常微分方程求特解,后面的怎么带入&
特征方程错了,应该是r^2+9=0,r=±3i,所以齐次方程的通解是y=C1cos3x+C2sin3x.设非齐次方程的特解Y*=Acosx+Bsinx,Y*'=Bcosx-Asinx,Y*''=-Acosx-Bsinx,代入方程得到8Acosx+8Bsinx=cosx,所以8A=1,8B=0,所以A=1/8,B=0,所以Y*=1/8cosx.所以非齐次方程的通解是y=C1cos3x+C2sin3x-1/8cosx.y'=-3C1sin3x+3C2cos3x+1/8sinx.根据初始条件得-C2=0,3C1+1/8=0,所以C2=0,C1=-1/24.所以所求特解是y=-1/24cos3x-1/8cosx.
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一阶常微分方程的初等解法毕业论文
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无粘Euler方程的解没有耗散，会各种blow up。即使没有发散到无穷大，旋涡级联或者激波干涉也会产生无限精细的分形结构，直到&b&理论上毁掉连续介质假设和偏微分方程本身&/b&。我曾经以为结果会变成“宇宙执行了非法操作，上帝点了调试……”，直到 &a data-title=&@WarMonkey& data-editable=&true& class=&member_mention& href=&///people/1c085fb23e52c3c7380d73& data-hash=&1c085fb23e52c3c7380d73& data-tip=&p$b$1c085fb23e52c3c7380d73&&@WarMonkey&/a& 推荐了这个大新闻。&br&&br&SpaceX如何把N-S方程和Euler方程的数值解一勺烩，整理自&br&&a class=&internal& href=&/question/&&怎样评价SpaceX独家的CFD软件、新的分形湍流模型/小波solver？ - 航天&/a&&br&新闻介绍
&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A////rockets-shake-and-rattle-so-spacex-rolls-homegrown-cfd/& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Rockets Shake And Rattle, So SpaceX Rolls Homegrown CFD&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&墙外视频
&a class=& external& href=&///?target=https%3A///watch%3Fv%3DvYA0f6R5KAI& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://www.&/span&&span class=&visible&&/watch?&/span&&span class=&invisible&&v=vYA0f6R5KAI&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&别人翻译的字幕视频&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A///video/av3747884/& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&【自翻】【9分熟】对SpaceX的火箭引擎进行全尺寸仿真&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&算法作者
&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A//www.aere.iastate.edu/jregele/& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&CoMPAC ?EUR” Iowa State University&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&原始论文
&a class=& wrap external& href=&///?target=http%3A///doi/abs/10.& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&An adaptive wavelet-collocation method for shock computations&i class=&icon-external&&&/i&&/a&&br&&br&SpaceX 自己跳坑发展CFD算法了，因为现有CFD软件虽然能算活塞发动机和燃气轮机的燃烧，对于SpaceX（用来回火星老家）的下一代火箭发动机来说仍然弱爆了。字面意义上的弱爆了，处理不好弱解，要么程序爆，要么火箭发动机爆。&br&&br&首先从N-S方程说起。图中在有粘性的情况下，从火箭发动机燃烧室的宏观尺度开始向下，全部过程的时间尺度横越8个数量级、&b&湍流旋涡级联的空间尺度横越6个数量级&/b&，产生理论上10的18次方个网格点的数据。&b&如果没有粘性，没有1um的Kolmogorov尺度保底，无穷小的概念失效。&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/27aab813ec585b3bf09f4c36a9096206_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/27aab813ec585b3bf09f4c36a9096206_r.png&&&/b&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/796a0a585badbbc7f59c0_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/796a0a585badbbc7f59c0_r.png&&在一个无限集上不可导的函数已经属于分形几何，需要《实变函数》和《泛函分析》才能严格解释了（不要求数学严格性的时候一般可以不管）。&b&构造这类函数一般使用迭代产生的级数，例如&/b&&b&处处连续不可导的&/b&&b&Weierstrass函数属于&/b&&b&&b&&b&傅立叶级数&/b&&/b&。&br&&br&控制方程需要被移植到变换域上，&/b&&b&&b&从形式上的微分方程&/b&推广到级数解&/b&。类似《数学物理方程》里面一个世纪之前的手工级数解和特殊函数，最可怕的挂课回忆。在CFD出现之后这个方法已经老到快要被忘却了……&b&然而用机器替代人推导级数解，效果又不一样了&/b&。&br&&br&积分变换能强力压缩数据，FFT造就了JPEG/MPEG压缩算法（打败了索尼），&b&在变换域上实现控制方程意味着对压缩数据在没有解压缩的状态下直接进行计算。&br&&br&&/b&湍流当中的旋涡结构（或Euler方程产生的激波结构）相当稀疏，所以数据压缩效率很高，而且小波变换比傅立叶变换压缩效率更高。傅立叶变换的基函数是全局的、&b&小波变换的基函数是局部的，后者能更好匹配湍流的分形几何稀疏特征。&/b&&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/fea29cf9b2_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/fea29cf9b2_r.png&&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/b523eaa7fdcbfc556bd934b4ee7be6ac_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/b523eaa7fdcbfc556bd934b4ee7be6ac_r.png&&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/496d69f5f3e33b17ce166_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/496d69f5f3e33b17ce166_r.png&&&br&在数值实现方面，&b&小波变换的过程同时可以生成计算所需的网格&/b&。（使用傅立叶变换计算N-S方程的谱方法在很多年前已经出现，并且率先实现过DNS，但只能适用于均匀网格，工程上没法用。）&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/846eba8e449fee3242952d_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/846eba8e449fee3242952d_r.png&&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/fe231c55ac1dcc_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/fe231c55ac1dcc_r.png&&&br&自适应网格，看起来像简笔画的东西是龙飞船（中间的小三角形）冲入大气层时的激波&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/59781bfafecdf3e0023717_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/59781bfafecdf3e0023717_r.png&&&br&不同网格尺度之间数据的传递、级数解形态下&b&大量稀疏数据的有效存储和查找&/b&，都很麻烦。还要解决各种&b&《数据结构》&/b&、《&b&数据库与网络基础&/b&》难题，才能在两弹一星黄仁勋的战术核显卡上运行。&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/e6a7f833aa2cd3_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/e6a7f833aa2cd3_r.png&&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/3a874bfd9ff9db7e1496_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/3a874bfd9ff9db7e1496_r.png&&&br&氢氧爆轰的复杂激波系，类似Mandelbrot集的结构，背景中隐隐约约可见白色网格。&br&通常情况下需要3亿网格的计算量，仅用一个GPU即得以实现。&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/1cf709b38e5bba313e11c3a0abc5ec13_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/1cf709b38e5bba313e11c3a0abc5ec13_r.png&&&br&喷管启动过程，典型的激波系&br&&img data-rawheight=&379& data-rawwidth=&648& src=&/e2b321aff04fb_b.png& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&648& data-original=&/e2b321aff04fb_r.png&&&br&&b&总结起来：级数解和CFD合一，用机器替代人推导级数解。&/b&&br&需要《流体力学》、《实变函数》、《泛函分析》、《偏微分方程》、《数理方程》、《数据结构》、《数据库与网络基础》，&b&集中几个系的老师同学和各种商业程序员，把这么多容易挂的课编成一个大程序&/b&，塞进老黄的战术核显卡，然后再堆成集群。（钱……职称……）&br&&br&基于局部稀疏的基函数进行积分变换、在变换域上的复杂数据结构操作、大规模GPU和并行实现，这些特征与最近引发大量哲学和社会科学思考的深度学习Deep learning非常类似。&br&&br&&a data-title=&@gyroscope& data-editable=&true& class=&member_mention& href=&///people/7d83fb1c3fd50602e40f& data-hash=&7d83fb1c3fd50602e40f& data-tip=&p$b$7d83fb1c3fd50602e40f&&@gyroscope&/a& ：“我一直觉得偏微分方程是人类理性的一个重要胜利，标志着人类能用有限描述无限。”&br&&br&这类算法的出现和广泛应用可以看作人类认识能力的又一个标志性阶段，甚至是人类生产力和生产关系发展的又一个标志性阶段，像火器和机床终结中世纪一样。&br&&br&跟CFD关系尤其密切的一个问题：基础数学、应用数学、计算机科学、软件行业之间的知识结构大断层。在CFD行业表现为FORTRAN固步自封、在数学系表现为纯粹数学和计算数学老死不相往来、在软件行业表现为Deep learning无人可用。现在的大学学科体系自从牛顿以来没有大的变化，已经像中世纪经院哲学一样需要革命了。&br&&a class=&internal& href=&/question//answer/&&Deep Learning 的专家如此急缺，它难在何处？ - 知乎用户的回答&/a&
无粘Euler方程的解没有耗散，会各种blow up。即使没有发散到无穷大，旋涡级联或者激波干涉也会产生无限精细的分形结构，直到理论上毁掉连续介质假设和偏微分方程本身。我曾经以为结果会变成“宇宙执行了非法操作，上帝点了调试……”，直到
从微分方程的理论上讲，两个都难啊。。但是难度所在的地方可能有不同。&br&&br&（1）compressible Euler Equation的理论比较完备。最重要的fact是，任何smooth solution（with nice initial data）在finite time都会blow up--T.Sideris。由于Euler可以写成conservation law的形式，所以可以expect产生shock wave。但是高维守恒律的研究本来就很困难，因此multi-D Euler的weak solution如何提admissibility条件（熵条件）是很困难的。&br&&br&（2）Incompressible Euler：同样的，smooth data有finite-time blow up，因此目前的研究集中在weak solution上。近年一大进展是关于Onsager conjecture的：Constantin-E-Titi（E=鄂维南）证明了如果弱解是Holder的，holder指标大于三分之一，那么弱解是唯一的。这个结论是purely mathematical的，但跟物理上的紊流有关：参见K41 theory，即kolmogorov在1941年提出的理论。另一方面，De Lellis-Szekelyhidi及他们的学生们利用gromov的convex integration technique（传奇数学家nash的C^1 isometric embedding定理与其关系密切），构造了holder指标小于a的无穷多的弱解。目前a的上限是1/5，距离onsager conjecture的1/3还有gap。&br&&br&（3）Incompressible Navier Stokes。这个方程组有两个特点：从Navier-Stokes的角度上讲，因为存在diffusion term（ie laplacian），因此方程有parabolic equation 的特性，所以可以expect一些regularity结果；另一方面，由于incompressibility，流体的密度是不变的，因此有特殊的scaling property，而且压力可以直接由速度解出来（taking divergence to the momentum equation--the pressure solves a poisson equation）。&br&&br&关于regularity结果的cornerstone是caffarelli-Kohn-Nirenberg的关于“好的”weak solution的partial regularity theorem：如果initial velocity是energy data（L^2 div-free)，那么存在一个epsilon，对于“suitable weak solution” v，如果v的local L^2 norm加上p（压力）的local L^｛3/2｝-norm 小于epsilon，则v在大多数（x，t）处是Holder的。“大多数”的意思是：singular set的（a parabolic version of the）Hausdorff dimension是小于等于5/3的。对于这个结果，林芳华、Michael Struwe等有简化和改进。&br&&br&另一方面：虽然L^2是physical的energy space，但是并不invariant under Navier-Stokes scaling。。而L^3或L^｛3，\infty｝（弱L^3）是满足的。因此把initial data pose在这些空间上，可以应用椭圆/抛物方程中常用的blow up technique，也就是去在某个spacetime point附近zoom in一个解，得到的 functions在rescale后还是同一个方程的解。一个重要的结论是backward uniqueness of （nice）weak solutions for weak L^3 initial data--cf Escuriaza-Seregin-Sverak。&br&&br&（4）compressible Navier-Stokes：这个是最“全”的navier-stokes方程组，因此也最难。&br&&br&（过几天更新）
从微分方程的理论上讲，两个都难啊。。但是难度所在的地方可能有不同。（1）compressible Euler Equation的理论比较完备。最重要的fact是，任何smooth solution（with nice initial data）在finite time都会blow up--T.Sideris。由于Euler可以写成conservat…
额，居然有人邀请我，那我抛砖引玉一下吧…实际求解来讲的话，那就考虑数值计算方面，Navier-Stokes和Euler方程区别在于，NS方程中有粘性和热传导效应，导致整个系统的能量和熵有某种耗散机制，所以设计scheme的时候，只要初值或者边界条件不是太坏，算出来的profile大概都是比较好的样子。Euler方程描述理想流体的运动方程，没有粘性和热传导效应，整个system是双曲性的，能量不耗散，体现在设计算法时，在运动中由于非线性，小的扰动很可能出现大的oscillation现象，甚至会blow up，有些oscillation是physical的，比如考虑有激波的强间断情况，但是有的oscillation是设计算法时，会产生的数值震荡，这种震荡会导致看不清真正想得到的profile。这可能是Euler方程比较难求解的部分原因
额，居然有人邀请我，那我抛砖引玉一下吧…实际求解来讲的话，那就考虑数值计算方面，Navier-Stokes和Euler方程区别在于，NS方程中有粘性和热传导效应，导致整个系统的能量和熵有某种耗散机制，所以设计scheme的时候，只要初值或者边界条件不是太坏，算出来…
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本来不觉得这个问题提的好，但是看到这样一个答案：&br&&blockquote&最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。&/blockquote&我觉得有必要更深刻地解答一下。&br&坐标无关的算子，或者叫内蕴算子，在黎曼几何里由特征值衍生的，是很多的。这不足以解释为什么Laplacian算子为何重要。或者说这个答案指示了一种性质，但是这个性质也不是刻画性质（Characterizing Property），因此我觉得这个答案并没有答到点子上。&br&另外一个看似合理的答案：&br&&blockquote&我不熟悉 Laplacian 的分析和几何方面的意义. 但是从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.&/blockquote&这个也许是一个可能的解释，但是同样不很正确。&br&简短的这句话，“从表示论的角度看重要的对象应该是 Casimir elements, 后者与 Laplacians 有自然的类比关系.”我来断一下句，作者的原意应该是Laplacian可以看作是Lie代数上的Casmir元，这在sl^{n}(\mathbb{C})中很显然，但是在更加一般的场合，甚至说gl^{n}(\mathbb{C})就并不显然。而且Casmir元如果我没记错的话主要是用来证对应表示的完全可约性的(complete reducibility,usage by Harris& Wallach)，它在gl中，可给定坐标计算，如果它还有更深刻的与Laplacian的联系或者我的理解有不足的地方，请指教。&br&&br&最合理的解释要用到所谓的Hodge-Laplace理论。浅显地说，我们能够定义一种Hodge*算子，这种算子的定义形式上是这样的：对于至少是浸入（immersed）到某个n维流形里面的p维闭子流形，我们考虑其子外代数上的Hodge*算子:&br&&img src=&///equation?tex=%5Cast+%3A%5Comega+_%7Bi_%7B1%7D%7D%5Cwedge+%5Cldots+%5Cwedge%5Comega_%7Bi%7Bp%7D%7D+%5Cmapsto+sgn%28i_%7B1%7D%2C%5Cldots%2Ci_%7Bn%7D%29%5Cbullet+%5Comega_%7Bi_%7Bp%2B1%7D%7D%5Cwedge+%5Cldots+%5Cwedge+%5Comega_%7Bi_%7Bn%7D%7D& alt=&\ast :\omega _{i_{1}}\wedge \ldots \wedge\omega_{i{p}} \mapsto sgn(i_{1},\ldots,i_{n})\bullet \omega_{i_{p+1}}\wedge \ldots \wedge \omega_{i_{n}}& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5Cdelta%3D%28-1%29%5E%7Bpn%2Bp%2B1%7D%5Cbullet+%5Cast+%5Ccirc+d%5Ccirc+%5Cast+& alt=&\delta=(-1)^{pn+p+1}\bullet \ast \circ d\circ \ast & eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%5CDelta%3D+d+%5Ccirc+%5Cdelta-+%5Cdelta+%5Ccirc+d& alt=&\Delta= d \circ \delta- \delta \circ d& eeimg=&1&&&br&而Hodge-Laplace算子在给定R^n的典型坐标下可以计算出这确实是传统上定义在Riem流形上的trace(D^2)。然后我们把&img src=&///equation?tex=%5CDelta+%5Comega%3D0& alt=&\Delta \omega=0& eeimg=&1&&的p次微分形式称为p次调和形式。读者最好检查一下这个算子的线性性，因为我宣称这些定义在同一个Riem流形上的p次调和形式全体是实向量空间，记作&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BH%7D%5Ep& alt=&\mathcal{H}^p& eeimg=&1&&。好了，那么为什么要研究这套看似更复杂的语言来刻画简单定义的Laplacian呢？答案是Hodge定理：&br&&blockquote&给定实紧定向Riem流形M，&img src=&///equation?tex=%5Cmathcal%7BH%7D%5E%7Bp%7D%5Csimeq+H%5Ep%28M%2C%5Cmathbb%7BR%7D%29+& alt=&\mathcal{H}^{p}\simeq H^p(M,\mathbb{R}) & eeimg=&1&&（实调和p形式）同构于（上同调向量空间）&/blockquote&这就直接告诉我们研究上同调，研究调和形式就足够了。为什么这个结果这样漂亮？因为PDE理论可以告诉我们一些调和（算子）方程的优良性质，这是一般的微分方程所不具备的。最简单的就是调和方程的特征函数解法，这直接关系到第一特征值的估计。&br&&br&上面所说的在于实的状况，但是Hodge理论本身重要性在于研究复流形，就不多讲了。&br&&br&假如读者有进一步的兴趣，Stein的Harmonic Analysis是一本百科全书，所知道的一定比我更全面。&br&=====&br&Hu：我敦促L来写这个答案，很大程度上是因为现在我们似乎需要一些稍微serious的问题，和一些稍微serious的答案。&br&Zhu：問問題可以local一些，However you should have a global view，觀點有趣也是可以的。&br&&br&by L&br&revised by L JiangD Hu Zhu
本来不觉得这个问题提的好，但是看到这样一个答案：最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。我觉得有必要更深刻地解答一下。坐标无关的算子，或者叫内蕴算子，在黎曼几何里由特征值衍生的，是很多的。这不足以解释为什么Laplacian算子为何重要。…
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。&br&===================&br&确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。&br&物理研究的对象要求具有平移和旋转的对称性，拉普拉斯算子就是满足这两条的阶数最低的算子。
最浅层的答案是，拉普拉斯算子是Coordinate-free的。===================确切地说，拉普拉斯算子是阶数最低的，从scalar function 到scalar function 的 Coordinate-free的 平移不变的不平庸的算子， up to a factor。物理研究的对象要求具有平移和旋转的对…
很多物理量在时空中是守恒的，例如质量、能量和动量，这些物理量在实际过程中应用得非常广泛，比如流体力学、传热学、传质学、电磁场等等，在控制体中描述这些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是对这个物理量使用拉普拉斯算子，拉普拉斯算子就是对空间求二阶导啦
很多物理量在时空中是守恒的，例如质量、能量和动量，这些物理量在实际过程中应用得非常广泛，比如流体力学、传热学、传质学、电磁场等等，在控制体中描述这些物理量流入和流出的方法最方便的就是散度了，求散度的方法就是对这个物理量使用拉普拉斯算子，拉…
这个问题要先从一个工程师说起……&br&&br&英国有一位工程师，名叫Heaviside（此君自学成才，化简了麦克斯韦方程组，提出了电离层假说），他使用了一种叫做“运算算子法”的计算方法来解决电路计算中的一些问题。&br&电路问题基本上就是微分方程的问题，所以这种方法现在依然用在解常微分方程中，举例来说：&br&&br&定义算子：&br&&img src=&///equation?tex=p%3D%5Cfrac%7Bd%28%2A%29%7D%7Bdt%7D+%3B+%5Cfrac%7B1%7D%7Bp%7D%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7Bt%7D%28%2A%29dt+++& alt=&p=\frac{d(*)}{dt} ; \frac{1}{p}=\int_{-\infty }^{t}(*)dt
& eeimg=&1&&&br&&br&这样一来一个微分方程比如，设r、e是关于t的函数：&br&r‘’+6r'+5r=e‘+3e&br&写成算子的形式就是：&br&(p+1)(p+5)r=(p+3)e
[注1]&br&&br&这样一来就相当于将微分和积分运算化为乘除，把微分方程化为代数方程，简单了很多[注2]，现在常微分方程求解这也是一种常用而且比较简便的方法。&br&在电路分析中使用这种方法建立系统的数学模型也十分简便，而且电容电感可以写成等效容抗感抗值，之后写回路方程，按照Cramer法则求解即可。&br&&br&&br&这种方法虽然实用，却受到了数学家的质疑，因为缺少严谨的数学论证，后来人们在Laplace的著作中找见了可靠的依据，这种方法便被称为拉普拉斯变换法。&br&这种方法在电路的理论分析中的地位相当重要，后来CAD出现计算机也可以进行电路的分析，拉氏变的应用便逐渐减少，但拉氏变换建立起来的系统函数、零极点分析这样的概念却依然很实用：它可以直观的表现系统的输入输出特性。&br&与电路分析比较类似的还有连续线性是不变系统的分析。&br&&br&数学和信号系统分析方面要先从Fourier变换说起……&br&&img src=&///equation?tex=F%28%5Comega+%29%3D%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty%7D+f%28t%29e%5E%7B-j%5Comega+t%7D+dt& alt=&F(\omega )=\int_{-\infty }^{+\infty} f(t)e^{-j\omega t} dt& eeimg=&1&&&br&此变换需满足Dirichlet条件[注3]：&br&&img src=&///equation?tex=%5Cint_%7B-%5Cinfty+%7D%5E%7B%2B%5Cinfty+%7D+%5Cleft%7C+f%28t%29%5Cright%7C%3C%5Cinfty+& alt=&\int_{-\infty }^{+\infty } \left| f(t)\right|&\infty & eeimg=&1&&&br&而实际中有很多信号不满足狄利克雷条件，无法做出变换。&br&解决的方法是引入衰减因子&img src=&///equation?tex=e%5E%7B-%5Csigma+t+%7D+& alt=&e^{-\sigma t } & eeimg=&1&&，使得&img src=&///equation?tex=f%28t%29e%5E%7B-%5Csigma+t%7D+& alt=&f(t)e^{-\sigma t} & eeimg=&1&&满足狄利克雷条件，可以求出傅里叶变换。&br&这样做的物理意义相当于给一个振荡频率为&img src=&///equation?tex=%5Comega+& alt=&\omega & eeimg=&1&&且震荡幅度不断增长的信号的幅度做了一个速率为&img src=&///equation?tex=%5Csigma+& alt=&\sigma & eeimg=&1&&的衰减，如此一来便满足绝对可积条件。&br&这样处理扩展了傅里叶变换使用的范围，并且将频域扩展为复频域，拉氏变换相当于在整个复平面上的变换，而傅氏变换仅仅是在这个复平面的虚轴上。&br&在系统分析中借助于基于拉氏变换的系统函数，可以从极点分布入手分析原信号波形、判断系统稳定性，也可以从零点分布入手分析时域函数的幅度和相位；也可以分析自由响应与强迫响应；更可以分析系统的频响特性[注4]。&br&&br&倒是有一个自认为很好但很非主流的一个解释，复平面实际上不存在，对实际中能接触到的部分来说：&br&将C大九和弦一起摁发出的音符分解成 1 3 5 7 2这几个单音的过程实际上就是傅里叶变换，而乐谱则是音乐（时域）在频域上的分布。&br&把它推广到复平面，就需要拉氏变换了。&br&&br&&br&——&br&注1：&br&即赵博成提到的：“拉普拉斯变换首先是一个数学工具，在求解微分方程的时候起到巧妙的作用。”赵同学讲的基本正确，但缺少拉氏变换在信号系统分析中的应用&br&注2：&br&实际上这种使用算子的计算方法是有条件限制的，比如通常来说，消去律不成立。&br&注3：&br&周期信号与阶跃信号虽不满足这一条件，但因为冲击函数的存在其傅里叶变换依然存在。&br&注4：&br&与拉氏变换方法和概念都很类似的z变换也广泛应用在离散时间系统的分析中。&br&&br&——&br&答主工科专业，数学功底比较糟糕，若有误谬，欢迎评论斧正
这个问题要先从一个工程师说起……英国有一位工程师，名叫Heaviside（此君自学成才，化简了麦克斯韦方程组，提出了电离层假说），他使用了一种叫做“运算算子法”的计算方法来解决电路计算中的一些问题。电路问题基本上就是微分方程的问题，所以这种方法现…
仔细研读过郑君里的信号与系统，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。&br&后又熟读程佩青的数字信号处理，对其中的前八章达到背诵的程度。&br&最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！&br&&br&楼上很多人都说拉普拉斯变换没有实际的物理意义，相对于傅立叶变换明确的物理意义来说，拉普拉斯变换只是一个算子。&br&&br&这种说法未免有失偏颇。&br&&br&首先承认拉普拉斯变换确实起到算子的运用，然而其物理意义长期没有被人发现。&br&&br&简单的说，大家都认可傅立叶变换的本质是一个信号可以表示成正弦信号的叠加，即无法进行傅立叶变换。&br&大家如果注意到傅立叶变换与拉普拉斯变换的关系可以发现，当s=jw时，傅拉普拉斯变换便等于傅立叶变换。可见傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。那么重点来了，如果一个是增长型的，比如e^2t，这个信号指数增长，是无法表示成等幅的正弦信号的叠加的。注意，傅立叶变换的物理意义是一个信号可以表示成等幅的正弦信号的叠加！！&br&这个等幅的概念有多少人忽略了！！！&br&那么，推广一下，不等幅的正弦信号（e^at*sint）便出现了！&br&数学波形是很容易想象的。&br&&br&回到e^2t的问题，这个信号无法表示成等幅的正弦信号的叠加（傅立叶变换），那么它为何不能表示成增幅的正弦信号的叠加呢？&br&&br&这就是拉普拉斯变换的物理意义！！！&br&&br&上面这个信号在拉普拉斯变换中有一个收敛域，s&2.复频域如何表示自行想象。&br&其意义是啥呢？&br&因为收敛域包括s=4这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^4t*sinkwt这种增幅信号的叠加形式。&br&因为收敛域包括s=5这条纵轴，这就意味着这个信号可以表示成∑e^5t*sinkwt这种增幅信号的叠加形式。&br&s=6，7，8等等，道理如上。&br&&br&&br&那么可以发现，在拉普拉斯变换的收敛域内有无数条纵轴，在每一条纵轴上都可以写成一个不等幅正弦信号的叠加。&br&&br&从这个角度来看，傅立叶变换只不过是s=0纵轴上，信号分解成等幅（特别强调这个等幅概念）正弦信号的叠加。&br&&br&拉普拉斯变换确实有些明确的物理意义，只不过大多人没发现罢了。&br&&br&&br&&br&&br&&br&至于更详细的数学证明，未完待续。
仔细研读过郑君里的信号与系统，曾经一度达到可以背诵上下两本书的程度。后又熟读程佩青的数字信号处理，对其中的前八章达到背诵的程度。最后有熟读奥本海默的信号与系统与离散信号处理两本书，这两本书实在是厚啊，总共1000+页！楼上很多人都说拉普拉斯变…
&p&电信系的路过，大学四年都在和这位大神打交道。拉氏变换(要读错成“拉*变换哟”)是数学中联系时域和频域的重要工具，起到类似作用的还有傅立叶变换和Z变换。通俗点讲就是生活中你看到的任何一个波，不论是什么形状都能被转换成频率成倍数关系的一系列波的特定组合，而在坐标轴中画出的这一系列波的频率和它们系数的关系(x轴标明频率大小,y轴标明频率对应系数的大小)，这样就得到了原来那个波的频域曲线。将时域转换到频域可谓是波的研究中的及其基础又及其重要的内容，有了频域的图像就能通过一些滤波器，乘法器等等实现特定频率段波的过滤个频率的搬移，然后在物理学中通过对反射波和折射波频域的研究能得到很多物质的特性，通信中能够实现远距离和大量信息的低损耗传输。综上，拉氏变换是波的研究的重要工具。&/p&
电信系的路过，大学四年都在和这位大神打交道。拉氏变换(要读错成“拉*变换哟”)是数学中联系时域和频域的重要工具，起到类似作用的还有傅立叶变换和Z变换。通俗点讲就是生活中你看到的任何一个波，不论是什么形状都能被转换成频率成倍数关系的一系列波的特…
在&a class=&member_mention& data-hash=&d326a946ee663dc153c85& href=&///people/d326a946ee663dc153c85& data-tip=&p$b$d326a946ee663dc153c85&&@赵永峰&/a& 的基础上再补充些：数学物理方法本身侧重技术，侧重如何解决一个问题，提供给你方法，包括利用留数定理选取合适围道，求反常积分的值；积分变换求解常微分方程，偏微分方程，方程组；分离变量法，行波法，处理物理中常见的扩散问题，波动方程，热传导等问题。微分方程学科，这就不光光是传授方法，侧重理论，侧重还有在没有寻找到方法之前，从方程本身分析解的存在性，唯一性，稳定性等之类的问题(有点类似于在斯图姆-刘维尔本征值问题上的讨论)，涉及到的微分方程当然不止是物理学中常遇到的那些，而且更注重讨论的普遍性。
在 的基础上再补充些：数学物理方法本身侧重技术，侧重如何解决一个问题，提供给你方法，包括利用留数定理选取合适围道，求反常积分的值；积分变换求解常微分方程，偏微分方程，方程组；分离变量法，行波法，处理物理中常见的扩散问题，波动方程，热…
题主的看法基本正确。数理方法面向的是学物理或工程的学生，主要内容是具有物理背景的几类方程如何求解(分离变量法，积分变换法，格林函数法等)以及由此引出的特殊函数。微分方程面向的是数学系学生，抽象程度更高些。本科微分方程课程主要内容包括方程解的存在唯一性; 一阶，二阶，高阶方程和方程组的处理方法。&处理&包括以下几方面:1.求解能求解的方程的解析解，2.求出不可解方程的数值解，3.在不能或不需要求出方程解的情况下定性地研究解的性质。&br&数理方法只是一门课，是非数学系学生需要掌握的复变函数和微分方程知识的集合，内容基本上是死的。而微分方程是一门学科，是一个仍在不断发展的数学分支，对微分方程的研究涉及到数学分析，泛函分析，算子理论与群论等的内容。
题主的看法基本正确。数理方法面向的是学物理或工程的学生，主要内容是具有物理背景的几类方程如何求解(分离变量法，积分变换法，格林函数法等)以及由此引出的特殊函数。微分方程面向的是数学系学生，抽象程度更高些。本科微分方程课程主要内容包括方程解的…
《数学物理方法》并不是一门学科，只是本科阶段的一门课，“数学物理”则是一个很大的分支，包含的数学远不止微分方程。
《数学物理方法》并不是一门学科，只是本科阶段的一门课，“数学物理”则是一个很大的分支，包含的数学远不止微分方程。
来自子话题：
+&br&後方有新進的補充呈送。&br&------------------------------------&br&&br&我的师父，和他的某些朋友，他们会时不时做每章的习题，偶尔还互相讨论。他们这伙人年轻时参加过剑桥大学最古老的那个数学考试。师傅说 “Wikipedia上有关特殊函数的条文没有王竹溪的好，剑桥那个考试的介绍倒是可以看看Wikipedia。”&br&&br&新版依然有些typo没改，比如第一章有一个习题有印刷错误，不改做不出这道题。&br&&br&这本书对我的科研和业余生活产生过很多快乐和磨难，其中的内容有些在其他书籍或材料很难见到，或是说我没见到，其中最简单的是二阶微分方程，常的，有两个线性无关解，当指标方程，indicial equation（是一个一元二次方程）的解都是整数时（精確說應爲兩根之差爲整數時），微分方程的其中一个线性无关解带有对数项，这是要发散的。该书给出这个带有对数项的线性无关解的求解过程。从这个求解步骤可发现，存在一个很特殊的情况，使得尽管两个指标方程的根为整数，但对数项被消除了。在我一个工作中恰好就是这个情况。&br&&br&&br&我不随身携带这本书，很喜欢这本书，买了两本，放在我肉身出现频率最高的两个地方，家和办公室。之后会买第三本，第四本第五本。最后两本送给我未来的女儿和她未来的男朋友。希望他们两人独处的时候可以好好读读椭圆积分。嗯！&br&&br&--------------------------------------------&br&補充1：上文提及書中第一章習題的typo 爲第20題 &img src=&///equation?tex=x%3DW%28a%2Cb%2Cy%29& alt=&x=W(a,b,y)& eeimg=&1&&,應糾正爲 &img src=&///equation?tex=x%3DW%28b%2Ca%2Cy%29& alt=&x=W(b,a,y)& eeimg=&1&& .師傅說的。&br&補充2: 把此寶典當工具書沒有錯，特殊函數這個話題有其他專門的工具書，爱编字典的王老先生和爱打桥牌的郭老先生的作品與這些正經工具書不同之處在於，他们的書提供結論的由來，本質上是教會做理論的人明白這其中的數學道理。雖然王老先生在序言說此書是以 Whittaker 和 Watson 寫的 Modern Analysis爲基礎所作，但其中閃光點比前人更勝一籌。大家冷靜想想，一本不需要自宮的寶典，這是科學的智慧不是？&br&+
+後方有新進的補充呈送。------------------------------------我的师父，和他的某些朋友，他们会时不时做每章的习题，偶尔还互相讨论。他们这伙人年轻时参加过剑桥大学最古老的那个数学考试。师傅说 “Wikipedia上有关特殊函数的条文没有王竹溪的好，剑桥…
忘了是谁说的，只看前两章，熟悉概念。再从后面挑一章看，熟悉他们的写作格式、材料安排方法。然后多看几遍目录就行了，用的时候查。
忘了是谁说的，只看前两章，熟悉概念。再从后面挑一章看，熟悉他们的写作格式、材料安排方法。然后多看几遍目录就行了，用的时候查。
高中刷过前半本，后半本当轻小说读了，很赞的工具书
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