没有一个f的成绩可不可以升高中会考成绩查询
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重点高中能否提高学生的学业成绩--基于f县普通高中的一个断点回归设计研究
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重点高中能否提高学生的学业成绩——基于F县普通高中的一个断点回归设计研究（二）
北京大学教育评论
作者简介：
王骏，男，北京师范大学经济与工商管理学院博士研究生。
孙志军，男，北京师范大学经济与工商管理学院/首都教育经济研究院教授，博士。
作者感谢北京师范大学经济与工商管理学院刘泽云教授的修改意见，感谢两位匿名审稿人的宝贵建议。当然，文责自负。
本文使用F县两届普通高中学生全样本数据，利用普通高中招生录取方式对学生能否进入重点高中产生的外生影响，根据断点回归设计的原理，研究了重点高中对学生学业成绩的影响。估计结果表明，就理科生来看，重点高中学生的高考总成绩、数学和语文成绩都高于一般高中，但从数值上看，这一差异并不大；就文科生来看，重点高中与一般高中无显著差别。这说明，重点高中对学生学业成绩仅产生了微弱的正面影响。但由于学习能力和学习基础较好的学生更愿意选择理科，重点高中对不同学科类别学生学业成绩的影响反映的可能是重点高中对不同学习能力和学业基础学生学业成绩的影响。不同学科对学校资源的依赖性不同、学校内部在不同学科资源配置的偏好不同也可能导致这种影响的学科差异。此外，重点高中对女生学业成绩的影响更大，对城市学生高考成绩的影响明显大于农村学生，但对农村学生数学和语文成绩的影响更大。
上文见：重
&五、研究结果
带宽与多项式次数的选取
局部多项式回归的关键之一是确定多项式的次数和带宽。按照经验原则，局部多项式回归所涵盖的断点附近的应该在总样本量的2.6%~35.2%之间，如果对应到本文中，理科生样本和文科生样本的局部多项式回归所涵盖的断点附近的样本量分别为112~1511人和42~563人（研究主要参考三种最优带宽经验确定原则：根据哈恩、 托德和范德克劳提出的N-2/5~N-1/5原则，断点左右两侧样本所占比重为 6.2%~35.2%，对应在本文中，理科生和文科生的样本量分别为 266~1511 人和 99~563 人；根据因本斯和勒米厄提出的N-1/2原则，断点左右两侧样本所占比重为 2.6%，对应在本文中，理科生和文科生的样本量分别为112人和42人；根据路德维格和米勒提出的10%原则，断点左右两侧样本所占比重为10%，对应在本文中，理科生和文科生的样本量分别为429人和160人。参见：Lee, D. S. & Lemieux, T. [2010]. Regression discontinuity designs in economics, Journal of Economic Literature, 48[2], 281-355）。据此，为保证估计结果的稳健性，本研究拟考察在6个不同带宽下的局部多项式回归，这6个带宽分别为±0.05、±0.10、±0.15、±0.20、±0.25和±0.30个标准差。带宽确定后，根据各自由度调整后的拟合优度和多项式估计系数的联合显著性检验确定在每个宽带下的多项式的最佳次数，如表5所示。
表6和表7给出了在带宽±0.3个标准差范围内不同带宽的OLS和IV估计结果。从中可以得到以下两条结论。第一，重点高中对学生高考成绩的影响存在明显文理科差异：对于理科，重点高中有显著的正向影响，而对于文科则不存在显著的影响。以IV估计为例，在理科生的估计结果中，与一般高中相比，重点高中学生的高考综合成绩高0.139~0.187个标准差，数学成绩高 0.131~0.152 个标准差，语文成绩高0.145~0.221个标准差；而对于文科生来讲，除了第一个带宽值处的数学成绩外，其他带宽下重点高中学生的高考综合成绩、数学成绩和语文成绩与一般高中学生都不具有统计显著性的差异。
第二，重点高中对学生高考语文成绩影响的估计系数要略高于对高考数学成绩影响的估计系数，但这并不能说明重点高中对学生语文学习的促进作用比对数学学习的促进作用更大，因为高考语文成绩和高考数学成绩具有不同的标准差。如表3所示，高考数学成绩的标准差在22分左右，而高考语文成绩的标准差在12分左右，这样对于理科生来说，重点高中能够使其高考数学成绩提高2.9~3.4分，而只能使其语文成绩提高 1.7~2.7 分，相比较而言，重点高中对理科生的高考数学成绩影响更大。
总体来说，在不同的带宽下，两种估计方法带来的估计系数虽然数值上因为所取带宽的不同而稍有差异，但在方向上保持一致，且估计数值没有较大波动，因此，本文的估计结果是比较稳健的。
（三） &有效性检验结果
1. 驱动变量连续性检验结果
图3为中心化处理后理科生和文科生的中考成绩标准分的密度函数图，横轴是中心化处理后的中考成绩标准分，纵轴是频率。如图3所示，无论对理科生还是文科生，中心化处理后的中考成绩标准分的密度函数图在统招线处均未出现跳跃点，故符合驱动变量的连续性假定。实际上，从理论上讲，中考成绩也没有被学生个体精确控制的可能，因为重点高中统招线是在中考结束后根据重点高中招生指标和学生成绩排名共同确定的，学生在中考前并无任何参照。
2. 控制变量连续性检验结果
图4反映了各控制变量在中考成绩上的分布，横轴为以统招线为中心进行中心化处理后的中考成绩标准分，纵轴从左至右依次为男生所占比重、城镇学生所占比重和高考时平均年龄。如图4所示，直观地讲，三个控制变量在统招线附
近并没有明显的跳跃，是连续的，基本符合连续性假定。表8给出了对式（5）的估计结果表明，SUR回归下的联合显著性检验均未能拒绝是否上重点高中的估计系数为0的原假设；而IV估计系数不是统计显著地为0，就是在10%的显著性水平上不具有统计显著性。这说明，年龄、户口和高考时年龄三个控制变量并没有因为学生是否上重点高中而产生差异，即符合控制变量的连续性假定。
3. 模型设定检验结果
最后，本文检验是否由于模型设定的缘故导致了以上估计结果。取统招线左右各10分作为假象的断点，然后用前面类似的方法进行估计。如果本文的方法是对的，那么在这些假想的断点处就不应该发现显著的结果。与前面估计的一个不同的细节是，由于已知在统招线处存在断点，于是在这些假象的断点处做估计时，样本不能取太大 [43]。例如如果假想的断点是464分，那么样本只能取到460分与468分，这就相当于一个在464分处±0.15个标准差的局部估计。模型设定检验的基本结果如表9所示。所有模型的估计系数在10%的显著性水平上均不具有统计显著性，也就是说在10%的显著性水平上，这些估计系数都与0无差异。这充分说明，本文的断点设计是合适且有效的。
六、 &分析与讨论
一） &学科差异从何而来 & & & &
由于我国普通高中遵循着文理分科制度，且高考中的数学试题和综合试题存在显著的学科类别差异，因此本文分文理科对重点高中与学生学业成绩的因果关系进行了识别。研究发现，重点高中理科生的学业成绩显著高于一般高中，但文科生与一般高中无显著差异。基于F县的教育教学现状，这可能由以下两点原因所致。
首先，理科生和文科生对学校资源投入的依赖性不同。一般来说，理科生对学校投入的依赖性更强，其学业成绩的提高更需要教师的引领和帮助，而文科生对学校投入的依赖性较弱，教师在学生学习过程中主要起到辅助的作用。由于重点高中学校资源投入明显优于一般高中，因此重点高中显著提高了理科生的高考成绩，却没有对文科生产生显著的影响。
其次，重点高中和一般高中在学校内部对文理科生资源配置的偏好不同。由于高考属于高利害性考试（high stake tests），高考成绩及升学率指标对高中学校教育教学发展具有极强的指挥棒作用，那么学校按照比较优势的原理，将本学校的优势资源投入到具有比较优势的学生群体。重点高中本着“追高求优”的原则，会更加注重理科生的发展，故更为优质的学校资源会流向理科生；与之相反，一般高中本着“拔优求稳”的原则，会更加注重文科生的发展，故一般高中更为优质的学校资源会流向文科生。因此，学校资源流向的倾向性不同，扩大了重点学校与一般学校的理科生学业成绩的差异，而缩小了两类学校文科生学业成绩的差异，这也会造成重点高中对理科生高考成绩影响显著而对文科生高考成绩影响不显著的结果。
正是由于这个原因，在低于重点高中统招线且偏向于理科的学生可能更倾向于上重点高中而不是上一般高中，而在重点高中统招线附近偏向于文科的学生可能更倾向于选择一般高中。学生这种基于学科考虑的选校偏好有可能造成OLS估计值高估重点高中对理科生高考成绩的影响，但低估重点高中对文科生高考成绩的影响（遗漏重要解释变量 [如学生的选校偏好] 将导致OLS估计可能产生来自两个方向的偏误：如果遗漏的重要解释变量与上重点高中成正相关，那么OLS估计将会产生向上的偏误；如果遗漏的重要解释变量与上重点高中成负相关，那么OLS估计将会产生向下的偏误），详见表6和表7。
（二） &影响理科生还是绩优生
实际上，上述分析是在命题“重点高中对学生学业成绩的影响存在学科差异”成立的前提下得到的，而该命题成立的之一就是不同学科类别的学生群体同质（换言之，学生的学科类别是外生的，并不是内生选择的结果）。验证该先决条件是否被满足的可行方法是：特征变量不同取值下两个群体学生的数量比例应当是近似相等的。以中考成绩为例，图5报告了中考成绩与学生文理科分布的关系。横轴为中心化处理后的中考成绩标准分，纵轴为文科生所占比重。笔者发现，文科生所占比重在统招线附近存在明显的断点，且中考成绩越高，最终选择文科的学生比重越小，这表明学习能力和学习基础较好的学生更愿意选择理科。换言之，学生的学科类别对中考成绩是非随机的，与学习能力和学习基础相关。这种现象在重点高中和一般高中均存在。因此，表6的估计系数不仅反映了重点高中对理科生学业成绩的影响，也在一定程度上反映了重点高中对学习能力和学习基础相对较好的学生学业成绩的影响；表7的估计系数不仅反映了重点高中对文科生学业成绩的影响，也在一定程度上反映了重点高中对学习能力和学习基础相对较差的学生学业成绩的影响。因此，需要谨慎对待关于“重点高中对学生学业成绩影响存在学科差异”的判断和分析。
遗憾的是，基于已有的数据和分析，这两种影响难以区分。本文提出一个可能的解决策略。学生非随机地选择学科类别，如同劳动者非随机地选择到不同的部门工作。重点高中对不同学科类别学生学业成绩的影响不同，如同不同部门的工资决定机制不同。因此，估计重点高中对学生学业成绩的影响，如同估计不同部门的教育回报率，二者共同面临的都是样本选择问题。李（L.F.Lee）[44]、马达拉（G.S.Maddala）[45]、德宾（J.A.Durbin）和麦克法登（D.L.McFadden）[46]、达尔（G.B.Dahl）等[47]学者的研究为解决多元样本选择偏差问题提供了思路。在本文的研究背景下，其基本步骤是：在第一阶段用多元logit或probit模型针对全部学生估计其选择不同学科类别的选择方程（选定某一学科为对照组），得到学生选择各个学科类别的概率，并由此构造选择偏差修正项。在第二阶段将选择偏差修正项作为解释变量加入仅包括某一学科类别的估计方程中，从而得到重点高中对每个学科类别学生学业成绩的影响。赫克曼 [48] 指出，选择方程中必须至少有一个不出现在第二阶段估计方程中的作为识别变量（Identifying variables）以满足非线性假定。由于本研究使用的行政数据提供的变量有限，我们没有找到合适的识别变量（如学生的兴趣爱好等）。
（三） &影响是同质的还是异质的
断点回归设计得到的是局部平均处理效应，其估计结果具有多大的普适性值得探讨，特别是当处理效应存在异质性的时候。这个问题在本研究中尤为突出。由于断点右侧即高于录取线的学生在重点高中很可能是差生，从而获得低于平均水平的教育资源，而断点左侧即低于录取线的学生在一般高中很可能是绩优生，从而获得高于平均水平的教育资源。因此，将重点高中的差生与一般高中的绩优生进行比较，以得到重点高中对学生学业成绩的影响的做法，值得商榷。
此外，正如引言所提到的，重点高中对不同特征群体学业成绩的影响也可能存在异质性。这里分别估计了重点高中对男生、女生、城市学生、农村学生学业成绩的影响。为简便起见，模型统一控制了中心化处理后的中考成绩标准分的6阶多项式及其与重点高中的交互项，限于样本量，选择±0.3个标准差的带宽值，采用局部多项式回归和二阶段最小二乘的方法，估计结果如表10所示。
就文科而言，几乎所有的估计系数在10%的水平上统计不显著，表明重点高中并没有显著提高学生的学业成绩，这与表6和表7的估计结果一致。对女生和农村学生来说，重点高中的平均高考成绩甚至比一般高中分别低0.192个标准差和0.228个标准差，由于这些学生的平均数学成绩和语文成绩与一般高中学生并无显著性差异，因此他们的英语成绩和综合成绩可能显著低于一般高中学生。
就理科而言，重点高中对学生学业成绩影响的异质性则体现得更为明显。分性别来看，无论高考总成绩还是数学或语文单科成绩，男生样本的估计系数均不显著，而对女生来说，重点高中却能够显著提高其高考总成绩0.333个标准差、数学成绩0.364个标准差和语文成绩0.258个标准差，这说明重点高中对女生学业成绩的影响更大（这与杰克逊的估计结果基本一致。杰克逊使用特立尼达和多巴哥的中学数据研究发现，好学校对女孩的成绩增值是男孩的约3倍。虽然本研究没有得到如此大的性别差异，但仍然发现，好学校对女生的成绩增值明显大于男生）。分城乡来看，对城市学生来说，重点高中学生平均高考总成绩比一般高中高0.368个标准差，但在数学成绩和语文成绩方面，二者并无显著差异。而对农村学生来说，重点高中却能够显著提高其高考总成绩 0.229 个标准差，提高数学成绩0.260个标准差，提高语文成绩0.205个标准差。相比较而言，重点高中对城市学生高考总成绩的影响要明显大于农村学生，但对农村学生数学和语文成绩的影响更大，这说明重点高中对城市学生的影响可能主要体现在英语和综合成绩上。
除基准回归外，笔者还通过改变多项式次数（4阶多项式）、选择其他带宽值（±0.15个标准差）等方式对估计结果进行了稳健性检验。检验结果表明，不同多项式次数和带宽值组合下的估计结果基本一致。
&七、 &研究结论与不足
现实中人们更多地观察到重点高中学生的学业平均成绩高于一般高中，但是，学生的学业成绩既受到学校的影响，也受到个人先天能力以及家庭背景等因素的影响，从而用观察到的重点高中和一般高中学生学业成绩的差异并不能完全衡量重点高中的影响。根据断点回归设计的原理，本文利用我国普通高中招生录取方式对学生能否进入重点高中产生的外生影响，试图将重点高中对学生学业成绩的影响从诸多影响因素中分离出来，得到更为准确的估计。
本文使用F县2009届和2010届普通高中学生全样本数据的估计发现，第一，对理科生来说，就读重点高中会使其高考总成绩和数学成绩显著提高0.15个标准差左右，语文成绩则显著提高约0.2个标准差，转化为样本的实际分数，高考总成绩、数学和语文成绩提高的幅度分别约为14分、3分和2分。而样本中重点高中理科生比一般高中理科生的平均高考总成绩、数学和语文成绩分别高约了1.5、2.3和1.1个标准差（转化为实际分数，分别约为110分、24分和11分）。两者对照，说明重点高中对学生学业成绩的实际影响仅占10％左右。第二，对文科生来说，就读重点高中没有显著地提高其高考总成绩、数学和语文成绩。本文的估计通过断点回归设计所要求的连续性和模型设定检验，结果是比较稳健的。
对于上述结果，需要谨慎对待。在本文中，由于学习能力和学习基础较好的学生更愿意选择理科。因此，重点高中对不同学科类别学生学业成绩的影响，反映的可能是重点高中对不同学习能力和学业基础学生学业成绩的影响。多元样本选择模型可能是区别这两种影响的一个可行策略。其次，本文发现不同学科对学校资源的依赖性不同、学校内部在不同学科资源配置的偏好不同也可能导致重点高中对学生学业成绩的影响存在学科差异。最后，重点高中对学生学业成绩的影响存在异质性。分性别看，重点高中对女生学业成绩的影响更大。分城乡看，重点高中对城市学生高考成绩的影响明显大于农村学生，但对农村学生数学和语文成绩的影响更大。
当然，本文还存在两个明显的不足。首先，虽然全样本数据避免了由而带来的，但本文使用的数据缺失了在F县上高中但却在异地参加高考的样本，又在数据处理时人为地剔除了那些缺失中考成绩的样本，即在异地上初中而在F县上高中并在F县参加高考的样本，这两部分样本的损失有可能给模型估计带来一定程度的选择性偏误，由于这部分样本的结构特征并不明确，故只能假设这部分样本随机损耗。其次，本文也存在经验研究的共性问题，即内部有效性和外部有效性。由于本文只涉及一个区县的样本，且该区县的经济发展水平略高于全国平均水平，研究结果是否能够推广到其他地区，还需要基于更为丰富的数据的经验研究予以证实，本文仅仅是抛砖引玉。
（责任编辑 & &范皑皑）
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Zzfls郑州外国语学校初高中数学衔接教材100 页超权威超容量完整版 典型试题 举一反三 理解记忆 成功衔接 {郑州外国语学校教材系列}第一部分 如何做好初高中衔接 1-3 页第二部分 现有初高中数学知识存在的“脱节” 4 页 第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 5-9 页 第四部分 分章节讲解 10-66 页第五部分 衔接知识点的专题强化训练 67-100 页第一部分，如何做好高、初中数学的衔接● 第一讲 如何学好高中数学 ●初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中课程学好的愿望。但经 过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学，而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章节如听天书。 在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部分学生进入数学学习 的“困难期”，数学成绩出现严重的滑坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生畏惧感，动摇了学好数学的 信心，甚至失去了学习数学的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的根源还在于初、高中数学教学上的 衔接问题。下面就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数 学学习。 一 高中数学与初中数学特点的变化 １ Zzfls1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。 确实，初、高中的数学语言有着显著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下 子就触及抽象的集合语言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。 2 思维方法向理性层次跃迁。高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种题建立 了统一的思维模式，如解分式方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面几何问题，也 对线段相等、角相等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操作的定势方式。高中 数学在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不 是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽 象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。 3 知识内容的整体数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就有基本 概念52个，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在一起仅基本 概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多 课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，从而增加了教与学的难度。 这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要求：第一，要做好课后的复习工作，记 牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知识顺利地同化于原有知识结构之中。第三，因知识 教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时，其记忆效果不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形 成板块结构，实行“整体集装”。如表格化，使知识结构一目了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到 统一；使几类问题同构于同一知识方法。第四，要多做总结、归类，建立主体的知识结构网络。 二 不良的学习状态1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数，初中数学教师将各 种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望子成龙心切，回家后辅导也是常事。升 入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅导的能力也跟不上了。许多同学进入高中后，还象 初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。表现在不定计划，坐等上课，课前没有 预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”。 2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自已在初一、二时并没有用功学习，只是在 初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的还是重点中学里的重点班，因而认为读高中也不过如 此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上一所理想的大学的。 存有这种思想的同学是大错特错的。有多少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考了，发现自己缺漏了很多知 识再弥补后悔晚矣。 3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法。而一部 分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又不能及时巩固、总结、 寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，死记硬背。还有些 同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效甚微。 4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知 道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”轻“质”， 陷入题海。到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”。 ２ Zzfls5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。这就要求必 须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高。如二次函数值 的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形与灵活运用、空间概念的形成、排列组合应用题及实际应用问 题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然会跟不上高中学习的要求。 三 科学地进行学习高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动学习为主动 学习，才能提高学习成绩。 1 培养良好的学习习惯。反复使用的方法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包括制定 计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。 (1)制定计划使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内在动力。 但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。 (2)课前自学是上好新课、 取得较好学习效果的基础。 课前自学不仅能培养自学能力， 而且能提高学习新课的兴趣， 掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重点，突 破难点，尽可能把问题解决在课堂上。 (3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同学上课更 能专心听课，他们知道什么地方该详，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全录，顾此失彼。 (4)及时复习是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识体系的理 解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在笔记本上，使对 所学的新知识由“懂”到“会”。 (5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的 掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运用使对所学知识由“会”到“熟”。 (6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误， 或由于思维受阻遗漏解答， 通过点拨使思路 畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要反复思考。实在 解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，把求老师问同学获得的 东西消化变成自己的知识，使所学到的知识由“熟”到“活”。 (7)系统小结是通过积极思考， 达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。 小结要在系统复习的基 础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到对所学知识融 会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。 (8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级同学或老师交流学习心得等。课外学习 是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展 兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与学习热情。 2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有的同学贪多求快，囫囵 吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同学们要知道， 学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以完成的。为什么高中要学三年而不是三天！许 多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或 半自动化的熟练程度。 ３ Zzfls3 注意研究学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运 用所学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求 较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知识既要能钻进去， 又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是 这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步骤（归纳总结）是少不了的。第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。 2．因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对 三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。 3．二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用 的解题技巧。 4．初中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要内容。 配方、作简图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上函数最值等等 是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。 5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达定理）在初中不作要求，此 类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次不等式与二次方程相互转 化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。 6．图像的对称、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；左、 右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。 7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中这部分内容视为重难点。 方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。 8．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦 定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。４ Zzfls第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点1 绝对值： ⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。? a ( a ? 0) ? ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0 的绝对值是 0，即 a ? ? 0( a ? 0) ? ? a ( a ? 0) ?⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式: | x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ； | x |? a(a ? 0) ? x ? ?a 或 x ? a 2 乘法公式： ⑴平方差公式： a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) ⑵立方差公式： a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ⑶立方和公式： a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ⑷完全平方公式： (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ，(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc⑸完全立方公式： (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。 ⑶关于方程 ax ? b 解的讨论５ Zzflsb ①当 a ? 0 时，方程有唯一解 x ? ； a ②当 a ? 0 ， b ? 0 时，方程无解③当 a ? 0 ， b ? 0 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。6 不等式与不等式组 （1）不等式： ①用符不等号（&、≠、&）连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式： 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程： ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ①方程有两个实数根 ?? ? b2 ? 4ac ? 0②方程有两根同号 ?? ??0 ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ? ? ??0 ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?b c , x1 x2 ? a a６③方程有两根异号 ?④韦达定理及应用： x1 ? x2 ? ? Zzfls2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ,x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?? b 2 ? 4ac ? a a3 2 x13 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ? ? ?8 函数 （1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 y , x 间的关系式可以表示成 y ? kx ? b （ b 为常数， k 不等于 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数。②当 b =0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点， 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 y = k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 k ? 0， b ? O，则经 2、3、4 象限；当 k ? 0， b ? 0 时，则经 1、2、4 象限；当 k ? 0， b ? 0 时，则经 1、3、4 象限；当 k ? 0， b ? 0 时，则经 1、2、3 象限。 ④当 k ? 0 时， y 的值随 x 值的增大而增大，当 k ? 0 时， y 的值随 x 值的增大而减少。（4）二次函数：①一般式： y ? ax ? bx ? c ? a( x ?2b b 2 4ac ? b2 , ) ? ( a ? 0 )，对称轴是 x ? ? 2a 2a 4a（－ 顶点是b 4ac ? b 2 , )； 2a 4a2 ②顶点式： y ? a( x ? m) ? k ( a ? 0 )，对称轴是 x ? ? m, 顶点是 ? ?m , k ? ；③交点式： y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 )，其中（ x1 ,0 ），（ x2 ,0 ）是抛物线与 x 轴的交点（5）二次函数的性质７ Zzflsb ①函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? 对称。 2a b b ② a ? 0 时，在对称轴 （ x ? ? ）左侧， y 值随 x 值的增大而减少；在对称轴（ x ? ? ）右侧； y 的值随 x 值 2a 2a的增大而增大。当 x ? ?b 4ac ? b 2 时， y 取得最小值 2a 4a b b ）左侧， y 值随 x 值的增大而增大；在对称轴（ x ? ? ）右侧； y 的值随 x 值 2a 2a③ a ? 0 时，在对称轴 （ x ? ?b 4ac ? b 2 的增大而减少。当 x ? ? 时， y 取得最大值 2a 4a9 图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 10 平面直角坐标系 （1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫 做 y 轴或纵轴， x 轴与 y 轴统称坐标轴，他们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点。 （2）平面直角坐标系内的对称点：设 M ( x1 , y1 ) ， M ?( x2 , y2 ) 是直角坐标系内的两点， ①若 M 和 M ' 关于 y 轴对称，则有 ?? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? y2②若 M 和 M ' 关于 x 轴对称，则有 ?? x1 ? x2 。 y1 ? ? y2 ? ? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? y2 。 ? y1 ? x2③若 M 和 M ' 关于原点对称，则有 ?④若 M 和 M ' 关于直线 y ? x 对称，则有 ?⑤若 M 和 M ' 关于直线 x ? a 对称，则有 ? 11 统计与概率：? x1 ? 2a ? x2 ? x2 ? 2a ? x1 或? 。 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2（1）科学记数法：一个大于 10 的数可以表示成 A? 10 的形式，其中 A 大于等于 1 小于 10， N 是正整数。 （2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分 比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角 ８N Zzfls的度数与 360 度的比。 （3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化 情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 （5）平均数：对于 N 个数 x1 , x2 ,? , xN ，我们把1 ( x ? x ? ? ? xN )叫做这个 N 个数的算术平均数，记为 x 。 N 1 2（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一 个权，这就是加权平均数。 （7）中位数与众数：①N 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这 组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参 加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端 值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。 （8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成 总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的 一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间， 人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本 的代表性和广泛性。 （9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连 续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。 （10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平 均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。 （11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不 会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生， 这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。 （12）概率：①人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发生的可能性。②游 戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为 1，记作 P （必然事件） ? 1 ；不可能事件发生的 概率为 0 ，记作 P （不可能事件） ? 0 ；如果 A 为不确定事件，那么 0 ? P( A) ? 1９ Zzfls第四部分1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４ 分式 1．2 分解因式分章节突破2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 3．1 一元二次不等式解法 相似形１０ Zzfls3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3 圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身， 负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值仍是零． 即 ? a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ? ? a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义： a ? b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离． 例 1 解不等式： x ?1 ? x ? 3 ＞4． 解法一：由 x ? 1 ? 0 ，得 x ? 1 ；由 x ? 3 ? 0 ，得 x ? 3 ； ① x ? 1 ，不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ， 若 即 ?2 x ? 4 ＞4，解得 x＜0， 又 x＜1， ∴ x＜0； ② 1 ? x ? 2 ，不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ， 若 即 1＞4， ∴ 不存在满足条件的 x； ③ x ? 3 ，不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ， 若 即 2 x ? 4 ＞4， 解得 x＞4． 又 x≥3，∴ x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0，或 x＞4． |x－3| 解法二：如图 1．1－1， x ? 1 表示 x 轴P x C 0 |x－1| 图 1．1－1 A 1 B 3 D 4 x １１上坐标为 x 的点 P 到 Zzfls坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|， 即|PA|＝|x－1|； |x－3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|， 即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式 x ?1 ? x ? 3 ＞4 的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧． x＜0，或 x＞4．练 习 1．填空： （1）若 x ? 5 ，则 x=_________；若 x ? ? 4 ，则 x=_________. （2）如果 a ? b ? 5 ，且 a ? ?1 ，则 b＝________；若 1 ? c ? 2 ，则 c＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （A）若 a ? b ，则 a ? b （C）若 a ? b ，则 a ? b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． （B）若 a ? b ，则 a ? b （D）若 a ? b ，则 a ? ?b（）1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ； 2 2 2 （2）完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? ． b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 2 3 （1）立方和公式 (a ? b) (a ? a b 2 b) ? 3 a? ； ? b 2 3 （2）立方差公式 (a ? b) (a ? a b 2 b) ? 3 a? ； ? b 2 2 2 2 （3）三数和平方公式 (a ? b ? c ? a ? b ? c 2 ( a b? b c ；a c ) ? ?) 3 3 2 3 （4）两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a2b ? ； b 3 3 2 2 3 （5）两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例 1 计算： ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) ． 解法一：原式= ( x 2 ? 1) ?( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? ? ? = ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x6 ? 1． 解法二：原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ? 1) = x6 ? 1． 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 ， ab ? bc ? ac ? 4 ，求 a 2 ? b2 ? c2 的值． 解： a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 ．练 习 1．填空： （1）1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) （ 9 4 2 3）；１２ Zzfls2 2) ? 16m ? 4m ? ( （3） (a ? 2b ? c) ? a2 ? 4b2 ? c2 ? (（2） (4m ? 2．选择题：2)； )．（ （D） ）1 mx ? k 是一个完全平方式，则 k 等于 2 1 2 1 2 2 （A） m （B） m （C） m 4 3 2 2 （2）不论 a ， b 为何实数， a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值（1）若 x ?21 2 m 16（ ）（A）总是正数 （C）可以是零（B）总是负数 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b ， a2 ? b2 等是无理式，而 2 x 2 ? 理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理 化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数 式互为有理化因式， 例如 2 与 2 ， a 与 a ， 3 ? 6 与 3 ? 6 ， 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ， 等等． 一 3 2 般地， a x 与 x ， a x ? b y 与 a x ? b y ， a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理 化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式 a2 的意义a2 ? a ? ??a, a ? 0, ??a, a ? 0.2 x ? 1 ， x2 ? 2xy ? y2 ， a2 等是有 2例1将下列式子化为最简二次根式： （1） 12b ； （2） a2b (a ? 0) ； （3） 4 x 6 y ( x ? 0) ．解： （1） 12b ? 2 3b ； （2） a 2b ? a b ? a b (a ? 0) ； （3） 4 x 6 y ? 2 x3 例2y ? ?2 x3 y ( x ? 0) ．计算： 3 ? (3 ? 3) ．解法一：3? ( 3 ?3＝ )3 3? 3＝3 ? (3 ? 3) (3 ? 3)(3 ? 3)１３ Zzfls解法二： 例33? ( 3 ?3 3 ?3 9?3 3( 3 ? 1) ＝ 6 3 ?1 ＝ ． 2 3 3＝ ) 3? 3＝3 3( 3 ? 1) 1 ＝ 3 ?1＝ ＝ ＝2 和 2 2－ 6 . 6?43 ?1 ( 3 ? 1)( 3 ? 1)3 ?1 ． 2试比较下列各组数的大小： （1） 12 ? 11 和 11 ? 10 ； （2）解： （1）∵ 12 ? 11 ?12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 ， ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11 1 1? 1 10 ? ( 11 ? 10 )( 11 ? 10 ) ? 1 1? 1 0 11 ? 1 ， 101 1?10 ?又 12 ? 11 ? 11 ? 10 ， ∴ 12 ? 11 ＜ 11 ? 10 ．2 2－ 6 (2 2－ 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6 又 4＞2 2， ∴ 6＋4＞ 6＋2 2， 2 ∴ ＜ 2 2－ 6 . 6?4 例 4 化简： ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 ．（2）∵2 2－ 6 ? 解： ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 ＝ ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2) ＝ ?( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? ? ? 2004 ＝ 1 ? ( 3 ? 2) ＝ 3? 2 ． 例 5 化简：（1） 9 ? 4 5 ； （2） x 2 ?2004? ( 3 ? 2)1 ? 2(0 ? x ? 1) ． x21 1 （2）原式= ( x ? )2 ? x ? ， x x ∵0 ? x ? 1 ， 1 ∴ ?1? x ， x 1 所以，原式＝ ? x ． x解：（1）原式 ? 5 ? 4 5 ? 4? ( 5) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? (2 ? 5) 2? 2? 5 ? 5 ?2．１４ Zzfls例 6 解：3? 3? 3? ∵x ? y ? 3?已知 x ?2 3? 2 ，求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 ． ,y? 2 3? 2 2 3? 2 ? ? ( 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 10 ， 2 3? 23? 2 3? 2 ? ?1， 3? 2 3? 2 ∴3x2 ? 5xy ? 3 y 2 ? 3( x ? y)2 ?11xy ? 3?102 ?11 ? 289 ． xy ?练 习1．填空： （1）1? 3 ＝__ 1? 3___； ___；2 （2）若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ，则 x 的取值范围是_ _（3） 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ （4）若 x ? 2．选择题：___； __．5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ，则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1x ? x?2 （A） x ? 2等式 3．若 b ?x 成立的条件是 x?2 （B） x ? 0（ （C） x ? 2 （D） 0 ? x ? 2）a2 ?1 ? 1 ? a2 ，求 a ? b 的值． a ?15－ 4（填“＞”，或“＜”）．4．比较大小：2－ 31.1.４．分式1．分式的意义 形如A A A 的式子，若 B 中含有字母，且 B ? 0 ，则称 为分式．当 M≠0 时，分式 具有下列性质： B B BA A? M ? ； B B?MA A?M ? ． B B?M上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 a m?n? p 像 b ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 2m c?d n? p１５ Zzfls5x ? 4 A B 例1 若 ，求常数 A, B 的值． ? ? x( x ? 2) x x ? 2 A B A( x ? 2) ? Bx ( A ? B) x ? 2 A 5 x ? 4 解： ∵ ? ， ? ? ? x x?2 x( x ? 2) x( x ? 2) x( x ? 2) ? A ? B ? 5, ∴? ?2 A ? 4, 解得 A ? 2 ,B ? 3 ． 1 1 1 ? ? 例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数）； n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? （2）计算： ； 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 （3）证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有 ? ?? ? ? ． 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 1 1 (n ? 1) ? n 1 ? ? （1）证明：∵ ? ， n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 ? ? ∴ （其中 n 是正整数）成立． n(n ? 1) n n ? 1 （2）解：由（1）可知 1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2? 3 9 10 ? 1 1 1 1 1 ? ( 1? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 2 2 3 9 10 9 1 ? 1? ＝ ． 1 0 10 1 1 1 ? ?? ? （3）证明：∵ 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ) ＝ ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? 2 3 3 4 n n ?1 1 1 ＝ ? ， 2 n ?1 又 n≥2，且 n 是正整数， 1 ∴ 一定为正数， n＋1 1 1 1 1 ? ?? ? ∴ ＜2 ． 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) c 例 3 设 e ? ，且 e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求 e 的值． a 2 解：在 2c －5ac＋2a2＝0 两边同除以 a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴ －1)(e－2)＝0， (2e 1 ∴ 2 ＜1，舍去；或 e＝2． e＝ ∴ e＝2．练 习 1．填空题： １６ Zzfls1 对任意的正整数 n， ? n(n ? 2)2．选择题： 若1 1 ( ? )； n n?2（ ）x 2x ? y 2 ? ，则 ＝ y x? y 3（B）（A）１x? y 的值． x? y 1 1 1 1 ? ? ? ... ? 4．计算 ． 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?1003．正数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 xy ，求5 4（C）4 5（D）6 5习题 1．1 A 组 1．解不等式： (1) x ? 1 ? 3 ； (3) x ?1 ? x ? 1 ? 6 ．3 3 ２．已知 x ? y ? 1 ，求 x ? y ? 3xy 的值．(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ；3．填空： （1） (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 ＝________；2 2 （2）若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ，则 a 的取值范围是________；（3）1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________． 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6B1．填空：组1 1 3a 2 ? ab ? ____ ， b ? ，则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2 x 2 ? 3xy ? y 2 2 2 （2）若 x ? xy ? 2 y ? 0 ，则 ? __ x2 ? y 2（1） a ? 2．已知： x ?____； __；y y 1 1 , y ? ，求 的值． ? 2 3 x? y x? y C?b ? ? a ，则组（ ）1．选择题： （1）若 ? a ? b ? 2 ab ? （A） a ? b （2）计算 a ? （A） ?a 2．解方程 2( x ?2（B） a ? b（C） a ? b ? 0（D） b ? a ? 0 （ ）1 等于 a（B） a （C） ? ?a（D） ? a1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 ． 2 x x１７ Zzfls1 1 1 1 ? ? ?? ? 3．计算： ． 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11 1 1 1 1 4．试证：对任意的正整数 n，有 ＜ ． ? ??? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n( n ?1)( n ? 2) 41．（1） ?5 ； ?4（2） ?4 ； ?1或 31.1.1．绝对值 2．D 3．3x－18 1.1.2．乘法公式 （3） 4ab ? 2ac ? 4bc 1.1.3．二次根式 （3） ?8 6 （4） 5 ． 1.1.4．分式1 1 1 1 1．（1） a ? b （2） , 2 4 3 2 2．（1）D （2）A1． （1） 3 ? 2 （2） 3 ? x ? 5 2．C 3．1 4．＞ 1 1．2 2．B 3．2 ?14．99 100习题 1．1 A组 1．（1） x ? ?2 或 x ? 4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或 x＞3 2．1 3．（1） 2 ? 3 （2） ?1 ? a ? 1 （3） 6 ? 1 B组 1 3 5 1．（1） （2） ，或－5 2．4． 7 2 C组 36 1 1．（1）C （2）C 2． x1 ? , x2 ? 2 3． 55 2 1 1 1 1 ? [ ? ] 4．提示： n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)1．21．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （3） x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ；分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法 及待定系数法．（2）x2＋4x－12； （4） xy ? 1 ? x ? y ．解：（1）如图 1．2－1，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成－1 与－2 的１８ Zzfls2乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是 x －3x＋2 中的一次项，所以，有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．x x －1 －2 1 1 －1 －2 1 1 图 1．2－3 －2 6 x x －ay －by图 1．2－1图 1．2－2图 1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1．2－1 中的两个 x 用 1 来表示（如 图 1．2－2 所示）． （2）由图 1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图 1．2－4，得x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ＝ ( x ? ay)( x ? by)（4） xy ? 1 ? x ? y ＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1) (y+1) （如图 1．2－5 所示）． 2．提取公因式法与分组分解法x y－1 1图 1．2－5分解因式： （1） x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x ； （2） 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 ． 解： （1） x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) ． 或 x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x ＝ ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 ＝ ( x ? 1)3 ? 8 ＝ ( x ? 1)3 ? 23 ＝ [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] ＝ ( x ? 3)( x2 ? 3) ． （2） 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) ． 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) ． 3．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x 2 ，则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可 分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） x 2 ? 2 x ? 1 ； （2） x2 ? 4 xy ? 4 y 2 ．例2解： （1）令 x 2 ? 2 x ? 1 =0，则解得 x1 ? ?1 ? 2 ， x2 ? ?1 ? 2 ， ∴x 2 ? 2 x ? 1 = ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? ?? ?１９ Zzfls= ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) ． （2）令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0，则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y ， x1 ? (?2 ? 2 2) y ， ∴x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] ．练 习 1．选择题： 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 （A） 2 x ? 5 y 2．分解因式： （1）x2＋6x＋8； （3）x2－2x－1； （B） x ? 3 y （C） x ? 3 y （ （D） x ? 5 y ）（2）8a3－b3； （4） 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) ． 习题 1．21．分解因式： （1） a ? 1 ；3（2） 4 x ? 13x ? 9 ；4 2（3） b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ；2 2（4） 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 ．2 22．在实数范围内因式分解： （1） x ? 5 x ? 3 ；2（2） x ? 2 2 x ? 3 ；2（3） 3x ? 4 xy ? y ；2 22 2 2（4） ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 ．2 2 23． ?ABC 三边 a ， b ， c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ，试判定 ?ABC 的形状． 4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．1.2 分解因式 1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （3） ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 1．（1） ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? （3） ?b ? c ??b ? c ? 2a ? （2） (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) （4） (2 ? y)(2 x ? y ? 2) ． 习题 1．2 （2） ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1?（4） ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?? 5 ? 13 ? ? 5 ? 13 ? 2．（1） ? x ? ?? x ? ? ； （2） x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ； ? 2 ?? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? y ?? x ? y ? ； （4） ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) ． （3） 3 ? x ? ? ?? ? 3 3 ? ?? ? 3．等边三角形 4． ( x ? a ? 1)( x ? a)????２０ Zzfls2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，用配方法可以将其变形为b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? ． 2a 4a 2①因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝?b ? b2 ? 4ac ； 2ab ； 2a（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 ( x ?b 2 ) 一定大于或等于零，因此，原方程 2a没有实数根． 由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们把 b2－4ac 叫做一元二次 方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，有 （1） 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝?b ? b2 ? 4ac ； 2ab ； 2a（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 2 解： （1）∵Δ＝3 －4× 3＝－3＜0，∴方程没有实数根． 1× （2）该方程的根的判别式 Δ＝a2－4× (－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 1×x1 ?a ? a2 ? 4 ， 2x2 ?a ? a2 ? 4 ． 2（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4× (a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 1× 所以， ①当 a＝2 时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当 a≠2 时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4× a＝4－4a＝4(1－a)， 1× 所以 ①当 Δ＞0，即 4(1－a) ＞0，即 a＜1 时，方程有两个不相等的实数根x1 ? 1 ? 1 ? a ，x2 ? 1 ? 1 ? a ；２１②当 Δ＝0，即 a＝1 时，方程有两个相等的实数根 Zzflsx1＝x2＝1； ③当 Δ＜0，即 a＞1 时，方程没有实数根． 说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的 解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1 ?则有?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ， x2 ? ， 2a 2a?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ； 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? ． 2a 2a 4a 2 4a a x1 ? x2 ?所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ ?b c ，x1?2＝ ．这一关系也被称为韦达定理． x a a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2 是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1?2＝q， x 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1?2， x 所以， 方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1?2＝0， x 由于 x1， 2 是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根， x 所以， 2 x1，x2 也是一元二次方程 x －(x1＋x2)x＋x1?2＝0．因此有 x 以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1?2＝0． x 例 2 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值． 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学 习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利 用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值． 解法一：∵2 是方程的一个根， ∴5× 2＋k× 2 2－6＝0， ∴k＝－7．2所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－ 所以，方程的另一个根为－3 ． 53 ，k 的值为－7． 5 6 3 ，∴x1＝－ ． 5 5解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－3 k ）＋2＝－ ，得 k＝－7． 5 5 3 所以，方程的另一个根为－ ，k 的值为－7． 5由 （－ 例3 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值． 分析： 本题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程， 从而解得 m 的值． 但 ２２ Zzfls在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1?2＝m2＋4． x ∵x12＋x22－x1?2＝21， x ∴(x1＋x2)2－3 x1?2＝21， x 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或 m＝17． 当 m＝－1 时，方程为 x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当 m＝17 时，方程为 x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4× 293＜0，不合题意，舍去． 1× 综上，m＝17． 说明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根 的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可． （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于零．因为，韦 达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 例 4 已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数． 分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次 方程来求解． 解法一：设这两个数分别是 x，y， 则 x＋y＝4， ① xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x， 代入②，得 x(4－x)＝－12， 即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6． ∴?? x1 ? ?2, ? x2 ? 6, 或? ? y1 ? 6, ? y2 ? ?2.因此，这两个数是－2 和 6． 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2 和 6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求1 1 ? 2 的值； 2 x1 x2（3）x13＋x23． 解：∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根， ∴ x1 ? x2 ? ?5 3 ， x1 x2 ? ? ． 2 25 2 2 7 ∴| x1－x2|＝ ． 2 3 2（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ (? ) ? 4 ? (? ) ＝25 49 ＋6＝ ， 4 4２３ Zzflsx 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 （2） 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )25 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 ． ? 3 2 9 9 (? ) 2 4（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－5 5 3 215 )× [(－ )2－3× ? )]＝－ ( ． 2 2 2 8说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简 便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，则?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ， x2 ? ， x1 ? 2a 2a?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ∴| x1－x2|＝ ? ? 2a 2a 2a?b2 ? 4ac ? ． ? |a| |a|? （其中 Δ＝b2－4ac） ． |a|于是有下面的结论： 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，则| x1－x2|＝今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围． 解：设 x1，x2 是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 2 且 Δ＝(－1) －4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 17 由②得 a＜ ． 4 ∴a 的取值范围是 a＜4．练 习 1．选择题： （1）方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根 （ 2 ） 若 关 于 x 的 方 程 mx2 ＋ (2m ＋ 1)x ＋ m ＝ 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 （ ）2 21 4 1 （C）m＜ ，且 m≠0 4（A）m＜ 2．填空:1 4 1 （D）m＞－ ，且 m≠0 4（B）m＞－（1）若方程 x2－3x－1＝0 的两根分别是 x1 和 x2，则 （2）方程 mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 （3）以－3 和 1 为根的一元二次方程是1 1 ? ＝ x1 x2． ． ． ２４ Zzfls223．已知 a ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ，当 k 取何值时，方程 kx ＋ax＋b＝0 有两个不相等的实数根？ 4．已知方程 x2－3x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，求(x1－3)( x2－3)的值．习题 2.1 A 组 1．选择题: （1）已知关于 x 的方程 x2＋kx－2＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是（ （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法： ①方程 x2＋2x－7＝0 的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程 x2－2x＋7＝0 的两根之和为－2，两根之积为 7； ③方程 3 x2－7＝0 的两根之和为 0，两根之积为 ? ）7 ； 3④方程 3 x2＋2x＝0 的两根之和为－2，两根之积为 0． 其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 （3）关于 x 的一元二次方程 ax2－5x＋a2＋a＝0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空: （1）方程 kx2＋4x－1＝0 的两根之和为－2，则 k＝ ． 2 2 2 （2）方程 2x －x－4＝0 的两根为 α，β，则 α ＋β ＝ ． （3）已知关于 x 的方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程 2x2＋2x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，则| x1－x2|＝ ． 3．试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2－(2m＋1) x＋1＝0 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数 根？没有实数根？ 4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2－7x－1＝0 各根的相反数． B 组 1．选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 ＋ (k2 － 1) x ＋ k ＋ 1 ＝ 0 的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则 （ ） （D）0 ． ． k 的 值 为（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 2．填空: （1）若 m，n 是方程 x2＋2005x－1＝0 的两个实数根，则 m2n＋mn2－mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根，那么代数式 a3＋a2b＋ab2＋b3 的值是 3．已知关于 x 的方程 x2－kx－2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1＋x2)＞x1x2，求实数 k 的取值范围． 4．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1 和 x2．求： （1）| x1－x2|和x1 ? x2 ； 2（2）x13＋x23． 5．关于 x 的方程 x2＋4x＋m＝0 的两根为 x1，x2 满足| x1－x2|＝2，求实数 m 的值． C 组 1．选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） ２５ Zzfls（A） 3（B）3（C）6（D）9 （ （D） ）（2）若 x1，x2 是方程 2x2－4x＋1＝0 的两个根，则 （A）6 （B）4x1 x2 ? 的值为 x2 x13 2（C）3（ 3 ） 如 果 关 于 x 的 方 程 x2 － 2(1 － m)x ＋ m2 ＝ 0 有 两 实 数 根 α ， β ， 则 α ＋ β 的 取 值 范 围 为 （ ） （A）α＋β≥1 2（B）α＋β≤1 2（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1（ 4 ） 已 知 a ， b ， c 是 ΔABC 的 三 边 长 ， 那 么 方 程 cx2 ＋ (a ＋ b)x ＋ （ （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空： 若方程 x2－8x＋m＝0 的两根为 x1，x2，且 3x1＋2x2＝18，则 m＝ ． 3． 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根． （1）是否存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ （2）求使 ）c ＝0 的根的情况是 43 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； 2x1 x2 ? －2 的值为整数的实数 k 的整数值； x2 x1 x （3）若 k＝－2， ? ? 1 ，试求 ? 的值． x24．已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ?2m2 ?0． 4（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足|x2|＝|x1|＋2，求 m 的值及相应的 x1，x2． 5．若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围．2.1 1． （1）C （2）D 2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 3．k＜4，且 k≠0 4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9一元二次方程 练习 （3）x2＋2x－3＝0习题 2．1 A 组 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式 Δ＜0，所以方程没有实 2 数根；对于④，其两根之和应为－ ． 3 （3）C 提示：当 a＝0 时，方程不是一元二次方程，不合题意． 17 2． （1）2 （2） （3）6 （3） 3 4 1． （1）C （2）B２６ Zzfls1 1 3．当 m＞－ ，且 m≠0 时，方程有两个不相等的实数根；当 m＝－ 时，方程有两个相等的实数根； 4 4 1 当 m＜－ 时，方程没有实数根． 4 4．设已知方程的两根分别是 x1 和 x2，则所求的方程的两根分别是－x1 和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)× (－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为 y2＋7y－1＝0．B组1．C 提示：由于 k=1 时，方程为 x ＋2＝0，没有实数根，所以 k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2) ＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)× [(－1)2－2× (－1)]＝－3． 2 2 3．（1）∵Δ＝(－k) －4× (－2)＝k ＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． 1× （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即 k＞－1．b 3abc ? b3 b2 ? 4ac x1 ? x2 3 3 4． （1）| x1－x2|＝ ， ＝? ； （2）x1 ＋x2 ＝ ． 2 2a a3 |a|5．∵| x1－x2|＝ 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ，∴m＝3．把 m＝3 代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．2C组1．（1）B （2）A1 ，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2 （4）B 提示：∵a，b，c 是 ΔABC 的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2× 8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝ x1x2＝12． 3 3． （1）假设存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 成立． 2（3）C提示：由 Δ≥0，得 m≤∵一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 有两个实数根， ∴k≠0，且 Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0． ∵x1＋x2＝1，x1x2＝k ?1 ， 4k3 9(k ? 1) ＝－ ， 2 4k 9 3 9(k ? 1) 7 即 ＝ ，解得 k＝ ，与 k＜0 相矛盾，所以，不存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 成立． 5 2 2 4k 2 2 2 2 x x x ? x2 ( x ? x ) ? 2 x1 x2 (x ? x ) （2）∵ 1 ? 2 －2＝ 1 ?2 ? 1 2 ?2 ? 1 2 ?4 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4k 4k ? 4(k ? 1) 4 ?4 ? ?? ＝ ， k ?1 k ?1 k ?1 x x ∴要使 1 ? 2 －2 的值为整数，只须 k＋1 能整除 4．而 k 为整数， x2 x1＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－ ∴k＋1 只能取± 1，± 2，± 4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1 只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5． ∴能使∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22x1 x2 ? －2 的值为整数的实数 k 的整数值为－2，－3 和－5． x2 x1２７ Zzfls1 （3）当 k＝－2 时，x1＋x2＝1，① x1x2＝ ， ② 8 1 x1 x2 ①2÷ ②，得 ? ＋2＝8，即 ? ? ? 6 ，∴ ? 2 ? 6? ? 1 ? 0 ， ? x2 x1∴? ? 3? 2 2 ． 4． （1）Δ＝ 2(m ? 1)2 ? 2 ? 0 ； （2）∵x1x2＝－m2 ≤0，∴x1≤0，x2≥0，或 x1≥0，x2≤0． 4①若 x1≤0， 2≥0， x2＝－x1＋2， 1＋x2＝2， x 则 ∴x ∴m－2＝2， ∴m＝4． 此时， 方程为 x2－2x－4＝0， x1 ? 1 ? 5 ， ∴x2 ? 1 ? 5 ．②若 x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2， ∴m＝0．此时，方程为 x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2． 5．设方程的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于 1、另一根小于 1，得 (x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4× (－2) ＞0， ∴实数 a 的取值范围是 a＜－2．2．2二次函数2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质问题 1 函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝1 2 x ，y＝－2x2 的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2 的图象 2之间的关系，推导出函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间所存在的关系． 先画出函数 y＝x2，y＝2x2 的图象． 先列表： x x2 2… … …－3 9 18－2 4 82－1 1 20 0 021 1 22 4 83 9 18… …2x从表中不难看出，要得到 2x 的值，只要把相应的 x 的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数 y＝x2，y＝2x2 的图象（如图 2－1 所示） ，从图 2－1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2x2 的图象可以由函数 y＝x2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y＝y＝2x2yy＝x21 2 x ，y＝－2x2 的图象，并研 2y究这两个函数图象与函数 y＝x2 的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象可以由 y＝x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到．在二次函数 y＝ax2(a≠0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同 一个坐标系中的开口的大小． 问题 2 函数 y＝a(x＋h)2＋k 与 y＝ax2 的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关 系．同学们可以作出函数 y＝2(x＋1)2＋1 与 y＝2x2 的图象（如图 2－2 所示） ，从 2 函数的同学我们不难发现，只要把函数 y＝2x 的图象向左平移一个单位，再向上y＝2(x＋1)2＋1 y＝2(x＋1)2 O 图 2.2-1 y＝2x2 x２８－1O 图 2.2-2x Zzfls平移一个单位，就可以得到函数 y＝2(x＋1)2＋1 的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数 y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1 的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移， 而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋b b b2 b2 x )＋c＝a(x2＋ x ＋ 2 )＋c－ a a 4a 4a? a( x ?b 2 b2 ? 4ac ) ? ， 2a 4a所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：b b 4ac ? b 2 , ) ，对称轴为直线 x＝－ ； （1）当 a＞0 时，函数 y＝ax ＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ( ? 2a 2a 4a b b b 当 x＜ ? 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞ ? 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＝ ? 时，函数取最小值 y＝ 2a 2a 2a 4ac ? b 2 ． 4a b b 4ac ? b 2 , ) ，对称轴为直线 x＝－ （2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ( ? ； 2a 2a 4a b b b 当 x＜ ? 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞ ? 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＝ ? 时，函数取最大值 y＝ 2a 2a 2a 4ac ? b 2 ． 4a2上述二次函数的性质可以分别通过图 2．2－3 和图 2．2－4 直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时， 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何 值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 当 x＝－1 时，函数 y 取最大值 y＝4； 当 x＜－1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞－1 时，y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A(－1，4))，与 x 轴交于点 B (2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) ，与 y 轴的交点为 D(0， 3 31)，过这五点画出图象（如图 2－5 所示） ． 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使 画图更简便、图象更精确．２９ Zzfls例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表 所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此 时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润＝日销售量 y× (销售价 x－120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所 获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天 利润的最大值． 解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 y＝kx＋（B） 将 x＝130，y＝70；x＝150，y＝50 代入方程，有?70 ? 130k ? b, ? ?50 ? 150k ? b,解得 k＝－1，b＝200． ∴ y＝－x＋200． 设每天的利润为 z（元） ，则 z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600， ∴当 x＝160 时，z 取最大值 1600． 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元． 例 3 把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x2 的图像，求 b，c 的值． 解法一： y＝ x2 ＋ bx＋c＝ (x+b 2 b2 ) ?c ? ，把它的图像向上平 移 2 个单位，再向左平 移 4 个单位，得 到 2 4b b2 ? 4) 2 ? c ? ? 2 的图像，也就是函数 y＝x2 的图像，所以， 2 4 ? b ?? 2 ?4 ?0 , ? 解得 b＝－8，c＝14． ? 2 ?c ? b ?2 ?0 , ? 4 ? 解法二：把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x2 的图像，等价 于把二次函数 y＝x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y＝x2＋bx＋c 的图像． 由于把二次函数 y＝x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y＝(x－4)2＋2 的图像，即为 y ＝x2－8x＋14 的图像，∴函数 y＝x2－8x＋14 与函数 y＝x2＋bx＋c 表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14． y ? (x ?３０ Zzfls说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的 变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大； 而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在 解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 例 4 已知函数 y＝x2，－2≤x≤a，其中 a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对 应的自变量 x 的值． 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论． 解：（1）当 a＝－2 时，函数 y＝x2 的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此 时 x＝－2； （2）当－2＜a＜0 时，由图 2．2－6①可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 y＝4；当 x＝a 时，函数取最小值 y＝a2； （3）当 0≤a＜2 时，由图 2．2－6②可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 y＝4；当 x＝0 时，函数取最小值 y＝0； （4）当 a≥2 时，由图 2．2－6③可知，当 x＝a 时，函数取最大值 y＝a2；当 x＝0 时，函数取最小值 y＝0．y 4 4 y ya2a－2 a2a2x －2 O ② a 2 x －24O ①O ③a x图 2.2－6 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自 变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解 决问题． 练 习 1．选择题： （1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x 2 2 （2）函数 y＝2(x－1) ＋2 是将函数 y＝2x （ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2．填空题 （1）二次函数 y＝2x2－mx＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则 m＝ ，n＝ ． （2）已知二次函数 y＝x2+(m－2)x－2m，当 m＝ 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m＝ 时，函数图象 的顶点在 x 轴上；当 m＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数 y＝－3(x＋2)2 ＋5 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x＝ 时，函数取最 值 y＝ ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出其图象． （1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2． 4．已知函数 y＝－x2－2x＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最 大（小）值时所对应的自变量 x 的值： （1）x≤－2； （2）x≤2； （3）－2≤x≤1； （4）0≤x≤3． ３１ Zzfls2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数． 当抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0． ①并且方程①的解就是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线 y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关， 而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ＝b2－4ac 有关，由此可知，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ＝b2－4ac 存在下列关系： （1）当 Δ＞0 时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有 两个交点，则 Δ＞0 也成立． （2）当 Δ＝0 时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与 x }
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重点高中能否提高学生的学业成绩--基于f县普通高中的一个断点回归设计研究
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重点高中能否提高学生的学业成绩——基于F县普通高中的一个断点回归设计研究（二）
北京大学教育评论
作者简介：
王骏，男，北京师范大学经济与工商管理学院博士研究生。
孙志军，男，北京师范大学经济与工商管理学院/首都教育经济研究院教授，博士。
作者感谢北京师范大学经济与工商管理学院刘泽云教授的修改意见，感谢两位匿名审稿人的宝贵建议。当然，文责自负。
本文使用F县两届普通高中学生全样本数据，利用普通高中招生录取方式对学生能否进入重点高中产生的外生影响，根据断点回归设计的原理，研究了重点高中对学生学业成绩的影响。估计结果表明，就理科生来看，重点高中学生的高考总成绩、数学和语文成绩都高于一般高中，但从数值上看，这一差异并不大；就文科生来看，重点高中与一般高中无显著差别。这说明，重点高中对学生学业成绩仅产生了微弱的正面影响。但由于学习能力和学习基础较好的学生更愿意选择理科，重点高中对不同学科类别学生学业成绩的影响反映的可能是重点高中对不同学习能力和学业基础学生学业成绩的影响。不同学科对学校资源的依赖性不同、学校内部在不同学科资源配置的偏好不同也可能导致这种影响的学科差异。此外，重点高中对女生学业成绩的影响更大，对城市学生高考成绩的影响明显大于农村学生，但对农村学生数学和语文成绩的影响更大。
上文见：重
&五、研究结果
带宽与多项式次数的选取
局部多项式回归的关键之一是确定多项式的次数和带宽。按照经验原则，局部多项式回归所涵盖的断点附近的应该在总样本量的2.6%~35.2%之间，如果对应到本文中，理科生样本和文科生样本的局部多项式回归所涵盖的断点附近的样本量分别为112~1511人和42~563人（研究主要参考三种最优带宽经验确定原则：根据哈恩、 托德和范德克劳提出的N-2/5~N-1/5原则，断点左右两侧样本所占比重为 6.2%~35.2%，对应在本文中，理科生和文科生的样本量分别为 266~1511 人和 99~563 人；根据因本斯和勒米厄提出的N-1/2原则，断点左右两侧样本所占比重为 2.6%，对应在本文中，理科生和文科生的样本量分别为112人和42人；根据路德维格和米勒提出的10%原则，断点左右两侧样本所占比重为10%，对应在本文中，理科生和文科生的样本量分别为429人和160人。参见：Lee, D. S. & Lemieux, T. [2010]. Regression discontinuity designs in economics, Journal of Economic Literature, 48[2], 281-355）。据此，为保证估计结果的稳健性，本研究拟考察在6个不同带宽下的局部多项式回归，这6个带宽分别为±0.05、±0.10、±0.15、±0.20、±0.25和±0.30个标准差。带宽确定后，根据各自由度调整后的拟合优度和多项式估计系数的联合显著性检验确定在每个宽带下的多项式的最佳次数，如表5所示。
表6和表7给出了在带宽±0.3个标准差范围内不同带宽的OLS和IV估计结果。从中可以得到以下两条结论。第一，重点高中对学生高考成绩的影响存在明显文理科差异：对于理科，重点高中有显著的正向影响，而对于文科则不存在显著的影响。以IV估计为例，在理科生的估计结果中，与一般高中相比，重点高中学生的高考综合成绩高0.139~0.187个标准差，数学成绩高 0.131~0.152 个标准差，语文成绩高0.145~0.221个标准差；而对于文科生来讲，除了第一个带宽值处的数学成绩外，其他带宽下重点高中学生的高考综合成绩、数学成绩和语文成绩与一般高中学生都不具有统计显著性的差异。
第二，重点高中对学生高考语文成绩影响的估计系数要略高于对高考数学成绩影响的估计系数，但这并不能说明重点高中对学生语文学习的促进作用比对数学学习的促进作用更大，因为高考语文成绩和高考数学成绩具有不同的标准差。如表3所示，高考数学成绩的标准差在22分左右，而高考语文成绩的标准差在12分左右，这样对于理科生来说，重点高中能够使其高考数学成绩提高2.9~3.4分，而只能使其语文成绩提高 1.7~2.7 分，相比较而言，重点高中对理科生的高考数学成绩影响更大。
总体来说，在不同的带宽下，两种估计方法带来的估计系数虽然数值上因为所取带宽的不同而稍有差异，但在方向上保持一致，且估计数值没有较大波动，因此，本文的估计结果是比较稳健的。
（三） &有效性检验结果
1. 驱动变量连续性检验结果
图3为中心化处理后理科生和文科生的中考成绩标准分的密度函数图，横轴是中心化处理后的中考成绩标准分，纵轴是频率。如图3所示，无论对理科生还是文科生，中心化处理后的中考成绩标准分的密度函数图在统招线处均未出现跳跃点，故符合驱动变量的连续性假定。实际上，从理论上讲，中考成绩也没有被学生个体精确控制的可能，因为重点高中统招线是在中考结束后根据重点高中招生指标和学生成绩排名共同确定的，学生在中考前并无任何参照。
2. 控制变量连续性检验结果
图4反映了各控制变量在中考成绩上的分布，横轴为以统招线为中心进行中心化处理后的中考成绩标准分，纵轴从左至右依次为男生所占比重、城镇学生所占比重和高考时平均年龄。如图4所示，直观地讲，三个控制变量在统招线附
近并没有明显的跳跃，是连续的，基本符合连续性假定。表8给出了对式（5）的估计结果表明，SUR回归下的联合显著性检验均未能拒绝是否上重点高中的估计系数为0的原假设；而IV估计系数不是统计显著地为0，就是在10%的显著性水平上不具有统计显著性。这说明，年龄、户口和高考时年龄三个控制变量并没有因为学生是否上重点高中而产生差异，即符合控制变量的连续性假定。
3. 模型设定检验结果
最后，本文检验是否由于模型设定的缘故导致了以上估计结果。取统招线左右各10分作为假象的断点，然后用前面类似的方法进行估计。如果本文的方法是对的，那么在这些假想的断点处就不应该发现显著的结果。与前面估计的一个不同的细节是，由于已知在统招线处存在断点，于是在这些假象的断点处做估计时，样本不能取太大 [43]。例如如果假想的断点是464分，那么样本只能取到460分与468分，这就相当于一个在464分处±0.15个标准差的局部估计。模型设定检验的基本结果如表9所示。所有模型的估计系数在10%的显著性水平上均不具有统计显著性，也就是说在10%的显著性水平上，这些估计系数都与0无差异。这充分说明，本文的断点设计是合适且有效的。
六、 &分析与讨论
一） &学科差异从何而来 & & & &
由于我国普通高中遵循着文理分科制度，且高考中的数学试题和综合试题存在显著的学科类别差异，因此本文分文理科对重点高中与学生学业成绩的因果关系进行了识别。研究发现，重点高中理科生的学业成绩显著高于一般高中，但文科生与一般高中无显著差异。基于F县的教育教学现状，这可能由以下两点原因所致。
首先，理科生和文科生对学校资源投入的依赖性不同。一般来说，理科生对学校投入的依赖性更强，其学业成绩的提高更需要教师的引领和帮助，而文科生对学校投入的依赖性较弱，教师在学生学习过程中主要起到辅助的作用。由于重点高中学校资源投入明显优于一般高中，因此重点高中显著提高了理科生的高考成绩，却没有对文科生产生显著的影响。
其次，重点高中和一般高中在学校内部对文理科生资源配置的偏好不同。由于高考属于高利害性考试（high stake tests），高考成绩及升学率指标对高中学校教育教学发展具有极强的指挥棒作用，那么学校按照比较优势的原理，将本学校的优势资源投入到具有比较优势的学生群体。重点高中本着“追高求优”的原则，会更加注重理科生的发展，故更为优质的学校资源会流向理科生；与之相反，一般高中本着“拔优求稳”的原则，会更加注重文科生的发展，故一般高中更为优质的学校资源会流向文科生。因此，学校资源流向的倾向性不同，扩大了重点学校与一般学校的理科生学业成绩的差异，而缩小了两类学校文科生学业成绩的差异，这也会造成重点高中对理科生高考成绩影响显著而对文科生高考成绩影响不显著的结果。
正是由于这个原因，在低于重点高中统招线且偏向于理科的学生可能更倾向于上重点高中而不是上一般高中，而在重点高中统招线附近偏向于文科的学生可能更倾向于选择一般高中。学生这种基于学科考虑的选校偏好有可能造成OLS估计值高估重点高中对理科生高考成绩的影响，但低估重点高中对文科生高考成绩的影响（遗漏重要解释变量 [如学生的选校偏好] 将导致OLS估计可能产生来自两个方向的偏误：如果遗漏的重要解释变量与上重点高中成正相关，那么OLS估计将会产生向上的偏误；如果遗漏的重要解释变量与上重点高中成负相关，那么OLS估计将会产生向下的偏误），详见表6和表7。
（二） &影响理科生还是绩优生
实际上，上述分析是在命题“重点高中对学生学业成绩的影响存在学科差异”成立的前提下得到的，而该命题成立的之一就是不同学科类别的学生群体同质（换言之，学生的学科类别是外生的，并不是内生选择的结果）。验证该先决条件是否被满足的可行方法是：特征变量不同取值下两个群体学生的数量比例应当是近似相等的。以中考成绩为例，图5报告了中考成绩与学生文理科分布的关系。横轴为中心化处理后的中考成绩标准分，纵轴为文科生所占比重。笔者发现，文科生所占比重在统招线附近存在明显的断点，且中考成绩越高，最终选择文科的学生比重越小，这表明学习能力和学习基础较好的学生更愿意选择理科。换言之，学生的学科类别对中考成绩是非随机的，与学习能力和学习基础相关。这种现象在重点高中和一般高中均存在。因此，表6的估计系数不仅反映了重点高中对理科生学业成绩的影响，也在一定程度上反映了重点高中对学习能力和学习基础相对较好的学生学业成绩的影响；表7的估计系数不仅反映了重点高中对文科生学业成绩的影响，也在一定程度上反映了重点高中对学习能力和学习基础相对较差的学生学业成绩的影响。因此，需要谨慎对待关于“重点高中对学生学业成绩影响存在学科差异”的判断和分析。
遗憾的是，基于已有的数据和分析，这两种影响难以区分。本文提出一个可能的解决策略。学生非随机地选择学科类别，如同劳动者非随机地选择到不同的部门工作。重点高中对不同学科类别学生学业成绩的影响不同，如同不同部门的工资决定机制不同。因此，估计重点高中对学生学业成绩的影响，如同估计不同部门的教育回报率，二者共同面临的都是样本选择问题。李（L.F.Lee）[44]、马达拉（G.S.Maddala）[45]、德宾（J.A.Durbin）和麦克法登（D.L.McFadden）[46]、达尔（G.B.Dahl）等[47]学者的研究为解决多元样本选择偏差问题提供了思路。在本文的研究背景下，其基本步骤是：在第一阶段用多元logit或probit模型针对全部学生估计其选择不同学科类别的选择方程（选定某一学科为对照组），得到学生选择各个学科类别的概率，并由此构造选择偏差修正项。在第二阶段将选择偏差修正项作为解释变量加入仅包括某一学科类别的估计方程中，从而得到重点高中对每个学科类别学生学业成绩的影响。赫克曼 [48] 指出，选择方程中必须至少有一个不出现在第二阶段估计方程中的作为识别变量（Identifying variables）以满足非线性假定。由于本研究使用的行政数据提供的变量有限，我们没有找到合适的识别变量（如学生的兴趣爱好等）。
（三） &影响是同质的还是异质的
断点回归设计得到的是局部平均处理效应，其估计结果具有多大的普适性值得探讨，特别是当处理效应存在异质性的时候。这个问题在本研究中尤为突出。由于断点右侧即高于录取线的学生在重点高中很可能是差生，从而获得低于平均水平的教育资源，而断点左侧即低于录取线的学生在一般高中很可能是绩优生，从而获得高于平均水平的教育资源。因此，将重点高中的差生与一般高中的绩优生进行比较，以得到重点高中对学生学业成绩的影响的做法，值得商榷。
此外，正如引言所提到的，重点高中对不同特征群体学业成绩的影响也可能存在异质性。这里分别估计了重点高中对男生、女生、城市学生、农村学生学业成绩的影响。为简便起见，模型统一控制了中心化处理后的中考成绩标准分的6阶多项式及其与重点高中的交互项，限于样本量，选择±0.3个标准差的带宽值，采用局部多项式回归和二阶段最小二乘的方法，估计结果如表10所示。
就文科而言，几乎所有的估计系数在10%的水平上统计不显著，表明重点高中并没有显著提高学生的学业成绩，这与表6和表7的估计结果一致。对女生和农村学生来说，重点高中的平均高考成绩甚至比一般高中分别低0.192个标准差和0.228个标准差，由于这些学生的平均数学成绩和语文成绩与一般高中学生并无显著性差异，因此他们的英语成绩和综合成绩可能显著低于一般高中学生。
就理科而言，重点高中对学生学业成绩影响的异质性则体现得更为明显。分性别来看，无论高考总成绩还是数学或语文单科成绩，男生样本的估计系数均不显著，而对女生来说，重点高中却能够显著提高其高考总成绩0.333个标准差、数学成绩0.364个标准差和语文成绩0.258个标准差，这说明重点高中对女生学业成绩的影响更大（这与杰克逊的估计结果基本一致。杰克逊使用特立尼达和多巴哥的中学数据研究发现，好学校对女孩的成绩增值是男孩的约3倍。虽然本研究没有得到如此大的性别差异，但仍然发现，好学校对女生的成绩增值明显大于男生）。分城乡来看，对城市学生来说，重点高中学生平均高考总成绩比一般高中高0.368个标准差，但在数学成绩和语文成绩方面，二者并无显著差异。而对农村学生来说，重点高中却能够显著提高其高考总成绩 0.229 个标准差，提高数学成绩0.260个标准差，提高语文成绩0.205个标准差。相比较而言，重点高中对城市学生高考总成绩的影响要明显大于农村学生，但对农村学生数学和语文成绩的影响更大，这说明重点高中对城市学生的影响可能主要体现在英语和综合成绩上。
除基准回归外，笔者还通过改变多项式次数（4阶多项式）、选择其他带宽值（±0.15个标准差）等方式对估计结果进行了稳健性检验。检验结果表明，不同多项式次数和带宽值组合下的估计结果基本一致。
&七、 &研究结论与不足
现实中人们更多地观察到重点高中学生的学业平均成绩高于一般高中，但是，学生的学业成绩既受到学校的影响，也受到个人先天能力以及家庭背景等因素的影响，从而用观察到的重点高中和一般高中学生学业成绩的差异并不能完全衡量重点高中的影响。根据断点回归设计的原理，本文利用我国普通高中招生录取方式对学生能否进入重点高中产生的外生影响，试图将重点高中对学生学业成绩的影响从诸多影响因素中分离出来，得到更为准确的估计。
本文使用F县2009届和2010届普通高中学生全样本数据的估计发现，第一，对理科生来说，就读重点高中会使其高考总成绩和数学成绩显著提高0.15个标准差左右，语文成绩则显著提高约0.2个标准差，转化为样本的实际分数，高考总成绩、数学和语文成绩提高的幅度分别约为14分、3分和2分。而样本中重点高中理科生比一般高中理科生的平均高考总成绩、数学和语文成绩分别高约了1.5、2.3和1.1个标准差（转化为实际分数，分别约为110分、24分和11分）。两者对照，说明重点高中对学生学业成绩的实际影响仅占10％左右。第二，对文科生来说，就读重点高中没有显著地提高其高考总成绩、数学和语文成绩。本文的估计通过断点回归设计所要求的连续性和模型设定检验，结果是比较稳健的。
对于上述结果，需要谨慎对待。在本文中，由于学习能力和学习基础较好的学生更愿意选择理科。因此，重点高中对不同学科类别学生学业成绩的影响，反映的可能是重点高中对不同学习能力和学业基础学生学业成绩的影响。多元样本选择模型可能是区别这两种影响的一个可行策略。其次，本文发现不同学科对学校资源的依赖性不同、学校内部在不同学科资源配置的偏好不同也可能导致重点高中对学生学业成绩的影响存在学科差异。最后，重点高中对学生学业成绩的影响存在异质性。分性别看，重点高中对女生学业成绩的影响更大。分城乡看，重点高中对城市学生高考成绩的影响明显大于农村学生，但对农村学生数学和语文成绩的影响更大。
当然，本文还存在两个明显的不足。首先，虽然全样本数据避免了由而带来的，但本文使用的数据缺失了在F县上高中但却在异地参加高考的样本，又在数据处理时人为地剔除了那些缺失中考成绩的样本，即在异地上初中而在F县上高中并在F县参加高考的样本，这两部分样本的损失有可能给模型估计带来一定程度的选择性偏误，由于这部分样本的结构特征并不明确，故只能假设这部分样本随机损耗。其次，本文也存在经验研究的共性问题，即内部有效性和外部有效性。由于本文只涉及一个区县的样本，且该区县的经济发展水平略高于全国平均水平，研究结果是否能够推广到其他地区，还需要基于更为丰富的数据的经验研究予以证实，本文仅仅是抛砖引玉。
（责任编辑 & &范皑皑）
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a ( a ? 0) ? ⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0 的绝对值是 0，即 a ? ? 0( a ? 0) ? ? a ( a ? 0) ?⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小 ⑷两个绝对值不等式: | x |? a(a ? 0) ? ?a ? x ? a ； | x |? a(a ? 0) ? x ? ?a 或 x ? a 2 乘法公式： ⑴平方差公式： a2 ? b2 ? (a ? b)(a ? b) ⑵立方差公式： a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ⑶立方和公式： a3 ? b3 ? (a ? b)(a2 ? ab ? b2 ) ⑷完全平方公式： (a ? b)2 ? a2 ? 2ab ? b2 ，(a ? b ? c)2 ? a2 ? b2 ? c2 ? 2ab ? 2ac ? 2bc⑸完全立方公式： (a ? b)3 ? a3 ? 3a2b ? 3ab2 ? b3 3 分解因式： ⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。 ⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。 4 一元一次方程： ⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1，这样的方程叫一元一次方程。 ⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为 1。 ⑶关于方程 ax ? b 解的讨论５ Zzflsb ①当 a ? 0 时，方程有唯一解 x ? ； a ②当 a ? 0 ， b ? 0 时，方程无解③当 a ? 0 ， b ? 0 时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。 5 二元一次方程组： （1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。 （2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。 （3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。 （4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。6 不等式与不等式组 （1）不等式： ①用符不等号（&、≠、&）连接的式子叫不等式。 ②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。 ③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。 ④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。 （2）不等式的解集： ①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 ②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 ③求不等式解集的过程叫做解不等式。 （3）一元一次不等式： 左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是 1 的不等式叫一元一次不等式。 （4）一元一次不等式组： ①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。 ②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。 ③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。 7 一元二次方程： ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) ①方程有两个实数根 ?? ? b2 ? 4ac ? 0②方程有两根同号 ?? ??0 ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ? ? ??0 ? c ? ? x1 x2 ? a ? 0 ?b c , x1 x2 ? a a６③方程有两根异号 ?④韦达定理及应用： x1 ? x2 ? ? Zzfls2 x12 ? x2 ? ( x1 ? x2 )2 ? 2x1x2 ,x1 ? x2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 ?? b 2 ? 4ac ? a a3 2 x13 ? x2 ? ( x1 ? x2 )( x12 ? x1 x2 ? x2 ) ? ( x1 ? x2 ) ?( x1 ? x2 ) 2 ? 3x1 x2 ? ? ?8 函数 （1）变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 y , x 间的关系式可以表示成 y ? kx ? b （ b 为常数， k 不等于 0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数。②当 b =0 时，称 y 是 x 的正比例函数。 （3）一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量 x 与对应的因变量 y 的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点， 所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 y = k x 的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 k ? 0， b ? O，则经 2、3、4 象限；当 k ? 0， b ? 0 时，则经 1、2、4 象限；当 k ? 0， b ? 0 时，则经 1、3、4 象限；当 k ? 0， b ? 0 时，则经 1、2、3 象限。 ④当 k ? 0 时， y 的值随 x 值的增大而增大，当 k ? 0 时， y 的值随 x 值的增大而减少。（4）二次函数：①一般式： y ? ax ? bx ? c ? a( x ?2b b 2 4ac ? b2 , ) ? ( a ? 0 )，对称轴是 x ? ? 2a 2a 4a（－ 顶点是b 4ac ? b 2 , )； 2a 4a2 ②顶点式： y ? a( x ? m) ? k ( a ? 0 )，对称轴是 x ? ? m, 顶点是 ? ?m , k ? ；③交点式： y ? a( x ? x1 )( x ? x2 ) ( a ? 0 )，其中（ x1 ,0 ），（ x2 ,0 ）是抛物线与 x 轴的交点（5）二次函数的性质７ Zzflsb ①函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象关于直线 x ? ? 对称。 2a b b ② a ? 0 时，在对称轴 （ x ? ? ）左侧， y 值随 x 值的增大而减少；在对称轴（ x ? ? ）右侧； y 的值随 x 值 2a 2a的增大而增大。当 x ? ?b 4ac ? b 2 时， y 取得最小值 2a 4a b b ）左侧， y 值随 x 值的增大而增大；在对称轴（ x ? ? ）右侧； y 的值随 x 值 2a 2a③ a ? 0 时，在对称轴 （ x ? ?b 4ac ? b 2 的增大而减少。当 x ? ? 时， y 取得最大值 2a 4a9 图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做 中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。 10 平面直角坐标系 （1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直的数轴叫 做 y 轴或纵轴， x 轴与 y 轴统称坐标轴，他们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点。 （2）平面直角坐标系内的对称点：设 M ( x1 , y1 ) ， M ?( x2 , y2 ) 是直角坐标系内的两点， ①若 M 和 M ' 关于 y 轴对称，则有 ?? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? y2②若 M 和 M ' 关于 x 轴对称，则有 ?? x1 ? x2 。 y1 ? ? y2 ? ? x1 ? ? x2 。 ? y1 ? ? y2 ? x1 ? y2 。 ? y1 ? x2③若 M 和 M ' 关于原点对称，则有 ?④若 M 和 M ' 关于直线 y ? x 对称，则有 ?⑤若 M 和 M ' 关于直线 x ? a 对称，则有 ? 11 统计与概率：? x1 ? 2a ? x2 ? x2 ? 2a ? x1 或? 。 ? y1 ? y2 ? y1 ? y2（1）科学记数法：一个大于 10 的数可以表示成 A? 10 的形式，其中 A 大于等于 1 小于 10， N 是正整数。 （2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分 比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角 ８N Zzfls的度数与 360 度的比。 （3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图：能清楚反映事物的变化 情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。 （5）平均数：对于 N 个数 x1 , x2 ,? , xN ，我们把1 ( x ? x ? ? ? xN )叫做这个 N 个数的算术平均数，记为 x 。 N 1 2（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时往往给每个数据加一 个权，这就是加权平均数。 （7）中位数与众数：①N 个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这 组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：所有数据参 加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位数：计算简单，受极端 值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相等时，众数往往没有特别的意义。 （8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，而组成 总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从总体中抽取的 一部分个体叫做总体的一个样本。③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调查范围小，节省时间， 人力，物力和财力，但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的调查结果，抽样时要主要样本 的代表性和广泛性。 （9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。②当收集的数据连 续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。 （10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平方和的平 均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小，这组数据就越稳定。 （11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件；有些事情我们能肯定他一定不 会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他会不会发生， 这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定事件发生的可能性是有大小的。 （12）概率：①人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发生的可能性。②游 戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为 1，记作 P （必然事件） ? 1 ；不可能事件发生的 概率为 0 ，记作 P （不可能事件） ? 0 ；如果 A 为不确定事件，那么 0 ? P( A) ? 1９ Zzfls第四部分1.1 数与式的运算 1.1.1 绝对值 1.1.2 乘法公式 1.1.3 二次根式 1.1.４ 分式 1．2 分解因式分章节突破2.1 一元二次方程 2.1.1 根的判别式 2.1.2 根与系数的关系（韦达定理） 2．2 二次函数 2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质 2.2.2 二次函数的三种表示方式 2.2.3 二次函数的简单应用 2.3 方程与不等式 2.3.1 二元二次方程组解法 2.3.2 3．1 一元二次不等式解法 相似形１０ Zzfls3.1.1．平行线分线段成比例定理 3.1.2 相似形 3.2 三角形 3.2.1 三角形的“四心” 3.2.2 几种特殊的三角形 3．3 圆 3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系 3.3.2 点的轨迹1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义： 正数的绝对值是它的本身， 负数的绝对值是它的相反数， 零的绝对值仍是零． 即 ? a, a ? 0, ? | a |? ?0, a ? 0, ? ? a, a ? 0. ? 绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义： a ? b 表示在数轴上，数 a 和数 b 之间的距离． 例 1 解不等式： x ?1 ? x ? 3 ＞4． 解法一：由 x ? 1 ? 0 ，得 x ? 1 ；由 x ? 3 ? 0 ，得 x ? 3 ； ① x ? 1 ，不等式可变为 ?( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ， 若 即 ?2 x ? 4 ＞4，解得 x＜0， 又 x＜1， ∴ x＜0； ② 1 ? x ? 2 ，不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ， 若 即 1＞4， ∴ 不存在满足条件的 x； ③ x ? 3 ，不等式可变为 ( x ? 1) ? ( x ? 3) ? 4 ， 若 即 2 x ? 4 ＞4， 解得 x＞4． 又 x≥3，∴ x＞4． 综上所述，原不等式的解为 x＜0，或 x＞4． |x－3| 解法二：如图 1．1－1， x ? 1 表示 x 轴P x C 0 |x－1| 图 1．1－1 A 1 B 3 D 4 x １１上坐标为 x 的点 P 到 Zzfls坐标为 1 的点 A 之间的距离|PA|， 即|PA|＝|x－1|； |x－3|表示 x 轴上点 P 到坐标为 2 的点 B 之间的距离|PB|， 即|PB|＝|x－3|． 所以，不等式 x ?1 ? x ? 3 ＞4 的几何意义即为 |PA|＋|PB|＞4． 由|AB|＝2，可知 点 P 在点 C(坐标为 0)的左侧、或点 P 在点 D(坐标为 4)的右侧． x＜0，或 x＞4．练 习 1．填空： （1）若 x ? 5 ，则 x=_________；若 x ? ? 4 ，则 x=_________. （2）如果 a ? b ? 5 ，且 a ? ?1 ，则 b＝________；若 1 ? c ? 2 ，则 c＝________. 2．选择题： 下列叙述正确的是 （A）若 a ? b ，则 a ? b （C）若 a ? b ，则 a ? b 3．化简：|x－5|－|2x－13|（x＞5）． （B）若 a ? b ，则 a ? b （D）若 a ? b ，则 a ? ?b（）1.1.2. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式： （1）平方差公式 (a ? b)(a ? b) ? a2 ? b2 ； 2 2 2 （2）完全平方公式 (a ? b) ? a ? 2 a b? ． b 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 2 3 （1）立方和公式 (a ? b) (a ? a b 2 b) ? 3 a? ； ? b 2 3 （2）立方差公式 (a ? b) (a ? a b 2 b) ? 3 a? ； ? b 2 2 2 2 （3）三数和平方公式 (a ? b ? c ? a ? b ? c 2 ( a b? b c ；a c ) ? ?) 3 3 2 3 （4）两数和立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a2b ? ； b 3 3 2 2 3 （5）两数差立方公式 (a ? b) ? a ? 3 a b? 3 a b ? ．b 对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明． 例 1 计算： ( x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1)( x2 ? x ? 1) ． 解法一：原式= ( x 2 ? 1) ?( x 2 ? 1) 2 ? x 2 ? ? ? = ( x2 ?1)( x4 ? x2 ? 1) = x6 ? 1． 解法二：原式= ( x ? 1)( x2 ? x ? 1)( x ?1)( x2 ? x ? 1) = ( x3 ? 1)( x3 ? 1) = x6 ? 1． 例 2 已知 a ? b ? c ? 4 ， ab ? bc ? ac ? 4 ，求 a 2 ? b2 ? c2 的值． 解： a2 ? b2 ? c2 ? (a ? b ? c)2 ? 2(ab ? bc ? ac) ? 8 ．练 习 1．填空： （1）1 2 1 2 1 1 a ? b ? ( b ? a) （ 9 4 2 3）；１２ Zzfls2 2) ? 16m ? 4m ? ( （3） (a ? 2b ? c) ? a2 ? 4b2 ? c2 ? (（2） (4m ? 2．选择题：2)； )．（ （D） ）1 mx ? k 是一个完全平方式，则 k 等于 2 1 2 1 2 2 （A） m （B） m （C） m 4 3 2 2 （2）不论 a ， b 为何实数， a ? b ? 2a ? 4b ? 8 的值（1）若 x ?21 2 m 16（ ）（A）总是正数 （C）可以是零（B）总是负数 （D）可以是正数也可以是负数1.1.3．二次根式一般地，形如 a (a ? 0) 的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为 无理式. 例如 3a ? a2 ? b ? 2b ， a2 ? b2 等是无理式，而 2 x 2 ? 理式． 1．分母（子）有理化 把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理 化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数 式互为有理化因式， 例如 2 与 2 ， a 与 a ， 3 ? 6 与 3 ? 6 ， 3 ? 3 2 与 2 3 ? 3 2 ， 等等． 一 3 2 般地， a x 与 x ， a x ? b y 与 a x ? b y ， a x ? b 与 a x ? b 互为有理化因式． 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理 化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程 在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式 a b ? ab (a ? 0, b ? 0) ；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行 运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式． 2．二次根式 a2 的意义a2 ? a ? ??a, a ? 0, ??a, a ? 0.2 x ? 1 ， x2 ? 2xy ? y2 ， a2 等是有 2例1将下列式子化为最简二次根式： （1） 12b ； （2） a2b (a ? 0) ； （3） 4 x 6 y ( x ? 0) ．解： （1） 12b ? 2 3b ； （2） a 2b ? a b ? a b (a ? 0) ； （3） 4 x 6 y ? 2 x3 例2y ? ?2 x3 y ( x ? 0) ．计算： 3 ? (3 ? 3) ．解法一：3? ( 3 ?3＝ )3 3? 3＝3 ? (3 ? 3) (3 ? 3)(3 ? 3)１３ Zzfls解法二： 例33? ( 3 ?3 3 ?3 9?3 3( 3 ? 1) ＝ 6 3 ?1 ＝ ． 2 3 3＝ ) 3? 3＝3 3( 3 ? 1) 1 ＝ 3 ?1＝ ＝ ＝2 和 2 2－ 6 . 6?43 ?1 ( 3 ? 1)( 3 ? 1)3 ?1 ． 2试比较下列各组数的大小： （1） 12 ? 11 和 11 ? 10 ； （2）解： （1）∵ 12 ? 11 ?12 ? 11 ( 12 ? 11)( 12 ? 11) 1 ， ? ? 1 12 ? 11 12 ? 11 1 1? 1 10 ? ( 11 ? 10 )( 11 ? 10 ) ? 1 1? 1 0 11 ? 1 ， 101 1?10 ?又 12 ? 11 ? 11 ? 10 ， ∴ 12 ? 11 ＜ 11 ? 10 ．2 2－ 6 (2 2－ 6)(2 2 + 6) 2 ? ? , 1 2 2+ 6 2 2+ 6 又 4＞2 2， ∴ 6＋4＞ 6＋2 2， 2 ∴ ＜ 2 2－ 6 . 6?4 例 4 化简： ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 ．（2）∵2 2－ 6 ? 解： ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2005 ＝ ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2)2004 ? ( 3 ? 2) ＝ ?( 3 ? 2) ? ( 3 ? 2) ? ? ? 2004 ＝ 1 ? ( 3 ? 2) ＝ 3? 2 ． 例 5 化简：（1） 9 ? 4 5 ； （2） x 2 ?2004? ( 3 ? 2)1 ? 2(0 ? x ? 1) ． x21 1 （2）原式= ( x ? )2 ? x ? ， x x ∵0 ? x ? 1 ， 1 ∴ ?1? x ， x 1 所以，原式＝ ? x ． x解：（1）原式 ? 5 ? 4 5 ? 4? ( 5) 2 ? 2 ? 2 ? 5 ? 22 ? (2 ? 5) 2? 2? 5 ? 5 ?2．１４ Zzfls例 6 解：3? 3? 3? ∵x ? y ? 3?已知 x ?2 3? 2 ，求 3x2 ? 5xy ? 3 y 2 的值 ． ,y? 2 3? 2 2 3? 2 ? ? ( 3 ? 2)2 ? ( 3 ? 2)2 ? 10 ， 2 3? 23? 2 3? 2 ? ?1， 3? 2 3? 2 ∴3x2 ? 5xy ? 3 y 2 ? 3( x ? y)2 ?11xy ? 3?102 ?11 ? 289 ． xy ?练 习1．填空： （1）1? 3 ＝__ 1? 3___； ___；2 （2）若 (5 ? x)( x ? 3) ? ( x ? 3) 5 ? x ，则 x 的取值范围是_ _（3） 4 24 ? 6 54 ? 3 96 ? 2 150 ? __ （4）若 x ? 2．选择题：___； __．5 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1 ，则 ? ? ______ 2 x ? 1 ? x ?1 x ? 1 ? x ?1x ? x?2 （A） x ? 2等式 3．若 b ?x 成立的条件是 x?2 （B） x ? 0（ （C） x ? 2 （D） 0 ? x ? 2）a2 ?1 ? 1 ? a2 ，求 a ? b 的值． a ?15－ 4（填“＞”，或“＜”）．4．比较大小：2－ 31.1.４．分式1．分式的意义 形如A A A 的式子，若 B 中含有字母，且 B ? 0 ，则称 为分式．当 M≠0 时，分式 具有下列性质： B B BA A? M ? ； B B?MA A?M ? ． B B?M上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式 a m?n? p 像 b ， 这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 2m c?d n? p１５ Zzfls5x ? 4 A B 例1 若 ，求常数 A, B 的值． ? ? x( x ? 2) x x ? 2 A B A( x ? 2) ? Bx ( A ? B) x ? 2 A 5 x ? 4 解： ∵ ? ， ? ? ? x x?2 x( x ? 2) x( x ? 2) x( x ? 2) ? A ? B ? 5, ∴? ?2 A ? 4, 解得 A ? 2 ,B ? 3 ． 1 1 1 ? ? 例 2 （1）试证： （其中 n 是正整数）； n(n ? 1) n n ? 1 1 1 1 ? ?? ? （2）计算： ； 1? 2 2 ? 3 9 ?10 1 1 1 1 （3）证明：对任意大于 1 的正整数 n， 有 ? ?? ? ? ． 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 2 1 1 (n ? 1) ? n 1 ? ? （1）证明：∵ ? ， n n ?1 n(n ? 1) n(n ? 1) 1 1 1 ? ? ∴ （其中 n 是正整数）成立． n(n ? 1) n n ? 1 （2）解：由（1）可知 1 1 1 ? ?? ? 1? 2 2? 3 9 10 ? 1 1 1 1 1 ? ( 1? ) ? ( ? ) ? ? ( ? ) ? 2 2 3 9 10 9 1 ? 1? ＝ ． 1 0 10 1 1 1 ? ?? ? （3）证明：∵ 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) 1 1 1 1 1 1 ) ＝ ( ? ) ? ( ? ) ??? ( ? 2 3 3 4 n n ?1 1 1 ＝ ? ， 2 n ?1 又 n≥2，且 n 是正整数， 1 ∴ 一定为正数， n＋1 1 1 1 1 ? ?? ? ∴ ＜2 ． 2 ? 3 3? 4 n(n ? 1) c 例 3 设 e ? ，且 e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求 e 的值． a 2 解：在 2c －5ac＋2a2＝0 两边同除以 a2，得 2e2－5e＋2＝0， ∴ －1)(e－2)＝0， (2e 1 ∴ 2 ＜1，舍去；或 e＝2． e＝ ∴ e＝2．练 习 1．填空题： １６ Zzfls1 对任意的正整数 n， ? n(n ? 2)2．选择题： 若1 1 ( ? )； n n?2（ ）x 2x ? y 2 ? ，则 ＝ y x? y 3（B）（A）１x? y 的值． x? y 1 1 1 1 ? ? ? ... ? 4．计算 ． 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 99 ?1003．正数 x, y 满足 x2 ? y 2 ? 2 xy ，求5 4（C）4 5（D）6 5习题 1．1 A 组 1．解不等式： (1) x ? 1 ? 3 ； (3) x ?1 ? x ? 1 ? 6 ．3 3 ２．已知 x ? y ? 1 ，求 x ? y ? 3xy 的值．(2) x ? 3 ? x ? 2 ? 7 ；3．填空： （1） (2 ? 3)18 (2 ? 3)19 ＝________；2 2 （2）若 (1 ? a ) ? (1 ? a ) ? 2 ，则 a 的取值范围是________；（3）1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ________． 1? 2 2? 3 3? 4 4? 5 5? 6B1．填空：组1 1 3a 2 ? ab ? ____ ， b ? ，则 2 2 3 3a ? 5ab ? 2b 2 x 2 ? 3xy ? y 2 2 2 （2）若 x ? xy ? 2 y ? 0 ，则 ? __ x2 ? y 2（1） a ? 2．已知： x ?____； __；y y 1 1 , y ? ，求 的值． ? 2 3 x? y x? y C?b ? ? a ，则组（ ）1．选择题： （1）若 ? a ? b ? 2 ab ? （A） a ? b （2）计算 a ? （A） ?a 2．解方程 2( x ?2（B） a ? b（C） a ? b ? 0（D） b ? a ? 0 （ ）1 等于 a（B） a （C） ? ?a（D） ? a1 1 ) ? 3( x ? ) ? 1 ? 0 ． 2 x x１７ Zzfls1 1 1 1 ? ? ?? ? 3．计算： ． 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 9 ?11 1 1 1 1 4．试证：对任意的正整数 n，有 ＜ ． ? ??? 1? 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 n( n ?1)( n ? 2) 41．（1） ?5 ； ?4（2） ?4 ； ?1或 31.1.1．绝对值 2．D 3．3x－18 1.1.2．乘法公式 （3） 4ab ? 2ac ? 4bc 1.1.3．二次根式 （3） ?8 6 （4） 5 ． 1.1.4．分式1 1 1 1 1．（1） a ? b （2） , 2 4 3 2 2．（1）D （2）A1． （1） 3 ? 2 （2） 3 ? x ? 5 2．C 3．1 4．＞ 1 1．2 2．B 3．2 ?14．99 100习题 1．1 A组 1．（1） x ? ?2 或 x ? 4 （2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或 x＞3 2．1 3．（1） 2 ? 3 （2） ?1 ? a ? 1 （3） 6 ? 1 B组 1 3 5 1．（1） （2） ，或－5 2．4． 7 2 C组 36 1 1．（1）C （2）C 2． x1 ? , x2 ? 2 3． 55 2 1 1 1 1 ? [ ? ] 4．提示： n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2)1．21．十字相乘法 例1 分解因式： （1）x2－3x＋2； （3） x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ；分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法 及待定系数法．（2）x2＋4x－12； （4） xy ? 1 ? x ? y ．解：（1）如图 1．2－1，将二次项 x2 分解成图中的两个 x 的积，再将常数项 2 分解成－1 与－2 的１８ Zzfls2乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x，就是 x －3x＋2 中的一次项，所以，有 x2－3x＋2＝(x－1)(x－2)．x x －1 －2 1 1 －1 －2 1 1 图 1．2－3 －2 6 x x －ay －by图 1．2－1图 1．2－2图 1．2－4说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图 1．2－1 中的两个 x 用 1 来表示（如 图 1．2－2 所示）． （2）由图 1．2－3，得 x2＋4x－12＝(x－2)(x＋6)． （3）由图 1．2－4，得x2 ? (a ? b) xy ? aby 2 ＝ ( x ? ay)( x ? by)（4） xy ? 1 ? x ? y ＝xy＋(x－y)－1 ＝(x－1) (y+1) （如图 1．2－5 所示）． 2．提取公因式法与分组分解法x y－1 1图 1．2－5分解因式： （1） x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x ； （2） 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 ． 解： （1） x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x = ( x3 ? 3x2 ) ? (3x ? 9) = x2 ( x ? 3) ? 3( x ? 3) = ( x ? 3)( x2 ? 3) ． 或 x3 ? 9 ? 3x 2 ? 3x ＝ ( x3 ? 3x2 ? 3x ? 1) ? 8 ＝ ( x ? 1)3 ? 8 ＝ ( x ? 1)3 ? 23 ＝ [( x ? 1) ? 2][( x ? 1)2 ? ( x ? 1) ? 2 ? 22 ] ＝ ( x ? 3)( x2 ? 3) ． （2） 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? y 2 ? 5 y ? 6 = 2x2 ? ( y ? 4) x ? ( y ? 2)( y ? 3) = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) ． 或 2x2 ? xy ? y 2 ? 4x ? 5 y ? 6 = (2x2 ? xy ? y 2 ) ? (4x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y)( x ? y) ? (4 x ? 5 y) ? 6 = (2 x ? y ? 2)( x ? y ? 3) ． 3．关于 x 的二次三项式 ax2+bx+c(a≠0)的因式分解． 若关于 x 的方程 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实数根是 x1 、 x 2 ，则二次三项式 ax2 ? bx ? c(a ? 0) 就可 分解为 a( x ? x1 )( x ? x2 ) . 例3 把下列关于 x 的二次多项式分解因式： （1） x 2 ? 2 x ? 1 ； （2） x2 ? 4 xy ? 4 y 2 ．例2解： （1）令 x 2 ? 2 x ? 1 =0，则解得 x1 ? ?1 ? 2 ， x2 ? ?1 ? 2 ， ∴x 2 ? 2 x ? 1 = ? x ? (?1 ? 2) ? ? x ? (?1 ? 2) ? ? ?? ?１９ Zzfls= ( x ? 1 ? 2)( x ? 1 ? 2) ． （2）令 x2 ? 4 xy ? 4 y 2 =0，则解得 x1 ? (?2 ? 2 2) y ， x1 ? (?2 ? 2 2) y ， ∴x2 ? 4 xy ? 4 y 2 = [ x ? 2(1 ? 2) y][ x ? 2(1 ? 2) y] ．练 习 1．选择题： 多项式 2 x2 ? xy ?15 y 2 的一个因式为 （A） 2 x ? 5 y 2．分解因式： （1）x2＋6x＋8； （3）x2－2x－1； （B） x ? 3 y （C） x ? 3 y （ （D） x ? 5 y ）（2）8a3－b3； （4） 4( x ? y ? 1) ? y( y ? 2 x) ． 习题 1．21．分解因式： （1） a ? 1 ；3（2） 4 x ? 13x ? 9 ；4 2（3） b ? c ? 2ab ? 2ac ? 2bc ；2 2（4） 3x ? 5xy ? 2 y ? x ? 9 y ? 4 ．2 22．在实数范围内因式分解： （1） x ? 5 x ? 3 ；2（2） x ? 2 2 x ? 3 ；2（3） 3x ? 4 xy ? y ；2 22 2 2（4） ( x ? 2x) ? 7( x ? 2x) ? 12 ．2 2 23． ?ABC 三边 a ， b ， c 满足 a ? b ? c ? ab ? bc ? ca ，试判定 ?ABC 的形状． 4．分解因式：x2＋x－(a2－a)．1.2 分解因式 1． B 2．（1）(x＋2)(x＋4) （3） ( x ?1 ? 2)( x ?1 ? 2) 1．（1） ? a ? 1? ? a 2 ? a ? 1? （3） ?b ? c ??b ? c ? 2a ? （2） (2a ? b)(4a2 ? 2ab ? b2 ) （4） (2 ? y)(2 x ? y ? 2) ． 习题 1．2 （2） ? 2x ? 3?? 2x ? 3?? x ? 1?? x ? 1?（4） ?3 y ? y ? 4?? x ? 2 y ? 1?? 5 ? 13 ? ? 5 ? 13 ? 2．（1） ? x ? ?? x ? ? ； （2） x ? 2 ? 5 x ? 2 ? 5 ； ? 2 ?? 2 ? ? ?? ? ? 2 ? 7 ?? 2? 7 ? y ?? x ? y ? ； （4） ? x ? 3? ( x ? 1)( x ? 1 ? 5)( x ? 1 ? 5) ． （3） 3 ? x ? ? ?? ? 3 3 ? ?? ? 3．等边三角形 4． ( x ? a ? 1)( x ? a)????２０ Zzfls2.1 一元二次方程2.1.1 根的判别式我们知道，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，用配方法可以将其变形为b 2 b 2 ? 4ac (x ? ) ? ． 2a 4a 2①因为 a≠0，所以，4a2＞0．于是 （1）当 b2－4ac＞0 时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根 x1，2＝?b ? b2 ? 4ac ； 2ab ； 2a（2）当 b2－4ac＝0 时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根 x1＝x2＝－（3）当 b2－4ac＜0 时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边 ( x ?b 2 ) 一定大于或等于零，因此，原方程 2a没有实数根． 由此可知，一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由 b2－4ac 来判定，我们把 b2－4ac 叫做一元二次 方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示． 综上所述，对于一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，有 （1） 当 Δ＞0 时，方程有两个不相等的实数根 x1，2＝?b ? b2 ? 4ac ； 2ab ； 2a（2）当 Δ＝0 时，方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝－（3）当 Δ＜0 时，方程没有实数根． 例 1 判定下列关于 x 的方程的根的情况（其中 a 为常数） ，如果方程有实数根，写出方程的实数根． （1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0； （3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0． 2 解： （1）∵Δ＝3 －4× 3＝－3＜0，∴方程没有实数根． 1× （2）该方程的根的判别式 Δ＝a2－4× (－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根 1×x1 ?a ? a2 ? 4 ， 2x2 ?a ? a2 ? 4 ． 2（3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝a2－4× (a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2， 1× 所以， ①当 a＝2 时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1； ②当 a≠2 时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1． （3）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4× a＝4－4a＝4(1－a)， 1× 所以 ①当 Δ＞0，即 4(1－a) ＞0，即 a＜1 时，方程有两个不相等的实数根x1 ? 1 ? 1 ? a ，x2 ? 1 ? 1 ? a ；２１②当 Δ＝0，即 a＝1 时，方程有两个相等的实数根 Zzflsx1＝x2＝1； ③当 Δ＜0，即 a＞1 时，方程没有实数根． 说明：在第 3，4 小题中，方程的根的判别式的符号随着 a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对 a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的 解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根x1 ?则有?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ， x2 ? ， 2a 2a?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ?2b b ? ? ?? ； 2a 2a 2a a 2 2 2 2 ?b ? b ? 4ac ?b ? b ? 4ac b ? (b ? 4ac) 4ac c x1 x2 ? ? ? ? 2? ． 2a 2a 4a 2 4a a x1 ? x2 ?所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系： 如果 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是 x1，x2，那么 x1＋x2＝ ?b c ，x1?2＝ ．这一关系也被称为韦达定理． x a a特别地，对于二次项系数为 1 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0，若 x1，x2 是其两根，由韦达定理可知 x1＋x2＝－p，x1?2＝q， x 即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1?2， x 所以， 方程 x2＋px＋q＝0 可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1?2＝0， x 由于 x1， 2 是一元二次方程 x2＋px＋q＝0 的两根， x 所以， 2 x1，x2 也是一元二次方程 x －(x1＋x2)x＋x1?2＝0．因此有 x 以两个数 x1，x2 为根的一元二次方程（二次项系数为 1）是 x2－(x1＋x2)x＋x1?2＝0． x 例 2 已知方程 5 x ? kx ? 6 ? 0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值． 分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出 k 的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学 习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利 用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出 k 的值． 解法一：∵2 是方程的一个根， ∴5× 2＋k× 2 2－6＝0， ∴k＝－7．2所以，方程就为 5x2－7x－6＝0，解得 x1＝2，x2＝－ 所以，方程的另一个根为－3 ． 53 ，k 的值为－7． 5 6 3 ，∴x1＝－ ． 5 5解法二：设方程的另一个根为 x1，则 2x1＝－3 k ）＋2＝－ ，得 k＝－7． 5 5 3 所以，方程的另一个根为－ ，k 的值为－7． 5由 （－ 例3 已知关于 x 的方程 x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0 有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求 m 的值． 分析： 本题可以利用韦达定理， 由实数根的平方和比两个根的积大 21 得到关于 m 的方程， 从而解得 m 的值． 但 ２２ Zzfls在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零． 解：设 x1，x2 是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2(m－2)，x1?2＝m2＋4． x ∵x12＋x22－x1?2＝21， x ∴(x1＋x2)2－3 x1?2＝21， x 即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或 m＝17． 当 m＝－1 时，方程为 x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当 m＝17 时，方程为 x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4× 293＜0，不合题意，舍去． 1× 综上，m＝17． 说明： （1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的 m 的范围，然后再由“两个实数根 的平方和比两个根的积大 21”求出 m 的值，取满足条件的 m 的值即可． （1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式 Δ 是否大于或大于零．因为，韦 达定理成立的前提是一元二次方程有实数根． 例 4 已知两个数的和为 4，积为－12，求这两个数． 分析：我们可以设出这两个数分别为 x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次 方程来求解． 解法一：设这两个数分别是 x，y， 则 x＋y＝4， ① xy＝－12． ② 由①，得 y＝4－x， 代入②，得 x(4－x)＝－12， 即 x2－4x－12＝0， ∴x1＝－2，x2＝6． ∴?? x1 ? ?2, ? x2 ? 6, 或? ? y1 ? 6, ? y2 ? ?2.因此，这两个数是－2 和 6． 解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程 x2－4x－12＝0 的两个根． 解这个方程，得 x1＝－2，x2＝6． 所以，这两个数是－2 和 6． 说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷． 例 5 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求1 1 ? 2 的值； 2 x1 x2（3）x13＋x23． 解：∵x1 和 x2 分别是一元二次方程 2x2＋5x－3＝0 的两根， ∴ x1 ? x2 ? ?5 3 ， x1 x2 ? ? ． 2 25 2 2 7 ∴| x1－x2|＝ ． 2 3 2（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝ (? ) ? 4 ? (? ) ＝25 49 ＋6＝ ， 4 4２３ Zzflsx 2 ? x 2 ( x ? x2 )2 ? 2 x1 x2 1 1 （2） 2 ? 2 ? 1 2 22 ? 1 ? x1 x2 x1 ? x2 ( x1 x2 )25 3 25 (? ) 2 ? 2 ? (? ) ?3 37 2 2 ? 4 ． ? 3 2 9 9 (? ) 2 4（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－5 5 3 215 )× [(－ )2－3× ? )]＝－ ( ． 2 2 2 8说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简 便，我们可以探讨出其一般规律： 设 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，则?b ? b2 ? 4ac ?b ? b2 ? 4ac ， x2 ? ， x1 ? 2a 2a?b ? b 2 ? 4ac ?b ? b 2 ? 4ac 2 b 2 ? 4ac ∴| x1－x2|＝ ? ? 2a 2a 2a?b2 ? 4ac ? ． ? |a| |a|? （其中 Δ＝b2－4ac） ． |a|于是有下面的结论： 若 x1 和 x2 分别是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0） ，则| x1－x2|＝今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论． 例 6 若关于 x 的一元二次方程 x2－x＋a－4＝0 的一根大于零、另一根小于零，求实数 a 的取值范围． 解：设 x1，x2 是方程的两根，则 x1x2＝a－4＜0， ① 2 且 Δ＝(－1) －4(a－4)＞0． ② 由①得 a＜4， 17 由②得 a＜ ． 4 ∴a 的取值范围是 a＜4．练 习 1．选择题： （1）方程 x ? 2 3kx ? 3k ? 0 的根的情况是 （ ） （A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根 （ 2 ） 若 关 于 x 的 方 程 mx2 ＋ (2m ＋ 1)x ＋ m ＝ 0 有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是 （ ）2 21 4 1 （C）m＜ ，且 m≠0 4（A）m＜ 2．填空:1 4 1 （D）m＞－ ，且 m≠0 4（B）m＞－（1）若方程 x2－3x－1＝0 的两根分别是 x1 和 x2，则 （2）方程 mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 （3）以－3 和 1 为根的一元二次方程是1 1 ? ＝ x1 x2． ． ． ２４ Zzfls223．已知 a ? 8a ? 16 ? | b ? 1|? 0 ，当 k 取何值时，方程 kx ＋ax＋b＝0 有两个不相等的实数根？ 4．已知方程 x2－3x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，求(x1－3)( x2－3)的值．习题 2.1 A 组 1．选择题: （1）已知关于 x 的方程 x2＋kx－2＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是（ （A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2 （2）下列四个说法： ①方程 x2＋2x－7＝0 的两根之和为－2，两根之积为－7； ②方程 x2－2x＋7＝0 的两根之和为－2，两根之积为 7； ③方程 3 x2－7＝0 的两根之和为 0，两根之积为 ? ）7 ； 3④方程 3 x2＋2x＝0 的两根之和为－2，两根之积为 0． 其中正确说法的个数是 （ ） （A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个 （3）关于 x 的一元二次方程 ax2－5x＋a2＋a＝0 的一个根是 0，则 a 的值是（ ） （A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1 2．填空: （1）方程 kx2＋4x－1＝0 的两根之和为－2，则 k＝ ． 2 2 2 （2）方程 2x －x－4＝0 的两根为 α，β，则 α ＋β ＝ ． （3）已知关于 x 的方程 x2－ax－3a＝0 的一个根是－2，则它的另一个根是 ． （4）方程 2x2＋2x－1＝0 的两根为 x1 和 x2，则| x1－x2|＝ ． 3．试判定当 m 取何值时，关于 x 的一元二次方程 m2x2－(2m＋1) x＋1＝0 有两个不相等的实数根？有两个相等的实数 根？没有实数根？ 4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程 x2－7x－1＝0 各根的相反数． B 组 1．选择题: 若 关 于 x 的 方 程 x2 ＋ (k2 － 1) x ＋ k ＋ 1 ＝ 0 的 两 根 互 为 相 反 数 ， 则 （ ） （D）0 ． ． k 的 值 为（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 2．填空: （1）若 m，n 是方程 x2＋2005x－1＝0 的两个实数根，则 m2n＋mn2－mn 的值等于 （2）如果 a，b 是方程 x2＋x－1＝0 的两个实数根，那么代数式 a3＋a2b＋ab2＋b3 的值是 3．已知关于 x 的方程 x2－kx－2＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）设方程的两根为 x1 和 x2，如果 2(x1＋x2)＞x1x2，求实数 k 的取值范围． 4．一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为 x1 和 x2．求： （1）| x1－x2|和x1 ? x2 ； 2（2）x13＋x23． 5．关于 x 的方程 x2＋4x＋m＝0 的两根为 x1，x2 满足| x1－x2|＝2，求实数 m 的值． C 组 1．选择题： （1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 2x2－8x＋7＝0 的两根，则这个直角三角形的斜边长等于 （ ） ２５ Zzfls（A） 3（B）3（C）6（D）9 （ （D） ）（2）若 x1，x2 是方程 2x2－4x＋1＝0 的两个根，则 （A）6 （B）4x1 x2 ? 的值为 x2 x13 2（C）3（ 3 ） 如 果 关 于 x 的 方 程 x2 － 2(1 － m)x ＋ m2 ＝ 0 有 两 实 数 根 α ， β ， 则 α ＋ β 的 取 值 范 围 为 （ ） （A）α＋β≥1 2（B）α＋β≤1 2（C）α＋β≥1（D）α＋β≤1（ 4 ） 已 知 a ， b ， c 是 ΔABC 的 三 边 长 ， 那 么 方 程 cx2 ＋ (a ＋ b)x ＋ （ （A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根 （C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根 2．填空： 若方程 x2－8x＋m＝0 的两根为 x1，x2，且 3x1＋2x2＝18，则 m＝ ． 3． 已知 x1，x2 是关于 x 的一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根． （1）是否存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ （2）求使 ）c ＝0 的根的情况是 43 成立？若存在，求出 k 的值；若不存在，说明理由； 2x1 x2 ? －2 的值为整数的实数 k 的整数值； x2 x1 x （3）若 k＝－2， ? ? 1 ，试求 ? 的值． x24．已知关于 x 的方程 x ? (m ? 2) x ?2m2 ?0． 4（1）求证：无论 m 取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； （2）若这个方程的两个实数根 x1，x2 满足|x2|＝|x1|＋2，求 m 的值及相应的 x1，x2． 5．若关于 x 的方程 x2＋x＋a＝0 的一个大于 1、零一根小于 1，求实数 a 的取值范围．2.1 1． （1）C （2）D 2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 3．k＜4，且 k≠0 4．－1 提示：(x1－3)( x2－3)＝x1 x2－3(x1＋x2)＋9一元二次方程 练习 （3）x2＋2x－3＝0习题 2．1 A 组 提示：②和④是错的，对于②，由于方程的根的判别式 Δ＜0，所以方程没有实 2 数根；对于④，其两根之和应为－ ． 3 （3）C 提示：当 a＝0 时，方程不是一元二次方程，不合题意． 17 2． （1）2 （2） （3）6 （3） 3 4 1． （1）C （2）B２６ Zzfls1 1 3．当 m＞－ ，且 m≠0 时，方程有两个不相等的实数根；当 m＝－ 时，方程有两个相等的实数根； 4 4 1 当 m＜－ 时，方程没有实数根． 4 4．设已知方程的两根分别是 x1 和 x2，则所求的方程的两根分别是－x1 和－x2，∵x1＋x2＝7，x1x2＝－1，∴(－x1)＋(－x2)＝－7，(－x1)× (－x2)＝x1x2＝－1，∴所求的方程为 y2＋7y－1＝0．B组1．C 提示：由于 k=1 时，方程为 x ＋2＝0，没有实数根，所以 k＝－1． 2．（1）2006 提示：∵m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m2n＋mn2－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006． （2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a3＋a2b＋ab2＋b3＝a2(a＋b)＋b2(a＋b)＝(a＋b)( a2＋b2) ＝(a＋b)[( a＋b) 2－2ab]＝(－1)× [(－1)2－2× (－1)]＝－3． 2 2 3．（1）∵Δ＝(－k) －4× (－2)＝k ＋8＞0，∴方程一定有两个不相等的实数根． 1× （2）∵x1＋x2＝k，x1x2＝－2，∴2k＞－2，即 k＞－1．b 3abc ? b3 b2 ? 4ac x1 ? x2 3 3 4． （1）| x1－x2|＝ ， ＝? ； （2）x1 ＋x2 ＝ ． 2 2a a3 |a|5．∵| x1－x2|＝ 16 ? 4m ? 2 4 ? m ? 2 ，∴m＝3．把 m＝3 代入方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．2C组1．（1）B （2）A1 ，∴α＋β＝2(1－m)≥1． 2 （4）B 提示：∵a，b，c 是 ΔABC 的三边长，∴a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)2－c2＞0． 2．（1）12 提示：∵x1＋x2＝8，∴3x1＋2x2＝2(x1＋x2)＋x1＝2× 8＋x1＝18，∴x1＝2，∴x2＝6，∴m＝ x1x2＝12． 3 3． （1）假设存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 成立． 2（3）C提示：由 Δ≥0，得 m≤∵一元二次方程 4kx2－4kx＋k＋1＝0 有两个实数根， ∴k≠0，且 Δ＝16k2－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0． ∵x1＋x2＝1，x1x2＝k ?1 ， 4k3 9(k ? 1) ＝－ ， 2 4k 9 3 9(k ? 1) 7 即 ＝ ，解得 k＝ ，与 k＜0 相矛盾，所以，不存在实数 k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－ 成立． 5 2 2 4k 2 2 2 2 x x x ? x2 ( x ? x ) ? 2 x1 x2 (x ? x ) （2）∵ 1 ? 2 －2＝ 1 ?2 ? 1 2 ?2 ? 1 2 ?4 x2 x1 x1 x2 x1 x2 x1 x2 4k 4k ? 4(k ? 1) 4 ?4 ? ?? ＝ ， k ?1 k ?1 k ?1 x x ∴要使 1 ? 2 －2 的值为整数，只须 k＋1 能整除 4．而 k 为整数， x2 x1＝2(x1＋x2)2－9 x1x2＝2－ ∴k＋1 只能取± 1，± 2，± 4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1 只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，－5． ∴能使∴ (2x1－x2)( x1－2 x2)＝2 x12－51x2＋2 x22x1 x2 ? －2 的值为整数的实数 k 的整数值为－2，－3 和－5． x2 x1２７ Zzfls1 （3）当 k＝－2 时，x1＋x2＝1，① x1x2＝ ， ② 8 1 x1 x2 ①2÷ ②，得 ? ＋2＝8，即 ? ? ? 6 ，∴ ? 2 ? 6? ? 1 ? 0 ， ? x2 x1∴? ? 3? 2 2 ． 4． （1）Δ＝ 2(m ? 1)2 ? 2 ? 0 ； （2）∵x1x2＝－m2 ≤0，∴x1≤0，x2≥0，或 x1≥0，x2≤0． 4①若 x1≤0， 2≥0， x2＝－x1＋2， 1＋x2＝2， x 则 ∴x ∴m－2＝2， ∴m＝4． 此时， 方程为 x2－2x－4＝0， x1 ? 1 ? 5 ， ∴x2 ? 1 ? 5 ．②若 x1≥0，x2≤0，则－x2＝x1＋2，∴x1＋x2＝－2，∴m－2＝－2， ∴m＝0．此时，方程为 x2＋2＝0，∴x1＝0，x2＝－2． 5．设方程的两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－1，x1x2＝a， 由一根大于 1、另一根小于 1，得 (x1－1)( x2－1)＜0， 即 x1x2－(x1＋x2)+1＜0， ∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2． 此时，Δ＝12－4× (－2) ＞0， ∴实数 a 的取值范围是 a＜－2．2．2二次函数2.2.1 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图像和性质问题 1 函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间存在怎样的关系？ 为了研究这一问题，我们可以先画出 y＝2x2，y＝1 2 x ，y＝－2x2 的图象，通过这些函数图象与函数 y＝x2 的图象 2之间的关系，推导出函数 y＝ax2 与 y＝x2 的图象之间所存在的关系． 先画出函数 y＝x2，y＝2x2 的图象． 先列表： x x2 2… … …－3 9 18－2 4 82－1 1 20 0 021 1 22 4 83 9 18… …2x从表中不难看出，要得到 2x 的值，只要把相应的 x 的值扩大两倍就可以了． 再描点、连线，就分别得到了函数 y＝x2，y＝2x2 的图象（如图 2－1 所示） ，从图 2－1 我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数 y＝2x2 的图象可以由函数 y＝x2 的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到． 同学们也可以用类似于上面的方法画出函数 y＝y＝2x2yy＝x21 2 x ，y＝－2x2 的图象，并研 2y究这两个函数图象与函数 y＝x2 的图象之间的关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y＝ax2(a≠0)的图象可以由 y＝x2 的图象各点的纵坐标变为原来的 a 倍得到．在二次函数 y＝ax2(a≠0)中，二次项系数 a 决定了图象的开口方向和在同 一个坐标系中的开口的大小． 问题 2 函数 y＝a(x＋h)2＋k 与 y＝ax2 的图象之间存在怎样的关系？ 同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关 系．同学们可以作出函数 y＝2(x＋1)2＋1 与 y＝2x2 的图象（如图 2－2 所示） ，从 2 函数的同学我们不难发现，只要把函数 y＝2x 的图象向左平移一个单位，再向上y＝2(x＋1)2＋1 y＝2(x＋1)2 O 图 2.2-1 y＝2x2 x２８－1O 图 2.2-2x Zzfls平移一个单位，就可以得到函数 y＝2(x＋1)2＋1 的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点． 类似地，还可以通过画函数 y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1 的图象，研究它们图象之间的相互关系． 通过上面的研究，我们可以得到以下结论： 二次函数 y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移， 而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法： 由于 y＝ax2＋bx＋c＝a(x2＋b b b2 b2 x )＋c＝a(x2＋ x ＋ 2 )＋c－ a a 4a 4a? a( x ?b 2 b2 ? 4ac ) ? ， 2a 4a所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数 y＝ax2 的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：b b 4ac ? b 2 , ) ，对称轴为直线 x＝－ ； （1）当 a＞0 时，函数 y＝ax ＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为 ( ? 2a 2a 4a b b b 当 x＜ ? 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＞ ? 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＝ ? 时，函数取最小值 y＝ 2a 2a 2a 4ac ? b 2 ． 4a b b 4ac ? b 2 , ) ，对称轴为直线 x＝－ （2）当 a＜0 时，函数 y＝ax2＋bx＋c 图象开口向下；顶点坐标为 ( ? ； 2a 2a 4a b b b 当 x＜ ? 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞ ? 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x＝ ? 时，函数取最大值 y＝ 2a 2a 2a 4ac ? b 2 ． 4a2上述二次函数的性质可以分别通过图 2．2－3 和图 2．2－4 直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时， 可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题． 例 1 求二次函数 y＝－3x2－6x＋1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出当 x 取何 值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象． 解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4， ∴函数图象的开口向下； 对称轴是直线 x＝－1； 顶点坐标为(－1，4)； 当 x＝－1 时，函数 y 取最大值 y＝4； 当 x＜－1 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x＞－1 时，y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A(－1，4))，与 x 轴交于点 B (2 3 ?3 2 3 ?3 , 0) 和 C (? , 0) ，与 y 轴的交点为 D(0， 3 31)，过这五点画出图象（如图 2－5 所示） ． 说明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的盲目性，使 画图更简便、图象更精确．２９ Zzfls例 2 某种产品的成本是 120 元/件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间关系如下表 所示： 130 150 165 x /元 70 50 35 y/件 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此 时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润＝日销售量 y× (销售价 x－120)，日销售量 y 又是销售价 x 的一次函数，所以，欲求每天所 获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价 x 之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天 利润的最大值． 解：由于 y 是 x 的一次函数，于是，设 y＝kx＋（B） 将 x＝130，y＝70；x＝150，y＝50 代入方程，有?70 ? 130k ? b, ? ?50 ? 150k ? b,解得 k＝－1，b＝200． ∴ y＝－x＋200． 设每天的利润为 z（元） ，则 z＝(－x+200)(x－120)＝－x2＋320x－24000 ＝－(x－160)2＋1600， ∴当 x＝160 时，z 取最大值 1600． 答：当售价为 160 元/件时，每天的利润最大，为 1600 元． 例 3 把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x2 的图像，求 b，c 的值． 解法一： y＝ x2 ＋ bx＋c＝ (x+b 2 b2 ) ?c ? ，把它的图像向上平 移 2 个单位，再向左平 移 4 个单位，得 到 2 4b b2 ? 4) 2 ? c ? ? 2 的图像，也就是函数 y＝x2 的图像，所以， 2 4 ? b ?? 2 ?4 ?0 , ? 解得 b＝－8，c＝14． ? 2 ?c ? b ?2 ?0 , ? 4 ? 解法二：把二次函数 y＝x2＋bx＋c 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 y＝x2 的图像，等价 于把二次函数 y＝x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y＝x2＋bx＋c 的图像． 由于把二次函数 y＝x2 的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y＝(x－4)2＋2 的图像，即为 y ＝x2－8x＋14 的图像，∴函数 y＝x2－8x＋14 与函数 y＝x2＋bx＋c 表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14． y ? (x ?３０ Zzfls说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的 变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较大； 而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在 解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题． 例 4 已知函数 y＝x2，－2≤x≤a，其中 a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对 应的自变量 x 的值． 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论． 解：（1）当 a＝－2 时，函数 y＝x2 的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此 时 x＝－2； （2）当－2＜a＜0 时，由图 2．2－6①可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 y＝4；当 x＝a 时，函数取最小值 y＝a2； （3）当 0≤a＜2 时，由图 2．2－6②可知，当 x＝－2 时，函数取最大值 y＝4；当 x＝0 时，函数取最小值 y＝0； （4）当 a≥2 时，由图 2．2－6③可知，当 x＝a 时，函数取最大值 y＝a2；当 x＝0 时，函数取最小值 y＝0．y 4 4 y ya2a－2 a2a2x －2 O ② a 2 x －24O ①O ③a x图 2.2－6 说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对 a 的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自 变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解 决问题． 练 习 1．选择题： （1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ） （A）y＝2x2 （B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1 （D）y＝2x2－4x 2 2 （2）函数 y＝2(x－1) ＋2 是将函数 y＝2x （ ） （A）向左平移 1 个单位、再向上平移 2 个单位得到的 （B）向右平移 2 个单位、再向上平移 1 个单位得到的 （C）向下平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 （D）向上平移 2 个单位、再向右平移 1 个单位得到的 2．填空题 （1）二次函数 y＝2x2－mx＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则 m＝ ，n＝ ． （2）已知二次函数 y＝x2+(m－2)x－2m，当 m＝ 时，函数图象的顶点在 y 轴上；当 m＝ 时，函数图象 的顶点在 x 轴上；当 m＝ 时，函数图象经过原点． （3）函数 y＝－3(x＋2)2 ＋5 的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当 x＝ 时，函数取最 值 y＝ ；当 x 时，y 随着 x 的增大而减小． 3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及 y 随 x 的变化情况，并画出其图象． （1）y＝x2－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x2． 4．已知函数 y＝－x2－2x＋3，当自变量 x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最 大（小）值时所对应的自变量 x 的值： （1）x≤－2； （2）x≤2； （3）－2≤x≤1； （4）0≤x≤3． ３１ Zzfls2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式： 1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)； 2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)． 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与 x 轴交点个数． 当抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是有 ax2＋bx＋c＝0． ①并且方程①的解就是抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线 y ＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点个数与方程①的解的个数有关， 而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式 Δ＝b2－4ac 有关，由此可知，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交点个数与根的判别式 Δ＝b2－4ac 存在下列关系： （1）当 Δ＞0 时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有 两个交点，则 Δ＞0 也成立． （2）当 Δ＝0 时，抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线 y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)与 x }
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