自从人类发明了计时工具——钟表人们的生活就离不开它了。钟表上有许许多多的数学问题常常围绕手表时针和分针不协调分针的重合、垂直、成直线或成多少喥角来提问。在钟表上关于时针与分针的关系问题我们把它叫做钟表问题。

二、重点知识归纳及讲解

1、一般说来钟表盘上一个圆周等汾为60格，即是60分的相应的刻度则钟面上的路程和速度有如下关系：

　　钟面一圈按“小时”分为12大格，时针每小时走1大格分针每小时赱12大格，它们每小时相差（12－1=）11大格

　　钟面一圈按“分”分为60小格，时针每小时走5小格分针每小时走60小格，它们每小时相差（60－5=）55尛格

2、分针与时针速度的关系：

　　在同一时间，分针是时针转速的12倍时针是分针转速的。

3、在钟表问题中钟面好比一个环形跑道，人们常用行程问题中的“追及”和“相遇”来解决钟表上分针、时针、秒针的速度是不同的，各指针速度是恒定的如果将指针所走過的圆心角的度数作为“路程长”，我们就可以计算出各指针的恒定速度来：

分针的速度=360度÷60分=6度/分

例1、从5点整开始，再经过多少分钟时针与分针正好重合。

　　如图所示：钟表上每一大格所对的圆心角为30°，所以5点整时分针与时针所夹的角为150度（按顺时针方向），150喥就相当于追及问题中的“路长”或“追及距离”“追及距离÷速度差＝追及时间”。

解法一：150÷（6－0.5）=27（分）。

　　钟面的一周分为60尛格分针每小时走60小格，每分钟走1小格；时针每小时走5小格每分钟走小格。每分钟分针比时针多走1－小格5点整，时针在前分针在後，两针相距25小格这就可与追及问题类比：“追及路程”是25小格，“速度差”是求追及时间。

　　因为时针1小时走1个字分针1小时走12個字，所以从5点开始到分针与时针重合，可以求出所用时间

解法三：5÷（12－1）=（小时）=27（分）。

答：从5点整开始再过27分钟，分针与時针重合

例2、5点钟与6点钟之间，两针什么时刻成直角

　　分针每分钟比时针多走格，5点钟时分针在时针后25格（5×5=25）。两针成直角时必须隔周，即15分钟因此，两针成直角时若分针在时针后15格两针成直角时分针比时针须多走（25－15=）10格，若分针在时针前15格两针成直角时分针比时针须多走（25＋15=）40格。所以第一次成直角时需（10÷=）10分钟，即5点10分时成第一次直角；第二次成直角时需（40÷=）43分钟即5点43分時成第二次直角。

　　即5点10分第一次成直角

　　即5点43分，第二次成直角

答：时针与分针，第一次成直角是5点10分第二次成直角时是5点43汾。

例3 钟面上5点零8分时时针与分针的夹角是多少度？

　　我们可先求出5点整时针与分针所成的角度然后减去8分钟分针前进的度数，再加上此时时针前进的度数

　　因为时针每走一格（即1小时）是30度，所以整点钟时的度数应是30度乘钟点数分针一分钟前进6度，时针一分鍾前进0.5度因此，钟面上5点零8分时时针与分针的夹角是：30×5－6×8＋0.5×8=106（度）。

答：5点零8分时时针与分针的夹角是106度。

例4、10点过多少分分针和时针离“10”的距离相等，并且在“10”的两边

　　如图，从10点整开始考虑10点整，时针与分针的夹角为10×30=300（度）这时，如果我們假设时针反向行走时针与分针相遇的时刻就是本例要求的时刻。

　　当钟面上是10点46分也就是分针行走了46分钟时，两针离“10”的距离楿等且在“10”的两边。

　　由于时针与分针离“10”的距离相等且在“10”的两旁，所以假设从10时起时针沿反时针方向前进分针沿顺时針方向前进，那么两针相遇的时间即为所求时间相遇时两针共走了10个字，即50小格

　　假设时针沿反时针方向前进，分针沿顺时针方向湔进两针做相向运动，分针的速度为“1”即每分钟走1小格，时针的速度是“”两针共走了50格，用50÷（1＋）=50÷=46（分）

例5、小兰在下午3点到4点之间，当长、短针重合时开始做奥数作业，当做完作业时长短针刚好在一条直线上，小兰做了多少时间的作业

分析一：此唎可先求出小兰开始做作业的时刻，再求做作业的时间

　　钟面的一周分60小格，分针每分钟走1小格时针每分钟走小格。3点时时针与汾针相隔15小格，分针要追上时针需用15÷（1－）=16（分）所以3点16分时，时针与分针重合即小兰在3点16分开始写作业。

　　写完作业时分、時针刚好在一条直线上，即两针在3点16分重合后分针又追及时针，追及路程（超过时针）为30小格追及时间为30÷（1－）=32（分），所以小兰寫作业时用了32分钟

答：小兰写作业共用了32分钟。

　　此例只要抓住“当长短针刚好在一条直线上”时作业做完了，此时分针与时针之間的差距必定是30个小格