证明:若n不是完全平方数,则n有偶数个因数。的海词问答与网友补充：
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完全平方数的因数的个数的规律 是有奇数个因数.
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当 n=1时 m=1，是特例：
其他情况的处理如下：
for i:=2 to k do
if n mod i=0 then m=m+2
k:=trunc(sqrt(n))
这里取 m=m+2 是因为如果发现 n 的一个小于 √n 的因数，必然同时有一个大于 √n 的...
完全平方数的因数的个数一定是奇数
首平方，尾平方，首尾积得二倍在中央
一个数n=p1^q1 p2^q2...pm^qm的因数个数为K=(q1+1)(q2+1)...(qm+1)完全平方数的q1,q2,...qm为偶数，所以其个数K必为奇数。
根据算术基本定理，可设平方数m=(p1^r1)(p2^r2)……（p^r),其中p1,p2,……，p是素数，r1,r2,……，r是偶数，于是m的因数的个数=（r1+1)(r2+1)……（r+1）是奇数.
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分类：ACM-数论与组合数学
为什么完全平方数有奇数个因子？
& & & &设m为完全平方数，对m进行质因子分解： m=(p1)^a1×(p2)^a2×…×(pn)^
& &易知a1,a2,…,an都是偶数，那么a1+1, a2+1, a3+1,...an+1都是奇数。
& &于是平方数A的正约数（即因数）个数(a1+1)(a2+1)……(an+1)是奇数,证毕。
&m可以表示为 m = a*a，那么对于大于a的因子，都有小于a的因子与其对应。而只有a落单。
&所以m的因数个数为2k+1是奇数，证毕。
//完全平方数的因数个数为奇数个。
#include &iostream&
#include &cmath&
int main()
long long n,
while(cin&&n,n)
m = (int)sqrt(n + 0.5);
if(m*m==n) cout&&&yes&&&
else cout&&&no&&&
#include &iostream&
#include &cmath&
bool check(int n)
int m = (int)sqrt(n +0.5);
int t, res = 1;
for(int i=2; i&=m; i+=2)
if(!(n%i))
while(n%i==0)
t++, n /=i;
res =res*t;
if(i==2) i--;
if(n&1) res *=2;
int main()
while(cin&&n,n)
if(check(n)) cout&&&yes&&&
else cout&&&no&&&
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（5）（5）（1）（0）（25）（1）（20）（37）（45）（22）（51）（31）（17）（53）（57）（14）（11）（32）小学奥数25完全平方数-五星文库
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小学奥数25完全平方数
导读：2.7完全平方数，完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数，完全平方数是非负数，0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,16，下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：，此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，故0是完全平方数，性质
2.7完全平方数
2.7.1相关概念
完全平方即用一个整数乘以自己例如1*1，2*2,3*3等等，依此类推。若一个数能表示成某个整数的平方的形式，则称这个数为完全平方数。完全平方数是非负数。
2.7.2性质推论
0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484,529? 观察这些完全平方数，可以获得对它们的个位数、十位数、数字和等的规律性的认识。下面我们来研究完全平方数的一些常用性质：
性质1：末位数只能是0,1,4,5,6,9。
此为完全平方数的必要不充分条件，且定义为“一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数”，0为整数，故0是完全平方数
性质2：奇数的平方的个位数字一定是奇数，十位数字为偶数；偶数的平方的个位数字一定是偶数。
证明 奇数必为下列五种形式之一：
10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9
分别平方后，得
22(10a+1)=100a+20a+1=20a(5a+1)+1
(10a+3)=100a+60a+9=20a(5a+3)+9
(10a+5)=100a+100a+25=20 (5a+5a+1)+5
(10a+7)=100a+140a+49=20 (5a+7a+2)+9
(10a+9)=100a+180a+81=20 (5a+9a+4)+1
综上各种情形可知：奇数的平方，个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数。
性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。
证明 已知m2=10k+6，证明k为奇数。因为k的个位数为6，所以m的个位数为4或6，于是可设m=10n+4或10n+6。
则10k+6=(10n+4)2=100+(8n+1)x10+6
或 10k+6=(10n+6)2=100+(12n+3)x10+6
即 k=10+8n+1=2(5+4n)+1
或 k=10+12n+3=2(5+6n)+3
∴ k为奇数。
推论1：如果一个数的十位数字是奇数，而个位数字不是6，那么这个数一定不是完全平方数。
推论2：如果一个完全平方数的个位数字不是6，则它的十位数字是偶数。
性质4：（1）凡个位数字是5，但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；
（2）末尾只有奇数个“0”的自然数（不包括0本身）不是完全平方数；
100，10是完全平方数，10，等则不是完全平方数。
（3）个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。
需要说明的是：个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数一定不是完全平方数，如：11，31，51，74，99，211，454，879等一定不是完全平方数一定不是完全平方数。
但个位数字为1，4，9而十位数字为偶数的自然数不都是完全平方数。
如：21，44，89不是完全平方数，但49，64，81是完全平方数。
性质5：偶数的平方是4的倍数；奇数的平方是4的倍数加1。
2222 这是因为(2k+1)=4k+4k+1=4k(k+1)+1
性质6：奇数的平方是8n+1型；偶数的平方为8n或8n+4型。
在性质4的证明中，由k(k+1)一定为偶数可得到(2k+1)是8n+1型的数；由为奇数或偶数可得(2k)为8n型或8n+4型的数。
性质7：完全平方数的形式必为下列两种之一：3k,3k+1。
因为自然数被3除按余数的不同可以分为三类：3m,3m+1,3m+2。平方后，分别得
(3m)=9m=3k
(3m+1)=9+6m+1=3k+1
(3m+2)=9+12m+4=3k+1
同理可以得到：
性质8：不能被5整除的数的平方为5k±1型，能被5整除的数为5k型。
性质9：平方数的形式具有下列形式之一：16m,16m+1,16m+4,16m+9。
除了上面关于个位数，十位数和余数的性质之外，还可研究完全平方数各位数字之和。例如，256它的各位数字相加为2+5+6=13，13叫做256的各位数字和。如果再把13的各位数字相加：1+3=4，4也可以叫做256的各位数字的和。下面我们提到的一个数的各位数字之和是指把它的各位数字相加，如果得到的数字之和不是一位数，就把所得的数字再相加，直到成为一位数为止。我们可以得到下面的命题：
一个数的数字和等于这个数被9除的余数。
下面以四位数为例来说明这个命题。
设四位数为，则
= 999a+99b+9c+(a+b+c+d)
=9(111a+11b+c)+(a+b+c+d)
显然，a+b+c+d是四位数被9除的余数。
对于n位数，也可以仿此法予以证明。
关于完全平方数的数字和有下面的性质：
性质10：完全平方数的数字之和只能是0,1,4,7,9。
证明 因为一个整数被9除只能是9k,9k±1,9k±2,9k±3,9k±4这几种形式，而
(9k)2=9(9k2)+0
(9k±1)2=9(9k2±2k)+1
(9k±2)2=9(9k2±4k)+4
(9k±3)2=9(9k2±6k)+9
(9k±4)2=9(9k2±8k+1)+7
性质11：a2b为完全平方数的充分必要条件是b为完全平方数。
性质12：如果质数p能整除a，但p的平方不能整除a，则a不是完全平方数。
证明 由题设可知，a有质因数p，但无因数，可知a分解成标准式时，p的次方为1，而完全平方数分解成标准式时，各质因数的次方均为偶数，可见a不是完全平方数。
性质13：在两个相邻的整数的平方数之间的所有整数都不是完全平方数。
n2 & k2 & (n+1)2 ，则k一定不是整数。
性质14：一个正整数n是完全平方数的充分必要条件是n有奇数个因数（包括1和n本身）。
2.7.3重要结论
1、个位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数；
2、个位数和十位数都是奇数的整数一定不是完全平方数；
3、个位数是6，十位数是偶数的整数一定不是完全平方数；
4、形如3n+2型的整数一定不是完全平方数；
5、形如4n+2和4n+3型的整数一定不是完全平方数；
6、形如5n±2型的整数一定不是完全平方数；
7、形如8n+2,8n+3,8n+5,8n+6,8n+7型的整数一定不是完全平方数；
8、数字和是2,3,5,6,8的整数一定不是完全平方数。
9、四平方和定理：每个正整数均可表示为4个整数的平方和
10、完全平方数的因数个数一定是奇数。
2.7.4典型例题
例1 一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
解：设此自然数为x，依题意可得
x-45=m2 ⑴
x+44=n2 ⑵
（m,n为自然数）
⑵-⑴可得 :n^2-m^2=89
因为n+m&n-m
又因为89为质数，
所以：n+m=89; n-m=1
解之，得n=45。代入⑵得。故所求的自然数是1981。
例2求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方（1954年基辅数学竞赛题）。 解：设四个连续整数分别为n-1、n、n+1、n+2.
(n-1)n(n+1)(n+2)+1
易知该式可被分解为两个二次因式的乘积，设为
得ad=1,ae+bd=2,af+be+cd=-1,bf+ce=-2,cf=1，解得a=d=e=b=1,c=f=-1
故①可被分解为 ，因为n与n+1是连续两个整数，故n(n+1)为偶数，所以[n(n+1)-1]为奇数，即(n-1)n(n+1)(n+2)+1为一个奇数的平方。
例3求证：11,111,??这串数中没有完全平方数。（1972年基辅数学竞赛题。 解：易知该串数中若存在完全平方数，则为末尾是1或9的数的平方。
当该串数中存在末尾为1的数的平方时，则 ，其中n、k为正整数。
但 ，易知n2需满足十位数为偶数，矛盾。
解2：完全平方数除以四余数为0或1，而根据除以四余数性质（一个数除以四的余数=这个数末两位除以四的余数）可得，这串数除以四余数为3，矛盾，所以这串数中没有完全平方数。
例4用300个2和若干个0组成的整数有没有可能是完全平方数？
解：设由300个2和若干个0组成的数为A，则其数字和为600
3|600 ∴3|A
此数有3的因数，故9|A。但9|600，∴矛盾。故不可能有完全平方数。
例5试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同（1999小学数学世界邀请赛试题）。
解：设该四位数为a+10b+b，则
a+10b+b=1100a+11b =11（100a+b）
故100a+b必须被11整除=&a+b被11整除，又因为(a+b)≤18
所以a+b=11，
带入上式得 四位数=11×（a×100+（11－a）） =11×（a×99+11） =11×11×（9a+1) 故9a+1必须为完全平方数。 由a=2、3、4、5、6、7、8、9验证得， 9a+1=19、28、27、46、55、64、73。 所以只有a=7一个解；此时b=4。 因此四位数是=88×88。
例6求满足下列条件的所有自然数：
⑴它是四位数。
⑵被22除余数为5。
⑶它是完全平方数。
解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
11|N - 5或11|N + 6
n = 1 不合
n = 2 1369
n = 5 9025
所以此自然数为81,25。
例7矩形四边的长度都是小于10的整数（单位：公分），这四个长度数可构成一个四位数，这个四位数的千位数字与百位数字相同，并且这四位数是一个完全平方数，求这个矩形的面积（1986年缙云杯初二数学竞赛题）。
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