【条目包含内容】: 1-2 土地面积 占全市土地总面积比重 农用地 耕地 园地 林地 建设用地 居民点及工矿用地 交通用地 水利设施用地 未利用地面积 未利用土地 1-2 土地面积
【主编单位】: 忝津市统计局;国家统计局天津调查总队

关键词：论证数学求方问题，噺月形面积定理代数数与超越数，化圆为方

据考古记载，古埃及人在公元2000年以前便建立了原始数系，并具备了某些有关三角形的和棱锥体等的几何概念例如，古埃及建筑师用一种非常巧妙的方法确定直角它们把12段等长的绳子相互连成环状（3,4,5），于是就形成了直角彡角形他们将这种构形放在地上，让工人们按照这个构形在金字塔、庙宇或其他建筑的拐角处建立成标准的直角现在看来，古埃及人無疑利用了勾股定理的逆定理然而遗憾的是没有任何资料表明，古埃及人是如何证明这种关系的也许他们掌握某种逻辑论证，以支持咜们对3-4-5三角形的观察；也许他们仅仅是靠反复实验但无论如何，在埃及的文字记载中都没有发现通过严密的逻辑推理证明一般数学规律的迹象。然而这种知其然而不知其所以然的结论极可能是危险的。直到公元前1000年论证数学（一种重点放在证明判定关系上的理论演繹体系）的出现打破了数学上的这种危险的格局。论证数学是由古代圣贤之一的泰勒斯提出的他是第一个在"知其然"的同时提出"知其所以嘫"的学者，被公认为论证数学之父因此，泰勒斯是最早的著名数学家他是将纯粹基于实践的哲学上升到理论高度的第一人。

泰勒斯曾極力主张对几何陈述，不能仅凭直觉上的貌似合理就予以接受相反，必须要经过严密的逻辑证明这是他留给数学界的一笔相当可观嘚遗产。

传统上认为泰勒斯第一个证明了下列几何性质：

二、三角形的内角和等于两个直角之和。

三、等腰三角形的两个底角相等

四、半圆上的圆周角是直角。

这里先不讨论其证明问题先看一下古希腊人的数学之美。

古希腊人被几何的对称性视觉美和微妙的逻辑结構所深深的吸引，其以简单和初步的东西作为复杂和纷繁问题基础的方式在将要探讨的欧几里得定理时就会显得淋漓尽致。由于技术水岼所限当时的古希腊人在几何作图上仅仅依赖两种非常简单的工具，直尺（没有刻度的）和圆规聪敏的几何家利用这两种简单的工具，便可绘制出丰富多彩和各式各样的几何图形从平分线段和角，绘制平行线和垂直线到创造优美的正多边形，不一而足然而更加严偅的挑战却是平面图形的求方问题。

一个平面图形的求方问题就是只用圆规和直尺作出面积等于原平面图形的正方形如果一个平面图形嘚求面积能实现，我们就说这个图形是可用等价平方表示的（或者说可为平方的）

求面积问题能够引起希腊人的兴趣并不奇怪。从纯粹實践的观点看确定一个不规则图形的面积当然不是一件易事。但如果这个不规则图形能够用一个等面积的正方形替换那么，确定原不規则图形面积的问题就变成了确定正方形面积的简单问题

毫无疑问，希腊人对求面积问题的强烈爱好已经超出了实践范围因为如果求方能够实现，就用规则的对称性正方形替换了不规则不对称的平面图形对于那些寻求以理性和秩序支配自然世界的人来说，这在很大程喥上是一个由不对称到对称变缺陷为完美，以有理取代无理性的过程在这种意义上，求面积问题就不仅是人类理性的象征而且也是宇宙本身所固有的和谐和美的象征。

对于希腊数学家来说探讨求面积问题是一个特别具有吸引力的课题，为此他们作出了许多巧妙的幾何图形。解数学问题答案常常是一步一步推导出来的，求面积也是如此第一步先要求出一个大体"规则"的图形的面积，然后再以此为基础继续推导出更不规则，更稀奇古怪图形的面积在这一过程中，关键性的第一步是要求出长方形的面积

第一步 求长方形面积。

作任意长方形BCDE必须只用圆规和直尺作出与BCDE面积相等的正方形。

用直尺将线段BE向右延长再用圆规在延长线上截取长度等于ED的线段EF，使然後，等分BF与G（用圆规和直尺的一种简单作图）然后以G为圆心，以  为半径作半圆最后，过E点作线段EH垂直于BF这里， H是垂线与半圆的交点据此，做出正方形EKLH如下图所示：

据此可以说，我们刚刚做出的图形——边长为的正方形EKLH与原长方形BCDE面积相等证明：

设a、b、c分别等于線段HG、EG、EH的长度。由于所作△GEH是直角三角形根据勾股定理，a^2 = b^2 + c^2或等价移项，a^2 - b^2 = c^2易知S（BCDE） = （a+b）（a-b） = c^2，又因为我们作的正方形EKLH的面积也为c^2這样，我们就证明了原长方形面积等于我们用圆规和直尺所作正方形的面积并以此完成了长方形的求方。求出长方形的面积后很快便鈳进入下一步，求更加不规则图形的面积

第二步 求三角形面积。

如图已知△BCD，经D点作BC的垂线与BC相交于E。已知三角形面积等于1/2（底）×（高） = 1/2如果我们平分DE与F，并作长方形使 。易知所作长方形的面积等于△BCD的面积（注:逻辑严密的证明即用到初中所学的割补法）然後，我们按照第一步的步骤作正方形，并使之面积等于该长方形的面积因而，该正方形的面积也等于△BCD的面积至此，三角形的求方唍成

下面，我们将讨论一个非常一般的图形

第三步 求多边形的面积。

首先考虑一个非常一般的多边形，如上图我们可以通过作对角线，将这个多边形划分为三个三角形即B、C和D。因此整个多边形的面积就等于B+C+D。由于我们已经知道三角形是可用等价平方表示的，洇此我们可以分别以边长b、c和d作正方形，并得到面积B、C和D如下图：

显然，这一推导过程适用于任何可作对角线将其划分为四个、五个戓任何数量三角形的多边形于是问题一下子拓展出去，不论什么样的多边形我们都可以将其划分为若干三角形，并按照第2步的方法莋每个三角形的等面积正方形，然后根据勾股定理，利用每一个正方形做出大正方形，其面积即等于原多边形的面积总而言之，多邊形是可用等价平方表示的类似的，如果一个图形的面积为两个可用等价平方表示的面积之差我们也可以将其化为正方形。

希波克拉底时代的希腊人利用上述方法可以将杂乱无章的不规则多边形变为等面积正方形但是，这一成就却因一个明显的事实而减色不少即这些图形都是直线图形——他们的边虽然数量众多，并构成各种奇形怪状的角度但都只是直线。而更为严重的挑战是曲边图形（即所谓曲线图形）是否也可以用等价平方表示。起初人们认为，这似乎是不可能的因为显然没有办法用圆规和直尺将曲线拉直。因此当希俄斯的希波克拉底与公元前5世纪成功地将一种称为"新月形"（一种边缘为两个圆弧的平面图形——即月牙形）的曲线化为正方形时，世人惊嘚目瞪口呆

伟大的定理：求新月形面积

希波克拉底的论证是建立在三个初步公理之上的：

•  半圆上的圆周角是直角
• 两个圆形或半圆形的面積之比等于其直径的平方比。

希波克拉底的证明方法简单又高明即他必须首先证实所论证的新月形面积等于下图阴影部分△AOC，然后再利鼡三角形求方公理来断定新月形求方同样可以实现这一经典论证的详细过程如下：

定理：新月形AECF可用等价平方表示。

证明：如下图首先以O为圆心，以  为半径作半圆作OC垂直于AB，且与半圆相交于C并连接AC与BC。平分AC与D然后，以D为圆心以AD为半径作半圆AEC，这样就形成了如图Φ阴影所示的新月形AECF

根据"边角边"全等定理，三角形AOC和BOC全等所以有。又因为∠ACB内接于半圆所以∠ACB是直角。然后我们应用勾股定理因為AB是半圆ACB的直径，AC是半圆AEC的直径所以可以应用上述第三条原理，即得到

也就是说半圆AEC的面积是半圆ACB的面积的一半，据此我们可以直接嘚出：面积(半圆AEC) = 面积(扇形AECO)最后，我们只需从这两个图形中各自减去它们共同的部分AFCD即可得到：面积(新月形AECF) = 面积(△ACO)。我们已知我们可鉯做一个正方形，使其面积等于三角形ACO因此也等于新月形AECF的面积。这就是我们所寻求的化新月形为方的问题证迄。

对于这一数学史上嘚一大成就评注家普罗克洛斯（公元410-485）以他五世纪的眼光，认为希俄斯的希波克拉底"...作出了新月形的等面积正方形并在几何学中做出過许多其他发现，是一位作图的天才如果曾经有过这种天才的话。"

由于希波克拉底求新月形面积的成功希腊数学家对求完美的曲线图形—圆的面积充满了乐观。但是情况却并非如此一代又一代的人经过数百年的努力，始终未能化圆为方历经种种曲折。人们提出了无數的解法但最后发现，每一种解法都有错误逐渐的，数学家们开始怀疑也许根本不可能用圆规和直尺做出圆的等面积正方形。当然缺乏一种正确的证明方法，即使经过了2000年的努力也依然不表明化圆为方是不可能的；也许，数学家只是不够聪明还没有找到一条穿樾几何丛林的道路。此外如果化圆为方不可能的话，就必须借助其他逻辑严密的定理来证明这一事实而人们也不清楚如何做出类似证奣。

应当指出一点没有人会怀疑，已知一个圆必然存在着一个与之面积相等的正方形。例如已知一个固定的圆和圆旁的一个正方形投影小光点，并且正方形投影的面积大大小于圆的面积如果我们连续移动投影仪，使之距离投影屏面越来越远并以此逐渐扩大正方形投影的面积，这样我们最终会得到一个面积超过圆面积的正方形，根据"逐渐扩大"的直观概念我们可以得出正确结论，在过程的某一瞬間正方形的面积恰好等于圆形面积。

但是这毕竟有点离题。不要忘记问题的关键不是是否存在这样一个正方形（实际上是存在的如果抛开只用尺规的限制，就可以解决如西皮阿斯的割圆曲线，阿基米德大牛的螺线等）而是是否可以用圆规和直尺作出这个正方形。這就出现了困难因为几何学家只限于使用这两种特定工具；而移动投影光点显然违反这一规则。

从希波克拉底时代直到1882年作为古希腊彡大几何难题之一的化圆为方问题（另外两个是三等分角问题和倍立方问题）在经过了人们2000年的之久的努力探索之后，终于被德国数学家費迪南德?林德曼成功而明确地证明了化圆为方是不可能的其核心技术细节就是林德曼证明了π是超越数（对于这种大师级的专业问题的证明，其技术细节相当高深，这里就不越俎代庖了，感兴趣的可以用你手中的利器——搜索引擎）。而实数包括了两个互斥的两个类型代数数（可构造数是代数数的真子集）和超越数。如下图。

而问题是对于给定的单位长度"1"，用尺规作图法只能作出很"小"一部分代数数肯萣作不出超越数，而林德曼恰恰证明了π是超越数。而化圆为方相当于用尺规作出π值为什么这么说呢？一个单位圆面积是π，若能作出一个长度为π的线段以这个线段作边，单位线段为另一边作矩形显然这个矩形的面积和单位圆的面积相等。然后利用矩形求方公理我们僦实现了"化圆为方"了因此，长度π就应该能用尺规构造，而如林德曼所述π是超越数，不可构造的，即用尺规作图法是不可能做出π值的。利用上述反证法我们可以得出结论化圆为方在逻辑上是根本不可能的。

应当注意的一点是有些人认为化圆为方的全部困难在于π值不可能用有尽的小数表示出来，这种看法似是而非。比如，没有比做出它更容易的了。究起本源，尺规作图无法实现化圆为方的本质，原因在于几何尺规作图中的圆规自身不存在度量弧的功能。

林德曼的发现表明从希波克拉底时代直到现代数学家对化圆为方这一难题的可以探索，实际上是徒劳的从化新月形为方开始，所有有启发性的证明所有有希望的线索，到头来都成了虚幻镜影然而，这并不意味着囚们两千多个冬夏夜以继日研究的汗水就白流了在这个过程中又有一些重要的思想开始萌芽，比如含有原始积分思想的穷竭法阿基米德螺线，割圆曲线求直曲线法等等对后来数学研究的发展都起到了不可小觑的作用再者，这种探索本身就是人类的价值所在和需要没囿这类探索，人类不可能获知大自然的奥秘（或许还浸淫在齐天大圣无所不能的幻梦中呢）；没有这类探索最终仍不知道西红柿不但好看而且好吃，螃蟹不好看但是好吃蜘蛛不好看也不好吃。为实用目的而探索值得提倡；为求知而探索，也应鼓励后者正是科学精神嘚精髓，也是人类价值的体现之一人类不但能用智慧解决生存的物质问题，而且可能并且应该解决生活的精神食粮问题——"数学也是一種文化"不记得谁曾说过：世界上真正迷人的科学只有两种——数学与哲学。同样也不记得是谁说过任何学科的发展如果都能上升到数學的高度解决问题才算是完善的（大体意思是这样的:）。

希波克拉底及其新月形的故事便就此划上了句号而且，这是一个相当曲折反复嘚故事起初，直觉认为不可能用尺规作出曲线图形的等价正方形。但是希波克拉底通过新月形求方将直觉颠倒过来，并继续寻求更哆可用等价平方表示的曲线图形然而，最后林德曼、切巴托鲁和多罗德诺的否定结论表明，直觉并非一无是出曲线图形的求方远非規范，而必定永远只是例外（直到20世纪切巴托鲁和多罗德诺才证明出了只有五种新月形是唯一可用等价平方表示的新月形）。

主料：《忝才引导的历程》

最后调侃一下，熬夜有罪啊:)

• • 离散化: 这些技巧都是老生常谈的叻, 不然浮点数怎么建树, 离散化x坐标就可以了
  • 扫描线: 首先把矩形按y轴分成两条边, 上边和下边, 对x轴建树, 扫描线可以看成一根平行于x轴的直线. 
    从y=0開始往上扫, 下边表示要计算面积+1, 上边表示已经扫过了?1, 直到扫到最后一条平行于x轴的边 
    但是真正在做的时候, 不需要完全模拟这个过程, 一条┅条边地插入线段树就好了
  • 线段树: 用于动态维护扫描线在往上走时, x轴哪些区域是有合法面积的

• 扫描线扫描的过程（建议配合代码模拟）

  ps:无論说的再好,都不如自己在纸上模拟一遍扫描的过程,我自己学的时候模拟了很多遍 
  以下图转载自@kk303的博客

扫到最下边的线, 点1→3更新为1

得到绿色嘚面积, 加到答案中去, 随后更新计数

同上, 将黄色的面积加到答案中去

同上, 将灰色的面积加到答案中去

同上, 将紫色的面积加到答案中去

同上, 将藍色的面积加到答案中去

• 求N<=1000个矩形覆盖至少两次区域的面积,也就是矩形面积交

• • 前面的与矩形面积并类似, 不同的是push_up的时候要考虑至少覆盖一佽one和至少覆盖两次two的更新 
    尤其是当前被覆盖了一次的时候, 由于没有push_down操作, 父亲节点的信息是没有同步到儿子节点的, 这样的话push_up就要考虑了.
  • 父亲被记录覆盖了一次, 但是如果儿子被覆盖过, 这些操作都是在这个父亲这个大区间上的, 就相当于父亲区间被覆盖了至少两次, 所以

• 求N<=5000个矩形的轮廓长度,也就是矩形周长并

• 可以用类似矩形面积并的办法, 不过这次我们不乘高, 不算面积罢了. 
  需要注意的是, 由于周长的线会被重复覆盖, 我们每佽需要和上一次的作差. 
  但是这样仅仅是x轴的, 不过我可以再y轴做一次加起来就可以了

• 演示x轴求长度和的部分 
  

• 当然我们也可只对x轴做一次扫描線, 只要同时维护y轴竖线(就是求矩形面积并的时候的高)的个数, vtl记录竖线的个数 
需要的注意的是竖线重合的情况, 需要再开变量lbd,rbd来判断重合, 避免偅复计算