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高一数学指数函数对数函数幂函数
高一数学第一学期授课讲义
　　　　　　　
讲义十二：指数与指数幂的运算　　　
撰稿： 方锦昌　电子邮箱
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一、教学要求：
1、了解指数函数模型背景及实用性、必要性,了解根式的概念及表示方法. 理解根式的概念．2、使学生正确理解分数指数幂的概念，掌握根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算. 3、 n次方根的求解,会用分数指数幂表示根式, 掌握根式与分数指数幂的运算.
二、教学重点：
理解根式的概念，了解指数函数模型的应用背景；掌握n次方根的求解. 掌握根式与指数幂的运算；有理数指数幂的运算.
三、教学难点：
准确运用性质进行计算. 有理数指数幂的运算.无理数指数幂的意义.
四、教学过程：
（一）、复习准备：　回顾初中根式的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根.　→ 记法：
（二）. 讲授新课:
1. 教学指数函数模型应用背景：
①　　 探究下面实例，了解指数指数概念提出的背景，体会引入指数函数的必要性.
★实例1.某市人口平均年增长率为1.25G，1990年人口数为a万，则x年后人口数为多少万？
★② 书P52 问题1. 国务院发展研究中心在2000年分析，我国未来20年GDP（国内生产总值）年平均增长率达7.3G， 则x年后GDP为2000年的多少倍？
★ 书P52 问题2. 生物死亡后，体内碳14每过5730年衰减一半（半衰期），则死亡t年后体内碳14的含量P与死亡时碳14的关系为. 探究该式意义？
③小结：实践中存在着许多指数函数的应用模型，如人口问题、银行存款、生物变化、自然科学.
2. 教学根式的概念及运算：
（1） 定义n次方根：一般地，若,那么叫做的次方根.( &th　root ),其中,
简记：.　　例如：，则
（2）、 讨论：当n为奇数时, n次方根情况如何？, 例如: ,,　记：
当n为偶数时，正数的n次方根情况？ 例如: ,的4次方根就是, 记：
强调：负数没有偶次方根,0的任何次方根都是0, 即.
（3）、 练习：,则的4次方根为　　 ； , 则的3次方根为　　　.
（4）、定义根式：像的式子就叫做根式（radical）, 这里n叫做根指数（radical
exponent）,　a叫做被开方数（radicand）.
（5）、计算、、 → 探究： 、的意义及结果？ （特殊到一般）
结论：. 当是奇数时，；当是偶数时，
（6）、出示例1.求值化简：　；　 ；　；　（）
　3. 教学分数指数幂概念及运算性质:
① 引例：a&0时，　→ ；　&→ .
② 定义分数指数幂：规定；
③ 练习：A.将下列根式写成分数指数幂形式：；；
&B. 求值　 ；　；　； .
④ 讨论：0的正分数指数幂？ 0的负分数指数幂？
⑤ 指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．指数幂的运算性质：
?；　； ．
4. 教学例题：
① 出示例1. 求值:;　　;　　
② 出示例2. 用分数指数幂的形式表示下列各式：; ;;
③ 出示例3. 计算（式中字母均正）：；.
④ 出示例4. 计算：， &;
⑤ 讨论：的结果？→定义：无理指数幂.（结合教材P58利用逼近的思想理解无理指数幂意义）
　　无理数指数幂是一个确定的实数．实数指数幂的运算性质？
3. 小结：分数指数幂的意义，分数指数幂与根式的互化，有理指数幂的运算性质.
（三）、巩固练习：
①　n为　　时，.
② 求下列各式的值：
;　　;　 ； ； ； ； .
（四）、教学典型例题：
1.　　 化简：.
2.　　 已知，试求的值.
3.　　 用根式表示， 其中.
4. 已知x+x-1=3,求下列各式的值：
5. 求值：; ;　;　;　;
6. 已知, 求的值.
7. 探究：时, 实数和整数所应满足的条件.
（五）、巩固提高练习：
●★【题1】（2005年上海高考）方程的解是__________
★题2、（2003年上海20题12分）已知函数f(x)=,g(x)=；（1）、证明：函数f(x)为奇函数，并求出f(x)的单调区间；（2）、分别计算f(4)-5 f(2)g(2)和f(9)-5 f(3)g(3),并概括出涉及函数f(x)和g(x)的对所有不为0的实数x都成立的一个等式，并加以证明。
●解：单调J为（-∞，0）和（0，+∞）；（2）、f(4)-5 f(2)g(2)=f(9)-5 f(3)g(3)=0,一般地。有：f(x2)-5
f(x)g(x)=0.
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
　　　　　　　
讲义十三：　　　指数函数及其性质　　
撰稿： 方锦昌　电子邮箱
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一、教学要求：
1、　使学生了解指数函数模型的实际背景，认识数学与现实生活及其他学科的联系；理解指数函数的的概念和意义，能画出具体指数函数的图象，掌握指数函数的性质.　
2、　熟练掌握指数函数概念、图象、性质；掌握指数形式的函数定义域、值域，判断其单调性；培养学生数学应用意识
二、教学重点：掌握指数函数的图象和性质．
三、教学难点：用数形结合的方法从具体到一般地探索、概括指数函数的性质．理解指数函数的简单应用模型．
四、教学过程：
（一）、复习提问：
①零指数幂：a0=_____(a≠0)；②、负整数指数幂：a-p=_____( a≠0,p∈N*)；④正分数指数幂： =_____(a&0,m、n∈N*,n&1)；⑤负分数指数幂： =_____( a&0,m、n∈N*,n&1)；
（二）、讲授新课：
1.教学指数函数模型思想及指数函数概念：
探究两个实例：
●A．细胞分裂时，第一次由1个分裂成2个，第2次由2个分裂成4个，第3次由4个分裂成8个，如此下去，如果第x次分裂得到y个细胞，那么细胞个数y与次数x的函数关系式是什么？
◆B．一种放射性物质不断变化成其他物质，每经过一年的残留量是原来的84％，那么以时间x年为自变量，残留量y的函数关系式是什么？
讨论：上面的两个函数有什么共同特征？底数是什么？指数是什么？
③ 定义：一般地，函数叫做指数函数（exponential function），其中x是自变量，函数的定义域为R.
④讨论：为什么规定＞0且≠1呢？否则会出现什么情况呢？→ 举例：生活中其它指数模型？
2. 教学指数函数的图象和性质：
①、 作图：在同一坐标系中画出下列函数图象： ， &（师生共作→小结作法）
②、 根据图象归纳：指数函数的性质 (书P56)
③、★ 出示P56：例6. 函数（）的图象经过点（3，），求,, 的值.
④、★出示例7. 比较下列各组中两个值的大小：； &； &；
⑤、比较大小：；
（四）教学指数函数的应用模型：
①★ 出示例1：我国人口问题非常突出，在耕地面积只占世界7%的国土上，却养育着22%的世界人口．因此，中国的人口问题是公认的社会问题．2000年第五次人口普查，中国人口已达到13亿，年增长率约为1%．为了有效地控制人口过快增长，实行计划生育成为我国一项基本国策．
(Ⅰ)按照上述材料中的1%的增长率，从2000年起，x年后我国的人口将达到2000年的多少倍？
(Ⅱ)从2000年起到2020年我国的人口将达到多少？
★ ② 练习： 2005年某镇工业总产值为100亿，计划今后每年平均增长率为8%, 经过x年后的总产值为原来的多少倍？ → 变式：多少年后产值能达到120亿？
（五）、. 教学指数形式的函数定义域、值域：
◆1、①设y1=40.9,y2=80.48;y3=()-1.5,则三者的大小是_____y1&y3&y2
②设函数F（x）=[1+]?f(x)(且x≠0)是偶函数，又f(x)不恒等于0，则f(x)的奇偶性是_
（答案为：奇函数）；　 ③函数y=1-2x,x∈[1,4]的值域为____[-15,-1]；　④、函数f(x)=()x+2,x∈[-1,2]的值域为____[,5]；⑤函数y=a-x(a&0,a≠1)当a∈______时，它为K ，此时，当x∈___时，y&0 .答案：（1，+∞）&AE
⑥、已知函数f(x)=的定义域为（-∞，0）则a的取值范围是____(答案：0&a&1)
▲2.①、 一片树林中现有木材30000m3，如果每年增长5%，经过x年树林中有木材ym3，写出x，y间的函数关系式，并利用图象求约经过多少年，木材可以增加到40000m3
▲②、. 比较下列各组数的大小：
▲3. 求函数的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.
【★题4】设a&1为常数,已知当x∈(-1,1)时,不等式x2-ax&恒成立,则a的取值范围为( A　)
&A (1,2]　　B [2,+∞)　　
C　(1,4]　　D [4,+∞)
【★题5】已知函数&(x)=ax
Cb的图象如图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是( B　)&
&A a&1　b&0　　　B 0&a&1　b&0　 C a&1　 b&0　　 D 0&a&1,b&0
【★题6】指数函数y=ax,y=bx,y=cx,y=dx　在同一坐标系中的图象如下图所示,则a、b、c、d的大小顺序为( A )
A &b&a&d&c　　　　&
B　a&b&d&c　C&
b&a&c&d　　　　&
D　b&c&a&d
★【题7】已知实数a, b满足等式下列五个关系式　　　　　　　　
　　①0&b&a　
②a&b&0　　③0&a&b　 ④b&a&0　　 ⑤a=b
　　其中不可能成立的关系式有（　B　）　 A．1个　　B．2个 C．3个　　　　D．4个
●【解答】均大于零时，要满足等式，必有；均小于零时，要满足等式，必有；时，显然等式成立.因此不可能成立的关系式为③④，选B
★【题8】设函数，求使的取值范围．答案：
★9.（天津卷）如果函数在区间上是增函数，那么实数的取值范围是（　　）Ａ．　Ｂ．　　 Ｃ．　　 Ｄ．
●解析：函数y且可以看作是关于的二次函数，若a&1，则是增函数，原函数在区间上是增函数，则要求对称轴≤0，矛盾；若0&a&1，则是减函数，原函数在区间上是增函数，则要求当(0&t&1)时，在t∈(0，1)上为减函数，即对称轴≥1，∴，∴实数的取值范围是，选B.
★10、（04年湖南文科）若直线y=2a与函数y=ax-1(a&0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.（0，）
★11、已知f(x)=,求f()+f()+f()+…+f()之值。（答案：500）
★12、已知f(x)= +,求证：f(x)为奇函数。
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
　　　　　　　
讲义十四：对数与对数运算（两课时）　　　
撰稿： 方锦昌　电子邮箱
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一、教学要求：理解对数的概念；能够说明对数与指数的关系；掌握对数式与指数式的相互转化．
二、教学重点：掌握对数式与指数式的相互转化.
三、教学难点：对数概念的理解.
四、教学过程：
（一）、复习准备：
★1.问题1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺？&
（得到：＝？，＝0.125x=?）
★2.问题2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产 是2002年的2倍？　　（ 得到：=2x=? ）
▲问题共性：已知底数和幂的值，求指数 怎样求呢？例如：课本实例由求x
（二）、讲授新课：
1. 教学对数的概念：
① 定义：一般地，如果，那么数 x叫做以a为底 N的对数（logarithm）.
记作 ，其中a叫做对数的底数，N叫做真数　
② 定义：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm），并把常用对数简记为lgN　在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，并把自然对数简记作lnN　 → 认识：lg5 ; lg3.5； ln10； &ln3
③ 讨论：指数与对数间的关系 （时，）
式子　　　　　　　　　　　　 名称
指数式ab=N
对数式logaN=b
负数与零是否有对数？　（原因：在指数式中
& 0 ）， 　
教学指数式与对数式的互化：
★① 出示P63：例1. 将下列指数式写成对数式： ；；；
★② 出示例2. 将下列对数式写成指数式：； lg0.001=-3； ln100=4.606
　　（学生试练 → 订正 →
变式： lg0.001=？ ）
出示例3. 求下列各式中x的值：
；　；　；　
　 （讨论：解方程的依据？　→ 试求
→ 小结：应用指对互化求x）
练习：求下列各式的值： &；
★⑤ 探究：　
3. 小结：对数概念；lgN与lnN；指数与对数的互化； 如何求对数值
三、巩固练习：
1. 练习：课本64页练习1、2、3、4题
2．计算： ； ；； ； .
3. 作业：书P74：1、2、3、4题
　　　　　　　　　　
第二课时：　2.2.1对数与对数运算（二）
一、教学要求： 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；能较熟练地运用法则解决问题.
二、教学重点：运用对数运算性质解决问题
三、教学难点：对数运算性质的证明方法
四、教学过程：
（一）、复习准备：
提问：对数是如何定义的？ → 指数式与对数式的互化：
提问：指数幂的运算性质？
（二）、讲授新课：
1. 教学对数运算性质及推导：
① 引例： 由，如何探讨和、之间的关系？
设, ，由对数的定义可得：M=，N= ∴MN==
∴MN=p+q，即得MN=M + N
② 探讨：根据上面的证明，能否得出以下式子？
& 0，a ¹ 1，M & 0， N
③ 讨论：自然语言如何叙述三条性质？ 性质的证明思路？（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式）
2.教学例题：
① 出示例1. 用, , 表示下列各式：;　
（学生讨论：如何运用对数运算性质？ → 师生共练 → 小结：对数运算性质的运用）
② 出示例2. 计算：；；；lg
&③ 探究：根据对数的定义推导换底公式（，且；，且；）．
　　作用：化底
→ 应用：2000年人口数13亿，年平均增长率1G，多少年后可以达到18亿？
④ 练习：运用换底公式推导下列结论：；
（三）、巩固练习：
1. 设,，试用、表示.
　变式：已知lg２＝0.3010，lg３＝0.4771，求lg６、lg12、lg的值.
2. 计算：； ； .
3. 试求的值
*4. 设、、为正数，且，求证：
3 = a， 7 = b,　用
a, b 表示56
6. 问题：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25G，问哪一年我国人口总数将超过14亿？　（答案： →→ ）
（四）、实际应用练习：
★ 出示例5：（P66） 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为：，其中A是被测地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.
（Ⅰ）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20,此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（Ⅱ）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍？（精确到1）
●分析解答：读题摘要
→ 数量关系 → 数量计算 → 如何利用对数知识？
③ 出示例6： 当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（Ⅰ）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅱ）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（Ⅲ）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？
●分析解答：读题摘要
→ 寻找数量关系 → 强调数学应用思想
⑤探究训练：讨论展示并分析自己的结果，试分析归纳，能总结概括得出什么结论？
结论：P和t之间的对应关系是一一对应；P关于t的指数函数；
思考：t关于P的函数？ （）
2. 小结：初步建模思想（审题→设未知数→建立x与y之间的关系→）； 用数学结果解释现象
（五）、课堂巩固练习：
1. 计算： ；
2. 我国的GDP年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP在1999年的基础上翻两翻？
（六）、学生作业：
◆1、如果在今后若干年内，我国的国民经济生产总值都在平均每年增长9%的水平，则要达到国民经济生产总值比1995年翻两番的年份大约是哪一年？
解：a(1+9%)x=4a,x= =≈16,即经过16年，即要到2011年我国国民经济生产总值比1995年翻两番。（计算时取lg2=0.3；lg109=2.04)
★【题2】（200 7年湖南? T1）、若，，则　　　　．答案为：3
★【题3】函数的图象大致是（　　）
●解：=选(D)
（七）、课堂回顾与总结：
对数及其运算的基本知识体系：
1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN　(常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。
2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0；　② logaa=1；　　 ③=_____；　　 ④logab?logbc=____；　 ⑤ logab?logba=____；　　　⑥=___;　　⑦loga(M?N)=____；　
⑧loga()= _______；　　⑨logaNb=____
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
　　　　　　　
讲义十五：对数函数及其性质（两课时）　　　
撰稿： 方锦昌　电子邮箱
fangjingchang2 　　 手机号码
一、教学要求：通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型.能够用描点法画出对数函数的图象.能根据对数函数的图象和性质进行值的大小比较.培养学生数形结合的意识.用联系的观点分析问题.
二、教学重点：对数函数的图象和性质
三、教学难点：对数函数的图象和性质及应用
四、教学过程：
（一）、复习准备：
1、对数概念：若ab=N,⇔则有b=logaN　(常用对数lgN,自然对数lnN)Þ负数和零没有对数。
2、对数的运算性质：(换底公式的应用）：①loga1=0；　② logaa=1；　　 ③=_____；　　 ④logab?logbc=____；　 ⑤ logab?logba=____；　　　⑥=___;　　⑦loga(M?N)=____；　
⑧loga()= _______；　　⑨logaNb=____
（二）、讲授新课：
1.教学对数函数的图象和性质：
定义：一般地，当a＞0且a≠1时，函数叫做对数函数(logarithmic function).
自变量是x； 函数的定义域是（0，+∞）
辨析： 对数函数定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别，如：， 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数；对数函数对底数的限制 ，且．
③ 探究：你能类比前面讨论指数函数性质的思路，提出研究对数函数性质的内容和方法吗？
　　　指数函数
　　 对数函数
一般解析式
&y=ax　(a&0,a≠1)
&y=logax　(a&0,a≠1)
当a&1时的图像
①注意特殊点、单调性、变化范围等。
②同一坐标系中两个图像时底数的确定方法。
当0&a&1时的图像
两者的关系
2. 教学例题
① 出示P71：例7．求下列函数的定义域：； ；
② 出示P72：例8. 比较大小：；；
课堂练习：P73：题1、2、3；P74：练习题：7、8、9
一、教学要求：了解对数函数在生产实际中的简单应用.进一步理解对数函数图象和性质;学习反函数的概念,理解对数函数和指数函数互为反函数,能够在同一坐标上看出互为反函数的两个函数的图象性质.
二、教学重点与难点：理解反函数的概念
三、教学过程：
（一）、复习准备：
提问：对数函数的图象和性质？
（二）、讲授新课：
1. 教学对数函数模型思想及应用:
出示P72：例题9：溶液酸碱度的测量问题：溶液酸碱度pH的计算公式，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升.　 （Ⅰ）分析溶液酸碱读与溶液中氢离子浓度之间的关系？&
（Ⅱ）纯净水摩尔/升，计算纯净水的酸碱度.
2．反函数的教学:
①、 分析：函数由解出，是把指数函数中的自变量与因变量对调位置而得出的. 习惯上我们通常用x表示自变量，y表示函数，即写为.那么我们就说指数函数与对数函数互为反函数
②、在同一平面直角坐标系中，画出指数函数及其反函数图象，发现什么性质？
③、 探究：如果在函数的图象上，那么P0关于直线的对称点在函数图象上吗，为什么？由上述过程可以得到什么结论？(互为反函数的两个函数的图象关于直线对称)
（三）、巩固练习：
1.求下列函数的反函数： y=(x∈R)；　 y= (a＞0,a≠1,x＞0)
2．己知函数的图象过点（1，3）其反函数的图象过（2，0）点，求的表达式.
（四）、提高练习：
★1题.（1）证明函数在上是增函数（可利用复合函数法去处理）。（2）、探究：函数在上是减函数还是增函数？（可利用偶函数的性质去处理）。
2. 求函数的单调区间．（强调：复合函数的单调性：同增异减，注意利用图象处理）
（五）、巩固补充练习
1.比较大小： ；
2．已知恒为正数，求的取值范围．
3．求函数的定义域及值域．
&4．函数在[2，4]上的最大值比最小值大1，求的值；
5. 求函数的最小值．
6. 求下列函数的反函数：
（六）、课后提高作业
&1．求的单调递增区间；
2．已知在[0，1]上是的减函数，求的取值范围
（七）相关高考题摘录（供课时选择之用）：
★【例题1】函数的定义域为（　A&
　　A．（1，2）∪（2，3）B．C．（1，3）D．[1，3]
【★题3】函数&（x）=的定义域为____(｛x1&x≤2｝)
【★题4】函数y= 的单调递增区间为___([2,6)注意6是达不到的)
【★题5】函数y=lg(mx2-4mx+m+3)；①当定义域为R时，求m的取值范围； ②当值域为R时，求m的取值范围。　　 解、①{m0≤m&1}　　　 ②{mm≥1 或m&0}
【★题8】解不等式log2(-x)&x+3的解集为(　D　)
　A （-∞,-1）　　　B （-∞,-2）　　 C　（-1,0）　 D （-2,0）
★【例题9】设则（　 ）
（A） （B） （C） （D）
解： 则，选A.
【★题11】如图中的曲线是对数函数y=logax 的图象,已知a取, , ,四个值,则相应于曲线c1,c2,c3,c4
的a之值依次为_________
【★题12】设a&0,a≠1,函数&（x）=,g（x）=1+loga(x-1)
①　　　 求
&&（x）　和　g（x）的定义域的公共部分D,并判定&（x）在D内的单调性；若[m,n]&UD,且&（x）在[m,n]上的值域恰好为[g（n）, g（m）],求a的取值范围
解、①　　&0
x-1&0　Þx&3　则D=｛xx&3｝；②当0&a&1时, &（x）为K;当a&1时, &（x）为J
③由g（n）& g（m）则loga(n-1)& loga(m-1)　而m&n,则0&a&1,故&（x）为K
则&（n）= g（n）, &（m）= g（m）其中3&m&n,故方程&（x）= g（x）有两个大于3的不同实根,⇔ =1+loga(x-1)有大于3的两个实根⇔方程ax2+(2a-1)x+3(1-a)=0有两个大于3的实根⇔
a?32+(2a-1)?3+3(1-a)&0
∴0&a&为所求
（七）、课后巩固练习（供选择之用）：
★【题1】已知，则（ D　）
(A) n＜m ＜
1　　　 (B) m＜n＜ 1　　　　(C)
1＜ m＜n　　　　(D)
★【题2】设f(x)＝，则的定义域为（B）
A. 　&B.(－4,－1)(1，4)　 C. (－2,－1)(1，2)　D. (－4,－2)(2，4)
★【题5】方程的解为．
解：&U；即解得（负值舍去）
★【题7】 函数的反函数是（　D&
　 A．　　　　　　　B．
　 C． 　　　　　D．
8．已知是（-，+）上的增函数，那么a的取值范围是
（A）(1，+)　 （B）(-,3)　　　(C)[，3)　 　　 　　(D)(1,3)
解：依题意，有a&1且3－a&0，解得1&a&3，又当x&1时，（3－a）x－4a&3－5a，当x³1时，logax³0，所以3－5a&0解得a³，所以1&a&3故选D
9．（福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，&0，∴，选D.
11．（辽宁卷）与方程的曲线关于直线对称的曲线的方程为
(A) (B) 　(C) 　(D)
解：，，即：，所以，故选择答案A。
12．（全国卷I）已知函数的图象与函数的图象关于直线对称，则
A、 B、 C、 D．
解：函数的图象与函数的图象关于直线对称，所以是的反函数，即=，∴ ，选D.
13．（全国II）函数y＝f(x)的图像与函数g(x)＝log2x(x＞0)的图像关于原点对称，则f(x)的表达式为
(A)　f(x)＝(x＞0)　(B ) f(x)＝log2(－x)(x＜0)　 (C) f(x)＝－log2x(x＞0)　(D) f(x)＝－log2(－x)(x＜0)
解析：(x,y)关于原点的对称点为(-x,-y),所以 选D
本题主要考察对称的性质和对数的相关性质,比较简单,但是容易把与搞混,其实
14.（山东卷）设(A)0　 　(B)1　　
解：f（f（2））＝f（1）＝2，选C
15.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a&0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于(　 )A.6　　　 　　　&B.5 　　　　　　&C.4　　　　　　&D.3
解析：函数f(x)=loga(x+b)(a&0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
20.（辽宁卷）设则__________【解析】.
21.（辽宁卷）方程的解为 ________
解：&U，即解得（负值舍去），所以。
22.(上海卷)若函数＝（＞0，且≠1）的反函数的图像过点（2，－1），则＝ 　　&&．
解：由互为反函数关系知，过点，代入得：；
23.(上海卷)方程的解是_______.
解：方程的解满足，解得x=5.
25.(重庆卷)设，函数有最小值，则不等式的解集为　　　　　　　
解：由，函数有最小值可知a&1，所以不等式可化为x－1&1，即x&2.
26.（上海春）方程的解　　　　.
&解：由log3(2x-1)，化为同底数的对数，得log3(2x-1)=log33，2x-1=3
，即 x=2 ．从而应填2.
27、（04年湖南文科）若直线y=2a与函数y=ax-1(a&0,且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是_______.（0，1/2）
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
　　　　　　　
讲义十六：　　　 幂函数　　　
撰稿： 方锦昌　电子邮箱
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一、教学要求：通过具体实例了解幂函数的图象和性质，体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性并能进行简单的应用.
二、教学重点：从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质.
三、教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质.
四、教学过程：
（一）、新课引入：
◆实例分析：见书本P77五个实例：
（二）、讲授新课：
1、教学幂函数的图象与性质
■① 给出定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数.
■②练：在函数中，哪几个函数是幂函数？（书本P79：习题第1题）
■③ 作出下列函数的图象：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．
引导学生观察图象，归纳概括幂函数的的性质及图象变化规律：
（Ⅰ）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；
（Ⅱ）时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数．特别地，当时，幂函数的图象下凸(称为凸函数)；当时，幂函数的图象上凸(称为凹函数)；
（Ⅲ）时，幂函数的图象在区间上是减函数．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴．
2、教学例题：
★出示P78:书本之例1：讨论在的单调性.
◆3、小结：幂函数y=xa=xq/p的的性质及图象变化规律可以分为以下几类：
★1、直线类：y=x0,y=x
★2、抛物线类：y=x2,y= ,y=……(即q是偶数，p是奇数，a=大于零)
性质有；(1)、必过点（0，0）、（1，1）、（-1，1）；（2）定义域为R，且在（0，+∞）上为增函数，为偶函数；
（3）在第一象限内：当0&a&1时：为图（A）所示形式（上凸，称为凹函数）；当a&1时：如图B所示（下凸，称为凸函数）
★3、拐线类：y=x3,y= y=,y= y=,y y=……(即q是奇数，p是奇数，a=大于零)；性质有；(1)、必过点（0，0）、（1，1）、（-1，-1）；
（2）定义域为R，在（0，+∞）上为增函数，为奇函数；（3）在第一象限内：当0&a&1时：为图（A）所示形式（上凸，称为凹函数）；当a&1时：如图B所示（下凸，称为凸函数）
★4、双曲线类：y=x-1,y=x-3,……(即p为奇数，且a=q/p&0时) ……性质有；(1)、必过点（1，1）；（2）定义域为{xx≠0}，在（0，+∞）上为减函数；
★5、半支抛物线类：y= y=;y= y=…(即p为偶数，且a=q/p&0时)图象过点（0，0）、（1，1）；定义域为{xx&0}；图象只位于第一象限之内，且为增函数；
而y= y=, y=…(即p为偶数，且a= &0时)： 图象过点（1，1）定义域为{xx&0}；图象只位于第一象限之内，且为减函数。
总之：当a&0时，幂函数y=xa为增函数，当a&0时，幂函数y=xa为减函数。
（三）、练习及其应用
1、学法大视野：P26：求幂函数的解析式的基本方法：
例:幂函数y=f(x)的图象过点（3，），求出其解析式。（y= y=）
2. 讨论函数的定义域、奇偶性，作出它的图象，并根据图象说明函数的单调性．
3.利用幂函数的图象的特征解题：±2、±
4、利用幂函数的单调性比较幂的大小： 与；与；与.
5、用数形结合的思想，求参数的取值范围：& &求a的取值范围。（a∈(-∞,-2)∪(,)
湖南省省级示范性高中……洞口三中高一数学第一学期授课讲义
　　　　　　　
讲义十七：基本初等函数的归纳与概括应用　　
撰稿： 方锦昌　电子邮箱
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一、教学要求：掌握指数函数、对数函数的概念，会作指数函数、对数函数的图象，并能根据图象说出指数函数、对数函数的性质，了解五个幂函数的图象及性质.
二、教学重点：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质.
三、教学难点：指数函数、对数函数、幂函数性质的简单应用.
四、教学过程：
（一）、复习归纳：
1.　　 提问：指数函数、对数函数、幂函数的图象和性质（比较一次函数、二次函数、反比例函数）
指数函数y=ax(a&0,a≠1)
对数函数y=logax(a&0,a≠1)
幂函数y=xa
特殊点、线
2.　　 求下列函数的定义域：；；
3. 比较下列各组中两个值的大小：；；
二、典型例题：
例1、函数的定义域为_____________________.
例2、函数的单调区间为_____________________.
例3、已知函数.判断的奇偶性并予以证明.
例4、按复利计算利息的一种储蓄，本金为元，每期利率为，设本利和为元，存期为，写出本利和随存期变化的函数解析式. 如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和是多少（精确到1元）？（复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算做本金，再计算下一期的利息. ）
▲小结与要求：掌握指数函数、对数函数、幂函数的图象与性质，会用函数性质解决一些简单的应用问题. ）
三、　　　　　　
巩固练习：
1.函数的定义域为________，值域为__________.
2. 函数的单调区间为__________________.
3. 若点既在函数的图象上，又在它的反函数的图象上，则=______，=_______
4. 函数(，且)的图象必经过点　　　　.
5. 计算　　　.
★【题6】. 求下列函数的值域：
　; ;　 　;
●★【题7】设函数&（）= (x-x-1) 其中a&0且a≠1
①　　 求&（x）及其单调性和奇偶性；②当x∈(-1,1)时，&（1-m)+&(1-m2)&0恒成立，求m的取值范围；③当x∈(-∞,2)时， &（x）- 4的值恒为负数，求a的取值范围
解、①、&（x）=（ax-a-x）；
②、由复合函数法有：&（x）为J，由定义知&（x）为奇函数；　　 ③｛m1&m&｝④ 即考查&（2）- 4 ≤0则｛a2-≤a≤2+且a ≠1｝
四、高考题选录：
★1．（北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是
（A）　　 （B）　　　（C）　　 （D）
●解：依题意，有0&a&1且3a－1&0，解得0&a&，又当x&1时，（3a－1）x＋4a&7a－1，当x&1时，logax&0，所以7a－1³0解得x³故选C
★2．（福建卷）已知是周期为2的奇函数，当时，设则
（A）　　　（B）　　　（C）　　　（D）
●解：已知是周期为2的奇函数，当时，设，，&0，∴，选D.
★3．（湖南卷）函数的定义域是(　　　)
A.(3,+∞)　　　　&
B.[3, +∞)　　　　&
C.(4, +∞)　　　　&
D.[4, +∞)
●解：函数的定义域是，解得x≥4，选D.
★4.(陕西卷)设函数f(x)=loga(x+b)(a&0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图像过点(2,8),则a+b等于(　 )
A.6　　　 　　　&B.5　　　　　　　C.4　　　　　　&D.3
●解析：函数f(x)=loga(x+b)(a&0，a≠1)的图象过点(2，1)，其反函数的图象过点(2，8)，
则，∴，或(舍)，b=1，∴a+b=4，选C．
★5.(重庆卷)已知定义域为的函数是奇函数。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围；
●解析：（Ⅰ）因为是奇函数，所以=0，即
又由f（1）= -f（-1）知
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，易知在上
为减函数。又因是奇函数，从而不等式：　
等价于，因为减函数，由上式推得：
．即对一切有：，从而判别式
★6、（07湖北）为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒. 已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（Ⅰ）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为　　　　　　&
（Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那从药物释放开始，至少需要经过　　　小时后，学生才能回到教室.
解:　&;　　
★7、（07安徽）若，
则的元素个数为A.0　　　　　　　 B.1　　　　　　 C.2　　　　 D.3　　（C）
（07安徽）设a＞1,且,则的大小关系为（　B ）
(A) n＞m＞p　　　　(B)
m＞p＞n　 (C) m＞n＞p　　(D) p＞m＞n
★8、(07重庆)若函数的定义域为R，则实数的取值范围　　。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　&
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　}