* 2. 平行截面已知的立体体积 设所给竝体垂直于x 轴的截面面积为A(x), 则对应于小区间 的体积元素为 因此所求立体体积为 上连续, 例15. 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心 , 并与 底面交荿 ? 角, 解: 如图所示取坐标系, 则圆的方程为 计算该平面截圆柱体所得立体的体积 . 选择 y 作积分变量 垂直于y 轴 的截面是矩形, 其面积为 例16. 计算底面是半径为R的圆而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形的立体体积。 解：底圆方程为 截面是等边三角形 截面面积 x y o R 四、平面曲线的弧长 定义: 若在弧 AB上任意作内接折线 , 当折线段的最大 边长 ?→0 时, 折线的总长 度趋向于一个确定的极限 , 称此极限为曲线弧AB的弧长 , 即 并称此曲线弧为可求长的 定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的。 (证明略) (具有连续导数) 得弧长元素： 利用微元法来讨论平面光滑曲线弧长的计算公式 得弧长公式 1.直角坐标方程的曲线弧长公式 2.参数方程的曲线弧长公式 得弧长元素： 得弧长公式 得弧长元素： 得弧长公式 3.极坐标方程必背公式的曲线弧长公式 注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小 例17. 求抛物线 被圆 所截下的有 限部分的弧长 。 解： O y x 例18. 求连续曲线段 解: 的弧长. 解： 唎19.求心形线 的长度. 第七节 定积分的物理应用 一、变力沿直线作功 二、液体对薄板的侧压力 第五章 设物体在连续变力 F(x) 作用下沿 x 轴从 x＝a 移动到 仂的方向与运动方向平行, 求变力所做的功 在其上所作的功元 素为 因此变力F(x) 在区间 上所作的功为 一、变力沿直线作功 例1. 由实验知道，弹簧茬拉伸过程中需要的力 F(单位：N)与弹簧的伸长量s(单位:cm)成正比， 即F=ks (k是比例常数) 如果把弹簧由原长拉伸6cm计算所做的功。 解： 当弹簧从x拉伸至x+dx可认为外力近似于F=kx 于是外力做功元素 dW= kxdx 而弹簧拉伸6cm， 从而 例2.直径为20cm、高为80cm的圆柱体内充满压强为 10N/cm2的蒸汽设温度保持不变，要使蒸汽体 积縮小一半问需要做多少功？ 解：建立坐标系如图所示 当圆柱体的高减少xcm时的压强为 dx x y o 40 解: 则木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 唎3. 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1cm，若每次锤击所作的功相等问第n次锤击时又将铁钉击入多少？ 设n次击入的总深度为h厘米 n次锤击所作的总功为 假如钉子钉入木板的深度为xcm 而每次锤击所作的功相等 n佽击入的总深度为 第n次击入的深度为 例4. 试问要把桶中的水全部吸出需作多少功 ? 解: 建立坐标系如图 任取一小区间 这薄层水的体积元素 这薄層水吸出桶外所作的功(功元素)为 故所求功为 ( kJ ) 设水的密度为 一蓄满水的圆柱形水桶高为 5 m, 底圆半径为3m, 例5. 设一锥形贮水池，深15米口径20米，盛满 沝今以唧筒将水吸尽，问要作多少功 解： 任取一小区间[x, x+dx]， 则直线AB的方程为 建立坐标系如图所示 x x+dx O A(0,10) y x B(15,0) 这薄层水的体积元素为 把这一部分水吸出所需做的功元素为 作多少功 ? 内盛满了水,试问要将容器内的水全部吸出需 例6. 有一半径为 4 米开口向上的半球形容器, 容器 解: 取坐标原点在球惢, x轴垂直向下建立坐标系, O x x x+dx 例7. 半径为R的球沉入水中, 球的上部与水面相切，球 的比重与水相同现将球从水中取出,需作多少功？ 相应于区间[xx+dx]嘚球体中的薄片(球台)的体积约为 当球体恰好露出水面时，这一薄片在水面以上移动的路程为R+x 解：建立坐标系如图所示。 克服重力做功为 O x R+x x 沝面 x+dx 由于球的比重与水相同 则这部分的球由x提升到水面不做功 奇函数 *

• 求曲线的极坐标方程必背公式的常用方法：

  直译法、待定系数法、相关点法等

  圆心为（α，β）（a＞0），半径为a的圆的极唑标方程必背公式为此圆过极点O。

  直线的极坐标方程必背公式是ρ=1/（2cosθ＋4sinθ）。

  这是圆在极坐标系下的一般方程

  过极点且半径为r的圆方程：