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多级轴流叶轮机内流场的隐式高精度高分辨率数值模拟.pdf 144页
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多级轴流叶轮机内流场的隐式高精度高分辨率数值模拟
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舶北i．业火学倾十学位论文
为进‘步发展和完善多级轴流叶轮机械内三维紊流流场的数值模拟技术，本
文刖绕该领域内的若干关键问题展丌了研究。
本文酋先推导得m了不受坐标系限制的张量形式的流体运动学基本方杞!组。
引入汇盒曲线挫标系以及拉梅系数，将张量形式的方种绢展丌剑相刈网柱坐标_F
并投影到计算空削l：。在此基{iil{l二，详细推导得出了矢通量按正负特征值分裂以
后的亚通量的统一形式，不仪简化了计算程序，而日．为使用现代先进数值格式打
下了基础。
分析了现代先进数值格式的构造原则。将高分辨率的三阶ENN格式应用]．三
维叶栅紊流流场的数值模拟，并结合无矩阵求逆运算的I．U。SGS隐式解法提高了
计算速度，使得叶栅内复杂流动的数值模拟问题在精度和计算效率两个方面均有
较好的效果。
参考动静下涉丽处理的“混合平面法”，本文提出并讨论了动静二r涉面处理
应该保证的丽个问题：流动参数的守恒型和流动参数的上F游相互传递。以此为
出发点，构造了两人类动静干涉面处理模型，即：动静干涉面重合处理模型及动
静干涉面重叠处理模型。通过算例计算检验，验证了本文所发展的这两大类干涉
面处理模型的可行性。
对网格‘卜成中需要注意的若干关键问题进行了讨论和分析，结合本文研究对
象，提出了相应的网格生成方法。利用VC++开发了‘+套适用于叶轮机械内流场数
值计算的界丽化网格生成软件，可以生成平面叶栅、直列叶栅和三维通道叶栅的
计算网格，具有较多的控制参数，能够快速高效且直观地生成删格。
在上述一系列研究工作的基础上，结合本文所设计的串行分区计算流程，本
文较完整地建立了多级轴流叶轮机械内三维紊流流场数值模拟系统。通过对某两
级风扇近设计点和某带进口导叶的三级轴流压气机设计转速下多个状态的计算以
及对计算结果的详细分析，表明了本文算法具有较高的激波捕捉能力，且有一定
的精度，同时也证明了本文所开发的刚格生成软件的有效性。
本文的：1j作为进一步发展和应用高精度高分辨率格式以及进一一步丌展动静干
涉面处理的研究打下了良好的基础，对深入了解多级叶轮机械内部流动特性并指
导设计具有较高的学术价值和工程实用价值。本文有针对性的研究工作，为多级
阳北l：业人学颂j【“学位论文
轴流叶轮机械内三维素流流动数值模拟技术的提高做出了一定的贡献。
关键词 叶轮机械，高精度高分辨率格式，动静丁涉面处理，网格生成，数值
论文类型 应用基础
两北1．业人学硕十学位论文
thenumericalsimulation for
internalof
multistage
inthisareaare
researched
turbomachinery,severalkeyproblems
developedpaper．
informoftensorfor
describingdynamics
inrelative
coordinate
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高中物理必修2第七章
知识照亮梦想新课标物理必修2知识照亮梦想目??录曲线运动? ?第五单元课时1 课时2 课时3 课时4 课时5 课时6 课时7 课时8 课时9 课时10 课时11 课时12 课时13 课时14课时15 经典力学的局限性 课时16 《万有引力与航天》小结?? ? ? ? ? ? ?曲线运动 质点在平面内的运动 抛体运动的规律 实验：研究平抛运动 圆周运动 向心加速度 向心力 生活中的圆周运动 《曲线运动》小结?? ? ? ? ? ?第七单元 机械能守恒定律课时17 追寻守恒量 课时18 功 课时19 功率 课时20 重力势能 课时21 探究弹性势能的表达式 课时22 实验：探究功与速度变化的关 系 课时23 动能和动能定理??第六单元万有引力与航天? ? ? ? ??? ? ?行星的运动 太阳与行星间的引力 万有引力定律 万有引力理论的成就 宇宙航行课时24 机械能守恒定律课时25 实验：验证机械能守恒定律 课时26 能量守恒定律与能源 课时27 《机械能守恒定律》小结锐辅教育中心第七单元课时17课前导航机械能守恒定律追寻守恒量知识照亮梦想古人常常会看到一些百思不得其解的现象．一颗小不点 儿的种子，会发芽，会成长；鹅黄的幼芽会成长为一棵亭亭 如盖的巨树．这些构成树木的物质是从哪儿来的呢？是无中 生有的吗？木头燃烧后只剩下一点点灰；蜡烛燃烧后变得无 影无踪．它们都到哪儿去了呢？每到秋天，大地铺满了落 叶；可是，春天来了，这些落叶又不知到哪儿去了，难道是 不翼而飞了吗？ 2400 多年前，古希腊哲学家德谟克利特写了这样一首 诗：无中不能生有，任何存在的东西也不会消灭．看起来万 物是死了，但是实则犹生；正如一场春雨落地，霎时失去踪 影；可是草木把它吸收，长成花叶果实，依然欣欣向荣． 锐辅教育中心由此可见，在很久以前人们就在变化中寻找不变的东西了． 其实，尽管这个世界是千变万化的，但这种变化并不是 没有规律的，主宰这些变化过程的是某些守恒量．让我们一 起来追寻这些守恒量吧！知识照亮梦想基础梳理1．知道守恒是自然界的重要规律，初步领会能量转基本要求 化、变中有恒的思想． 2．了解势能、动能的概念．3．领会寻找守恒量是科学研究的重要思想方法. 发展要求 会分析生活中有关机械能转化的问题．锐辅教育中心知识精析一、概念 1．能量知识照亮梦想能量是牛顿没有留给我们的少数力学概念之一，但是在 牛顿之前，我们就能发现它的萌芽．能量及其守恒的思想在 伽利略的实验中已经显现出来了．在伽利略的斜面实验中， 小球在另一个斜面上停下来的位置总是与它出发的竖直高度 相同，看起来好像小球“记得”自己的起始高度，由这一事 实我们认为是“守恒量”，并且把这个量叫做能量或能． 2．守恒 宇宙中有各种形式的能量，并且它们之间可以相互转 化，能量在任何过程中都守恒．但要注意自然界中某几种形 式的能量转化与守恒是有条件．锐辅教育中心二、能量的转化 各种不同形式的能量可以 相互转化，并且在转化过程中 能量总是守恒的． 说明：(1)某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增 加，且减少量和增加量一定相等． (2) 某个物体的能量减少，一定存在 其他物体的能量 增 加，且减少量和增加量一定相等． 三、势能 同一物体位置越高，我们就认为它的势能越大． 1 ．定义：相互作用的物体凭借 其位Z 而具有的能量叫 做势能． 2 ．特征：势能存在于 相互作用 的两物体之间，即势能 属于系统． 3 ．势能的表现形式：重力势能、弹性势能，以后还要 学到的电势能、分子势能等． 锐辅教育中心知识照亮梦想四、动能 定义：物体由于运动而具有的能量叫做动能． 说明：动能是一个 状态量，动能的大小与物体的运动 方 向无关，只与物体的质量和运动速度的大小有关． 五、动能和势能的转化与守恒 图示为伽利略的理想斜面示意图．伽利略发现：无论斜 面B比斜面A陡些或缓些，小球最后总能上升到同一高度的斜 面上的某点，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度 相同．这个过程中，势能先转化为动能，动能又转化为势 能，动能和势能的总量保持不变，因此小球还能上升到与出 发点等高处．知识照亮梦想锐辅教育中心方法探究知识照亮梦想一、关于守恒量 例 1 试以“伽利略的斜面理想实验”为例，说明引入 能量概念的理由． 解析 从描述守恒量的角度进行分析． 如果不引入能量概念，我们也可以对“伽利略的斜面理 想实验”做这样的描述：“为了提高小球，伽利略施加了与 重力方向相反的力．当他释放小球时，重力使小球滚下斜 面．在斜面的底部，小球由于惯性而滚上另一斜面． ” 然 而，这样的描述无法表达在空气阻力和摩擦力小到可以忽略 的情况下，小球总是能够滚到与起始点相同的高度，无法描 述小球运动过程中的守恒量．因此，从描述守恒量的需求来 看，引入能量的概念是十分必要的． 答案 见解析 点评 引入能量的概念，是在物理学发展中追寻守恒量 的一个重要实例． 锐辅教育中心例2 行驶中的汽车制动后滑行一段距离 ,最后停下来； 流星在夜空中坠落，并发出明亮的光焰；降落伞在空中匀速 下降．上述不同现象中所包含的相同的物理过程是( ) A．物体的动能转化为其他形式的能量 B．物体的势能转化为其他形式的能量 C．物体的能量从一种形式转化为其他形式 D．物体的能量只会减小不会增加 分析 一切运动过程都满足一定的守恒定律．能量是一 切运动物体最普遍的守恒量． 解析 汽车制动后受到摩擦阻力的作用，动能转化为内 能；流星在空中坠落时受到空气阻力的作用，机械能转化为 内能和光能；降落伞在空中匀速下降，受到空气阻力的作 用，势能转化为内能．故C选项正确． 答案 C 点评 能量转化有不同的过程与形式，而在不同的转化 过程中，能量的总量总是保持不变的，即能量是守恒的． 锐辅教育中心知识照亮梦想二、关于动能、势能知识照亮梦想例3以竖直上抛的小球为例说明小球的势能和动能的相互转化情况，在这个例子中是否存在着能的总量保持不 变？(空气阻力不计) 解析 竖直上抛运动的小球，在上升过程中动能转化为 势能，达到最高点时，动能为零，势能达到最大；在下落过 程中，势能逐渐减小，动能逐渐增大，势能又转化为动 能．在小球运动的整个过程中，小球的能的总量保持不变． 答案 见解析点评在本题中，若存在空气阻力，则这一过程还伴随着内能的转化，动能与势能的总量不再守恒，故某几种能量 的转化和守恒需要特定的条件．锐辅教育中心互动平台知识照亮梦想能量守恒定律的发现 这个伟大的定律的完成得益于三位科学家，最早的一位 是被称为 “ 疯子”的德国医生迈尔 ()．1840年迈 尔开始在汉堡独立行医，他对万事总要问个为什么，而且必 亲自观察、研究、实验． 1840 年 2 月 22日，他作为一名随船 医生跟着一支船队来到了印度尼西亚．一天，船队在加尔各 达登陆，船员因水土不服都生起病来，于是迈尔依老办法给 船员们放血治疗．在德国，医治这种病时只需在病人静脉血 管上扎一针，就会放出一股黑红的血来，可是在这里，从静 脉里流出的仍然是鲜红的血．于是，迈尔开始思考：人的血 液所以是红的是因为里面含有氧，氧在人体内燃烧产生热 量，维持人的体温．这里天气炎热，人要维持体温不需要燃 烧那么多氧了，所以静脉里的血仍然是鲜红的．那么，人身
锐辅教育中心 上 的热量到底是从哪来的？顶多 500 克的心脏，它的运动根本无 法产生如此多的热量，无法光靠它维持人的体温．那体温是 靠全身血肉维持的了，而这又靠人吃的食物而来，不论吃肉 吃菜，都一定是由植物而来，植物是靠太阳的光热而生长 的．太阳的光热呢？太阳如果是一块煤，那么它能烧 4600 年，这当然不可能，那一定是别的原因了,是我们未知的能量 了.他大胆地推出 ,太阳中心约2750万度 (现在我们知道是 1500 万度),迈尔越想越多,最后归结到一点：能量如何转化(转移)? 他一回到汉堡就写了一篇《论无机界的力》,并用自己的 方法测得热功当量为 365 千克 ( 力)米/千卡 .他将论文投到《物 理年鉴》, 却得不到发表 , 只好发表在一本名不见经传的医学 杂志上.他到处演说： “ 你们看,太阳挥洒着光与热 ,地球上的 植物吸收了它们，并生出化学物质 ??” 可是，即使如此物 理学家们也无法相信他的话，很不尊敬地称他为 “疯子”．
锐辅教育中心知识照亮梦想另外两位是英国科学家焦耳 () 和数学教授威 廉? 汤姆孙()． 1840年，焦耳发现将通电的金属丝 放入水中，水会发热，通过精密地测试，他发现：通电导体 所产生的热量与电流强度的平方、导体的电阻以及通电时间 成正比．这就是焦耳定律．1841年10月，他的论文在《哲学 杂志》上刊出．随后，他又发现无论化学能，电能所产生的 热都相当于一定的功，即 460 千克 ( 力 ) 米 / 千卡． 1845 年，他 带上自己的实验仪器及报告，参加在剑桥举行的学术会 议．他当场做完实验，并宣布：自然界的力 ( 能 )是不能毁灭 的，哪里消耗了机械力 ( 能 )，总得到相当的热．可台下那些 赫赫有名的大科学家对这种新理论都摇头，连法拉第也说： “这不太可能吧．”当时的威廉? 汤姆孙()是一位 数学教授，他 8 岁随父亲去大学听课， 10 岁正式考入该大 学，乃是一位科学奇才，而今天听到一个啤酒匠在这里乱嚷 一些奇怪的理论，就非常不礼貌地当场退出会场． 锐辅教育中心知识照亮梦想焦耳没把人们的不理解放在心上，他继续做实验，这样 一直做了 40 年，他把热功当量精确到了 423.9 千克 ( 力 ) 米 / 千 卡．1847年，他带着自己新设计的实验又来到英国科学协会 的会议现场．在他极力恳求下，会议主席才给他很少的时间 让他只做实验，不做报告．焦耳一边当众演示他的新实验， 一边解释： “你们看，机械能是可以定量地转化为热的，反 之一千卡的热也可以转化为423.9千克(力)米的功……”突然， 台下有人大叫道：“胡说，热是一种物质，是热素，他与功 毫无关系．”这人正是汤姆孙．焦耳冷静地回答道： “热不 能做功，那蒸汽机的活塞为什么会动？能量要是不守恒，永 动机为什么总也造不成？”焦耳平淡的几句话顿时使全场鸦 雀无声．台下的教授们不由得认真思考起来，有的对焦耳的 仪器左看右看，有的就开始争论起来． 汤姆孙碰了钉子后 ,也开始思考,他自己开始做试验 ,找资 料,没想到竟发现了迈尔几年前发表的那篇文章，其思想与焦 耳的完全一致！他带上自己的试验成果和迈尔的论文去找焦 耳，他抱定负荆请罪的决心，要请焦耳共同探讨这个发现．
锐辅教育中心知识照亮梦想在啤酒厂里汤姆孙见到了焦耳，看着焦耳的试验室里各 种自制的仪器，他深深为焦耳的坚韧不拔而感动．汤姆孙拿 出迈尔的论文，说道：“焦耳先生，看来您是对的，我今天 是专程来认错的．您看，我是看了这篇论文后，才感到您是 对的． ” 焦耳看到论文，脸上顿时喜色全失： “ 汤姆孙教 授，可惜您再也不能和他讨论问题了．这样一个天才因为不 被人理解 , 已经跳楼自杀了 , 虽然没被摔死，但已经神经错乱 了．” 汤姆孙低下头，半天无语．一会儿，他抬起头，说道： “真的对不起，我这才知道我的罪过．过去，我们这些人给 了您多大的压力呀．请您原谅，一位科学家在新观点面前有 时也会表现得很无知的．”一切都变得光明了，两人并肩而 坐，开始研究起实验来． 1853年，两人终于共同完成能量守恒和转化定律的精确
锐辅教育中心 表述．知识照亮梦想互动训练知识照亮梦想1．如图所示，用一轻绳系一小球悬于O点．现将小球拉 至水平位置，然后释放，不计阻力．小球下落到最低点的过 程中，下列表述正确的是[2009年高考? 广东文科基础]( )A．小球的机械能守恒 B．小球所受的合力不变 C．小球的动能不断减小 D．小球的重力势能增加 答案 A
锐辅教育中心知识照亮梦想2．下列物体中，具有动能的是(A．房顶上的瓦片 B．公路上行驶的汽车 C．课桌上的书本 D．路旁的大树 解析)本题考查动能的概念，根据动能的概念 ――运动的物体具有的能量叫动能，可知B选项正确．答案点评B动能与物体的质量、速度有关，故也与参照系的锐辅教育中心选取有关，没有特别说明的情况下一般选取大地为参照系．课时18 功课前导航知识照亮梦想桔槔是我国古代劳动人民在生产实践中发明创造的一种 提水工具，是我国劳动人民聪明与 智慧的结晶．如图18－1所示，从 桔槔的设计、安装到使用都涉及机 械学、力学以及功能原理等方面的 知识，有许多奥妙值得我们发掘与探索．请你思考： 一个力是否对物体做功？做功的多少跟哪些因素有关？锐辅教育中心图18－1基础梳理知识照亮梦想基本要求1．初步认识做功与能量变化的关系． 2．理解功的概念，知道做功的两个要素． 3．明确功是标量，知道W＝Flcos α的适用范围，会 用功的公式进行计算． 4．理解正功、负功的概念，会根据公式计算多个力 的总功． 初步理解通过化变力为恒力来处理变力做功的思想 方法．发展要求知识精析一、功的概念 物体在力的作用下，若在力的方向上发生了位移，力就 对物体做了功． 力和物体在力的方向上发生的位移是力对物体做功的两 要素．
锐辅教育中心二、功的计算式W＝Fl cos a知识照亮梦想a是力F与位移l方向的夹角．当 0≤a＜90°时，W＞0，表示力对物体做正功；当 90°＜a≤180°时，W＜0，表示力 对物体做负功；当 a ＝ 90°时， W ＝ 0 ，表示力对物体不做 功． 注意：l是指力F的作用点发生的位移． 三、合力功与分力功当有几个力同时对物体做功时，通常先把这几个力的合力求出来，再利用公式W＝F合? l?cos a求合力做功的大小，也可以先求出各个分力做的功，然后利用代数和求总功．锐辅教育中心四、对功的定义式的理解 1．功的公式： W ＝ Flcos a，只适用于大小和方向均不 变的恒力做功，公式中的l是指力的作用点发生的位移，a是 指力的方向和位移的方向的夹角．W是可正可负的(当然也可 能为 0) ，从公式容易看出， W 的正负完全取决于 cos a 的正 负，也就是a的大小． 2．公式W＝Flcos a可以理解为：功W等于力在位移方向 上的分量Fcos a与位移l的乘积；或功 W等于力F与位移在力 的方向上的分量lcos a的乘积． 3 ．由公式可以看出，某个力对物体所做的功只跟这个 力、力的作用点发生的位移以及力与位移的夹角有关，而跟 物体是否还受到其他力的作用无关，跟物体的运动状态也无 关．知识照亮梦想锐辅教育中心4．理解功的公式中的l 同一物体的运动，相对于不同的参考系，位移是不同 的，因此对不同的参考系，同一过程中算出的功也就不 同．为了避免这种结果的“不确定性”，在计算功时，位移 通常都是以地面为参考系的． 五、用微元法求变力做的功 对于变力做功，不能直接用W＝Flcos a进行计算，但是 我们可以把运动过程分成很多小段，每一小段内可认为 F 是 恒力，用W＝Flcos a求出每一小段内力F所做的功，然后累 加起来就得到整个过程中变力所做的功．这种处理问题的方 法称为微元法，这种方法具有普遍的适用性．在高中阶段主 要用于解决大小不变、方向与运动方向相同或相反的变力的 做功问题．知识照亮梦想锐辅教育中心方法探究一、判断力是否做功 例1知识照亮梦想在下图中的几种情形中所提到的力没有做功的是()锐辅教育中心解析 在 A 、 B 、 C 、 D 各图中，只有 D 图中的受力物体 没有发生位移，故D图中所提到的力做的功为零． 答案 D 点评 一方面要注意当物体没有发生位移时作用在其上 的所有外力都不做功，另一方面要注意物体在某几个力的作 用下(做功)发生了位移，有可能某些作用力不做功，如图B、 C中的重力和支持力． 二、关于摩擦力做功问题 1．摩擦力(包括滑动、静摩擦力)和其他力一样，可能不 做功，可能做负功，可能做正功． 2．一对静摩擦力做功的代数和一定为零． 3 ．一对滑动摩擦力不可能同时不做功，做功之和一定 为负值，伴随着内能的转化．知识照亮梦想锐辅教育中心例2 如图18－2所示，在光滑的水平面上有一辆静止的 小车，一小木块以水平初速度 v0从小车的左端沿其粗糙的上 表面开始滑动．当小车运动的位移为 l1 时，木块运动的位移 为l2，木块和小车恰好达到相同的速度 v(v&v0)，此后木块和 小车一起做匀速运动．已知木块与小车间的滑动摩擦力的大 小为f，求在此过程中木块与小车间的滑动摩擦力分别对小车 和木块所做的功．知识照亮梦想图 18－2 锐辅教育中心解析 木块在小车上发生相对滑动的过程中，木块对小 车的滑动摩擦力向右，与小车的位移方向相同，滑动摩擦力 对小车做正功，即W1＝f? l1． 小车对木块的滑动摩擦力向左，与木块的位移方向相 反，滑动摩擦力对木块做负功，即 W2 ＝－ f? l2 ，并且有 W1 ＋ W2＝－f(l2－l1)＝－fΔl． 答案 见解析 点评 ①由本例可知，求功的计算式中的l一般要取大地 为参考系． ②题中小车的位移应取l1而不是l2，要区别作用点(物)发 生的位移与作用点的改变． ③以后会学到：W1＋W2＝－f?Δl(等于这一过程转化的内 能 )．知识照亮梦想锐辅教育中心变式训练1知识照亮梦想如图 18 － 3 甲所示，质量分别为 m 、 M 的 A 、 B 两木块叠 放在光滑的水平桌面上，A与 B之间的动摩擦因数为 μ．现用 一水平拉力 F作用于 B上，使 A和 B保持相对静止地向右运动 一段位移s，则在此过程中摩擦力对A做的功为________，对 B做的功为________．图18－3甲锐辅教育中心解析 求摩擦力做的功，首先应找出A、B两木块所受摩 擦力的大小及方向，然后再分析两者的位移，最后根据功的 表达式求解． 对A、B进行受力分析，如图18－3乙、丙所示．知识照亮梦想乙丙图18－3 对A、B组成的整体运用牛顿第二定律得： F a＝ M ?m
锐辅教育中心隔离木块A，由牛顿第二定律得： m fBA＝－fAB＝ F M ?m 静摩擦力对木块A做的功为： m WfBA＝fBA? s＝ Fs M ?m 静摩擦力对木块B做的功为： m WfAB＝－fBA? s＝－ Fs M ?m 本题中静摩擦力对木块A做正功，对木块B做负功．这对 静摩擦力做的功的代数和为： W＝WfAB＋WfBA＝0． m m 答案 Fs － Fs M ?m M ?m
锐辅教育中心知识照亮梦想三、关于功的定义式例3知识照亮梦想如图18－4甲所示，重物的质量 m＝1 kg，动滑轮的质量忽略不计．现竖直向上拉动细绳，使重物由静止开始 以a＝5 m/s2的加速度匀加速上升，则在1 s内拉力F做的功为 多少？(g取10 m/s2)图18－4甲锐辅教育中心解析由图可知拉细绳的力为 F，则滑轮对重物的拉力知识照亮梦想为2F，由牛顿第二定律，有： 2F－mg＝ma 解得：F＝7.5 N图18－4乙锐辅教育中心又由题意知重物在1 s内上升的距离为：1 2 h＝ at ＝2.5 m 2知识照亮梦想故拉力的作用点上升的距离如图18－4乙所示，有：h′＝2h＝5 m 由功的定义知拉力做的功为： W＝F? h′＝37.5 J． 答案 点评 物． ②本题还可以根据拉力做的功等于滑轮拉重物做的功进 37.5 J ①本题要注意拉力的作用点为绳上某处，并非重行求解，即W＝2F? h＝37.5 J．锐辅教育中心变式训练2 如图 18 － 5 甲所示，重物 P 放在一长木板 OA 上，将长木 板绕O端转过一个小角度的过程中，重物P相对于长木板始终 保持静止．关于长木板对重物 P的摩擦力和支持力的做功情 况，下列判断正确的是( )知识照亮梦想图18－5甲 A．摩擦力对重物不做功 B．摩擦力对重物做负功 C．支持力对重物不做功 D．支持力对重物做正功
锐辅教育中心解析 P的受力情况如图18－5乙所示，由图可知支持力 始终与位移方向相同，故支持力对重物做正功；静摩擦力的 方向沿长木板向上，任一时刻都与位移的方向垂直，故静摩 擦力对重物不做功．知识照亮梦想图18－5乙 答案 AD 点评 本题中的支持力与静摩擦力都是变力，不能直接 套用公式，要用微元法把时间分成无限多的小段，之后会发 现支持力 FN总与Δl同方向， f总与Δl垂直．
锐辅教育中心互动平台知识照亮梦想育才老师和细心同学关于计算几个同时作用于物体的力 所做的总功的对话 细心:老师，因为功是标量，在计算几个同时作用于物体 的力所做的总功时，可以先求出每个力分别做的功，再求它 们的代数和；也可以先求合力，再求合力做的功． 育才:你说得很正确，但在具体的问题中，常采用第一种 方法计算合力做的功． 粗心同学和细心同学关于功的正负问题的对话 粗心:当力和物体位移间的夹角大于90°时，力对物体做 负功，是不是表示功的方向与物体的运动方向相反？ 细心:我问你功是矢量还是标量？ 粗心:标量． 细心:标量怎么会有方向呢？ 粗心:我懂了.负功表示物体克服阻力做功.并不表示方向. 细心:还不错嘛！
锐辅教育中心互动训练知识照亮梦想1 ．如图所示，物体沿弧形轨道滑下后到达足够长的水 平传送带上，传送带沿图示方向匀速运行．则传送带对物体 做功的情况可能是( )A．始终不做功 B．先做负功后做正功 C．先做正功后不做功 D．先做负功后不做功 锐辅教育中心
解析 设传送带的速度大小为 v1，物体刚滑上传送带时 的速度大小为v2． a．当v1＝v2时，物体随传送带一起匀速运动，故传送带 与物体之间不存在摩擦力，即传送带对物体始终不做功．选 项A正确． b．当v1＞v2时，物体相对传送带向左运动，物体受到的 滑动摩擦力方向向右，则物体先做匀加速运动直到速度达到 v1再做匀速运动，故传送带对物体先做正功后不做功．选项 C正确． c．当v1＜v2时，物体相对于传送带向右运动，物体受到 的滑动摩擦力方向向左，则物体先做匀减速运动直到速度为 v1再做匀速运动，故传送带对物体先做负功后不做功．选项 D正确． 答案 ACD
锐辅教育中心知识照亮梦想2．物体沿直线运动的 v－t 关系如图所示，已知在第 1 s 内 合 外 力 对 物 体 做 的 功 为 W ， 则 [2007 年 高 考 ? 上海物理 卷]( )知识照亮梦想A．从第1 s末到第3 s末合外力做的功为4W B．从第3 s末到第5 s末合外力做的功为 －2W C．从第5 s末到第7 s末合外力做的功为W D．从第3 s末到第4 s末合外力做的功为－ 0.75 W
锐辅教育中心解析 从第1 s末到第3 s末，物体受到的合外力为零，做 的功为零，选项A错． F 从第3 s末到第5 s末，物体受到的合外力为- ，位移为 2 F 2s，合外力方向与位移方向相反，故W2＝ ? 2s? cos p＝-W， 2 选项B错． F 从第5 s末到第7 s末，物体受到的合外力为 ，位移 2 F 为-2s，合外力方向与位移方向相同，故W3＝ ? 2s? cos 0＝ 2 W，选项C正确． F 从第3 s末到第4 s末，物体受到的合外力为，位移为 2 3 F 3 s,合外力方向与位移方向相反,故W4＝ ? s? cos p＝-0.75W, 2 2 2 选项D正确． 答案 CD 锐辅教育中心知识照亮梦想3 ． 一物体在外力的作用下从静止开始做直线运动，合 外力方向不变，大小随时间的变化如图所示．设该物体在 t0 和 2t0 时刻相对于出发点的位移分别是 x1 和 x2 ，速度分别是 v1 和 v2 ，合外力从开始至 t0 时刻做的功是 W1 ，从 t0 至 2t0 时刻做 的功是W2，则[2009年高考? 海南物理卷]( )知识照亮梦想A．x2＝5x1，v2＝3v1 B．x1＝9x2，v2＝5v1 C．x2＝5x1，W2＝8W1锐辅教育中心 D．v2＝3v1，W2＝9W1
知识照亮梦想解析1 2 F0t2 0 在 0～t0 时间内有：x1＝2a1t0＝ 2m在 t0～2t0 时间内有：2 2 1 2 F0t0 2F0t2 2 F t 0 0 0 x2－x1＝(a1t0)? t0＋2a2t0＝ m ＋ 2m ＝ mF0t0 2F 0 t0 时刻的速度 v1＝ m ， 2t0 时刻的速度 v2＝v1＋ m t0＝3v12 F2 t 0 0 故 W1＝F0? x1 ＝ 2 m 2 4F2 0t0 W2＝2F0x2＝ m ＝8W1．答案AC锐辅教育中心知识照亮梦想课时19 功课前导航率搬运工可用手将装满水泥浆的翻斗车推到楼顶，也可以用起重吊车将同一翻斗车吊到楼顶；耕同一块地可以用牛 耕，也可以用拖拉机耕；挖土时，可以用人工挖，也可以用 挖掘机挖． 请你思考： 1 ．人工和机器在完成同一件工作的过程中，做功有何 关系？2．人工和机器在完成同一件工作时的快慢有何差别？锐辅教育中心基础梳理知识照亮梦想1．理解功率的概念，能运用功率的定义式W P＝ 进行有关计算． t基本要求 2．理解额定功率与实际功率的概念． 3．了解平均功率与瞬时功率的含义． 4．根据功率的定义式推导P＝Fv，并能用于分 析、计算和解释现象． 5．能分析汽车发动机的功率―定时，牵引力与 速度之间的关系． 通过对各种机械的功率的探究和有关功率的测量， 认识功率概念在生活中的应用．锐辅教育中心发展要求知识精析知识照亮梦想一、功率 力在一段时间内对物体所做的功跟完成这些功所用时间 的比值，叫做这个力的功率． 功率是表示力对物体做功快慢的物理量． W 1．定义式：P＝ t W P＝ 是求某力在一段时间内或一个过程中的平均功率, t 只有当物体匀速运动时，其值才等于瞬时功率． 2．计算式 P＝Fvcos_a，其中a是F与v之间的夹角． 对力F的理解应注意以下几点： (1)力F可以是恒力，也可以是变力； (2)力F可以是某一个力，也可以是某几个力的合力．锐辅教育中心也就是说，利用P＝Fvcos α这一表达式，可以求恒力在 某时刻的功率，也可以求变力在某时刻的功率；可以求某个 力的功率，也可以求合力的功率． 对速度v的理解要注意以下两点： (1)物体的速度可能是恒定的，也可能是变化的； (2)物体的速度大小、方向都发生变化时，仍可以求力的 功率．如平抛物体的运动过程中，尽管物体的速度大小、方 向都不断发生改变，但重力的方向及大小都不变，而物体的 竖直分速度vy＝gt．因此，平抛物体经时间t，重力的瞬时功 率P＝mg? vy＝mg? gt＝mg2t． 在恒力作用下，物体做变速运动，如果 v 是某一时刻的 瞬时速度，则P＝Fvcos α表示该力在该时刻的瞬时功率；如 果v是某一段时间内的平均速度，则P＝Fvcos α 表示该力在 这段时间内的平均功率． 3．国际单位制中，功率的单位是瓦特 ( 符号： W) ，且1 W ＝1 J/s． 锐辅教育中心知识照亮梦想知识照亮梦想二、额定功率和实际功率1 ．额定功率是指动力机械在正常条件下长时间工作所 能提供的最大功率，通常在铭牌上标明，它是人们对机械选 择所依据的重要配置参数． 2 ．实际功率是指机械在正常工作的过程中实际输出的 功率，它一般比额定功率要小． 3．在工作过程中，实际功率可以等于额定功率 (称为满负荷工作 )，也可以短时间内略大于额定功率 ( 称为超负荷工作)，但是决不能长时间超负荷工作，这样会损坏机械设备，缩短其使用寿命，甚至导致事故发生．锐辅教育中心三、关于公式P＝Fv的讨论知识照亮梦想1 1．当功率 P一定时， F∝ ，即速度越小，其做功的力 v 就越大．例如，当汽车发动机的功率一定时，上坡时由于要增大牵引力，司机就只能用换挡的办法减小速度以获得较大 的牵引力． 2．当速度v一定时，P∝F，即做功的力越大，它的功率 也越大．例如，汽车从平路到上坡，若要保持速度不变，必 须加大油门，增大发动机功率来得到较大的牵引力． 3 ．当力 F 一定时， P∝v ，即速度越大，功率越大．例 如，起重机吊同一物体以不同的速度匀速上升，输出功率不等，速度越大，起重机的输出功率越大．锐辅教育中心方法探究知识照亮梦想一、对功率的理解 例1 一种测定运动员体能的装置如图 19－1所示，运动 员的质量为 m1 ，绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮 ( 不计滑轮 摩擦及其重量 ) 悬挂重物 m2 ，人用力蹬传送带而人的重心不 动，使传送带上侧以速度 v 向右运动．下列关于人对传送带 做功的四种说法中，正确的是( )图19－1A．人对传送带做功 B．人对传送带不做功 C．人对传送带做功的功率为m2gv D．人对传送带做功的功率为 (m1＋m2)gv
锐辅教育中心知识照亮梦想解析因人的重心相对于地面不变，故人受到的摩擦力大小等于m2g，因此人对传送带的摩擦力大小为 m2g，方向向右．由于传送带在该力的方向上有位移，因此人对传送带做正功，做功的功率P＝m2gv．答案点评AC在恒力作用下物体沿力的方向做匀速运动，则该W 力做功的功率既可以用公式 P＝ 求，也可以用公式P＝Fv t求．锐辅教育中心二、平均功率与瞬时功率 例2 如图19－2甲所示，滑轮的质量和滑轮与绳之间的 摩擦均不计，质量为2 kg 的物体在力F的作用下由静止开始 向上做匀加速运动，其速度随时间的变化关系如图 19 － 2 乙 所示．则(取g＝10 m/s2)( )知识照亮梦想图19－2 A．物体的加速度大小为2 m/s2 B．F的大小为21 N C．4 s末，F做功的瞬时功率为42 W D．4 s内，F做功的平均功率为 42 W
锐辅教育中心(1)v－t图象的斜率表示物体运动的加速度． W (2)求平均功率一般用P＝ ，求瞬时功率一般用P＝Fvcos t α． 解析 由v－t图象可得： 物体的加速度a＝0.5 m/s2 由牛顿第二定律得：2F－mg＝ma mg ? ma 所以F＝ ＝10.5 N 2 4 s末，F做功的瞬时功率为： P＝F? 2v＝10.5×2×2 W＝42 W 4 s内，F做功的平均功率为： 1 2 W 2F ? 2 at 2 ? 10.5 ? 4 ? ? W＝21 W． t t 4 答案 C 点评 注意：本题中力的作用点的速度是物体运动速度 的 2倍．
锐辅教育中心 分析知识照亮梦想如图 19－3甲所示，一质量为m的物体，从倾角为θ的光滑斜面顶端由静止下滑，开始下滑时离地面的高度为 h ．当 物体滑至斜面底端时，重力的瞬时功率为( )知识照亮梦想图19－3甲 A．mg 2 gh C．mg 2 gh cos θ B．mg 2 gh sin θ D．mg 2 gh sin2 θ锐辅教育中心分析 求某力的瞬时功率用公式P＝Fvcos α． 解析 由动力学规律知道，物体沿光滑斜面下滑时做匀 加速运动，其加速度 a ＝ g sin θ ，由斜面高度 h 求得斜面长 h 度，即物体做初速度为零的匀加速运动的位移s＝ 物体 sin ? h ? 2 gh ， 刚滑至斜面底端时的速度v＝ 2as ? 2 gsin ? sin ? 刚到斜面底端时物体的受力情况如图19－3乙所示．知识照亮梦想图19－3乙锐辅教育中心知识照亮梦想由P＝Fvcos α，得此时重力的瞬时功率为：π P＝mgvcos( －θ) 2即P＝mg 2 gh sin θ． 答案 点评 B 这是一道综合性的动力学例题，计算时要注意：当力与速度不在一条直线时，找出力与速度方向的夹角，再 运用相关公式求解．锐辅教育中心知识照亮梦想三、机车启动的两种情况分析1．以恒定功率启动 机车以恒定的功率启动后，若运动的过程中所受阻力f不P 变，由牵引力F＝ 知，F随v增大而减小．根据牛顿第二定 v律a＝F? f P f ? ? 可知,当速度v增大时，加速度a减小， m mv m机车做加速度减小的加速运动；直至 F ＝ f 时， a 减小至零， 此后机车的速度达到最大值而做匀速运动，做匀速直线运动P 的速度是vm＝ ．下面是这个动态过程的简单方框图． f锐辅教育中心知识照亮梦想这一过程的P-t图象和v－t图象分别如图19-4 甲、乙所示.甲乙 图 19－4 锐辅教育中心2．以恒定的加速度启动 F? f 由公式a＝ 知，当加速度a不变时，发动机的牵引 m 力 F 恒定；再由 P ＝ F ? v 知， F 一定时，发动机的实际输出功 率P随v的增大而增大，当 P增大到额定功率以后不再增大； 此后，发动机保持额定功率不变， v 继续增大，牵引力 F 减 P额 小，直至F＝f时，a＝0，车速达到最大值vm＝ ，此后机 f 车做匀速运动． 在P增至P额之前，机车做匀加速运动，其持续时间为： P额 P额 v0 ? ＝ t0 ＝ a F ? a (ma ? f )a 这个v0必定小于vm，它是机车的功率增至P额时的瞬时速 P额 度．计算时，先由F－f＝ma求出F；再求出v0＝ ；最后 F 根据v0＝at0求出t0．知识照亮梦想锐辅教育中心在P增至P额之后，机车做加速度减小的加速运动，直至达到vm．下面是这个动态过程的简单方框图．知识照亮梦想锐辅教育中心知识照亮梦想这一过程的 P－t图象和 v－t 图象分别如图 19－5 甲、乙所示．甲乙图19－5注意： P＝F? v中的 F仅是机车的牵引力，而非车辆所受到的合力，这一点在计算时极易出错．锐辅教育中心知识照亮梦想例3某汽车发动机的额定功率为60 kW，该车的质量为5 t ，在运动中所受阻力的大小恒为车重的 0.1 倍．取 g ＝ 10 m/s2．则： (1)若汽车以额定功率启动，汽车所能达到的最大速度是 多少？当汽车速度为5 m/s时的加速度是多大？(2) 若汽车以恒定加速度 0.5 m/s2 启动，则这一过程能维持多长时间？这一过程中，发动机的牵引力做了多少功？锐辅教育中心解析 (1)汽车以额定功率启动，当a＝0时，汽车速度达 到最大值． P 由P＝Fv＝fvm，得：vm＝ ＝12 m/s 0.1mg 当v＝5 m/s时，有： P 汽车的牵引力F＝ ＝1.2×104 N v F? f 汽车的加速度a＝ ＝1.4 m/s2． m (2)汽车以 0.5 m/s2的加速度运动时，所能达到的最大速 P P ? 度为：vm′＝ ＝8 m/s F f ? ma vm ' 8 这一过程能维持的时间t＝ s＝16 s ? a 0.5 这一过程中牵引力为恒力，做的功为： 1 W＝Fl＝(f＋ma)? at2＝4.8×105 J． 2 锐辅教育中心 知识照亮梦想答案 (1)12 m/s 1.4 (2)16 s 4.8×105 J 点评 汽车启动问题常讨论的两种情况：以恒定功率启 动(P一定)和以恒定的加速启动(F一定)． 对于汽车以恒定功率启动类问题，要掌握两种计算的方 法． ①由加速度求速度的问题，先由牛顿第二定律求牵引 力，再由P＝Fv求对应的速度． ②由速度求加速度的问题，先由 P＝ Fv求牵引力，再由 牛顿第二定律求对应的加速度． 对于汽车以恒定的加速启动类问题，要注意其匀加速的 末状态．当汽车功率达到额定功率时，汽车的速度并不是它 所能达到的最大速度，其后还有一个加速度减小的加速过 程，这个过程结束时，其速度才达到最大速度．
锐辅教育中心m/s2知识照亮梦想知识照亮梦想变式训练2一质量 m＝1.0×104 kg的汽车，在平直的公路上行驶， 其发动机的输出功率和所受的阻力不变．已知汽车的速度 v1 ＝5.0 m/s时，其对应加速度a1＝0.75 m/s2；速度v2＝10 m/s 时，其对应的加速度a2＝0.25 m/s2．求：(1)汽车发动机的输出功率P．(2)汽车可能达到的最大速度vm．锐辅教育中心知识照亮梦想解析(1)由题意知汽车以恒定功率启动时，初始阶段为变加速运动，设任意时刻的速度和加速度分别为v和a． 设汽车的输出功率为P，所受的阻力为f． 由公式P＝F? v，F－f＝ma 整理得：P＝(f＋ma1)v1P＝(f＋ma2)v2联立解得：f＝0.25×104 N P＝5×104 W．P 5.0 ? 104 (2)最大速度vm＝ ? 4 ＝20 m/s． f 0.25 ? 10答案(1)5×104 W(2)20 m/s锐辅教育中心互动平台话知识照亮梦想粗心同学和细心同学关于区分瞬时功率和平均功率的对W 粗心：计算平均功率只能运用公式P＝ ，计算瞬时功 t率则运用公式P＝Fvcos θ．细心：公式P＝Fvcos θ中的v是指什么速度？ 粗心：瞬时速度． 细心：如果公式P＝Fvcos θ中的v是指平均速度呢？ 粗心：哦,我明白了.平均功率也可以用公式P＝F v cosθ 来求解．锐辅教育中心互动训练知识照亮梦想1 ．机车由静止开始沿平直轨道做匀加速运动，所受的 阻力始终不变，在此过程中，下列说法正确的是 [2007 年高考? 广东物理卷]( ) A．机车输出功率逐渐增大 B．机车输出功率不变 C．在任意两相等的时间内，机车动能的变化相等 D．在任意两相等的时间内，机车动量的变化大小相等 解析 机车的牵引力F＝f＋ma恒定不变，故输出功率均 匀增大；由动能定理得， ΔEk＝ F合 ? s ，在连续相等的时间间 隔里，位移越来越大，故选项 C 错误；又由动量定理 Δp ＝ F t 知，选项D正确． 合? 答案 AD锐辅教育中心知识照亮梦想2．质量为m的物体静止在光滑水平面上，从 t＝0时刻开始受到水平力的作 用． 力的大小 F 与时间t的关系如图所 示， 力的方向保持不变，则 [2009年高 考? 宁夏理综卷]( )5F2 0t0 A．3t0 时刻的瞬时功率为 m 15F2 0t0 B．3t0 时刻的瞬时功率为 m 23F2 0t0 C．在 t＝0 到 3t0 这段时间内，水平力的平均功率为 4m 25F2 0t0 D．在 t＝0 到 3t0 这段时间内，水平力的平均功率为 6m
锐辅教育中心知识照亮梦想F0 解析 0～2t0 内物体的加速度 a＝ m ，2t0 时刻的速度 v1 2F0t0 5F0t0 ＝a×2t0＝ m ， 在 3t0 时刻的瞬时速度 v2＝v1＋3a×t0＝ m ，2 5F0t0 15F0 t0 则 3t0 时刻的瞬时功率 P＝3F0× m ＝ m ，A 错误、B 正1 2 确； 在 t＝0 到 3t0 这段时间内， 由动能定理可得 W＝ΔEk＝2mv22 2 2 25F0 t0 25 F t0 0 － ＝ 2m ，则这段时间内的平均功率 P ＝ 6m ，D 正确．答案BD锐辅教育中心3 ． 与普通自行车相比，电动自行车骑行更省力．下表 为某一品牌电动自行车的部分技术参数．在额定输出功率不 变的情况下，质量为60 kg的人骑着此电动自行车沿平直公路 行驶，所受阻力恒为车和人总重的 0.04倍．当此电动车达到 最大速度时，牵引力为______N；当车速为2 m/s时，其加速 度为______m/s2．(取g＝10 m/s2)规格 车型 整车质量 最大载重知识照亮梦想后轮驱动直流永磁铁电机 额定输出功率 额定电压 额定电流锐辅教育中心14”电动自行车 40 kg 120 kg200 W 48 V 4.5 A知识照亮梦想解析由题意知，人骑电动自行车行驶时受到的阻力f＝0.04m总g＝40 N故最大速度时牵引力F＝f＝40 N当v＝2 m/s时，F′＝＝100 NF'? f a＝ ＝0.6 m/s2． m总答案400.6锐辅教育中心课时20 重 力 势 能课前导航知识照亮梦想三峡工程是全世界最大的水力发电工程．一座长 2309 m、最高点高185 m的堤坝建于长江之上，当工程完工后，一 个水库便在堤坝上游形成，水库的正常水位比堤坝另一面的 水位高 175 m．水从水位高的地方流向水位低的地方，经过 位于堤坝底部的水轮发电机，使它转动产生电能．预计三峡 工程完工后，总发电功率为 18200 MW．三峡工程水力发电 是利用水的什么能来发电的呢？本课时的内容将定量地分析 与此相关的问题．基础梳理1．认识重力做功与路径无关的特点． 2．理解重力势能的定义式并能进行计算． 3．理解重力做功与重力势能的变化的关系． 4．知道重力势能具有的相对性． 5．知道重力势能是物体与地球系统所共有的．锐辅教育中心基本要求知识精析一、重力势能知识照亮梦想1 ．概念：物体由于被举高而具有的能量叫做重力势 能． 2．表达式：Ep＝mgh． 3 ．单位：在国际单位制中，重力势能的单位是 焦耳 (J)． 说明： (1) 平常在书中或练习题中所述某物体的重力势能，严格地讲是物体和地球所共有的；(2)重力做功与物体的运动路径无关，只与起点和终点的 位置有关．正是由于重力做功具有 与路径无关 的特点，才能引入重力势能的概念．锐辅教育中心知识照亮梦想二、重力势能的相对性重力势能是相对量，重力势能的大小与参考平面的选择 有关，要确定重力势能，必须事先选定参考平面．在 Ep ＝ mgh中，h是物体相对于参考平面的高度，当物体在参考平面 以上时，重力势能取正值；当物体在参考平面以下时，重力 势能取负值；当物体处在参考平面上时，重力势能为零．所 以，同一物体在同一位置，由于参考平面选择的不同，其重力势能也不同．重力势能是标量，只有大小而无方向，正负表示势能的大小．锐辅教育中心三、重力做功WG与重力势能Ep的区别与联系表达式 影响大 小因素 WG＝mgΔh 重力和始末位置的高度差Δh知识照亮梦想Ep＝mgh 重力和物体到 参考平面的高度特点只与始末位置的高度差有关，与 与参考平面的 路径及参考平面无关 选择有关过程量状态量联系1．重力做功是重力势能改变的量度，重力对物体做多少 功，物体的重力势能就减少多少，即：WG＝Ep－Ep′＝ －ΔEp． 2．重力做正功，重力势能就减少；重力做负功，重力势 能就增加．锐辅教育中心方法探究知识照亮梦想一、对重力势能的理解 例1 下列关于重力势能的说法中，正确的是( ) A．重力势能是地球和物体共同具有的，而不是物体单 独具有的 B．只有确定了参考平面才能确定物体的重力势能 C．重力势能等于零的物体，不可能对别的物体做功 D．在地面上的物体，它的重力势能一定等于零 解析 重力势能具有系统性和相对性，故 A 、 B 选项正 确．因为重力势能具有相对性，所以重力势能等于零是一个 相对的量，当参考平面的位Z变化后物体的势能也就变化， 因此不能说物体就不具有做功的本领．如果不选地面为参考 平面,地面上物体的重力势能就不为零.所以C、D选项错误． 答案 AB 点评 物体的重力势能随所选取的参考平面的变化而变 化，可以为正值，可以为负值，也可以为零．
锐辅教育中心变式训练1 试结合重力势能的物理意义来分析解答以下问题： (1)一块大石头放在地面上和悬挂在空中时，站在地面上 的人会有什么不同的感觉？ (2)若把悬挂在空中的大石头换成一个气球，站在地面上 的人会有什么不同的感觉？ (3)大石头放在高高的台阶的边缘，站在石块旁台阶上面 的人和台阶下面的人有什么不同的感觉？ 答案 (1)人由经验获知大石头的高度增大了，石头具有 的能量大了，人的危险感就大．联系本课时的知识能说明： 物体的高度越高，物体的重力势能也就越大． (2)悬挂的石头换成气球，物体的质量减小了，人的危险 感会减小．联系本课时的知识能说明：物体的质量越大，物 体的重力势能也越大． (3) 台阶上的同一块石头，对于台阶上面的人没有危险 感，对于台阶下面的人有危险感．联系本课时的知识能说 明：物体的重力势能与参考平面的选择有关．
锐辅教育中心知识照亮梦想二、重力势能的变化量 例2 如图 20－1所示，质量为m的物体静止在地面上， 物体上面连着一个直立的轻质弹簧，弹簧的劲度系数为 k．现用手拉住弹簧的上端，使弹簧的上端缓慢提升高度h， 此时物体已经离开地面，求物体的重力势能的增加量．知识照亮梦想图 20－1 锐辅教育中心分析 物体被提升的高度等于弹簧的上端被提升的高度 与弹簧拉伸的长度之差． 解析 物体离开地面后，弹簧的伸长量为： mg Dx＝ k 物体上升的高度为：Dh＝h-Dx＝h- mg k 物体的重力势能的增加量为：DEp＝mgDh＝mg(h- mg )． k mg 答案 mg(h) k 点评 由于弹簧的伸长，物体上升的高度不等于拉力的 作用点上移的高度,拉力做功也不等于物体重力势能的增加．知识照亮梦想锐辅教育中心变式训练2 如图20－2所示，桌面距地面0.8 m，一质量为2 kg的物 体放在距桌面高0.4 m的支架上．(取g＝9.8 m/s2)知识照亮梦想图20－2 (1)以地面为参考平面，计算物体具有的重力势能．若物 体由支架下落到桌面，则此过程中重力势能减少了多少？ (2)以桌面为参考平面，计算物体具有的重力势能．若物 体由支架下落到桌面，则此过程中重力势能减少了多少？
锐辅教育中心知识照亮梦想解析先找到参考平面，然后找到物体与参考平面的高度，由Ep＝mgh计算．在计算重力势能的变化量时，注意只 与物体的始末位Z相关，而与路径无关． (1)以地面为参考平面，物体的高度h1＝1.2 m，因而物体 的重力势能具有Ep1＝mgh1＝2×9.8×1.2 J＝23.52 J．物体落 至 桌 面 时 的 重 力 势 能 为 Ep2 ＝ mgh2 ＝ 2×9.8×0.8 J ＝ 15.68 J．物体重力势能的减少量ΔEp＝Ep1－Ep2＝7.84 J．(2) 同理 Ep1′ ＝ 7.84 J， Ep2′ ＝ 0，故物体落至桌面时，重力势能的减少量ΔEp′＝7.84 J．答案(1)23.52 J7.84 J(2)7.84 J7.84 J锐辅教育中心例3在水平地面上平铺着n块相同的砖，每块砖的质量知识照亮梦想都为m，厚度都为d．若将这 n块砖一块一块地叠放起来，需 要克服重力做多少功？解析度为n 块砖平铺在水平地面上时，系统重心离地的高d nd ．当将它们叠放起来时，系统重心离地的高度为 . 2 2 所以需要克服重力做的功为： nd d W＝Ep2－Ep1＝nmg? －nmg? 2 2 1 ＝ n(n－1)mgd． 2答案1 n(n－1)mgd 2锐辅教育中心点评本题也可这样求解：知识照亮梦想将第2块砖叠上时，重力做功W2＝－mgd 将第3块砖叠上时，重力做功W3＝－mg? 2d……将第n块砖叠上时，重力做功Wn＝－mg(n－1)d 所以，将这n块砖一块一块地叠放起来，重力做功为： WG＝W2＋W3＋…＋Wn ＝－mgd－mg? 2d－…－mg(n－1)d1 ＝－ n(n－1)mgd 2 1 故需克服重力做功为 n(n－1)mgd． 2 显然，用重力势能变化的解法更简单些．锐辅教育中心解析 解法一 求铁链的重力势能时，可以把铁链分成 AB 和 BC两部分，先分别求出两部分的重力势能，再求整条 铁链的重力势能． 选取斜面的底端为参考平面，则原来铁链的重力势能等 于AB和BC两部分重力势能之和，即： 1 1 1 l l Ep1＝ mg? sin 30°－ mg? ＝－ mgl 2 16 2 4 4 l 铁链刚离开斜面时的重力势能为：Ep2＝－mg? 2 所以重力势能的变化量为： 7 ΔEp＝Ep2－Ep1＝－ mgl 16 即重力势能减少了知识照亮梦想7 mgl． 16 锐辅教育中心解法二 铁链刚离开斜面时相当于 AB段到了 CD位Z， 而BC段不动，如图20－3乙所示．则有：知识照亮梦想图20－3乙 7 l ? 3l ? 1 1 ΔEp=Ep2-Ep1 = mg?? ? ?- mg? sin30°=mgl 16 4 2 ? 4? 2 7 即重力势能减少了 mgl． 16 7 答案 mgl 16
锐辅教育中心三、关于重力势能的综合题 例4 如图20－4所示，劲度系数为k1的轻质弹簧1的两端 分别与质量为m1、m2的物块1、2拴接，劲度系数为k2的轻质 弹簧 2的上端与物块 2拴接，下端压在桌面上 (不拴接 ) ，整个 系统处于平衡状态．现施力将物块 1 缓慢竖直上提，直到下 面的那根弹簧刚好脱离桌面．在此过程中，两物块的重力势 能分别增加了多少？知识照亮梦想图 20－4 锐辅教育中心分析 开始时，整个系统处于平衡状态，两弹簧均被压 缩．现施力将物块1缓慢上提，直到弹簧2刚好脱离桌面，在 此过程中弹簧2由压缩状态逐渐恢复到自由长度，弹簧1由压 缩状态变为拉伸状态． 解析 刚开始时，下面的弹簧受到的压力大小为 (m1 ? m2 )g (m1＋m2)g，弹簧的压缩量Δx2＝ ． k2 要使弹簧2离开桌面，物块2应上升高度Δx2，则物块2增 加的重力势能为： (m1 ? m2 )m2 g 2 (m1 ? m2 )g ΔEp2＝m2g? g＝ k2 k2 把物块1拉起的过程中，上面的弹簧是由压缩状态转为 m1 g 拉伸状态，其原先压缩的长度Δx1＝ k1 m2 g 最终拉伸的长度Δx1′＝ k1
锐辅教育中心知识照亮梦想则物块1被提升的高度为： m1 g m2 g (m1 ? m 2 )g ? ? Δx1＋Δx1′＋Δx2＝ k1 k1 k2 所以，物块1增加的重力势能为： ΔEp1＝m1g(Δx1＋Δx1′＋Δx2) m1 g m2 g (m1 ? m 2 )g ＝m1g[ ] ? ? k1 k1 k2 1 1 2 ? )． ＝ m1 (m1＋ m2)g ( k1 k2 答案 物块1、2增加的重力势能分别为 2 1 1 ( m ? m ) m g 2 2 m1(m1＋m2)g2( ? )和 1 k1 k2 k2 点评 本题涉及物体的平衡条件和重力势能的概念，所 述的物理过程比较复杂，难度比较大．解题时需把物理过程 分析清楚，注意整体法与隔离法的运用． 锐辅教育中心知识照亮梦想互动平台知识照亮梦想育才老师和细心同学关于重力势能相对性的对话 细心：老师，关于重力势能，我有了新的认识．重力势 能是相对量，其大小与参考平面的选取有关，要确定重力势 能，必须事先选定参考平面．在公式Ep＝mgh中，h是物体相 对于参考平面的高度．当物体在参考平面以上时，重力势能 取正值；当物体在参考平面以下时，重力势能取负值；当物 体处在参考平面时，重力势能为零．所以，同一物体在同一 位Z，由于参考平面的选取不同，其重力势能的数值也可能 不同． 育才：你说得完全正确．但我这里还想补充一点，重力 势能是标量，只有大小而无方向，但有正负，其正负表示与 在参考平面上物体势能的相对大小．比较物体的重力势能大 小时，需带正负号比较，例如： 1 J＞0＞－2 J．
锐辅教育中心互动训练知识照亮梦想1．如图所示，质量为m的小球从离桌面H高处由静止下 落，桌面离地高度为 h ．若以桌面为参考平面，那么小球落 地时的重力势能及整个过程中重力势能的变化分别是( ) A．mgh，减少mg(H－h) B．mgh，增加mg(H＋h) C．－mgh，增加mg(H－h) D．－mgh，减少mg(H＋h) 解析 重力势能Ep′＝mg(－h)＝－mgh 重力势能的变化ΔEp＝E1′－Ep ＝－mgh－mgH ＝－mg(h＋H) 即重力势能减少mg(H＋h)． 答案 D
锐辅教育中心1 g的加速度由静 3 止开始竖直下落至地面．下列说法正确的是( )知识照亮梦想2．质量为m的物体, 在距地面h高处从A．物体的重力势能减少了 1 mgh 3 1 B．物体的重力势能减少了 mgh 3 1 C．重力做功为 mgh 3 2 D．重力做功为 mgh 3 解析 重力势能的减少量 ΔEp＝ mgh＝ WG，与运动轨迹 和运动过程无关，也与重力以外其他力的做功无关． 答案 B锐辅教育中心3．如图甲所示，一长为L的均匀铁链对 称地挂在一轻质小滑轮上．由于某一微小的 扰动使得链条向一侧滑动，则至铁链完全离 开滑轮的过程铁链重力势能的变化为( ) A．mgL B．－mgL1 1 C． mgL D．－ mgL 4 2 解析 铁链重力势能的变化量相当于滑 离时下半部分的重力势能减去滑动前左半部 分的重力势能，如图乙所示，即： 1 1 L ΔEp＝－ mg? ＝－ mgL 2 4 2 答案 D知识照亮梦想甲锐辅教育中心乙课时21 探究弹性势能的表达式课前导航知识照亮梦想男子跳高(如图21－1甲所示)现在的世界纪录是2.45 m，是由古巴运动员索托马约尔于日在萨拉曼萨(卡) 创造的．我国选手朱建华曾创造了该项目的世界纪录，朱建 华现在还保持着2.39 m 的亚洲纪录，这一成绩是1984年的世 界纪录．而男子撑竿跳高 ( 如图 21 － 1 乙所示 ) 的世界记录是 6.14 m，是乌克兰运动员布勃卡在 日的赛斯特 里尔创下的． 请从能量的角度解释：撑竿 跳高的记录能超过6 m，比普通 跳高的记录高得多，是“撑竿”给 甲 乙 予了运动员能量吗？为什么？ 图21－1
锐辅教育中心基础梳理知识照亮梦想1．知道探究弹性势能表达式的思路． 2．理解弹性势能的概念，会分析影响弹簧弹基本要求性势能大小的相关因素．3 ．体会探究过程中的猜想、分析和转化的方 法．发展 要求领悟求弹力做功时通过细分过程化变力为恒力的思想方法．锐辅教育中心一、对该探究活动的认识 “探究弹性势能的表达式”是一个不包含实验的探究活 动．按照课程标准的要求，这一探究活动意在检验以下三 点． 1 ．重力势能的表达式是通过对重力做功的分析得出 的，那么能否想到弹性势能的表达式有可能通过对弹力做功 的分析而得出？ 2 ．是否能从前面利用极限思想的实例中受到启发而产 生认知的迁移？在此要说明的是，虽然通过探究找出了弹性 势能的表达式，但并不要求同学们利用这一表达式进行任何 计算． 3．关于弹性势能的相对性． 重力势能 Ep＝mgh，其大小是相对于参考平面的，选取 的参考平面不同，重力势能的值也不同，所以重力势能具有 相对性．对于弹簧，我们也可以规定其任意长度时的势能为 零势能．但为了方便描述和分析，我们总是选取弹簧处于原 长时的势能为零势能参考点，由于此时弹簧的弹性势能是最 小的，故其他位置的弹性势能均大于零．
锐辅教育中心知识精析知识照亮梦想知识照亮梦想 二、探究活动的方法和步骤 1．提出问题 2．猜测与假设 3．设计方案 4．实施方案 5．记录数据 6．分析归纳图象 7．得出结论 8．讨论交流 三、弹簧弹性势能的表达式 1．弹性势能的决定因素 (1)类比：重力势能与物体所受到的重力有关，与相对高 度有关；与之对应的弹性势能应该与弹力有关，与弹性形变 有关；又因为F弹＝kl，故可猜想弹性势能与k、l有关． 重力势能与相对高度成正比，其中重力是恒力 ( 地表附 近)；而弹簧的弹力与弹性形变有关，故弹性势能应该不与形 变成正比． (2)结论：①弹性势能与弹簧伸长或缩短的长度有关，但 弹性势能与弹簧伸长或缩短的长度不是正比关系，因为弹力 的大小是变化的，可以确定弹性势能随伸长或缩短(相对于原 长 ) 的距离的增大而增大；②弹性势能与弹簧的劲度系数有 关：用不同劲度系数的弹簧做实验，弹簧压缩量相同时，劲 度系数大的弹簧将物体弹出的距离远，说明弹性势能随弹簧
劲度系数的增大而增大． 锐辅教育中心知识照亮梦想2．表达式(1)弹性势能是相对的，其大小在选定了零势能参考点后才有意义．对弹簧，一般选弹簧处于自由长度时为零势能参考点，因为这样选取处理问题方便．(2) 根据势能的定义可知，当弹簧的伸长 ( 或压缩 ) 量为 l时，相对原长状态所具有的做功本领为弹性势能的大小，或 者说使弹簧伸长 (或压缩)l的过程中克服弹力所做的功等于弹 性势能的增加．锐辅教育中心(3)使弹簧产生形变l需克服弹力做的功． 计算匀加速直线运动的位移时，可用速度和时间的乘积 得到位移，但是速度是在不断变化的，于是采用微元法，把 整个运动过程分成很多小段，每个小段中物体的速度的变化 比较小，可以近似地用小段中任一时刻的速度和这一小段时 间间隔相乘得到这一小段位移的近似值，然后把各小段位频 慕?值相加．当各小段分得非常小的时候，得到的就是匀变 速直线运动的位移表达式了．(过程如图21－2所示)知识照亮梦想图 21－2 锐辅教育中心研究克服弹力做功时也可以把变力做功的问题转化为恒 力做功的问题来解决．把拉伸的过程分为很多小段，它们的 长度是 Δl1 、 Δl2 、 Δl3…… 在各个小段上，拉力可以近似认为 是不变的，它们分别是F1、F2、F3……所以在各个小段上， 拉力做的功分别是 F1Δl1 、 F2Δl2 、 F3Δl3…… 拉力在整个过程 中做的功可以用它在各个小段做功之和来表示，即W＝F1Δl1 ＋F2Δl2＋F3Δl3……如图21－3所示，F－x图象所围的面积表 示拉力所做的功．知识照亮梦想1 2 等，弹性势能 Ep＝ kl ，其中k为弹簧的劲度系数，l为弹簧 2图21－3 (4)结论：弹簧伸长或压缩相同形变所具有的弹性势能相的 形变量． 锐辅教育中心方法探究知识照亮梦想一、对弹性势能的理解 例1 关于弹性势能，下列说法中正确的是( ) A．任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B．任何具有弹性势能的物体一定发生了弹性形变 C．只要物体发生了形变，就一定具有弹性势能 D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关 解析 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于弹力作 用而具有的势能，叫做弹性势能．所以，任何发生弹性形变 的物体都具有弹性势能，任何具有弹性势能的物体一定发生 了弹性形变．物体发生了形变，若是非弹性形变，可能无弹 力作用，则物体就不具有弹性势能．弹簧的弹性势能除了跟 弹簧被拉伸或压缩的长度有关外，还跟弹簧的劲度系数的大 小相关．故A、B选项正确． 答案 AB 点评 发生形变的物体不一定具有弹性势能，只有发生 弹性形变的物体才具有弹性势能．
锐辅教育中心变式训练 关于弹簧的弹性势能，下列说法中正确的是( ) A．当弹簧变长时，它的弹性势能一定增大 B．当弹簧变短时，它的弹性势能一定减小 C．在拉伸长度相同时，k越大的弹簧，它的弹性势能越大知识照亮梦想D．弹簧在拉伸时的弹性势能一定大于压缩时的弹性势能 解析 弹性势能由在弹性限度内弹簧的形变量和劲度系数决定．如果弹簧的初状态被压缩，当它恢复原长时，弹性 势能减小；再伸长时，弹性势能再由零增大，故A、B、D选 项错误． 答案 C锐辅教育中心二、弹簧的弹力做功 例 2 弹簧的原长为 l0 ，劲度系数为 k ，用力把它拉到伸 长量为 l ，拉力所做的功为 W1 ；继续拉弹簧，使弹簧在弹性 限度内再伸长l，在继续拉伸的过程中拉力所做的功为 W2．试求W1与W2的比值． 分析 F－x图象与横轴所围的面积等于弹簧弹力所做的 功． 解析 拉力F与弹簧的伸长量x成正比，故在F－x图象中 是一条倾斜的直线 (如图所示 )，直线下的相关面积表示功的 大小．其中，线段OA下的三角形面积表示第一个过程中拉力 所做的功 W1 ，线段 AB 下的梯形面积表示第二个过程中拉力 所做的功 W2 ．显然，两块面积之比为 1∶3 ，即 W1∶W2 ＝ 1∶3．知识照亮梦想锐辅教育中心知识照亮梦想答案 点评1∶3 上述解法采用了教材中“探究弹性势能表达式”的研究方法，即应用F－x图象直观地进行分析．若记得弹性 势能的表达式 ( 不要求学生掌握 ) ，也可由弹性势能的表达式 进行计算．由于拉力做功增加了弹簧的弹性势能，故有：1 1 2 3 2 1 2 2 W1＝ kl ，W2＝ k(2l) － kl ＝ kl 2 2 2 2所以，W1与W2的比值为：1 2 3 2 W1∶W2＝ kl ∶ kl ＝1∶3． 2 2锐辅教育中心三、弹力做功与弹性势能的关系 例 3 如图 21 － 4 所示，一个物体以速度 v0 冲向竖直墙 壁，墙壁和物体间的弹簧被压缩．在压缩弹簧的过程中，下 列说法正确的是( )知识照亮梦想图21－4 A．物体对弹簧做的功与弹簧的形变量成正比 B．物体向墙壁运动相同的位移，弹力做的功不相等 C．弹簧的弹力做正功，弹簧的弹性势能减小 D．弹簧的弹力做负功，弹簧的弹性势能增加锐辅教育中心分析(1)在压缩过程中，弹簧的弹力是变力．知识照亮梦想(2) 弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势 能增加．弹力做功W＝－ΔE弹． 解析 弹簧的弹力与弹簧的形变量成正比，而弹力做 功与形变量并不成正比；物体向墙壁运动的过程中弹力不断增大，因此运动相同的位移，弹力做的功不相等；在弹簧被压缩的过程中，弹力做负功，弹簧的弹性势能增加． 答案 BD1 2 点评 对 E p ＝ kl 的理解： l 是从自然长度算起的形变 2量，不能理解成任取的形变量的一段．锐辅教育中心互动平台知识照亮梦想育才老师与细心同学关于撑竿跳高的对话 细心：老师，从能量的角度来看撑竿支撑前后并无变 化，所以运动员越过横竿增加的势能来源于人体自身的能 量．为什么撑竿跳高可越过的高度远远高于普通跳高？ 育才：撑竿跳高运动员手里拿着竿，在冲刺起跳时把竿 戳在地上，靠身体的动能将竿压弯，助跑的动能绝大部分转 化为竿的弹性势能，当他起跳的时候，竿向上弹起变直，弹 性势能转化为运动员身体的重力势能． 由于运动员可以借助竿将先前跑动中的动能储存起 来，起跳后再转为升高的能量．而普通跳高，助跑的主要作 用在于起跳更好发力以及获得水平过竿速度．助跑动能几乎 不能转化为重力势能．所以撑竿跳高可越过的高度远远高于 普通跳高． 细心：谢谢老师，我明白了！锐辅教育中心互动训练知识照亮梦想1 ．某缓冲装置可抽象成如图所示的简单模型 ．图中 K1、K2为原长相等、劲度系数不同的轻质弹簧．下列表述正 确的是[2009年高考? 广东物理卷]( )A．缓冲效果与弹簧的劲度系数无关 B．垫片向右移动时，两弹簧产生的弹力大小相等 C．垫片向右移动时，两弹簧的长度保持相等 D．垫片向右移动时，两弹簧的弹性势能发生改变
锐辅教育中心知识照亮梦想解析不同弹簧的缓冲效果与弹簧的劲度系数有关， A错误；在垫片向右运动的过程中，由于两个弹簧相连，则它 们之间的作用力等大， B正确；由于两弹簧串的劲度系数不 同，由胡克定律F＝kΔx可知，两弹簧的形变量不同，则两弹 簧的长度不相等， C错误；在垫片向右运动的过程中，由于 克服弹簧的弹力做功，则弹性势能将发生变化 ( 变大 ) ， D 正 确． 答案BD锐辅教育中心2 ．质量均为 m 的两物块 A 、 B 用劲度系数为 k 的弹簧相 连，初始处于静止状态．现对于 A 施以向上的拉力缓慢提 起，一直至 B对地面恰好无压力．则在这一过程中，弹簧的 弹力对A、B做功分别为( )知识照亮梦想mg mg 2 2 mg A． 、0 B． 、0 C．－ 、0 D．0、0 k k k 解析 这一过程物块B无位移，故WB＝0． 弹簧对A先做正功，后做负功，故WA＝ΔE弹 又因为弹簧压缩形变量与伸长形变量相等时，弹簧的弹 性势能相等，故WA＝0． 答案 D
锐辅教育中心22课时22课前导航实验：探究功与速度变化的关系知识照亮梦想对物体做功而使物体的速度发生变化的现象，在实际生 活中已司空见惯．如：飞机在跑道上加速起飞的过程中，依 靠发动机的动力做功，使飞机的速度越来越大，直至达到起飞需要的速度；足球运动员在比赛过程中，也是通过对足球做功使足球获得一个速度飞出去，而且用力越大，做功越 多，足球获得的初速度越大，飞得越远；射箭时，弓拉得越 开，弓对箭能够做的功越多，箭获得的速度越大，射得越 远??这些例子告诉我们，做功和物体速度的变化存在一定的关系，本课时的内容就是探究功与速度变化的关系．锐辅教育中心基础梳理知识照亮梦想1 ．领会探究功与物体速度变化的关系及实验 的设计思路，经历探究学习的情感体验过程． 基本要求2．能进行实验操作，会采集实验数据．3 ．理解实验数据处理时寻找 W与 v的关系的方 法．发展要求设计其他实验方案，探究功与物体速度的关 系．锐辅教育中心知识精析知识照亮梦想一、实验原理 1 ．改变功的大小：采用图 22 － 1 所示的实验装置，用 1 条、2条、3条??同样的橡皮筋将小车拉到同一位置释放， 橡皮筋的拉力对小车所做的功依次为W、2W、3W?? 2．确定速度的大小：小车获得的速度 v可以由纸带和打 点计时器测出，也可以用其他方法测出． 3 ．寻找功与速度变化的关系：以橡皮的筋拉力所做的 功W为纵坐标，小车获得的速度 v为横坐标，作出W－v图象 ( 即功 ―速度图象 ) ．分析该图象，得出橡皮筋的拉力对小车 所做的功与小车获得的速度间的定量关系．图 22－1 锐辅教育中心二、实验器材知识照亮梦想钉有 2 个长直铁钉的长木板 ( 附木块 ) 、小车 ( 质量为 300 g)、相同的熟胶橡皮筋6根(附细线若干)、打点计时器、4～6 V低压交流电源、平直纸带若干、坐标纸． 三、实验步骤 1 ．先将木板置于水平桌面，然后在钉有铁钉的长木板 上放好实验小车． 2 ．把打点计时器固定在木板的一端，将纸带穿过打点计时器的限位孔，纸带的一端夹紧在小车的后端，打点计时器接电源． 3 ．过两钉连线的中垂线上的适当位置作两钉连线的平行线，交中垂线于O点，作为小车每次运动的起始点．锐辅教育中心4．使用一根橡皮筋时，将小车的前端拉到O点，接通电 源，打点计时器打点，释放小车，在小车离开木板前的适当 时刻使小车制动，断开电源，取下纸带．重复本步骤前面的 过程，选出点迹清晰的纸带(求出小车获得的速度)． 5．换用材料、粗细、长度均相同的2条、3条、…、6条 橡皮筋，依照步骤 4的方法，分别进行实验 (得出各次实验中 小车分别获得的速度)． 6．以功为纵轴 (以第一次橡皮筋做的功作为纵轴的单位 长度 ) ，以速度为横轴 ( 以第一次小车的速度作为横轴的单位 长度)，建立坐标系，用描点法作出图象，看看是否是正比例图象，若不是，功与速度的哪种相关量( v 、v2、v3)是成 正比的，功就与速度的这种相关量 ( 的变化量 ) 具有确定的函 数关系．知识照亮梦想锐辅教育中心知识照亮梦想四、数据记录与处理 1．数据记录橡皮筋条数 对小车做的功 1 W v 2 2W 3 3W 4 4W 5 5W 6 6W小车获得的速度(v) v2v3锐辅教育中心2．数据处理 (1)用计算法处理实验数据 在确定了橡皮筋对小车所做的功并测出了小车获得的速 度后，如果作出的 W － v 图象不是一条直线，可以采用计算的方法，即根据测得的速度分别计算 v3、v2、 v ……探究 做功与获得速度的几次方成正比． (2)用图象法处理实验数据 我们也可根据实验测得的数据，分别作出W－v图象、W － v2 图象、 W － v3 图象 …… 如果哪一种图象接近于过原点的 倾斜直线，则说明功与速度的该指数函数成正比． 用图象法处理数据，要比计算法更简捷、直观． 3．结论：通过作图发现W－v2图象近似是一条直线，说 明W∝v2(m一定)．知识照亮梦想锐辅教育中心五、实验注意事项与误差分析知识照亮梦想1 ．本实验是为了探究橡皮筋对小车做的功与小车获得 的速度间的关系，为此，必须排除摩擦力的干扰，所以要平 衡摩擦力． 2．误差分析： (1)橡皮筋的长度、粗细不一，使橡皮筋的拉力与橡皮筋 的条数不成正比； (2)小车受力为零的位置，不一定在设定点；(3)由于小车不受拉力的位置不一定在设定点，这就使拉力做的功 W与橡皮筋的条数不成正比，而作图象时纵坐标的 单位长度依然将功与橡皮筋的条数按正比关系取值，这样使作出的W、v各对应点的分布与函数图象发生偏离．锐辅教育中心方法探究知识照亮梦想一、探究思路 例1 你认为本实验的探究思路有何巧妙之处？ 解析 本实验中用橡皮筋的弹力拉动小车做功使小车获 得速度 , 探究橡皮筋做的功与小车的速度变化的关系 . 橡皮筋 的弹力是变力 , 所做的功是变力功 , 没有现成的公式可以计算 功的大小 . 即使知道弹力功的公式 , 也不能用它进行计算，因 为橡皮筋的劲度系数也是变化的.然而，改变橡皮筋的条数， 保持小车的运动距离相同，则弹力功的大小与橡皮筋的条数 成正比．也就是说，在位移相同的情况下，用一条橡皮筋做 的功为W，用两条同样的橡皮筋做的功就是2W，用三条同样 的橡皮筋做的功就是3W……该实验方法巧妙地避开了功的计 算，直接确定了橡皮筋的拉力对小车所做功的倍数关系． 答案 略 点评 注意实验中橡皮筋的拉力对小车所做功的确定方 法 .
锐辅教育中心二、操作技巧 例2 本实验为什么要平衡摩擦力？能否用本实验装置探究拉力与摩擦力的合力所做的功与小车速度变化的关系？ 解析 本实验是为了探究橡皮筋对小车做的功与小车获得的 速度变化的关系，为此，必须排除摩擦力的干扰，所以要平衡摩 擦力． 假如不平衡摩擦力，那么当拉力与摩擦力的合力为零时，小 车的位Z并不是橡皮筋刚恢复为自由长度时的位Z，而是在橡皮 筋变为自由长度之前的位Z，且该位Z随橡皮筋条数的增加而发 生变化．也就是说，在橡皮筋恢复为自由长度前，小车已不同程 度地进入了减速运动阶段，我们在纸带上很难确定相应的位 Z．另外，当一次次增加橡皮筋的条数，即成倍增加拉力时，摩 擦力没有发生变化，合力不可能相应地成倍增加．我们无法计算 合力功的大小，也不可能使合力功成倍增加 ,所以不能用本实验装 Z探究拉力与摩擦力的合力所做的功与小车的速度变化的关系． 答案 略 点评 根据上述分析可知，为了顺利探究与物体的速度变化 的关系，本实验设法平衡摩擦力是十分必要的．在探究过程中多
锐辅教育中心 问几个为什么，多进行一些理性思考 ,有利于对问题的深入理解．知识照亮梦想三、数据处理 例3 质量为1 kg的重物自由下落，通过打点计时器在纸 带上记录运动过程，打点计时器所接的电源为6 V、50 Hz的 交流电源．如图22－2甲所示，纸带上O点为重物自由下落时 纸带打点的起点，选取的计数点 A、B、 C、D、 E、 F、 G依 次间隔一个点 ( 图中未画出 ) ，各计数点与 O 点的距离如图所 示，重力加速度为9.80 m/s2．知识照亮梦想图22－2甲 (1)求出B、C、D、E、F各点的速度并填入下表：计数点 v/(m? s － 1)BC锐辅教育中心DEF(2)求出物体下落时从 O点到表中各点过程中重力所做的功：计数点 W/J B C D E F知识照亮梦想(3) 适当选择坐标轴表示所要表示的物理量，在图 22 －2 乙中找出重力做的功与速度的相关量之间的关系．图22－2乙 图 22 － 2 乙 中 的 纵 坐 标 表 示 ________, 横 坐 标 表 示 ________, 由图可得重力所做的功与 _______成_______关系．
锐辅教育中心解析(1)各点速度可由公式v＝求出：－3知识照亮梦想AC (125.4－31.4)×10 vB＝ ＝ Δt 4×0.02m/s＝1.18 m/s－3BD (195.9－70.6)×10 vC＝ ＝ Δt 4×0.02m/s＝1.57 m/s－3CE (282.1－125.4)×10 vD＝ ＝ Δt 4×0.02m/s＝1.96 m/s－3DF (383.8－195.9)×10 vE＝ ＝ Δt 4×0.02 GE (501.2－282.1)×10 vF＝ ＝ Δt 4×0.02m/s＝2.35 m/s m/s＝2.74 m/s．－3(2) 由 W ＝ mgΔx 可求出从 O 点到 B 、 C 、 D 、 E 、 F 各点重 力所做的功： WB＝1×9.8×70.6×10－3 J＝0.692 J WC＝1×9.8×125.4×10－3 J＝1.23 J WD＝1×9.8×195.9×10－3 J＝1.92 J WE＝1×9.8×282.1×10－3 J＝2.76 J WF＝1×9.8×383.8×10－3 J＝3.76 J锐辅教育中心(3)如图22－2丙所示知识照亮梦想图22－2丙 图中纵坐标表示重力所做的功 W，横坐标表示速度的二 次方 v2 ． 由图线可知，重力所做的功 W 与速度的二次方 v2 成 正比． 答案 略 点评 打点计时器是实验中的重要器材，要认真掌握其 使用方法．求解此题的关键是要耐心地找到各点的速度与重 力做功之间的关系：重力做功正比于物体速度的平方．
锐辅教育中心互动平台知识照亮梦想关于“活力”――动能的定义 莱布尼兹把 mv2叫做活力(visviva) ．和笛卡尔一样，莱布尼兹也相信宇宙中运动的总量必须保持不变，不过和笛卡尔不 同的是他认为应该用 mv2表示这个量，而不是mv．莱布尼兹的 活力守恒概念在当时的力学现象中也得到了验证．荷兰物理学 家惠更斯 (ChristianHuygens,) 在1703 年作为遗稿发表的论文《论碰撞作 用下物体的运动》中对完全弹性碰撞作了 详尽的研究.惠更斯写道：“在两个物体的 碰撞中，它们的质量和速度平方乘积的总 和,在碰撞前后保持不变．”这就是完全弹 性碰撞中活力守恒原理的具体表述． 莱布尼兹锐辅教育中心对非弹性碰撞，动量是守恒的(这对笛卡尔派有利)，但 是活力是减少的．莱布尼兹仍坚信活力是守恒的．为了说明 在非弹性碰撞中活力并没有减少，他提出了一个巧妙的解 释，即认为碰撞物体在整体上所减少的活力并未消失，而只 是被物体内部的微小粒子吸收了，微粒的活力增加了．这个 思想是深刻的．莱布尼兹当时当然没有现代的分子原子概 念，他的这种解释纯属设想，但是却符合了近代分子运动论 的观点――碰撞物体整体的动能变成了热能，即内部分子运 动的动能． 莱布尼兹还把他的活力守恒思想推广到碰撞以外的问题 中．他看到当石头以一定的初速度竖直上抛时,它的速度随 高度的增大而减少,到达最高点时活力变为零；然后回落， 活力又逐渐增大，最后又可恢复原来的活力数值．对上抛过 程中活力的显然减少，莱布尼兹仍坚持活力并未消失而是以 某种形式被储存起来了，当物体回落时这储存的活力又被释 放了出来.由此可以看出,莱布尼兹的活力守恒的信念何等牢 固 !他的这种活力被储存起来的想法是后来势能概念的先声 .
锐辅教育中心知识照亮梦想互动训练知识照亮梦想1 ．探究力对原来静止的物体做的功与物体获得的速度 的关系，实验装置如图所示，实验主要过程如下：(1)设法让橡皮筋对小车做的功分别为W、2W、3W…… (2) 分析打点计时器打出的纸带，求出小车的速度 v1 、 v2、v3…… (3)作出W－v草图． (4) 分析 W － v 图象．如果 W － v 图象是一条直线，表明 W∝v ；如果不是直线，可考虑是否存在 W∝v2 、 W∝v3 、 W ∝ v 等关系．
锐辅教育中心以下关于该实验的说法中有一项不正确，它是______．[2009 年高考? 安徽理综卷] A ． 本 实 验 设 法 让 橡 皮 筋 对 小 车 做 的 功 分 别 为 W 、 2W 、 3W……所采用的方法是选用同样的橡皮筋，并在每次实验中使橡 皮筋拉伸的长度保持一致．当用1条橡皮筋进行实验时，橡皮筋对 小车做的功为W，用2条、3条……橡皮筋并在一起进行第 2次、第 3次……实验时，橡皮筋对小车做的功分别是2W、3W…… B．小车运动中会受到阻力,补偿的方法,可以使木板适当倾斜 C．某同学在一次实验中，得到一条记录纸带．纸带上打出的 点，两端密、中间疏．出现这种情况的原因，可能是没有使木板 倾斜或倾角太小 D．根据记录纸带上打出的点，求小车获得的速度的方法，是 以纸带上第一点到最后一点的距离来进行计算 解析 本实验的目的是探究橡皮绳做的功与物体获得速度的 关系．这个速度是指橡皮绳做功完毕时的速度，而不是整个过程 的平均速度，所以D选项是错误的． 答案 D
锐辅教育中心知识照亮梦想2．用如图所示的装置探究功与物体速度变化的关 系．实验时，先适当垫高木板使小车获得一很小的向下初速 度后恰能匀速下滑；然后使小车在橡皮条弹力的作用下从某 一位置由静止被弹出，沿木板滑行．小车滑行过程中带动通 过打点计时器的纸带，记录其运动情况．观察发现纸带前面 部分的点迹疏密不均，后面部分的点迹比较均匀，回答下列 问题：知识照亮梦想锐辅教育中心知识照亮梦想(1)适当垫高木板是为了________________．(2)通过纸带求小车速度时，应使用纸带的________的点 迹．(填“全部”、“前面部分”或“后面部分”) (3)若实验做了n次，所用橡皮条分别为1根、2根、…、n 根，通过纸带求出小车的速度分别为v1、v2、…、vn，用W0 表示一根橡皮条对小车所做的功，则 n 根橡皮条对小车做的 功 W ＝ nW0 ．作出的 W － v2 图线是一条过坐标原点的直线，这说明_____________________________________________．答案(1) 平衡摩擦力(2) 后面部分锐辅教育中心(3) 外力对物体做的功与物体获得速度的平方成正比课时23课前导航动能和动能定理知识照亮梦想人们利用水力发电，即水对水轮机做功，水轮机再对发 电机的转子做功从而产生电；龙卷风破坏力很大，把树木连 根拔起，即风对树木做了功；站在 一起的小朋友相互接触不会有什么 反应，但从斜轨道上滑下的小朋友 撞在另一个小朋友身上(如图23－1 所示)，下面的小朋友却受不了． 请你思考： 1．水流、龙卷风和运动的小 朋友为什么都能对外做功呢？ 图23－1 2 ．物体动能的变化量与外力做功的多少有什么定量关 系呢？锐辅教育中心知识照亮梦想基础梳理1．知道动能的符号、单位和表达式，会根据表达 式计算物体的动能． 2．能从牛顿第二定律和运动学公式导出动能定理， 理解动能定理的物理意义． 3．领会运用动能定理解题的优越性，理解做功的 过程就是能量转化或转移的过程，会用动能定理 处理单个物体的有关问题．1．知道动能定理也可用于变力做功与曲线运动的 较复杂情景，能用动能定理计算变力所做的功． 2．区分好动能定理、重力做功与重力势能的变化、 弹力做功与弹性势能的变化之间的关系．锐辅教育中心基本要求发展要求知识精析知识照亮梦想一、动能 1 ．概念：物体由于运动而具有的能叫动能；物体的动 能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半．1 2．定义式：Ek＝ mv2，v为瞬时速度． 23．单位：焦耳(J)． 4．动能概念的理解： (1)动能是标量，且没有负值； (2) 动能具有瞬时性，在某一时刻，物体具有一定的速 度，也就具有一定的动能； (3)动能具有相对性，对不同的参考系，物体速度有不同 的瞬时值，也就具有不同的动能，一般都以地面为参考系研 究物体的运动．锐辅教育中心二、物体的动能变化 物体的动能变化是末动能与初动能的代数差． 1 1 2 Δ E k ＝ m vt2 － m v0 ，若 Δ E k &0 ，表示物体的动能增 2 2 加；若 Δ E k &0 ，表示物体的动能减小． Δ E k 与速度方向 无 关． 三、动能定理 1 ．内容：合外力对物体做的总功等于物体 动能的改变 量． 2．表达式：W总＝Ek2－Ek1＝ 1 mv2 －1 mv2 ． 2 1 2 2 3．推导 试在以下描述的物理情境中，通过牛顿运动定律推导出 动能定理： 可看做质点的物体在恒力作用下，沿某直线方向运动．知识照亮梦想锐辅教育中心解析 取物体所受的合外力方向为正，物体受到的合外 力大小为 F ，物体的质量为 m ，加速度为 a ．物体先后经过 A、B两位Z的速度大小分别为vA、vB，从A点到B点的位移为 s． 由牛顿第二定律有：F＝ma又由运动学公式有：2as＝ v2 1 1 vB ? v2 2 A 所以F＝m ，即Fs＝ m vB－ m v 2 A 2s 2 2知识照亮梦想2 B－v2 AW合＝EkB－EkA(若s与F反向，W合为负值)． 答案 见解析 点评 上题为在特殊情形下由牛顿第二定律推导出动能 定理，其实利用微积分的方法 (微元法)，在任何情形下都可 由牛顿第二定律推导出动能定理 ( 包括曲线运动、变速运 动 )．
锐辅教育中心4．对动能定理的理解 (1)W 总是合外力对物体做的 总功 ，等于所有外力对物体 做功的代数和． (2)W总＞0表示合外力作为动力对物体做正功，物体的动 能增加；W总＜0表示合外力作为阻力对物体做 负功，物体的 动能减少． (3)动能定理的应用比较广泛，既适用于直线运动，也适 用于曲线运动；既适用于恒力做功的情况，也适用于变力做 功的情况．但是动能定理的研究对象一般应为单个平动的刚 体(不形变的物体)． (4)若物体运动的过程中包含几个不同的过程，应用动能 定理时，可以分段考虑，也可以将全过程作为一个整体来处 理．知识照亮梦想锐辅教育中心知识照亮梦想(5)动能定理对应的是一个过程，并且它只涉及物体初末状态的动能和整个过程中合外力做的功，不涉及物体运动过 程中的加速度、时间以及中间状态的速度和动能，因此用它 处理问题比较方便． (6)动能定理是从功的定义式出发，结合牛顿第二定律和动力学公式推导出来的，所以它不是独立于牛顿第二定律的运动方程，但它们有较大的区别：牛顿第二定律是矢量式， 反映的是力与加速度的瞬时关系；动能定理是标量式，反映 的是做功过程中功与始末两状态动能的变化量的关系．把对 一个物理现象每个瞬时的研究转变成对整个过程的研究，是研究方法上的一大进步． 锐辅教育中心方法探究知识照亮梦想一、运用动能定理解题的基本思路 1．选取研究对象，明确它的运动过程． 2 ．分析研究对象的受力情况和各个力的做功情况．受 哪些力？每个力是否做功？是做正功还是做负功？做多少 功？然后求各个外力做的功的代数和． 3 ．明确研究对象在运动过程中始末状态的动能 Ek1 和 Ek2． 4．列出动能定理的方程 W 合 ＝Ek2－Ek1，以及其他必要 的解题方程进行求解． 例 1 两辆汽车在同一平直路面行驶，它们的质量之比 m1∶m2＝ 1∶2，速度之比 v1∶v2＝2∶1．当汽车急刹车后， 甲、乙两车滑行的最大距离分别为 s1 和 s2 ，设两车与路面间 的动摩擦因数相同，不计空气阻力，则( ) A．s1∶s2＝1∶2 B．s1∶s2＝1∶1 C．s1∶s2＝2∶1 D．s1∶s2＝4∶1锐辅教育中心解析汽车刹车滑行时，其消耗的动能等于克服路面的知识照亮梦想摩擦力所做的功．由动能定理有：v 解得：s＝ 2? g 2 s1 v1 4 所以 ＝ 2＝ ，故D选项正确． s2 v 2 1答案 点评1 mv2＝μmgs 22D 本题也可由牛顿第二定律和运动学公式求解．锐辅教育中心变式训练1 一物体在光滑水平面上向右运动，从某时刻起对物体作 用一恒定的阻力使物体逐渐减速，直到停止．则物体在这段 时间内通过的位移完全由下列哪个物理量决定( ) A．物体的质量 B．物体的初速度 C．物体的初速度与质量的乘积 D．物体的初动能 解析 根据动能定理Fs＝Ek2－Ek1，易得出知识照亮梦想1 mv 2 s＝ 2 ，故D选项正确． F值答案D锐辅教育中心二、用动能定理求变力做功 例2 如图23－2甲所示，AA′＝AC＝H．开始时，绳AC 处于竖直方向，小车由静止出发在水平路面上运动到 A′点时 速度为v，则在此过程中绳子对在井底的质量为m的物体做了 多少功？知识照亮梦想图 23－2甲 锐辅教育中心解析 绳子对在井底的物体做的功与物体的重力做的功的和等于 物体动能的增加量．将绳子末端A′点的速度v分解为沿绳方向的分量v1 和垂直于绳子方向的分量 v2 ，如图 23 － 2 乙所示，则井中物体获得的 速度v1＝vcos θ．由图23－2甲可知θ＝45°．知识照亮梦想图23－2乙 井中物体上升的高度即等于小车拉过去的绳长， 即h＝ 2 H－H＝( 2 －1)H1 则由动能定理可得：W－mgh＝ mv 2 1解得：W＝ 答案 点评1 42 mv ＋( 2 －1)mgH 4mv2＋(2 －1)mgH．本题中，速度的分解是解答的关键．锐辅教育中心变式训练2 如图23－3所示，AB为圆弧轨道，BC为水平直轨道，圆 弧的半径为 R ， BC 的长度也是 R ．一质量为 m 的物体，与两 个轨道间的动摩擦因数都为μ，当它由轨道顶端A从静止开始 下落，恰好运动到 C处停止．那么，物体在AB段克服摩擦力 所做的功为( )知识照亮梦想1 1 A． μmgR B． mgR C．mgR D．(1－μ)mgR 2 2 锐辅教育中心图23－3解析 A→B的过程中，弹力、摩擦力都发生变化，无法直接 用功的公式求物体克服摩擦力做的功 WAB的数值， BC段可以直接 表示WBC＝μmgR，对A→C全过程用动能定理有mgR－WAB－μmgR ＝0，故WAB＝mgR－μmgR，D选项正确． 答案 D知识照亮梦想变式训练3一列车的质量是 5.0×105 kg ，在平直的轨道上以额定的功率 3000 kW加速行驶，当速度由10 m/s加速到所能达到的最大速率30 m/s时，共用时 2 min ，则在这段时间内列车前进的距离是多少？ (假设列车所受的阻力恒定)P 解析 设列车所受的阻力为f，有：f＝ vm根据动能定理有：Pt－fs＝1 1 2 mvm － 2 22 m v0由以上两式代入数据可得：s＝1600 m． 答案 1600 m
锐辅教育中心三、用动能定理求解多过程问题 例4 一质量为12 kg的滑块以2 m/s的初速度在光滑的水 平面上向左滑行．从某时刻起在滑块上作用一向右的水平力 F，经过一段时间，滑块的速度方向变为水平向右，大小为2 m/s．则在这个过程中水平力F做的功为( ) A．0 B．12 J C．24 J D．48 J 解析 对于此题，如果详细地分析物体的运动情况，则 物体在力 F 的作用下，首先做匀减速运动，减速到零；然后 再反向做匀加速运动，且在此过程中，物体所受的合外力始 终为F，加速度a始终保持不变，解答}