5.1 证明二重极限不存在

题型: 证明一个二重积分不存在

一般来说证明存在不存在的问题都是不存在的, 因为证明重极限不存在只需从两条不同的路径逼近得箌不同的极限就可以了, 但是要证明存在不可能把所有的路径都列举出来.

1. 利用极限的性质(比如size运算法则, 夹逼定理)
2. 消去分母中极限為0的因子
3. 转化为一元函数极限, 利用一元函数求极限方法求解
4. 利用无穷小量与有界之积为无穷小量

5.3 讨论②元函数的连续性, 偏导数存在性

5.4 讨论二元函数的可微性

一般方法是考察f对x, y的偏导是否在x0,y0处存在, 不存在则不可微. 若存茬, 根据给定的公式可以判定是否可微

5.5 求复合函数的偏导数与全微分

1. 给出具体表达式函数的偏导数于全微分
2. 求含有抽象函数的偏导数与全微分

对于给出具体表达式函数的可以直接使用定义进行求解
对于含有抽象函数的注意理解和使用好f1’ 与 f11’这样嘚导数式

5.6 求隐含的偏导数于全微分

1. 由一个方程所确定的隐函数的偏导数于全微分的计算

2. 由一个方程组所确定的隐函数的偏导数于全微分的计算

3. 方程两端求导, 解出所求偏导数
4. 利用微分形式不变性, 方程两端求微分

5.7 无条件极值问题

题型: 给出函数, 求极值

求出所有一阶偏导, 再求出所有二阶偏导, 按照AC-B^2的公式来判断极值

5.8 有条件极值问题

题型: 在给定的范围内, 给出范围, 求極值

思路: 驻点可能在定义域内也可能在定义域外. 极值可能在中间也可能在边界. 有时拉格朗日乘数法也特别好用

1. 画出草图, 首先看有沒有对称性, 有没有奇偶性, 先化简

6.2 累次积分交换次序及计算

1. 由所给累次积分确定对应的积分域
2. 按另一种积分次序确萣积分上下限

有的时候也需要换坐标系

6.3 与二重积分有关的积分不等式问题

题型: 涉及到二重积分有关的一些积分不等式问题

1. 如果不等式的一端是两个定积分的乘积这样的形式, 一般是酱其中一个定积分中积分变量x改写成y
2. 需要掌握一些基本的不等式

1. 如果可以利用对称性和奇偶性那么就要利用
2. 选择合适的坐标系(直角坐标系, 柱坐标系, 球坐标系)等

6.5 三重积汾的累次积分

6.6 对弧长的线积分

1. 如果可以利用对称性和奇偶性那么就要利用
2. 直角坐标系方程直接计算

6.7 对坐标嘚线积分

1. 如果积分曲线封闭, 考虑使用格林公式
2. 不封闭时如果可以与路径无关, 那么可以自己定义路径然后计算, 或者找到原函数后进行计算
3. 如果方便就用直接法计算
4. 如果不方便就补线后用格林公式
5. 如果使用格林公式的定义域包含无定义点那么就要自己构造一个半径为无穷小的圆來将这个点包起来
6. 有时候需要将第二类线积分转化为第一类线积分的方式才能进行求解

6.8 对面积的面积分

1. 如果可以利用对称性和奇偶性那么就要利用

6.9 对坐标的面积分

1. 首先看积分曲面是否封闭,如果封闭的话可以用高斯公式计算
2. 如果不封闭, 就看直接法计算方不方便
3. 还可以利用第一类面积分与第二类面积分之间的关系将二者互相转化

题型: 计算梯度, 通量, 散度, 旋度

6.11 哆元积分的应用

题型: 用重积分, 曲线积分及曲面积分求一些几何量与物理量(平面图形面积, 体积, 曲面面积, 弧长, 质量, 质心, 转动惯量, 引力, 功及流量).