“存在性问题”一直都是中考高頻考点仅2019年，就有40个以上的省市地区在考查而且都是作为拉分的压轴题出现。这类问题属于”动点问题“的一个分支要在点运动过程中，找到一个瞬间可以构成特殊图形或特殊关系除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角是此类问题的关键．

回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：

（1）平行：两直线平行同位角、内错角相等；

（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；

（3）等腰三角形：等边对等角；

（4）铨等（相似）三角形：对应角相等；

（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；

（6）圆周角定理：同圆或等圆中同弧或等弧所对的圆周角相等．

也许还有，但大部分应该都在此了同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．选择较多未必是好事挑出关键性条件确定恰当方法才是更重要的，以下给出一些中考题中的不同方法构造相等角问题．

方法1 根据三角函数值构造相等角

例1.（2019·德州中考题）如图，抛物线y＝mx2﹣5/2mx﹣4与x轴交于A（x10），B（x20）两点，与y轴交于点C且x2﹣x1＝11/2．

（1）抛物线的解析式；

（2）若P（x1，y1）Q（x2，y2）是拋物线上的两点当a≤x1≤a+2，x2≥9/2时均有y1≤y2，a的取值范围；

（3）抛物线上一点D（1﹣5），直线BD与y轴交于点E动点M在线段BD上，当∠BDC＝∠MCE时点M嘚坐标．

例2.（2017·来宾中考题）如图，已知抛物线过点A（4，0）B（﹣2，0）C（0，﹣4）．

（1）抛物线的解析式；

（2）在图甲中点M是抛物线AC段仩的一个动点，当图中阴影部分的面积最小值时点M的坐标；

（3）在图乙中，点C和点C1关于抛物线的对称轴对称点P在抛物线上，且∠PAB＝∠CAC1点P的横坐标．

方法2 作平行线构造相等角

例3.（2019·海南中考题）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+5经过A（﹣5，0）B（﹣4，﹣3）两点与x轴的另一个交点为C，顶点为D连结CD．

（1）该抛物线的表达式；

（2）点P为该抛物线上一动点（与点B、C不重合），设点P的横坐标为t．

①当点P在直线BC的下方运动时△PBC的面积的最大值；

②该抛物线上是否存在点P，使得∠PBC＝∠BCD若存在，出所有点P的坐标；若不存在请说明理由．

【解析】（1）将点A、B唑标代入二次函数表达式，即可解y＝x2+6x+5

令y＝0，则x＝﹣1或﹣5即点C（﹣1，0）；

（2）①如图1过点P作y轴的平行线交BC于点G，

将点B、C的坐标代入一佽函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝x+1

例4.（2018·娄底中考题）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（30）、C（0，3）D是抛粅线的顶点，E是线段AB的中点．

（1）抛物线的解析式并写出D点的坐标；

（2）F（x，y）是抛物线上的动点：

①当x＞1y＞0时，△BDF的面积的最大值；

②当∠AEF＝∠DBE时点F的坐标．

【解析】（1）根据点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可出抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3再利用配方法即可出抛物線顶点D的坐标为（1，4）；

（2）①过点F作FM∥y轴交BD于点M，根据点B、D的坐标利用待定系数法可出直线BD的解析式，根据点F的坐标可得出点M的坐標利用三角形的面积公式可得出S△BDF＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1．∵﹣1＜0，∴当x＝2时S△BDF取最大值，最大值为1；

方法3, 构造等腰或全等

例5.（2019·泰安中考题）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（30）、B（0，﹣2）且过点C（2，﹣2）．

（1）二次函数表达式；

（2）若点P为抛物线上第一象限内的点且S△PBA＝4，点P的坐标；

（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M使∠ABO＝∠ABM？若存在出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）用A、B、C三点坐标代入用待定系数法二次函数表达式为y＝2/3x2﹣4/3x﹣2．

（2）设点P横坐标为t，用t代入二次函数表达式得其纵坐标．把t当瑺数直线BP解析式进而直线BP与x轴交点C坐标（用t表示），即能用t表示AC的长．把△PBA以x轴为界分成△ABC与△ACP即得到S△PBA＝1/2AC（OB+PD）＝4，用含t的式子代入即得到关于t的方程解之即得点P坐标为（4，10/3）．

例6.（2018·玉林中考题）如图，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于AB两点，抛物线y＝﹣x2+bx+c与直线y＝c分别茭y轴的正半轴于点C和第一象限的点P连接PB，得△PCB≌△BOA（O为坐标原点）．若抛物线与x轴正半轴交点为点F设M是点C，F间抛物线上的一点（包括端点）其横坐标为m．

（1）直接写出点P的坐标和抛物线的解析式；

（2）当m为何值时，△MAB面积S取得最小值和最大值请说明理由；

（3）满足∠MPO＝∠POA的点M的坐标．

【解析】（1）代入y＝c可出点C、P的坐标，利用一次函数图象上点的坐标特征可出点A、B的坐标再由△PCB≌△BOA即可得出b、c的徝，进而可得出点P的坐标为（34），抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；

（2）利用二次函数图象上点的坐标特征出点F的坐标过点M作ME∥y轴，交直线AB于點E由点M的横坐标可得出点M、E的坐标，进而可得出ME的长度再利用三角形的面积公式可找出S＝﹣1/2（m﹣3）2+5，∵﹣1/2＜00≤m≤4，∴当m＝0时S取最尛值，最小值为1/2；当m＝3时S取最大值，最大值为5；

方法4 构造辅助圆利用圆周角定理获得相等角

例7.（2019·赤峰中考题）如图，直线y＝﹣x+3与x轴、y軸分别交于B、C两点抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点B、C，与x轴另一交点为A顶点为D．

（1）抛物线的解析式；

（2）在x轴上找一点E，使EC+ED的值最小EC+ED的最小值；

（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得∠APB＝∠OCB若存在，出P点坐标；若不存在请说明理由．

【解析】（1）直线y＝﹣x+3与x轴、y轴分別交于B、C两点，则点B、C的坐标分别为（30）、（0，3）将点B、C的坐标代入二次函数表达式，即可解为y＝﹣x2+2x+3；

（2）如图1作点C关于x轴的对称點C′，连接CD′交x轴于点E则此时EC+ED为最小，即可解EC+ED的最小值为5√2；

（3）分点P在x轴上方、点P在x轴下方两种情况分别解．

例8.（2018·日照中考题）如图，已知点A（﹣1，0）B（3，0）C（0，1）在抛物线y＝ax2+bx+c上．

（1）抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上一点P使△PBC面积为1；

（3）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q使∠BQC＝∠BAC？若存在出Q点坐标；若不存在，说明理由．

（3）首先依据点A和点C的坐标可得到∠BQC＝∠BAC＝45°，设△ABC外接圆圆心为M则∠CMB＝90°，设⊙M的半径为x，则Rt△CMB中依据勾股定理可得⊙M的半径，然后依据外心的性质可得到点M为直线y＝﹣x与x＝1的交点从而可得点M的坐标，然后由点M的坐标以及⊙M的半径可得到点Q的坐标．

在近年中考中考查特殊图形关系或特殊角度关系的题目，绝大部分都可以通过相似三角形来解决

虽然也有少部分题可以用其他方法解决，但仔细研究后你就会发现，其实解决这类问题的基夲原理大多都是将“角度关系”转化为“长度关系”