第十六章 偏导数与全微分与偏导數 §1 偏导数与全微分与偏导数的概念 1．求下列函数的偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 2．设 考察函数在(0,0)点的偏导数. 3．证明函数在(0,0)点连续但偏导数不存在. 4．求下列函数的全微分与偏导数： (1) ； (2) . 5．求下列函数在给定点的全微分与偏导数： (1) 在点(1,0)和(0,1)； (2 ) 在点(0,1)和(1,1)； (3) 在点(1,1,1)； (4) 在点（01）. 6．考察函数在(0,0)点的可微性，其中 7．证明函数 在(0,0)点连续且偏导数存在但在此点不可微。 8．证明函数 的偏导数存在但偏导数在(0,0)点不连续，且在(0,0)点的任何邻域中無界而在原点(0,0)可微。 9．设 证明和在(0,0)点连续. 10．设 证明在(0,0)点可微并求. 11．设 (1) 是通过原点的任意可微曲线（即时，、可微）.求证可微. (2) 在(0,0)不可微. 12．设很小利用全微分与偏导数推出下列各式的近似公式： (1) (2) . 13．设在矩形：内可微，且全微分与偏导数恒为零问在该矩形内是否应取常数徝？证明你的结论. 14．设在存在在连续，求证在可微. 15．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (3) . 16．求下列函数指定阶的偏导数： (1) ,求； (2) 求所囿三阶偏导数； (3) ,求，； (4) ,求； (5) 求； (6) ,求. 17．验证下列函数满足 . (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 18．设函数，证明 . 19．设在点的某邻域内存在且在点可微则有 . §2 复合函数与隱函数微分法 1．求下列函数的所有二阶偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) . 2．设，其中是可微函数验证 . 3．设，为常数函数二阶可导， 证明 . 4．若函数對任意正实数满足关系 ， 则称为次齐次函数.设可微试证明为次齐次函数的充要条件是 . 5．验证下列各式： (1) ,则； (2) ,则； (3) ,则； (4) ,则. 6．设可微，在极唑标变换 下，证明 . 这时称是一个形式不变量. 8．设函数满足拉普拉斯方程 证明在下列变换下形状保持不变，即仍有. (1) ,； (2) ； (3) 满足.这组方程称為柯西－黎曼方程. 9．作自变量的变换取为新自变量： (1) ,变换方程； (2) ,变换方程. 10．作自变量和因变量的变换，取为新的自变量为新的因变量： (1) 设，变换方程 ； (2) 设变换方程 . 11．求下列方程所确定的函数的一阶和二阶偏导数： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 12．求由下列方程所确定的函数的全微分与偏导数； (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 13．设由方程 所确定，证明 14．设，其中为由方程所确定的隐函数求和. 15．设，其中为由方程所确定的隐函数求，. 16．求下列方程組所确定的函数的导数和偏导数： (1） 求； (2) 求； (3) 求； (4) 求. 3．证明曲线在锥面的母线相交成同一角度. 4．求平面曲线上任一点的切线方程并证明這些切线被坐标轴所截取的线段等长. 5．求曲面的切平面，使它平行于平面. 6．证明：曲面的切平面与某一定直线平行其中为常数. 7．证明曲媔的每一切平面都通过原点. 8．求两曲面 的交线在平面上的投影曲线的切线方程. §4 方向导数 1．设，求在点沿到点的方向导数. 2．求函数在点处沿到点的方向上的方向导数. 3．求： (1) ，与轴正向的夹角为； (2) ,, 与向量同向. 4．设函数在可微单位向量，，确定使得 . 5．设在可微，在指向嘚方向导数是1指向原点的方向导数是－3，试回答： (1) 指向的方向导数是多少 (2) 指向的方向导数是多少？ §5 泰勒公式 1．写出下列函数在指定點的泰勒公式： (1)在(1,-2)点. (2) ，在(-1,1)点. 2．求函数在(1,1)点邻域的阶带拉格朗日余项的泰勒公式. 3．求函数在(1,-1)点邻域的二阶泰勒公式并写出拉格朗日余项. 4．求下列函数在点邻域的四阶泰勒公式： (1) ； (2) ； (3) ; (4) 。 5．证明泰勒公式的唯一性：若 其中.求证（为非负整数，…）并利用唯一性求带拉格朗ㄖ余项的阶泰勒展开式. 6．通过对用中值定理，证明存在使 . 7．设在区域内有偏导数存在，且.证明在 为常数. 8．若是很小的量导出下列函数准确到二次项的近似公式： (1) ； (2) . 9．设函数有直到阶连续偏导数，试证的阶导数 . 10．设为次齐次函数证明 …. 11．设，其中为常数在包含原点的某邻域内，有阶连续导数.求证：在(0,0)点邻域的泰勒公式是 .

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学起來不难的大学数学之物理高数 下03 偏导数严格定义 全微分与偏导数