A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB=A（A，B都是n阶矩阵）
A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB=A（A，B都是n阶矩阵）
A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB=A（A，B都是n阶矩阵）
我自己解答用的是对A（B-E）=0两边左乘A*（伴随矩阵），得到|A|要为0
但答案用一段文字说明，什么用了AX=0有非零解，再找n个解向量，令它们组成一个矩阵=B-E什么的。。。。。不是很明白
想问的是：
我的解法是否正确？
各位老师是怎么做的。。。
说实话这么“大白话”的题，有时不知道怎么下笔。。。怕说不清楚。。所以自己总是想用公式或等式说明。。。
A是什么矩阵时，存在B不等于E，使得AB=A（A，B都是n阶矩阵）
解法一 设存在B不等于E,使得AB=A ,则
A(B-E)=O ==&A^(*)A(B-E)=O ==&|A|E(B-E)=O==&|A|(B-E)=O,
因为 B不等于E，所以B-E≠O,
因此 |A|=0,即A不可逆.
解法二 设存在B不等于E,使得AB=A ,则
A(B-E)=O，
可见B-E的n个列向量是方程Ax=O的解向量，
因为B不等于E，即B-E≠O,所以B-E的n个列向量不全为零向量,
因此方程Ax=O有非零解，
由克莱姆法则知，系数行列式|A|=0,即A不可逆.
注记：如果仅仅只要判明A的条件,那么上面的解答应该已经可以了。
如果将题目改为：证明：n阶矩阵A不可逆的充分必要条件是：存在n阶矩阵B,且B≠E，使得AB=A.那么就得证明矩阵B的存在性.
矩阵B的存在性证明如下：先构造矩阵B-E,然后就可以构造出矩阵B.具体方法如下:
设A是任意不可逆矩阵,且R(A)=r,则方程Ax=O的基础解系所含的基解向量的个数为n-r(≥1),设基础解系为：ξ1,ξ2,…,ξ(n-r),
记B-E=(ξ1,ξ2,…,ξ(n-r),0,…,0),
则B=(ξ1+e1,ξ2+e2,…,ξ(n-r)+e(n-r),e(n-r+1),…,en)即为所求,其中e1,e2,…,en是n维标准单位列向量.
实际上矩阵B不是唯一的,例如:
若取B-E=(ξ1,0,0,…,0),则
B=(ξ1+e1,e2,e3,…,en).
注意：因为ξ1,ξ2,…,ξ(n-r)都是基解向量(解向量的极大线性无关组),所以它们都是非零向量,因此B≠E.
希望这个解答比楼主在书上所看到的解答更明白些.
请遵守网上公德，勿发布广告信息
相关问答：这是一道选择题，答案是：都小于n。
AB＝O可以看做是一个方程，即说明有非零解，则A的秩小于n,但为什么B的秩也小于n呢？
AB=0 则R（A）+R（B）≤n ,
A，B都是n阶非零矩阵==>0R（A）,R（B）<n.
方法2。若R（B）=n.==》B可逆，
==》A＝OB^(-1)=0,和A是n阶非零矩阵矛盾，
==》R（B）<n.
同理R（A）<n.
其他答案（共1个回答）
个类似于定理的东西，如AB=0 则R（A）+R（B）=n
如果你了解这个，问题就迎刃而结了
n阶矩阵A、B AB=0 那么A=0或B=0
ImB是KerA的子空间
Dim(ImB)=R(B)≤dim(KerA)=n-R(A)
Min{R(A),R(B)}≤n/2
Ax=b有无穷多解，A不满秩，Ax=0有非零解；反之未必，Ax＝0有非零解，A不满秩，但Ax＝b可能无解。如有解则有无穷多解。
解:假设线性相关则存在不全为0的实数K1，K2，K3使得K1β1+K2β2+K3β3=0
整理得到关于a1,a2,a3的等式
因为向量组a1,a2,a3线性无关...
详细解答过程请看附件，点击打开或者下载
答: 会计硕士和考会计学的研究生有什么区别?哪个更好、
答: 嗯，还不错啊~~我同学去年报的他们的班
答: 哦!我去年的!我面试前一星期就去了,找到导师,就拿了一点土特产,表表心意,表示会努力好好学习.
导师很善意,不会为难学生,问我带专业书没,拿出来,给我大概讲了一...
答: 教育硕士没出成绩呢，其他的差不多了。
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这个不是我熟悉的地区如果|A|≠0，则A可逆，存在AA=E；因为AB=O，所以AAB=O→B=O与B为非零矩；-1；|A|=00=7(t?8)?7?11=7(t-8；所以t=-3.；7.已知矩阵；?k?1A???1??11k；k1k??k?3?111；111；??k?3??k?1??0.由此得k??3或k?；当k?1时，显然有R?A?
如果|A|≠0，则A可逆，存在AA=E 因为AB=O，所以AAB=O →
B=O与B为非零矩阵矛盾。 故有|A|=0。 ?1?又A=4???312t?12t?8?7?2??3，所以 ?1???211?7t?8?7117-1-1|A|=00=7(t?8)?7?11=7(t-8+11)=7(t+3) 所以t=-3. 7. 已知矩阵 ?k?1
A???1??11k?的秩为3，则k=
由于R?A??3，则A?0，即 k1k??k?3?11k??k?3?1k?10101k?1
??k?3??k?1??0. 由此得 k??3或k?1.
当k?1时，显然有R?A??1；
当k??3时，A的左上角的3阶子式 ?31?. ?3
11故当且仅当k??3时，R?A??3. ?1?8. 设A为4×3矩阵，且R（A）=2，而B=0????10202??0，则R（AB）=
。 ?3?? ≠0，所以B可逆。 3解：因为|B|=0?1所以R（AB）=R(A)=2.
9. 设方阵A满足A2-A-2E=0,证明:A及A+2E都可逆,并求A-1及(A+2E)-1. 证明：因为A2?A?2E?0,所以A1212两边取行列式.则A?(A?E)?E，12(A?E)?1?0 所以A?0，所以Α可逆，A?1?则Α可逆，所以Α+2E可逆 (A?2E)?12由Α可逆，(A?E).又A?A?2E?0得A2?A?2E，2?(A)2?11?1?2?(A)??(A?E)??(A?2A?E) 4?2??122 10．设A是n阶方阵，满足AA??E，且|A|<0，求|A+E|。 解：|A+E|=|A?AA?|=|A(E?A?)|=|A|?A??E=|A|?|(A?E)?|=|A||A+E| 所以(1?|A|)?|A?E|?0，因为1-|A|≠0,(|A|<0) 所以|A+E|=0。
11. 若3阶方阵A的伴随矩阵为A*，且|A|=解：|A|=1212，求的|(3A)?1?2A*|值。
R(A)=3，A*A?|A|?E 所以A?|A|A 所以(3A)?1*?1?2A?*13A?1?2|A|A?1=(?1)A3?11?1??23A?1 则|(3A)?1?2A*|??23A?1?(?23)?|A3|??1627。 ??1?
?2?12．设A??
?n???，其中???(i?j;i,j?1,2,?,n).证明：与Α可交换的只能是ij???对角矩阵.
??11 ?12 ? ?1n??21 ?22 ? ?2n证：设B???
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?nn???与Α可交换. ??????11?1 ?12?2 ? ?1n?n?????? ? ?2n?n?，BA??211 222??
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?nn?n???. ?????1?11 ?1?12 ? ?1?1n??2?21 ?2?22 ? ?2?2n?则AB??
????n?n1 ?n?n2
?n?nn由AB?BA可得，?1i?1??1i?i，由?i??j，i≠j, 所以当i≠1, ?1i?0,i?2,3,?,n,同??11?
?22?理可得aij?0(i?j,i,j?2,3,?,n)所以B??
?nn???是对角矩阵. ???13. 设A为n阶方阵(n≥2),A*为A的伴随矩阵,试证: (1) 当R(A)=n时,R(A*)=n; (2) 当R(A)=n-1时,R(A)=1; (3) 当R(A)＜n-1时,R(A*)=0. 证明：（1）由R(A)?n，所以Α可逆.而A?A?A?E 所以AA?A?E，所以A*可逆，即R(A*)?n. ***（2）下面先证明一个矩阵秩的性质.设矩阵Α、B ?A则??E0??0???B??E?AB??0???B??E?AB?? 0??A所以秩??E0??0??秩?B??E?AB???秩(E)?秩(?AB)0?
?n?秩(AB)而秩??A?00??A?秩??B??E0??，故秩Α+秩B≤n+秩（ΑB） B?*由R（Α）=n-1，则｜Α｜=0，所以AA?AE?0， 所以秩Α+秩Α≤n，即秩Α≤1 又R(Α)=n-1,所以Α的所有n-1阶子式不为0，即Α*有非零元素，即秩Α*≥1，故秩Α*=1. （3）由R（Α）<n-1，故Α的所有n-1阶子式为0，即Α*的所有元素为0，从而秩（Α*）=0.**
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6.问a为何值时，向量组 ?1?(1,2,3),?2?(3,?1,2),?3?(2,3,a) ''' 线性相关，并将?3用?1,?2线性表示. 13??a),当a=5时，?3?a117解：A?23?1?17?2.
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