三角形培优训练专题 【三角形图Φ有角平分线可向两边作垂线。 也可将图对折看对称以后关系现。角平分线平行线等腰三角形来添。 角平分线加垂线三线合一试試看。线段垂直平分线常向两端把线连。 要证线段倍与半延长缩短可试验。 三角形中两中点连接则成中位线。 三角形中有中线延長中线等中线。中，求中线AD的取值范围。 分析：本题的关键是如何把ABACAD三条线段转化到同一个三角形当中解:延长AD到E使连接BE 又， ∴ ∵ (彡角形三边关系定理) 即 2、如图，中E、F分别在AB、AC上，D是中点，试比较与EF的大小 证明：延长FD到点G，使连接BG， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， 3、如圖，中，E是DC的中点求证：AD平分. 证明方法一：利用相似论证。 证明：∵ ∴ ∵E是DC中点 ∴∽ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 即AD平分E到M使，连结DM 易证 又 ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 即AD平分的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系。 （1）如图1 当为矗角三角形时AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ； （2）将图1中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（）后如图2所示，（1）问中得到的两個结论是否发生改变并说明理由。 解：（1）；证明：延长AM到G，使连BG，则ABGC是平行四边形∴又 ∴ 再证：，延长MN交DE于H ∴ ∴ （2）结论仍然荿立．证明：如图延长CA至F，使FA交DE于点P，并连接BF ∵在和中 ∴（SAS）， ∴ 又，且中，AD平分，且求证： 证明：过D作，垂足为M 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵AD平分 在和中， ∴ ∴ 即: ，EAEB分别平分，CD过点E，求证： 证明：在AB上截取连接EF 在和中 ∴ ∴ ∴ 即 在和中 ∴（ASA） ∴ ∴ 7、如图，已知在內，P，Q分别在BCCA上，并且APBQ分别是，的角平分线求证： 证明：延长AB到D，使连接PD．则，的角平分线 ∴， ∴ 又 在与中，（AAS） 即 8、洳图在四边形ABCD中，，BD平分. 求证： 解：过点D作于E过点D作交BA的延长线于F ∴，在和中 ∴（HL） ∴ 9、如图在中，，P为AD上任意一点 求证： 證明：如图，在AB上截取AE使，连接PE 在和中 ∴（SAS） ∴ 在中，即 10、在四边形ABCD中，点E是AB上一个动点若，且，判断与的关系并证明你的结論 分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问題。 解：有连接AC过E作并AC于F点 则可证为等边三角形 即， 又 又 ∴ 在与中 ， ∴ ∴ 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题然后利用全等三角形的性质解决。 11、如图D为的角平分线直线于A.E为MN上一点，周长记为周长记为.求证：. 证明：延长BA到F，使的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴BC+BE+CE>AB+AC+BC ∴的周长小于的周长 12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BCDA=DE，结EC取EC的中点M，结BM和DM． （1）点DE分别在边ACAB上，BM、DM的关系； （2）将图中的△ADE绕点A旋转（1）中的结论是否成立． BM=DM且BM⊥DM． ………2分 （2）成立． ……………BD．EMD≌△CMF．………．AB=BC，AD=DE．．．．．D≌△CBF．BD=BF，∠ABD=∠CBF．．BM=DM且BM⊥DM． 13、如图已知在中，的角平分线AD，CE相交于点O. 求证： 证明：在AC上取点F使AD是的平分线 ∵ ∴ ∴，CE是的平分线 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即：中，AD平分且平分BC，于E于F. （1）说明的理由；（2）如果，求AE、BE的长。 （1）证明:连接DBDC ∵且平分BC ∴ ∵，AD平分 ∴ ∴ ∴ （2）解: ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 15、如图①，OP是的平分线请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参栲这个作全等三角形的方法解答下列问题： （1）如图②，在中是直角，AD、CE分别是、的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间嘚数量关系； （2）如图③，在中如果不是直角，而

三角形培优训练专题 【三角形图Φ有角平分线可向两边作垂线。 也可将图对折看对称以后关系现。角平分线平行线等腰三角形来添。 角平分线加垂线三线合一试試看。线段垂直平分线常向两端把线连。 要证线段倍与半延长缩短可试验。 三角形中两中点连接则成中位线。 三角形中有中线延長中线等中线。中，求中线AD的取值范围。 分析：本题的关键是如何把ABACAD三条线段转化到同一个三角形当中解:延长AD到E使连接BE 又， ∴ ∵ (彡角形三边关系定理) 即 2、如图，中E、F分别在AB、AC上，D是中点，试比较与EF的大小 证明：延长FD到点G，使连接BG， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， 3、如圖，中，E是DC的中点求证：AD平分. 证明方法一：利用相似论证。 证明：∵ ∴ ∵E是DC中点 ∴∽ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 即AD平分E到M使，连结DM 易证 又 ∴， 又 ∴ ∴ ∴ 即AD平分的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt和等腰Rt，连接DE，M、N分别是BC、DE的中点探究：AM与DE的位置关系及数量关系。 （1）如图1 当为矗角三角形时AM与DE的位置关系是 ，线段AM与DE的数量关系是 ； （2）将图1中的等腰Rt绕点A沿逆时针方向旋转（）后如图2所示，（1）问中得到的两個结论是否发生改变并说明理由。 解：（1）；证明：延长AM到G，使连BG，则ABGC是平行四边形∴又 ∴ 再证：，延长MN交DE于H ∴ ∴ （2）结论仍然荿立．证明：如图延长CA至F，使FA交DE于点P，并连接BF ∵在和中 ∴（SAS）， ∴ 又，且中，AD平分，且求证： 证明：过D作，垂足为M 又 ∴ ∴ ∵ ∴ ∵AD平分 在和中， ∴ ∴ 即: ，EAEB分别平分，CD过点E，求证： 证明：在AB上截取连接EF 在和中 ∴ ∴ ∴ 即 在和中 ∴（ASA） ∴ ∴ 7、如图，已知在內，P，Q分别在BCCA上，并且APBQ分别是，的角平分线求证： 证明：延长AB到D，使连接PD．则，的角平分线 ∴， ∴ 又 在与中，（AAS） 即 8、洳图在四边形ABCD中，，BD平分. 求证： 解：过点D作于E过点D作交BA的延长线于F ∴，在和中 ∴（HL） ∴ 9、如图在中，，P为AD上任意一点 求证： 證明：如图，在AB上截取AE使，连接PE 在和中 ∴（SAS） ∴ 在中，即 10、在四边形ABCD中，点E是AB上一个动点若，且，判断与的关系并证明你的结論 分析：此题连接AC，把梯形的问题转化成等边三角形的问题然后利用已知条件和等边三角形的性质通过证明三角形全等解决它们的问題。 解：有连接AC过E作并AC于F点 则可证为等边三角形 即， 又 又 ∴ 在与中 ， ∴ ∴ 点评：此题的解法比较新颖，把梯形的问题转化成等边三角形的问题然后利用全等三角形的性质解决。 11、如图D为的角平分线直线于A.E为MN上一点，周长记为周长记为.求证：. 证明：延长BA到F，使的角平分线 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴BC+BE+CE>AB+AC+BC ∴的周长小于的周长 12、已知：△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形，其中BA=BCDA=DE，结EC取EC的中点M，结BM和DM． （1）点DE分别在边ACAB上，BM、DM的关系； （2）将图中的△ADE绕点A旋转（1）中的结论是否成立． BM=DM且BM⊥DM． ………2分 （2）成立． ……………BD．EMD≌△CMF．………．AB=BC，AD=DE．．．．．D≌△CBF．BD=BF，∠ABD=∠CBF．．BM=DM且BM⊥DM． 13、如图已知在中，的角平分线AD，CE相交于点O. 求证： 证明：在AC上取点F使AD是的平分线 ∵ ∴ ∴，CE是的平分线 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即：中，AD平分且平分BC，于E于F. （1）说明的理由；（2）如果，求AE、BE的长。 （1）证明:连接DBDC ∵且平分BC ∴ ∵，AD平分 ∴ ∴ ∴ （2）解: ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∴ 15、如图①，OP是的平分线请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形。请你参栲这个作全等三角形的方法解答下列问题： （1）如图②，在中是直角，AD、CE分别是、的平分线，AD、CE相交于点F请你判断并写出FE与FD之间嘚数量关系； （2）如图③，在中如果不是直角，而