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第三讲复数域上的极限与连续.doc 5页
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第三讲复数域上的极限与连续
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复数域上的极限与连续
一．定义距离(两个复数之间的距离)
两个复数的距离为
有了两个复数之间的距离后,容易得出下面的结论
(如图2.1).
二．复数序列的极限
复数列,存在,使得
对,当时,有.
三．复函数的极限
设单值函数,是D的一个聚点(非孤立点).若对于,,当时,有,则称当时以A为极限,记为
四．复函数的连续
设定义在复数集D上,是D的一个聚点,若,则称在点连续.
注:若点是D的一个孤立点,则在点连续.
复函数在点连续函数在点连续.
复函数在点集D上的每一点连续,则是D上的连续函数.
五．复级数
设复数列,复数项级数的前项之和,
然而得部分和序列,级数和,即.
复数列,若,,有
绝对收敛:级数收敛,则称绝对收敛.
级数绝对收敛当且仅当级数和级数收敛.
六．复函数列
设复函项级数,在点,使复数列收敛,则称复函数列在点收敛,称为复函数列的收敛点.收敛域={所有收敛点}.
复函项级数绝对收敛收敛.
补充内容:实数域上有
下面把上面的情况推广到复数域上:
(1)形式上的令()
下面是对Euler公式的严格定义和证明:
设,对,令得到序列,不妨设,那么
再对实数序列进行分析,收敛于,因为收敛,由柯西准则有
由(1)可知也是柯西序列,所以收敛.记的极限为,
级数收敛且绝对收敛,收敛域为整个复数域.
(2)形式上的令
定义序列,利用上面同样的方法,可得
(3)同理,也有
由(1)(2)(3)得证(Euler公式).
(1)表示为实部虚部的形式;
(3)求的Euler指数表示;
(4)的三角表达式;
2. 求(1);(2);(3);(4).
3. (1);(2);(3).
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高考专题复习系列讲座——极限、导数、复数.pdf
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2006年第 12期
数 学 通 讯
高考专题复习系列讲座
— — 极限、导数、复数
(武汉市第十四中学，湖北 430061) (华 中师范大学数学与统计学学院，湖北 430079)
[考试 内容和考试要求]
考中一般 以选择题和填空题 出现 ，重在对基本概念
1．考试 内容
和基本运算的考查，常考知识点有 ：判断极限是否存
极限：数学归纳法．数学归纳法 的应用．数列的
在，在极限存在时求出极限值，利用极限判断函数在
极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．
给定点处的连续性，函数连续性的应用．复习时应注
导数 ：导数的概念．导数 的几何意义．几种常见
意以下知识点：两类极限的基本概念，常见数列极限
函数的导数．两个函数 的和、差、积、商的导数．复合
和函数极限的求解方法，函数连续性的判定和应用．
函数的导数．基本导数公式．利用导数研究函数的单
导数作为新教材增加的知识点，其作用已 日趋
调性和极值．函数的最大值和最小值．
明显，已成为解决很多具体 问题必不可少 的工具．近
数系的扩充 一 复数 ：复数 的概念．复数 的加法
几年高考对导数的考查以解答题为主，题 目为中等
和减法 ．复数 的乘法和除法．数系的扩充 ．
难度，命题时强调导数与函数、不等式、数列、向量、
2．考试要求
圆锥 曲线等知识点的整合．值得注意的是 ，近两年的
(1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法
试题中函数的载体多为三次函数，其导数为二次函
证明一些简单的数学命题．
数，与二次方程、二次函数、二次不等式有关的知识
(2)了解数列极限和函数极限的概念．
点 (如方程根的分布、不等式恒成立等)应熟练掌
(3)掌握极限的四则运算法则，会求某些数列
握．复习时重在抓准导数的定义和几何意义 ，熟练求
与函数 的极限．
导公式，掌握好利用导数研究 函数的单调性 、求函数
(4)了解函数连续的意义，了解 闭区间上连续
的极值和最值的基本方法和解题思路，还要注意导
函数有最大值和最小值的性质．
数在解决实际问题 中的应用．
(5)了解导数概念的某些实际背景 (如瞬时速
复数在高考试题中的比例已逐年下降，一般只
度、加速度、光滑 曲线切线的斜率等)；掌握函数在一
以选择题或填空题的形式 出现 ，主要考查 以下知识
点处的导数 的定义和导数 的几何意义 ；理解导函数
点：复数的有关概念 (复数的相等、复数的模、共轭复
数及应用)，复数的代数形式和 四则运算．复习时应
(6)熟记基本导数公式 ；掌握两个函数和、差、
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高等数学:复数求极限，拍下来
我有更好的答案
第二个等于号怎么得出？
求解释，拍下来
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复数求极限 求详解!1
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把(1+i)/2写成三角形式,(1+i)/2=(1/√2)(cosπ/4+isinπ/4),所以lim[(1+i)/2]^n=(1/√2)^n*(cosnπ/4+isinnπ/4),因为lim(1/√2)^n=0,而lim(cosnπ/4+isinnπ/4)为有界量,所以相乘=0.即极限=0
lim(cosnπ/4+isinnπ/4)为有界量，所以相乘=0
不理解啊!!!
还有这样解
[(1+i)/2]^n的模|[(1+i)/2]^n|=(1/√2)^n当n->∞时趋于0
所以原式=0
有界量与无穷小的乘积是无穷小。那种用模等于0的做法其实和我的做法是一样的，模等于0推出极限等于0也是因为cosnπ/4+isinnπ/4是有界量。
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[(1+i)/2]^n的模|[(1+i)/2]^n|=(1/√2)^n当n->∞时趋于0所以原式=0
[(1+i)/2]^n的模|[(1+i)/2]^n|=(1/√2)^n当n->∞时趋于0所以原式=0
复数的极限就是该复数的模的极限吗??
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