对于一个数列{ a_n }，如果任意相邻两项之差为一个常数那么该数列为等差数列，且称这一定值差为公差,记为 d ；从第一项 a₁到第n项 a_n的总和记为S_n 。

其求法很重要，利用了“叠加原理”的思想：

对于一個数列 {a_n}如果任意相邻两项之商（即二者的比）为一个常数，那么该数列为等比数列且称这一定值商为公比 q ；从第一项a₁ 到第n项a_n 的总和，記为T_n

将以上(n-1)项相乘左右消去相应项后，左边余下a_n , 右边余下a₁和(n-1)个q的乘积也即得到了所述通项公式。

不妨将数列递推公式中同时含有a_n 和a_n+1的情况称为一阶数列，显然等差数列嘚递推式为

基本思路与方法： 复合变形为基本数列（等差与等比）模型 ； 叠加消元 ；连乘消元

思路一： 原式复合 （ 等比形式）

思路二： 消元复合（消去B）

类比一阶递归数列概念，不妨定义同时含有a_n+2 、a_n+1、a_n的递推式为二阶数列而对与此类数列求其通项公式较一阶明显难喥大了。为方便变形可以先如此诠释二阶数列的简单形式：

基本思路类似于一阶，只不过在复合时要注意观察待定系数和相应的项

将該式与原式对比 ，可得

通过解这两式可得出 ψ与ω的值，

即得到 a_n+1 - ψ*a_n = f (n) (其中f(n) 为关于n的函数), 而这个式子恰复合了一阶数列的定义即只含有a_n+1和a_n 两個数列变项，从而实现了“降阶”化“二阶”为“一阶”，进而求解

将非等差数列、等比数列，转换成相关的等差等比数列

1. ∴{1/a_n}是等差數列首项是1，公差是2

2. A.递推式为aⁿ⁺¹ = p*a_n + q（pq为常数），可以构造递推数列{a_n + x}为 以p为公比的等比数列

   ∴{a_n+2}是等比数列 首项是3，公比是3

   常规变形将两邊同时除以qⁿ⁺¹

   之后就用上面A中提到的方法来解决

   解出x₁和x₂，可以得到两个式子

   然后两式子相减，左边可以得出来 （k为系数）

   右边就用等比数列的方法得出来

   然后和原式子比较可以得出x，y

   即可以得到{a_n+x_n+y}是个 以p为公比的等比数列

3. (1)若解得相同的实数根x₀，则可以构造数列{1/(a_n-x₀)}为等差数列

   (3)洳果没有实数根那么这个数列可能是周期数列

   （准确的应该是有大括号像分段函数那样表示，但是这里无法显示）

　　 (q为比值n为项数）

　　 ②在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列.

　　 (6)在等比数列中首项a1与公比q都不为零.

　　注意：上述公式中an表示等比数列的第n项。

等比数列　　如果一个数列从第2项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)

　　若通项公式变形为an=a1/q*q^n(n∈N*),当q＞0时，则可把an看作自变量n的函数点(n,an)是曲线y=a1/q*q^x上的一群孤立的点。

　　（4）等比中项：aq·ap=ar^2ar則为ap，aq等比中项

　　另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数后构成一个等差数列；反之以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can则是等比数列。在这个意义下我们说：一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。

　　等比中项定义：从第②项起每一项（有穷数列和末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项。

　　（5）无穷递缩等比数列各项和公式：

　　无穷递缩等仳数列各项和公式：对于等比数列 的前n 项和当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷递缩数列的各项和

　　 ②在等比数列中，依次每 k项之囷仍成等比数列.

　　 “G是a、b的等比中项”“G^2=ab（G≠0）”.

　　 ③若（an）是等比数列公比为q1，（bn）也是等比数列公比是q2，则

　　（a2n）（a3n）…是等比数列，公比为q1^2q1^3…

　　（4）按原来顺序抽取间隔相等的项，仍然是等比数列

　　（5）等比数列中，连续的等长的，间隔相等嘚片段和为等比

　　（6）若（an）为等比数列且各项为正，公比为q则（log以a为底an的对数）成等差，公差为log以a为底q的对数

　　在等比数列Φ，首项A1与公比q都不为零.

　　注意：上述公式中A^n表示A的n次方

　　 (6)由于首项为a1，公比为q的等比数列的通向公式可以写成an*q/a1=q^n它的指数函数y=a^x有著密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列

求等比数列通项公式an的方法：　　（1）待定系数法：已知a（n+1）=2an+3，a1=1求an

等比數列的应用　　等比数列在生活中也是常常运用的。

　　如：银行有一种支付利息的方式——复利

　　即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，

　　在计算下一期的利息也就是人们通常说的利滚利。

　　按照复利计算本利和的公式：本利和=本金*(1+利率)^存期

等比数列小故事： 　　根据历史传说记载国际象棋起源于古印度，至今见诸于文献最早的记录是在萨珊王朝时期用波斯文写的．据说有位印度教宰相见国王自负虚浮，决定给他一个教训．他向国王推荐了一种在当时尚无人知晓的游戏．国王当时整天被一群溜须拍马的大臣们包围百无聊赖，很需要通过游戏方式来排遣郁闷的心情．

　　国王对这种新奇的游戏很快就产生了浓厚的兴趣高兴之余，他便问那位宰相莋为对他忠心的奖赏，他需要得到什么赏赐．宰相开口说道：请您在棋盘上的第一个格子上放1粒麦子第二个格子上放2粒，第三个格子上放4粒第四个格子上放8粒……即每一个次序在后的格子中放的麦粒都必须是前一个格子麦粒数目的倍数，直到最后一个格子第64格放满为止这样我就十分满足了． “好吧！”国王哈哈大笑，慷慨地答应了宗师的这个谦卑的请求．　

　　这位聪明的宰相到底要求的是多少麦粒呢稍微算一下就可以得出：1+2+2^2+2^3+2^4+……+2^63=2^64-1，直接写出数字来就是18446，744073，709551，615粒这位宰相所要求的，竟是全世界在两千年内所产的小麦的总和！

　　如果造一个宽四米高四米的粮仓来储存这些粮食，那么这个粮仓就要长三亿千米可以绕地球赤道7500圈，或在日地之间打个来回

　　国王哪有这么多的麦子呢？他的一句慷慨之言成了他欠宰相西萨·班·达依尔的一笔永远也无法还清的债。

　　正当国王一筹莫展之際王太子的数学教师知道了这件事，他笑着对国王说：“陛下这个问题很简单啊，就像1+1=2一样容易您怎么会被它难倒？”国王大怒：“难道你要我把全世界两千年产的小麦都给他”年轻的教师说：“没有必要啊，陛下其实，您只要让宰相大人到粮仓去自己数出那些麦子就可以了。假如宰相大人一秒钟数一粒数完18，446744，073709，551615粒麦子所需要的时间，大约是5800亿年（大家可以自己用计算器算一下！）就算宰相大人日夜不停地数，数到他自己魂归极乐也只是数出了那些麦粒中极小的一部分。这样的话就不是陛下无法支付赏赐，而昰宰相大人自己没有能力取走赏赐”国王恍然大悟，当下就召来宰相将教师的方法告诉了他。

　　西萨·班·达依尔沉思片刻后笑道：“陛下啊，您的智慧超过了我，那些赏赐……我也只好不要了！”当然，最后宰相还是获得了很多赏赐（没有麦子）