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直线的投影
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直线由两点确定，要作直线的投影，实质就是作出线上两点的投影，也就是说，它的投影由直线上两点的同面投影的连线来确定
直线的投影特性是由其对投影面的相对位置决定的，按直线对投影面的相对位置,直线分为:
(1)投影面垂直线：垂直于某一投影面的直线。
(2)投影面平行线：平行于某一投影面的直线。
(3)一般位置直线：对三个投影面均倾斜的直线。
直线对投影面之间的夹角称为倾角。在三投影面体系中，直线对H、V、W面的倾角分别用α、β、γ表示直线与特殊面平行的投影特性_百度知道
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直线与特殊面平行的投影特性
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这几句话是错的，当空间的两直线互相平行时，他们在同一投影面上的投影都是相互平行或者重合的。反过来在同一投影面上的投影相互平行的直线线不一定在空间平行。
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工程图学基础第二章2
2.3直线的投影一、直线的投影 二、各种位置直线的投影特性三、直线上的点四、两直线的相对位置五、垂直两直线(一边平行于投影面)六、用直角三角形法求一般位置线段实长及与投影面的夹角一、直线的投影两点确定一条直线，将两点的同名投影用直线 连接，就得到直线的同名投影。?2.3.1 直线的投影特性1、直线对一个投影面的投影特性●BA● M● B●(m )●●BA●A●●?a (b)b a●●a●直线平行于投影面b直线垂直于投影面 投影重合为一点 积 聚 性投影反映线段实长ab=AB直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 投影不反映线段实长ab=AB*cos?结论：直线的投影由直线的位置决定，投影一般 为线，特殊情况下为点⒉ 直线在三个投影面中的投影特性其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置。直线对投影面的 相对位置有三种情况:一般位置直线, 投影面平行线,投影面垂直线.与三个投影面都倾斜的直线一般位置直线⒉ 直线在三个投影面中的投影特性平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜 正平线（平行于Ｖ面） 投影面平行线 水平线（平行于Ｈ面) 侧平线（平行于W面）统称特殊位置直线正垂线（垂直于Ｖ面） 垂直于某一投影面 与其余两投影面平行 投影面垂直线 铅垂线（垂直于Ｈ面） 侧垂线（垂直于Ｗ面）（一）投影面平行线VZ水平线侧平线WXY H正平线(1)水平线 ――平行于水平投影面的直线(Z相等）z a? b? a? b?a?Ab??a??XOYWBb?a??aAB实长??bAB实长bYH投影特性：1．a?b?⊥OZ轴; a?b?⊥OZ轴, ab与投影轴倾斜 －图形特性 2． ab = AB, a?b? & AB, a?b? & AB－度量特性 3．水平投影反映 ?、? 角的真实大小－度量特性（2）正平线――平行于正立投影面的直线（Y相等）AB实长 Z b? AB实长 b?b?a?a?? ??Ba?b?a??O? ?AXYWabab YH投影特性： 1． ab ⊥OYH轴; a? b?⊥OYW轴, a? b?与投影轴倾斜 2． a? b?=AB, a?b&AB, a? b? &AB 3． 正面投影反映?、?角的真实大小（3）侧平线――平行于侧立投影面的直线（X相等）a? a? A b?Za?AB实长 b?AB实长 a?b? X O a? ?? ?a? ?b?YWB bb YH投影特性： 1． a?b?⊥OX轴 ; ab ⊥OX轴 2． a?b? =AB 与投影轴倾斜 3．侧面投影反映 ?、? 角的真实大小总结:投影面平行线的投影特性一斜二正，斜为实长，反映倾角。在所平行的投影面上的投影反映 实长；并反映直线与另两投影面倾角。其它两投影平行于相应的投影轴，且小于实长。例1.过点B作水平线AB的三面投影,长20mm,β＝30°， A点从点B向右、向后。a' a&30°a2.投影面垂直线a'A铅垂线 正垂线 侧垂线a&b' b&Ba(b)投影特性 （1） a b积聚成一点 （2） a' b'⊥OX; a&b& ⊥OYW （3）a' b' ＝a&b& ＝ AB正垂线― 垂直于正面投影面的直线。a'b'A Ba& b&a b 投影特性 （1） a' b'积聚成一点（2） a b ⊥OX; a&b& ⊥OZ （3）a'b'＝a&b& ＝ AB侧垂线― 垂直于侧面投影面的直线。a' b'AB a&b&a 投影特性b（1） a&b& 积聚成一点（2） ab ⊥OYH; a' b' ⊥OZ （3）ab＝ a' b' ＝AB总结：投影面垂直线的投影特性一点两线，线垂直于轴，等于实长。在所垂直的投影面上的投影积聚 为一点； 其它两投影垂直于相应的投影轴， （平行于同一条轴）并反映实长。3.一般位置直线b'B b&a'βγαA a 投影特性ba&（1） ab、 a' b' 、 a&b&均小于实长 （2） ab、 a' b' 、 a&b&均倾斜于投影轴 （3）不反映α、β、γ角的真实大小判断下列直线对投影面的相对位置a 一般位置正平铅垂侧垂侧平三、直线上的点若点在直线上, 则点 的投影必在直线的同名投 影上。 并将线段的同名投影 分割成与空间相同的比例 。即： AC/CB=ac/cb= a'c'/ c'b'若点的投影有一个不在直 线的同名投影上， 则该点必 不在此直线上。c'Cc定比定理例2.已知线段AB的投影图，试将AB分成2:1 两段，求分点C的投影c、c' 。c'c例3.判断点K是否在线段AB上。b& k&a&因k&不在a&b&上， 故点K不在AB上。 另一判断法?四、两直线的相对位置 空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。 1.平行两直线 b' d'd'b' c' a' a' c' oXbab c bd ca 若空间两直线相互平行，则它们的同名投影必然相互平行。反 之，如果两直线的各个同名投影相互平行，则此两直线在空间也一 定相互平行。例：判断图中两条直线是否平行。(1)a?XZb? d? a? c?Ob? d? c?YWac b a? d?XAB与CD平行。 对于一般位置直 线，只要有两组同面 投影互相平行，空间 两直线就平行。 AB与CD不平行。 对于特殊位置直 线，只有两组同面投 影互相平行，空间直 线不一定平行,要根据 第三投影判断。(2) c?d Z YH c? a?Ob? bb?d?YWc d aYH2.相交两直线d' k' a' c'K交点是两直 线的共有点b'c a k db当两直线相交时，它们在各投影面上的同名投影也必然相交， 且交点符合空间一点的投影规律。反之亦然。⒊两直线交叉两直线相交吗？1'(2') 3' 4'为什么？投影特性：21 3(4 )同名投影可能相交， 但 “交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其可 帮助判断两直线的空间位 置。Ⅰ、Ⅱ是Ｖ面的重影点， Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。凡不满足平行和相交条件的直线为交叉两直线。交叉两直线的投影及重影点可见性的判断d' 1'(2') 1'(2') b'a'c'Ⅱ Ⅰ2a 2 c 1 b d1例4.过C点作水平线CD与AB相交。k'd'd k先作正面投影例5.判断两直线的相对位置平行Zd& b& c& a& YW相交相交a& d& c& b&交叉YH交叉例6.过点A作直线AB与直线CD相交，交点距H面距 离为20mm。b'b'b' 20b bbc'd' c'b'例7.作直线AB与直线PQ平行，与直线ED、HG相交。b' a'ab五、垂直两直线(一边平行于投影面)若直角有一边平行于投影 面，则它在该投影面上的 投影仍为直角。 直角投影定理证明： 设 直角边BC∥H面 因 BC⊥AB, 同时BC⊥Bb 所以 BC⊥ABba平面 又因 BC∥bc 故 bc ⊥ABba平面 因此 bc⊥ab 即 ∠abc为直角b c a例8.过C点作直线与AB垂直相交。 AB为正平线, 正面 投影反映直角。d'd例9.作线段AB、CD的公垂线EF。f'e'ef2.3.6 直角投影定理定理二：且有一条直线平行于该投影面，则空间两 直线垂直。两直线在某一投影面上的投影为直角，例：判断两直线是否垂直（相交垂直、交叉垂直）（否）（相交垂直）（否）（交叉垂直）（相交垂直）（否）六、用直角三角形法求一般位置线段实长及 与投影面的夹角1.求直线的实长及对水平投影面的夹角α角|zA-zB| |zA-zB| αCαABAB α ab|zA-zB|2.求直线的实长及对正面投影面的夹角β角AB βCβ|yA-yB| a'b'β AB|yA-yB||yA-yB|3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角 ?角b?B b?a??b a?Aa△x例10.已知线段AB的正面投影a'b'和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，AB长25毫米，求它的水平投影。25b例11.已知线段AB的正面投影a'b' 和A点的水平投影a， 且B点在A点的前方，求它的水平投影。β αbb例12.已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的 点C的投影，使BC的实长等于已知长度L。LABc'zA-zBabc例13.作三角形ABC，∠ABC为直角，使BC在MN上，且 BC:AB=2:3b'c'=BC a'b' b' c'ABcb|yA-yB|例14.完成等腰直角三角形ABC的两面投影。已知 AC为斜边，顶点B在直线NC上。a'Ab' bBC小结重点掌握：直线的投影特性。 一般位置线段投影、实长、夹角的关系。两直线的相对位置的判断方法及投影特性。直线上的点，定比定理。 直角定理，即两直线垂直时的投影特性。一、各种位置直线的投影特性 ⒈ 一般位置直线三个投影与各投影轴都倾斜。⒉ 投影面平行线在其平行的投影面上的投影反映线段实长 及与相应投影面的夹角。另两个投影平行于相 应的投影轴。⒊ 投影面垂直线在其垂直的投影面上的投影积聚为一点。 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴。二、直线上的点 ⒈ 点的投影在直线的同名投影上。 ⒉ 点分线段成定比，点的投影必分线段的投影 成定比――定比定理。 三、两直线的相对位置 ⒈ 平行 同名投影互相平行。 ⒉ 相交 同名投影相交，交点是两直线的共有点， 且符合空间一个点的投影规律。 ⒊ 交叉（异面） 同名投影可能相交，但“交点”不符合空 间一个点的投影规律。“交点”是两直线上一 对重影点的投影。四、相互垂直的两直线的投影特性⒈ 两直线同时平行于某一投影面时，在该 投影面上的投影反映直角。⒉ 两直线中有一条平行于某一投影面时， 在该投影面上的投影反映直角。⒊ 两直线均为一般位置直线时， 在三个投影面上的投影都不 反映直角。直角定理2.4 平面的投影一、平面的表示法 1.用几何元素表示平面c' d' a' b' b d a c 不在同一直 线上的三个 点 直线及线 外一点 两平行直 线 两相交 直线 平面 图形 a c a' b' b c'2.平面的迹线表示法PV P PHPwQH二、各种位置平面的投影特性平面的投影特性平行 实形性垂直 积聚性倾斜 类似性平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面平行面 一般位置平面 投影面垂直面1.一般位置平面b'a'Bb&A C c&a& b ca投影特性 （1） △abc、 △a'b'c' 、 △a&b&c&均为ABC的类似形（2） 不反映α、β、γ角的真实大小2.投影面垂直面a' d'A D β B C d&铅垂面 正垂面 侧垂面b'a& b&c&adγbc投影特性 （1）abcd积聚为一条线（2） a'b'c'd' 、 a&b&c&d&均为ABCD的类似形（3）abcd与OX、OY的夹角反映β 、γ角的真实大小正垂面b'c'a'd' αA Dγb&BCc& a&d& ca db投影特性 （1） a'b'c'd' 积聚为一条线 （2） abcd 、 a&b&c&d&均为ABCD的类似形 （3）a'b'c'd'与OX、OZ的夹角反映α 、γ角的真实大小3.投影面的平行面水平面 正平面 侧平面a'd'b'c' a&b& c&d&a db c投影特性 （1） a'b'c'd' 、 a&b&c&d& 积聚为一条线，具有积聚性 （2）水平投影 abcd 反映ABCD的实形正平面a' d'A Db' c'B Ca&b&c&d& ad bc投影特性 （1） abcd 、 a&b&c&d& 积聚为一条线，具有积聚性 （2）正面投影 a'b'c'd'反映ABCD的实形侧平面a'b'Aa& b&B Cc'd'Dd& c&adbc投影特性 （1）abcd 、 a'b'c'd' ’积聚为一条线，具有积聚性（2）侧面投影 a&b&c&d&反映ABCD的实形三、属于平面的点和直线1.平面上的直线e' F E D d' f'd e 若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。 若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则 此直线在该平面内。f2.平面上的点e'd' E Dd e点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。例1.已知平面由两平行直线AB、CD确定，试判断点M是 否在该平面内。s' t'st例2.已知点K在△ABC上，试求点K的水平投影。 d'dk例3.已知点E在△ABC上，试求点E的正面投影 。 e'例4.已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。k3.包含直线作平面过一般位置直线可作投影面的垂直面P SV SPH过一般位置直线AB作 铅垂面PH过一般位置直线AB作正 垂面SV例5.过点A、B分别作正平面、正垂面，过CD作铅平面。（1）作正平面（2）作正垂面（3）作铅垂面4.属于平面的投影面平行线例6.在平面ABC内作一条水平线，使其到H面的 距离为10mm。m'10n'有多少解？唯一解！mn例7.已知AC为正平线，补全平行四边形ABCD的 水平投影。 解法一k'解法二kbc bc例8.已知点K在ABCD平面上，且点K距离H面10mm， 距离V面15mm，试求点K的投影。b'k' a' b a d'h' c'gk dh c1510g'例9.已知平面四边形ABCD，其中DC为正平线，试 完成平面四边形的水平投影投影。e'd ec例10.已知BD是△ABC上与W、H两投影面等距离点的 轨迹，A点与W、V两投影面等距，完成△ABC的投影。a'd' c'例11.在△ABC上作出与W、H两投影面等距离点的轨迹。Zd'd&e' Xe& YO要点一、各种位置平面的投影特性 ⒈ 一般位置平面三个投影为边数相等的类似多边形――类似性。⒉ 投影面垂直面在其垂直的投影面上的投影积聚成直线――积聚性。 另外两个投影类似。⒊ 投影面平行面在其平行的投影面上的投影反映实形――实形性。 另外两个投影积聚为直线。二、平面上的点与直线 ⒈ 平面上的点一定位于平面内的某条直线上。⒉ 平面上的直线（1） 过平面上的两个点。（2）过平面上的一点并平行于该平面上的某条直线。小 重点掌握：结一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平面的投影特 性。 二、如何在平面上确定直线和点。2.5 直线与平面及两平面的相对位置相对位置包括平行、相交和垂直。 一、平行问题 直线与平面平行 平面与平面平行 有关线、面平行的作图问题有： ?判别已知线、面是否平行； ?作直线与已知平面平行； ?包含已知直线作平面与另一已知平面平行。1.直线与平面平行MN直线与平面平行的条件若一直线平行于平面上的某一直线，则该直线与此 平面平行。例1.过M点作直线MN平行于平面ABC。n'n例2.判别直线AB是否平行于平面DEF。k'k结论：直线AB不平行于定平面例3.过点D作正平线与平面平行。m' e'em例4.过点C作平面平行于直线AB。d'e'de例5.补全与已知直线平行的平面。m'c'm例6.已知线段MN=30mm，点N在点M之后，且线段MN与 △ABC平行，完成MN和ABC的两面投影。c'301'n 12.两平面平行P DAEFCB两平面平行的条件 若一平面上的两相交直线对应平行于另一平面上的两 相交直线，则这两平面相互平行。例7.试判断两平面是否平行。s' n' m' r'mnsr结论：两平面平行例8.过交叉两直线AB和CD各作一平面,使它们互相平行。g'f' fg例9.已知定平面由平行两直线AB和CD给定,试过点K作 一平面平行于已知平面。s' m' n' f'e'r' r n m f se例10.试判断两平面是否平行。若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性 的那组投影必相互相平行。二、相交问题直线与平面相交 平面与平面相交F KB K AL NM直线与平面相交，其交点是直线与平面的共有点。 平面与平面相交，交线是直线为两平面的共有线。 解决的问题是： ?求交点、交线。 ?判别两者之间的相互遮挡关系，即判别可见性。１.一般位置直线与特殊位置平面相交k'k由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交点可直 接求出。2.投影面垂直线与一般位置平面相交k' f'fk ab铅垂线与一般位置平面相交示意图1'( 2')Ⅱ Ⅰ判别直线的可见性d'a'1' ( 2') e'k'c'b' e2 d 1 k abc3.一般位置平面与特殊位置平面相交l'Lk'Kl kk 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题, 由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。 l4.一般位置直线与一般位置平面相交以辅助平面求线面交点R示意图D M KNBC4.一般位置直线与一般位置平面相交a' d'm' k' e' 步骤： 1.过AB作铅垂 平面R。 2.求R平面与 ΔCDE的交线 MN。 3.求交线MN与 AB的交点K。 bn' b'c'mdeknaRHc以正垂面为辅助平面求线面交点b' d'm' n'k'e'步骤： 1.过AB作正垂 平面P。 2.求P平面与 ΔCDE的交线 MN。PVa' c'3.求交线MN与 AB的交点K。na d kmeb c直线AB与△CDE相交，判别直线可见性b' d' 1' ( 2' ) 3' e'k'4'a'c'a d k2 1e3 4 （）b c直线AB与平面△CDE相交，判别可见性示意图1'(2')Ⅱ Ⅰ Ⅳ Ⅲ4(3)例11.求直线AB和平面CDEF的交点，判别直线的可见性。2'n' 1'2n1例12.过点K作直线与交叉两直线AB和CD相交。Pv 2' m' 1' 2 C m 1 n'nN5.两一般位置平面相交求交线的方法K MLN利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点， 将其连线即为两平面的交线。三、垂直问题 直线与平面垂直 两平面垂直1.直线与平面垂直的几何条件若一直线垂直于一面则必垂直于属于该平面的 一切直线。DK CL例13.平面由ABCD给定，试过定点L作平面的法线。k'k 若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属于 该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于属于该 平面的正平线的正面投影。例14.试求定点A到平面的距离。b'b2.两平面垂直的几何条件若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。例15.试过点A作平行于直线CJ且垂直DEF的平面。b' k' m' n'k b m n例16.已知△EFG平面与△ABC平面垂直，画全△EFG 的水平投影。 e'a' 1' b' c' g' f b g 1 a c e f'例17.已知AB、CD为正交两直线，作线段AB的正 面投影。a'b'例18.作等腰三角形ABC的投影图，已知AB的两个 投影，并知底边属于直线BM。c' M Cc本章结束
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求解:AK比KB=ak比kb.
请大哥们详细说一下是什么原理,有什么定理也说一下吧
投影的问题.已知一般位置直线AB.它的H面投影线是ab.在AB上有一点K.在ab上的投影点为k.作Aa垂直于ab.Kk垂直于ab.Bb垂直于ab.且Aa,Kk,Bb互相平行.
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请大哥们详细说一下是什么原理,有什么定理也说一下吧.小弟我很笨的.
平行线分线段成比例定理：
如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等，那么在其他直线上截得的线段也相等
由于不知如何在这里面加入图片。只能通过描述来说，请见谅。
1、作任意三角形ABC，使AB＝a,AC＝b；
延长AC至点D，使CD＝a；
过点D作DE//CB，交...
黄金分割比例式：AC：BC=AB：AC。
设BC=1，AC=x，那么AC/BC=X，AB=AC+BC=x+1，
比例式化为
，得二次方程...
由于在平面几何中不在直线上的点关于此直线的对称的点只有一个，所以PP2 与AB的位置无关，且PP2=0
MN的长度好像没有什么关系，N的条件只出现了一次，根本不起依据作用嘛
答案是：吃墨水。
希望能帮到你，麻烦给“好评”
答: 一、专业解析：　　(一)学科简介　　马克思主义基本原理是马克思主义理论的重要组成部分，是宣传马克思主义理论的主渠道和主阵地。马克思主义基本原理属法学学科门类，马...
答: 嗯，还不错啊~~我同学去年报的他们的班
答: 哦!我去年的!我面试前一星期就去了,找到导师,就拿了一点土特产,表表心意,表示会努力好好学习.
导师很善意,不会为难学生,问我带专业书没,拿出来,给我大概讲了一...
答: 教育硕士没出成绩呢，其他的差不多了。
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