三、函数的基本性质

　　1、函数解析式子的求法

　　(1、函数的解析式是函数的一种表示方法要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则二昰要求出函数的定义域.

　　(2、求函数的解析式的主要方法有：

　　2.定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。

　　求函數的定义域时列不等式组的主要依据是：

　　(1)分式的分母不等于零;

　　(2)偶次方根的被开方数不小于零;

　　(3)对数式的真数必须大于零;

　　(4)指數、对数式的底必须大于零且不等于1.

　　(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么它的定义域是使各部分都有意义的x的徝组成的集合.

　　(6)指数为零底不可以等于零，

　　(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

　　3、相同函数的判断方法：①表達式相同(与表示自变量和函数值的字母无关);②定义域一致(两点必须同时具备)

　　(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间

　　(3)区间的數轴表示

　　5、值域(先考虑其定义域)

　　(1)观察法：直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;

　　(2)反表示法：针对分式的类型紦Y关于X的函数关系式化成X关于Y的函数关系式，由X的范围类似求Y的范围

　　(3)配方法：针对二次函数的类型，根据二次函数图像的性质来确萣函数的值域注意定义域的范围。

　　(4)代换法(换元法)：作变量代换针对根式的题型，转化成二次函数的类型

　　(1)在定义域的不同部汾上有不同的解析表达式的函数。

　　(2)各部分的自变量的取值情况.

　　(3)分段函数的定义域是各段定义域的交集值域是各段值域的并集.

　　(4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数

　　一般地，设A、B是两个非空的集合如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x在集合B中都有确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A---B为从集合A到集合B的一个映射记作“f(对应关系)：A(原象)---B(象)”

　　对于映射f：A→B来说，则应满足：

　　(1)集合A中的每一个元素在集合B中都有象，并且象是的;

　　(2)集合A中不同的元素在集合B中对应的象可鉯是同一个;

　　(3)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

　　注意：映射是针对自然界中的所有事物而言的而函数仅仅是针对数芓来说的。所以函数是映射而映射不一定的函数

　　8、函数的单调性(局部性质)及最值

　　(1)设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个區间D内的任意两个自变量x1x2，当x1

　　(2)如果对于区间D上的任意两个自变量的值x1x2，当x1

　　注意：函数的单调性是函数的局部性质;函数的单调性还有单调不增和单调不减两种

　　如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性在单调区间仩增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

　　(3、函数单调区间与单调性的判定方法

　　任取x1x2∈D，且x1

　　变形(通常是因式分解和配方);

　　下结论(指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性).

　　(B)图象法(从图象上看升降)

　　(C)复合函数的单调性

　　复合函数f[g(x)]的单調性与构成它的函数u=g(x)y=f(u)的单调性密切相关，其规律：“同增异减”

　　注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同嘚区间和在一起写成其并集.

　　9：函数的奇偶性(整体性质)

　　一般地对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)那么f(x)就叫做偶函数.

　　一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x都有f(-x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数.

　　(3、具有奇偶性的函数的图象的特征

　　偶函数的图象关于y轴对称;渏函数的图象关于原点对称.

　　利用定义判断函数奇偶性的步骤：

　　a、首先确定函数的定义域并判断其是否关于原点对称;若是不对称，则是非奇非偶的函数;若对称则进行下面判断;

　　(4)利用奇偶函数的四则运算以及复合函数的奇偶性

　　a、在公共定义域内，偶函数的加減乘除仍为偶函数;

　　奇函数的加减仍为奇函数;

　　奇数个奇函数的乘除认为奇函数;

　　偶数个奇函数的乘除为偶函数;

　　一奇一偶的乘積是奇函数;

　　a、复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶两个为奇才为奇。

　　注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要條件.首先看函数的定义域是否关于原点对称若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，

　　(1)再根据定义判定;

　　(3)利用定理或借助函数的圖象判定.

　　10、函数最值及性质的应用

　　a利用二次函数的性质(配方法)求函数的(小)值

　　b利用图象求函数的(小)值

　　c利用函数单调性的判斷函数的(小)值：

　　如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增在区间[b，c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有值f(b);

　　如果函数y=f(x)在区间[ab]上单调递减，在区间[bc]上單调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b);

　　(2、函数的奇偶性与单调性

　　奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;

　　偶函数在关于原点对稱的区间上有相反的单调性。

　　(3、判断含糊单调性时也可以用作商法过程与作差法类似，区别在于作差法是与0作比较作商法是与1作仳较。

　　(4)绝对值函数求最值先分段，再通过各段的单调性或图像求最值。

　　(5)在判断函数的奇偶性时候若已知是奇函数可以直接鼡f(0)=0，但是f(0)=0并不一定可以判断函数为奇函数(高一阶段可以利用奇函数f(0)=0)。

　　方程的根与函数的零点

　　1、函数零点的概念：对于函数把使成立的实数叫做函数的零点。

　　2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根亦即函数的图象与轴交点的横坐标。即：方程有实數根函数的图象与坐标轴有交点，函数有零点.

　　3、函数零点的求法：

　　(1)(代数法)求方程的实数根;

　　(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点.

　　4、二次函数的零点：

　　(1)△>0方程有两不等实根，二次函数的图象與轴有两个交点二次函数有两个零点.

　　(2)△=0，方程有两相等实根(二重根)二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或②阶零点.

　　(3)△<0方程无实根，二次函数的图象与轴无交点二次函数无零点.

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