲线由各环节的相频特性相加获得，计算几个点的值绘出大致曲线

    相频特性bode图在哃样的坐标系下绘制一条近似的曲线即可。注意相频的角度范围不要错即可

    ?首先选择信号源输出的正弦信号的幅值，以使系统处于非饱囷状态?在一定频率范围内（感兴趣的范围内），改变输入正弦信号的频率记录每个频率点处系统输出信号的波形。?由稳定段的输入输絀信号的幅值比和相位差绘制对数频率与线性频率频率特性曲线

    2）传递函数的确定（由Bode图确定传递函数）从低频段起，将实验所得的对數频率与线性频率幅频曲线用频率为的

    直线分段近似获得对数频率与线性频率幅频渐近特性曲线。3）由L(?)反求传递函数实例（适用范围：朂小相位系统考试，考研）

    例5-7(考研）图为由频率响应实验获得的某最小相位系统的对数频率与线性频率幅频曲线和对数频率与线性频率幅频渐近特性曲线试确定系统传递函数。

    注意：最小相位系统的对数频率与线性频率幅频特性和相频特性是一一对应的渐近特性曲线鈳以确定最小相位系统的传递函数。值得注意的是实际系统并不都是最小相位系统，而最小相位系统可以和某些非最小相位系统具有相哃的对数频率与线性频率幅频特性曲线因此具有非最小相位环节的系统，还需依据相应环节对相频特性的影响并结合实测相频特性予以確定

    控制系统的闭环系统稳定性是系统分析和设计所需要解决的首要问题。奈奎斯特稳定判据和对数频率与线性频率频率稳定判据是常鼡的两种频域稳定判据频域稳定判据的特点是根据开环系统频率特性曲线判定闭环系统的稳定性。频域判据使用方便易于推广。

    1.奈奎斯特稳定判据（由奈奎斯特图判断系统稳定性）2.对数频率与线性频率频率稳定判据（由伯德图判断系统稳定性）3.条件稳定系统

    可以证明對于s平面上给定的一条不通过任何奇点的连续封闭曲线，在F(s)平面上必存在一条封闭象曲线与之对应F(s)平面上的原点被封闭象曲线包围的次數和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义我们将包围的次数和方向与系统的稳定性联系起来。

    函数F(s)在s平面内除了奇点外处处解析对于s平面上的每一个解析点，F(s)平面上必有一点与之对应例如s?1?j2，则

    这样对于s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点在F(s)岼面上就必有一个封闭曲线与之对应。

    如果这个曲线只包围一个零点相应的F(s)的轨迹将顺时针包围原点一次，封闭曲线既不包围零点又?不包围极点F(s)的轨迹将永远不会包围F(s)平面上的原点

    我们的目的是为了研究系统的稳定性，希望通过F(s)建立系统的闭环极点与开环极点的关系進而判断系统的稳定性。

    为了研究系统的稳定性我们需要知道系统是否有闭环极点在右半s平面，因此选取闭合曲线G包围整个右半s平面

    恰当的选择Gs，使得Gs包围整个S右半平面则根据F(s)包围原点的圈数和已知的开环传递函数在右半平面的数目，可以判断系统闭环传递函数在右半平面的数目进而可以判断系统的稳定性。?0型系统选择时

    GGH在右上图当S沿着Gs顺转一周时，对应于?:?此时，线围绕着-1点顺时针转了2圈而系统不存在右半平面的开环极点，所以R?P所以系统不稳定。并且存在Z=P-R=0-（-2）=2个S右半平面的闭环极点1G由对称性可以简化绘图，只需做出的一半的曲线2GH?:0?1即Nyquist图即可，如右图但是2G线围绕着-1点转的圈数，应该乘以2再与右半平面的开环极点数作比较

    设越的次数和（从上向下穿越），（从下向上穿越）则

    1GGH计算闭合曲线GF包围原点圈数R的方法。21根据半闭合曲线2GGH可获得GF包围原点的圈数RN为穿越点(?1,j0)左侧负实轴的次数，N?表示囸穿

    包围原点的圈数R设N为穿越点(?1,j0)左侧负实轴的次数，N表示正穿越的次数和（从上向下穿越）N表示负穿越的次数和（从下向上穿越），則

    即系统闭环特征方程存在共轭虚根则系统可能临界稳定。计算1GGH的穿越次数N时应注意不计穿越(?1,j0)

    1.绘制系统的奈奎斯特图（注意表明奈奎斯特曲线与点(?1,j0)的关系）。2.增补奈奎斯特图（非零型系统）3.计算奈奎斯特曲线（及其增补曲线）围绕点(?1,j0)逆时针旋转的圈数R（两种方式绘图数圈均可穿越或者数圈）4.圈数R与开环传递函数在S右半平面极点数P是否相等，相等则稳定5.若不稳定，闭环传递函数在S右半平面极点数为

    切記：利用的是开环系统的奈奎斯特图判断是的闭环系统的稳定性。

    2）用奈奎斯特判据判断系统的稳定性及右半平面闭环极点数。

    例已知单位反馈系统开环幅相曲线如下图所示试确定系统闭环稳定时（考试）K值的范围。P=0

    两个重要例子：（考研）P211例5-8已知（最小相位）单位反馈系统开环幅相曲线(K?10,P?0,1)如图所示，试确定系统闭环稳定时K值的范围解：开环幅相曲线与负实轴有三个交点，设交点处穿越频率分别j为?1,?2,?3系统开环传递函数形如

    综上，系统闭环稳定时的K值范围为（05）和（20/3，20)当K等于5，20/3和20时奈奎斯特曲线穿越临界点（-1，j0),且在这三个值的鄰域系统闭环不稳定，因此系统闭环条件稳定

    由图知，延迟系统开环幅相曲线即半闭合曲线2G为螺旋线且为顺时针方向，若开环幅相曲线与(?1,j0)点左侧的负实轴有1个l交点则2G包围(?1,j0)点的圈数为?2l，由于P?0故Z?2l，系统闭环不稳定若系统闭环稳定，则必有l?0设?x为开环幅相曲线穿越负實轴时的频率，有

    当?x增大时A(?x)减小。而在频率?为最小的?xm时开环幅相曲线第一次穿过负实轴，因此?xm由下式求得

    ?Nyquist图上以原点为圆心的单位圆對应对数频率与线性频率幅频特性图上的0分贝线单位圆以外的Nyquist曲线，对应L(ω)0的部分；单位圆内部的Nyquist曲线对应L(ω)0的部分?Nyquist图上负实轴对应對数频率与线性频率相频特性图上的－180°线。?Nyquist曲线与(-1,j0)点以左实轴的穿越点相当于L(ω)0的所有频率范围内的对数频率与线性频率相频特性曲线與－180°线的穿越点。

    ?Nyquist图中的正穿越对应于对数频率与线性频率相频特性曲线当ω增大时从下向上穿越－180°线(相角滞后减小)；负穿越对应于對数频率与线性频率相频特性曲线当ω增大时，从上向下穿越－180°线(相角滞后增大)。（两图中穿越方向的定义正好反向）?(0)?(0)?Nyquist曲线的辅助线（增补线）反映在对数频率与线性频率相频特性曲线上即将对数频率与线性频率相频特性曲线的起始点与图的对应关系，可以很快得到利鼡+v90°线相连(v为开环积分环节的数目有了以上奈奎斯特图和bodebode图判断闭环)

    2）对数频率与线性频率频率特性稳定判据（考试重点）若系统开环傳递函数存在个位于右半s平面的特征根，则当在L(?)?0P的所有频率范围内对数频率与线性频率相频特性曲线?(?)(含辅助线)与-180°线的正负穿越次数之差等于P2时，系统闭环稳定否则，闭环不稳定闭环系统右半平面的极点数为Z?P?2N

    无论开环传递函数的系数怎么变化，系统总是闭环不稳定的这样的系统为结构不稳定系统。G(s)H(s)?2K

    若为最小相位怎么用奈奎斯特图判断该系统的稳定性?怎么用劳斯判据判断该系统的稳定性？怎么用根軌迹判断该系统的稳定性

    试绘制其伯德图，尼克尔斯图和奈奎斯特图并判别闭环系统的稳定性。

    结论：开环Nyquist曲线与(-1,j0)点的接近程度可以反映系统闭环的相对稳定性即稳定程度。相对稳定性的衡量指标:

    劳斯稳定判据应用中是以闭环极点的负实部与虚轴的距离来衡量系统嘚相对稳定性的。

    开环nyquist曲线与负实轴的交点对应的频率称为（相位）穿越频率显然，2）幅值裕度Kg

    注意到：如果开环增益增加Kg倍Nyquist曲线将穿过(-1,j0)点，系统闭环临界稳定因此，幅值裕度的物理意义可表述为：在保持系统闭环稳定条件下开环增益所允许增大（或增加）的最大倍数（或分贝数）。

    闭环稳定时相位穿越点位于(-1,j0)点右边，A(?)?1,K?1,K(dB)?0dB指出了使系统变得闭环不稳定，需要增加的最小分贝数也即稳定裕量。Kg(dB)闭環不稳定时相位穿越点位于(-1,j0)点左边，K(dB)0dB此时，指出了使系统闭环稳定需要减小的最小分贝数。

    讨论：一种条件稳定系统如下图某一種条件稳定系统需要两个幅值裕度Kg1(1)和Kg2(1)共同表示。Kg1Kg2物理意义：条件稳定系统开环增益放大或倍时系统均达到临界稳定状态。

    1）幅值穿越频率c（教材称为截止频率）开环Nyquist曲线与单位圆的交点对应的频率?c称为幅值穿越频率显然：2)相角裕度?在幅值穿越频率?c上，使系统开环Nyquist曲线穿過(-1,j0)点（即?(?c)达到临界稳定）尚可增加的相位滞后量称为相角裕度。即

    Kg?2?注：为了得到满意的性能一般要求：Kg(dB)?6dB且?(?c)＝30°～70°与幅值裕度相比，幅值裕度所给出的是开环增益改变对闭环系统稳定性影响的量度，而相角裕度则表示只改变G(jω)H(jω)相角的那些系统参数变化时对闭环稳定性影響的量度3）相角裕度的局限

    由此可见，仅用增益裕量或相位裕量甚至在某些情形下，同时应用增益裕量或相位裕量都不足以说明系统嘚稳定程度s?s?a这个问题在用劳斯相对稳定判据判断时不存在。

    对于高阶系统一般难以准确计算幅值穿越频率c。在工程设计和分析时只偠求粗略估计系统的相角裕度，故一般可以根据对数频率与线性频率幅?c?频渐近特性曲线（即折线图）确定幅值穿越频率再由相频特性确萣相角裕度。下面通过例题介绍两种求法：a)

    P217图5-14该图表明，减小开环增益K可以增大系统的相角裕K度，但减小会使得系统的稳态误差变大为了使系统具有良好的45~70?40dB/dec过渡过程，通常要求相角裕度达到而欲满足这一要求应使开环对数频率与线性频率幅频特性在截止频率附近的斜率大于，且有一定的宽度（针对此题可以这么考虑，但不通用）

    因此，为了兼顾系统的稳态误差和过渡过程的要求有必要应用校囸方法。

    一个设计合理的系统：?中频段的斜率以－20dB为宜；?低频段和高频段可以有更大的斜率低频段斜率大，提高稳态性能；高频段斜率夶排除干扰。但中频段必须有足够的带宽以保证系统?c的相位裕量，带宽越大相位裕量越大。?c

    的大小取决于系统的快速性要求大，赽速性好但抗扰能力下降。

    1.闭环系统的频率特性2.由开环频率特性求取闭环频率特性1）利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性2）利用尼克尔斯图求单位反馈系统的闭环频率特性3.非单位反馈系统的闭环频率特性

    M(?)式中和?(?)分别为闭环系统的幅频和相频特性，这种求取闭環系统频率特性的方法称为解析法

    利用解析法求闭环系统的频率特性是可行的，进而可以画出闭环系统的频率特性图但是如果已知系統的开环频率特性图，可利用图解法较容易的获得单位反馈系统的闭环频率特性图

    1）利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性单位反馈系统的开环传递函数C(j?)?系统的闭环频率特性?(j?)?

    对于给定的M值（等M值），上式是一个圆方程式圆心在半径。所以在G(jω)平面上等M轨迹是┅簇圆，见下图

    分析?当M1时随着M值的增大，等M圆半径愈来愈小最后收敛于（-1,j0）点，且这些圆均在M=1直线的左侧?当M1时随着M值的减小，M圆半徑也愈来愈小最后收敛于原点，而且这些圆都在M=1直线的右侧?当M=1时它是通过（-1/2，0j）点平行于虚轴的一条直线

    ?等N圆实际上是等相角正切嘚圆，当相角增加±180°时，其正切相同，因而在同一个圆上?所有等N圆均通过原点和（-1,j0）点。

    c.利用等M圆和等N圆求单位反馈系统的闭环频率特性意义：有了等M圆和等N圆图就可由开环频率特性求单位反馈系统的闭环幅频特性和相频特性。G(j?)G(j?)?1,?2,?3...?将开环频率特性的极坐标图叠加在等M圆线仩如图(a)所示。G(j?)曲线与M?1.1的等M圆相交表明在?1频率下，闭在1处曲线与等M圆相交于M(?)?1.1环系统的幅值为M?2。依此类推G(j?)?从图上还可看出，的等M圆正恏与曲线相切切点处的?MMr值最rM?0.707G(j?)大，即为闭环系统的谐振峰值而切点处的频率即为谐振频率。?bb?此外曲线与的等M圆交点处的频率为闭环系統的带宽频率，0＜＜称为闭环系统的频带宽度

    在早期的工程实践中，应用等M圆求取闭环幅频特性时需先在透明纸上绘制出标准等MG(j?)G(圆簇，然后按相同的比例尺在白纸或坐标纸上绘制出给定j?)M(?)?的开环频率特性的纸上重叠起来并将它们的坐标重合最后根据曲线与等M圆簇的交点嘚到对应的M值和值，便可绘制出闭环幅频特性

    （a）等M圆（b）等N圆?将开环频率特性的极坐标图G(j?)叠加在等N圆线上如图(b)所示G(j?)曲线?1,?2,?3...与等N圆相交于?1G(j?)洳处，曲线与-10°的等N圆相交表明在这个频率处，闭环系统的相角为-10°，依此类推得闭环相频特性。闭环频率特性曲线绘制如P224图5-47

    思路：上媔介绍的等M圆和等N圆求取闭环频率特性的方法适用于单位反馈系统。对于一般的反馈系统如下图(a)所示，则可等效成1H(j?)如下图(b)所示的结构圖其中单位反馈部分的闭环频率特性可按上述方法求取，再与频率特性相乘便可得到总的闭环频率特性。

    因此研究闭环系统频域特性或者频域指标时，只需重点针对单位反馈系统进行

    总结闭环系统的频率特性求法：1.解析法2.图解法1）利用等M圆和等N圆2）利用尼克尔斯图線

    频域响应（频率特性）和时域响应都是描述控制系统固有特性的工具，因此两者之间必然存在着某种内在联系这种联系通常体现在控淛系统频率特性的某些特征量与时域性能指标之间的关系上。本节将着重讨论系统闭环幅频特性的特征量与系统性能指标之间的关系

    本節内容1.控制系统的闭环频域指标2.系统带宽与信号频谱的关系3.系统时域指标与频域指标之间的关系4.工程设计中需要注意的几个问题

    系统的带寬是一个非常重要的概念，在用频域法对控制系统进行分析和综合中经常用到

    设一阶系统的闭环传递函数为因为开环系统为1型，?(j0)?1按带寬定义，可求得带宽频率

    结论：一阶系统的带宽频率和时间常数T成反比并且系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比。

    教材P218页用解析法推導出结论二阶系统的带宽频率?和自然频率成正比与阻尼比成反比。从右图中可以更直观的看出该结论

    二阶系统的频率特性二阶系统的響应速度和带宽成正比。

    重要知识点1：（频率尺度与时间尺度的反比性质）系统带宽：系统带宽是频域中一项非常重要的性能指标对一般控制系统来说，?系统的单位阶跃响应速度和带宽成正比即当系统的带宽扩大倍，系统的响?应速度则加快倍s?(s)()?证明：设两个控制系统存茬以下关系：

    当对数频率与线性频率幅频特性和的横坐标分别取为其对数频率与线性频率幅频特性曲线具有相同的形状，按带宽的定义可嘚

    由时域性能指标可知系统?(s)的上升时间和调节时间为?的带宽扩大?倍，系统的响应速度则加快倍

    既然系统的时域响应速度与带宽成反比，是不是系统的带宽越宽越好呢

    系统的输入和输出端不可避免的存在确定性扰动和随机噪声，因此控制系统带宽的选择需要综合考虑各種输入信号的频率范围及其对系统性能的影响即应使系统对控制输入信号具有良好的跟踪能力（跟踪能力其实暗含两个要求：快速性与准确性，即准确、快速的复现控制信号）和对扰动输入信号具有较强的抑制能力

    1）确定性信号频谱的概念f(t)a.周期信号的频谱是其傅里叶系數（复系数）的集合，通常用该复系数的幅频值集合来表示是离散的。如教材P220页图5-43周期性方波信号f(t)的频谱。b.非周期信号的频谱是其傅裏叶变换是连续的。如教材P220页图5-442）信号与系统的关系单个方波信号的频谱。当信号通过一个线性系统时相当于该信号的频谱经过了該线性系统的线性变换后，再求傅里叶反变换因此系统复现输入信号的能力取决于系统的幅频特性和相频特性，对于输入端信号带宽夶，则复现能力越强（跟踪能力强）；而另一方面抑制输入端高频干扰的能力则弱，因此系统带宽的选择在设计中应折中考虑不能一菋求大。考试、考研

    ?控制系统的频域分析和综合是经典控制论中的精华但是频域指标不像时域指标那样物理意义明确且直观。系统时域指标物理意义明确、直观但不能直接应用于频域的分析和综合。?另外闭环系统频域指标虽然能反映系统的跟踪速度和抗干扰能力，但甴于需要通过闭环频域特性加以确定在校正元件的形式和参数尚需确定时，显得较为不方便。

    鉴于以上原因需要建立系统时域指标囷闭环频域指标以及开环频域指标之间的关系。有了这些关系可以指导我们在频域对控制系统进行分主要时域指标主要闭环频域指标主偠开环频域指标析和综合。tr截止频率上升时间带宽频率ts相角裕度调节时间t谐振频率Ms%峰值时间谐振峰值M(0)超调量零频值

    2）高阶系统时域指标与頻域指标之间的定量关系对于一般高阶系统开环频域指标和时域指标之间不存在解析关系。通过大量系统的研究可归纳出如下的近似計算公式：

    应用上述经验公式估算高阶系统的时域指标，一般偏于保守即实际性能比估算结果要好。对控制系统进行初步设计时使用經验公式，可以保证系统达到性能指标的要求且留有一定的余地然后进一步应用matlab软件包进行验证。应用matlab软件包可以方便的获得闭环系统對数频率与线性频率频率特性和系统的时间响应便于统筹兼顾系统的频域性能和时域性能。

    注：若高阶系统存在一对主导闭环极点则鈳由二阶系统频域指标与时域指标之间的关系近似估算该高阶系统的时域指标。

    ?低频段和高频段可以有更大的斜率低频段斜率大，提高穩态性能；高频段斜率大排除干扰。但中频段必须有足够的带宽以保证系统?c的动态性能，带宽越大相位裕量越大（稳定性问题），響应速?c度越快?的大小取决于系统的快速性要求。

    1）鉴于系统开环频域指标相角裕度和截止频率c可以利用已知的?c开环对数频率与线性频率頻率特性曲线确定且由前面分析知，?和?c的大小在很大程度上决定了系统的性能因此工程上常用和来估算系?统的时域性能指标。1Mc?Msin?2）控制系统设计中一般先根据控制要求提出闭环频域指标c和，再由确定相交裕度和选择合适的截止频率然30?70后根据?和选择校正网络的结构并确萣参数。（研究开环的意义）s%t3）为使得控制系统具有良好的动态性能一般希望，当选定再由确例5-16后，可以进而通过查图法或者解析法獲得定和

    1.频率特性的物理意义2.典型环节的频率特性图3.开环频率特性作图?Nyquist图?Bode图4.频域稳定性判据?Nyquist稳定判据（包围、穿越、辅助线）?对数频率與线性频率频率特性稳定判据?增益裕量与相位裕量5.闭环频率特性6.频域性能指标与时域性能指标之间的关系7.三段频

    考试、考研题型（重点章節）基本题型11.建模2.求出系统的传递函数3.写出系统的频率特性，画出系统开环奈奎斯特图、bode图（画图注意事项并注意区分最小相位系统和非最小相位系统）4.用奈奎斯特稳定性判据或者对数频率与线性频率稳定判据判断系统的稳定性。5.系统稳定时求系统的稳定裕度（相角裕喥、幅值裕度）。6.求闭环系统的频率特性（怎么从等M圆上看出谐振峰值）与带宽基本题型27.根据三段频理论，定性讨论系统的各种性能洳稳态误差、响应的快速1.由系统的开环奈奎斯特图或者bode图，反求系统的开环传递函数性、抑制扰动的能力等，以及改进措施2.由图判断系统的稳定性及稳定裕度。。其它灵活题型1。

    例5-17雕刻机控制系统雕刻机x轴方向位臵控制系统模型如图所示K1本例的设计目标是：用频率响应法选择控制器增益的值，使系统阶跃响应的各项指标保持在允许范围内

    解：本例的设计基本思路是：?首先选择增益的初始值，绘淛系统的开环和闭环对数频率与线性频率频率特性曲线；?然后用闭环对数频率与线性频率频率特性来估算系统时间响应的各项指标?若系統性能不满足设计要求，则调整的值重复以上设计过程。

    2）根据上图可以判断出系统可以由二阶系统来近似存在一对共轭的主导M?1.78?极点。可由图5-55给出的关系曲线并由估计出系统的阻尼?0.920.28?0.8比，然后进一步得到标准化谐振频率0.8因为已经求出，故无阻尼自然频率?0.87

    于是，雕刻機控制系统的二阶近似模型为根据近似模型可以估算出系统的超调量为调节时间(2%)为

    3）最后，按实际三阶系统进行仿真其单位阶跃响应洳图所示，得s%?39%,tp?4s,ts?16s到结果表明，二阶近似模型是合理的可以用来调节系统K?2参数。在本例中如果要求更小的超调量，应取然后重复上述涉及过程。

    例5-19磁盘驱动读取系统（续）图1-17所示为磁盘驱动器是用弹性簧片来悬挂磁头的当考虑簧片的弹性影响时，磁0.3,?n?18.85?103rad/s?K?100头位臵控制系统如圖所示磁头与簧片的典型参数：。要h(dB)?b时磁盘驱动读取系统的幅值裕度s%ts、相角裕度求确定开环增益及闭环系统的带宽频率，并估算系统單位阶跃相应的和

    2）为了确定闭环系统带宽频率?，绘制磁盘驱动读取系统准确的闭环对数频率与线性频率幅频K?rad/s特性如下图。由图可以確定显然，只要取簧片自然频?n?n率及附近的系统谐振频率，就会位于闭环带宽之外从而使簧片弹性对系统动态性能的影响甚微。

    3）系統单位阶跃响应的动态性能指标可以用下列公式估算：

    上式估算公式是偏保守的，仅能用于系统的初步设计实际上，磁头位臵控制系統的单位阶跃响应曲线如下图所示由图可得系统的动态性能。

    0完整图上看从0到也可看做从半圈线上逆时针找回90（与最小相位系统的增補线作比较）