§3 二次曲线的切线和奇点

1、定义：若一直线l与二次曲线C交于二重合实点或l整个在二次曲线C上，则称l

为C的切线切线与C的公共点称为切点。

设（）∈C，以为切点的切线 l：

1°当（），（）不全为0时，

若X：Y不是渐近方向则l与C相切〈═〉l与C交于二重合实点

〈═〉△=[（，）X+（）Y]?-Φ（X，Y）F（）=0

〈═〉（，）X+（）Y=0〈═〉X：Y=-（，）：（）

若X：Y是渐近方向，则l与C相切〈═〉l处在C上〈═〉

（）X+（，）Y=0〈═〉X：Y=-（）：（，）

即 （）（x-）+（，）（y-）=0

（）x+（，）y-[（）+（，）]=0

（）x+（，）y+（）=0

注：在（，）与（）不全为0时，（*）即为以（）为切点的切线方程。不難看出若（，）使（），（）不全为0，则要求以为切点的切线只需要在C的方程中，以

2°当（）=（，）=0时

对过且沿非渐近方向嘚直线l： ，

△=[（）X+（，）Y]?-Φ（XY）F（，）=0

∴l是切线；而对任意过且沿渐近方向的直线l：

Φ（XY）=（，）X+（）Y=F（，）=0

∴l整个在曲线 即l也是切线

可见，若曲线C上一点（）使（，y）=（，）=0则过的任一直线均是C的切线。为使得过C上任一点只有唯一切线在这种情形下，通常只取过且沿渐近方向的直线作为C的切线

1、定义：二次曲线上坐标满足的点称为奇点。二次曲线上的非奇点又称为正常点

1°一点（，）为奇点〈═〉〈═〉

2°奇点必是中心，但中心未必是奇点，从而无心曲线没有奇点。

3°在奇点处，曲线有沿渐近方向的切线；而在正常点处，曲线有沿

X：Y=-（）：（，）的切线从而在正常点处，切线是唯一的

1°二次曲线有奇点的必要条件是=0

事实上若二次曲线有奇點（，）则

∴方程组 有非0解（，1）

思考：=0是否为二次曲线有奇点的充分条件？为什么

2°二次曲线有奇点的充要条件是其为有心二次曲线，其中心全在二次曲线上，

"═〉"设二次曲线F（x，y）=0有奇点

若曲线为中心二次曲线，则这唯一中心也是奇点

若曲线为线心曲线因它囿奇点 ∴方程组

∴中心全是奇点，从而所有中心都在曲线上

（i）l过点（3，-2）；

（ii）l过点（-10）。

解：（i）易验证点（3-2）在曲线上，且該曲线上无奇点∴切线方程为

（ii）易验证（-1，0）不在曲线上

法一：设过（-1，0）的切线l与曲线切于（）

设过（-1，0）饿切线l： 则

法三：設切线l： 则 X：Y =（x+1）：y

定义：设二次曲线F（xy）=0在处存在切线，称过且垂直于切线的直线为曲

求法：若（）是二次曲线F（x，y）上的正常点则