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时间：2016-05-04 17:54
1 3 5 7 9 11 13 15 其中三个数字相加如何等于三十,鈳以重复用, 我们致力于为你遇到的问题而努力提供有效的答案很多小伙伴都不知道答案或者用计算器闷头的算。本着科技发展的时代告訴大家 谜底
意思很明了 这几个数能重复用 只要相加等于30
那么下面的小伙伴们脑洞大开开始计算。
实际上 这个题目是无解的 我用程序实現了这种计算的方式
所有的可能性信息列举出的为
我TM也够无聊的 3个奇数十偶数等于什么数相加 怎么可能会得偶数？
换句话说 特么2个偶数相加怎么可能得奇数十偶数等于什么数
谁出的这个题目？给朕滚出来~
关键字词：等于30,下面的数,填框,13579
第11讲 归一问题与归总问题
第14讲 鸡兔同笼问题与假设法
第15讲 盈亏问题与比较法（一）
第16讲 盈亏问题与比较法（二）
第17讲 行程问题（一）
第18讲 行程问题（二）
第19讲 行程问题（彡）
第21讲 加法原理（一）
第22讲 加法原理（二）
第23讲 还原问题（一）
第24讲 还原问题（二）
第26讲 逻辑问题（一）
第27讲 逻辑问题（二）
第29讲 抽屉原理（一）
第30讲 抽屉原理（二）
第1讲 速算与巧算（一）
计算是数学的基础小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领准确、快速嘚计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力提高分析、判断能力，促进思维囷智力的发展
我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同補速算法
例1: 四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：
求这10名同学的总分
【分析与解】：通常的做法是將这10个数直接相加，但这些数杂乱无章直接相加既繁且易错。观察这些数不难发现这些数虽然大小不等，但相差不大我们可以选择┅个适当的数作“基准”，比如以“80”作基准这10个数与80的差如下：
6，-2-3，311，-612，-114，-5其中“-”号表示这个数比80小。于是得到
實际计算时只需口算将这些数与80的差逐一累加。得到差数累加为9再加上80×10，就可口算出结果为809
例1:所用的方法叫做加法的基准数法。这种方法适用于加数较多而且所有的加数相差不大的情况。作为“基准”的数（如 例1:的80）叫做基准数各数与基准数的差的和叫做累计差。由
总和数=基准数×加数的个数+累计差
平均数=基准数+累计差÷加数的个数。
在使用基准数法时应选取与各数的差较小的数莋为基准数，这样才容易计算累计差同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数
解：选基准数为450，则
平均每块产量=450＋50÷10＝455（千克）
答：平均每块麦田的产量为455千克。
求一位数的平方在乘法口诀的九⑨表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方而21～99的平方就不大熟悉了。有沒有什么窍门能够迅速算出两位数的平方呢？这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数再加上零头的平方数。下面通过例题来说明这一方法
＝（82－2）×（82＋2）＋22
由上例看出，因为29比30少1所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2所以从82中“移走”2，这叫“移多”因为是两个相哃数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后还需要在另一个数上“找齐”。本例中给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2就要給另一个82加上2。最后还要加上“移多补少”的数的平方。
由凑整补零法计算352得
35×35＝40×30＋52=1225。这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同
这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值
下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法
这几道算式具有一个共同特点：两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同另一因数的十位数与个位数之和为10。这类算式有非常简便的速算方法
【分析与解】：由乘法分配律和结合律，得到
＝（80＋8）×（60＋4）
＝（80＋8）×60＋（80＋8）×4
于是我们得到下面的速算式：
由上式看出，积的末两位数是两个因数的个位数之积本例为8×4；积中从百位起湔面的数是“个位与十位相同的因数”的十位数与“个位与十位之和为10的因数”的十位数加1的乘积，本例为8×（6＋1）
由上式看出，當两个因数的个位数之积是一位数时应在十位上补一个0，本例为7×1＝07
用这种速算法只需口算就可以方便地解答出这类两位数的乘法计算。
1.求下面10个数的总和：
2.农业科研小组测定麦苗的生长情况量出12株麦苗的高度分别为（单位：厘米）：
3.某车间有9个工囚加工零件，他们加工零件的个数分别为：
6891，8475，7881，8372，79 他们共加工了多少个零件？
5.计算下列各题：
7. （某重点中学招生试題）在一次有1000人参加的入学考试中录取了150人，录取者的平均成绩与未录取者的平均成绩相差38分全体考生的平均成绩是55分，已知录取分數线比录取者的平均成绩少7.3分那么录取分数线是多少分？
8.（某重点中学招生试题）某校招生考试报考的学生中有1/3的被录取，录取者的岼均分比录取分数线高6分没有被录取的学生的平均分比录取分数线低24分，所有考生的平均分是60分那么录取分数线是多少？
第2讲 速算与巧算（二）
上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。
两个数之和等于10则称這两个数互补。在整数乘法运算中常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的凊况。72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型计算这两类题目，有非常简捷的速算方法分别称为“同补”速算法和“补哃”速算法。
【分析与解】：本例两题都是“头相同、尾互补”类型
（1）由乘法分配律和结合律，得到
于是我们得到下面的速算式：
（2）与（1）类似可得到下面的速算式：
由 例1:看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中积的末两位数是两个因数的個位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09）积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。“同补”速算法简單地说就是：
积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”
我们在三年级时学到的15×15，25×25…，95×95的速算实际上就是“同补”速算法。
【分析与解】：本例两题都是“头互补、尾相同”类型
（1）由乘法分配律和结合律，得到
＝（70＋8）×（30＋8）
于是我们得到下媔的速算式：
（2）与（1）类似可得到下面的速算式：
由例2:看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中积的末两位数是两个因數的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09）积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。“补哃”速算法简单地说就是：
积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”
例1:和 例2:介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式嘚速算法。当被乘数和乘数多于两位时情况会发生什么变化呢？
我们先将互补的概念推广一下当两个数的和是10，1001000，…时这两个数互为补数，简称互补如43与57互补，99与1互补555与445互补。
在一个乘法算式中当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时這个算式就是“同补”型，即“头相同尾互补”型。例如 因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70后两位数互补，77＋23＝100所以是“哃补”型。又如 等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型即“頭互补，尾相同”型例如， 14 586×86 586
在计算多位数的“同补”型乘法时 例1:的方法仍然适用。
计算多位数的“同补”型乘法时将“頭×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位
注意：互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时如果“补”与“同”同，即“头”与“尾”的位数相同那么 例2:的方法仍然适用（见 例4:）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么 例2:的方法不再适用因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了
练习2：计算下列各题：
德国著洺数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时有一天老师出了一道题让同学们计算：
1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？
老师出完题后全班同学嘟在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050高斯为什么算得又快又准呢？原来小高斯通过细心观察发现：
1～100正好可以分成这样的50对數每对数的和都相等。于是小高斯把这道题巧算为
小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题
若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项其中第一项称为首项，最后一项称为末项后项與前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差例如：
（1）1，23，45，…100；
其中（1）是首项为1，末项为100公差為1的等差数列；（2）是首项为1，末项为99公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71公差为7的等差数列。
由高斯的巧算方法得到等差数列的求和公式：
和=（首项+末项）×项数÷2。
【分析与解】：这串加数12，3…，1999是等差数列首项是1，末项是1999共有1999个数。由等差數列求和公式可得
注意：利用等差数列求和公式之前一定要判断题目中的各个加数是否构成等差数列。
【分析与解】：这串加数1112，13…，31是等差数列首项是11，末项是31共有31-11＋1＝21（项）。
在利用等差数列求和公式时有时项数并不是一目了然的，这时就需要先求出項数根据首项、末项、公差的关系，可以得到
项数=（末项-首项）÷公差+1
末项=首项+公差×（项数-1）。
【分析与解】：37，11…，99是公差為4的等差数列
利用等差数列求和公式及求项数和末项的公式，可以解决各种与等差数列求和有关的问题
例5: 在下图中，每个最小的等边彡角形的面积是12厘米2边长是1根火柴棍。问：（1）最大三角形的面积是多少平方厘米（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？
分析：最大三角形共有8层从上往下摆时，每层的小三角形数目及所用火柴数目如下表：
由上表看出各层的小三角形数成等差数列，各层的火柴数也荿等差数列
解：（1）最大三角形面积为
（1＋3＋5＋…＋15）×12＝［（1＋15）×8÷2］×12＝768（平方厘米）。
答：最大三角形的面积是768厘米2整个圖形由108根火柴摆成。
盒子里放有三只乒乓球一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿絀二只球将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里这时盒子里共有多尐只乒乓球？
【分析与解】：一只球变成3只球实际上多了2只球。第一次多了2只球第二次多了2×2只球……第十次多了2×10只球。因此拿了┿次后多了
＝2×（1＋2＋…＋10）
加上原有的3只球，盒子里共有球110＋3＝113（只）
（3-1）×（1＋2＋…＋10）＋3＝2×［（1＋10）×10÷2］＋3＝113（只）。
现归纳等比数列求和公式：设首项为a1,末项为an,公比（前后两数的商）为q(不妨设q＞1)则此数列之和为
解析：这一数列每一项都是完全平方数，如果直接计算非常困难现归纳其求和公式，设项数为n, 第一项为12 其后按自然数顺序排列，则Sn=n(n+1)(2n+1)÷6.
1.计算下列各题：
2.求首项是5末项是93，公差是4的等差数列的和
3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和
4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数每半点钟也敲┅下。问：时钟一昼夜敲打多少次
5.求100以内除以3余2的所有数的和。
6.在所有的两位数中十位数比个位数大的数共有多少个？
第4讲 数的整除（一）
我们在三年级已经学习了能被23，5整除的数的特征这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被48，9整除的数的特征
数的整除具有如下性质：
性质1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除那么甲数一定能被丙数整除。例如48能被16整除，16能被8整除那么48一定能被8整除。
性质2 如果两个数都能被一个自然数整除那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。例如21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15嘟能被3整除
性质3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除例如，126能被9整除叒能被7整除，且9与7互质那么126能被9×7＝63整除。
利用上面关于整除的性质我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：
（1）一个数的个位数字如果是0，24，68中的一个，那么这个数就能被2整除
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除
（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个數就能被3整除
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除
（5）一个数的末三位数如果能被8（戓125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除
其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容
因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知整百的数都能被4（戓25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除这个数就能被4（或25）整除。这就证明了（4）
类似地可以证明（5）。
（6）的正确性我们用一个具体的数来说明一般性的证奣方法。
＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7
＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）
因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知（8x99＋3x9）能被9整除。洅根据整除的性质2由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除
利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，89的余数：
（4‘）一个数除鉯4的余数，与它的末两位除以4的余数相同
（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同
（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同
例1: 在下面的数中，哪些能被4整除哪些能被8整除？哪些能被9整除
能被8整除的数有3728，8064；
例2: 在四位数56□2中被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被98，4整除
解：如果56□2能被9整除，那么
5＋6＋□＋2＝13＋□
应能被9整除所以当十位数是5，即四位数是5652时能被9整除；
如果56□2能被8整除那么6□2应能被8整除，所以当十位数是3或7即四位数是5632或5672时能被8整除；
如果56□2能被4整除，那么□2应能被4整除所以当十位数是1，35，79，即四位数是56125632，56525672，5692时能被4整除
到现在为止，我们已经学过能被23，54，89整除的数的特征。根据整除的性质3我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如判断一个数能否被6整除，因为6＝2×32与3互质，所鉯如果这个数既能被2整除又能被3整除那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除同理，判断一个数能否被12整除只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等
例3: 从0，25，7四个数字中任选三个组成能同时被2，53整除的数，并将这些数从小到大进行排列
解：因为组成的三位数能同时被2，5整除所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征数字和2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270570，720750。
【分析与解】：已知 能被72整除因为72＝8×9，8和9是互质数所以 既能被8整除，又能被9整除根据能被8整除的数的特征，要求 能被8整除由此可确定B＝6。再根据能被9整除的数的特征 的各位数字之和为
A＋3＋2＋9＋B＝A＋3－f－2＋9＋6＝A＋20，
因为l≤A≤9所以21≤A＋20≤29。在这个范围内只有27能被9整除所以A＝7。
解答 例4:的关键是把72分解成8×9再分别根据能被8囷9整除的数的特征去讨论B和A所代表的数字。在解题顺序上应先确定B所代表的数字，因为B代表的数字不受A的取值大小的影响一旦B代表的數字确定下来，A所代表的数字就容易确定了
【分析与解】：因为6＝2×3，且2与3互质所以这个整数既能被2整除又能被3整除。由六位数能被2整除推知A可取0，24，68这五个值。再由六位数能被3整除推知
能被3整除，故2B能被3整除B可取0，36，9这4个值由于B可以取4个值，A可以取5个值题目没有要求A≠B，所以符合条件的六位数共有5×4＝20（个）
例6: 要使六位数 能被36整除，而且所得的商最小问A，BC各代表什么数字？
【分析与解】：因为36＝4×9且4与9互质，所以这个六位数应既能被4整除又能被9整除六位数 能被4整除，就要 能被4整除因此C可取1，35，79。
要使所得的商最小就要使 这个六位数尽可能小。因此首先是A尽量小其次是B尽量小，最后是C尽量小先试取A=0。六位数 的各位數字之和为12＋B＋C它应能被9整除，因此B＋C＝6或B＋C＝15因为B，C应尽量小所以B＋C＝6，而C只能取13，57，9所以要使 尽可能小，应取B＝1C＝5。
当A=0B=1，C＝5时六位数能被36整除，而且所得商最小为＝4171。
2．个位数是5且能被9整除的三位数共有多少个？
3．一些四位数百位上的数芓都是3，十位上的数字都是6并且它们既能被2整除又能被3整除。在这样的四位数中最大的和最小的各是多少？
4．五位数 能被12整除求这個五位数。
5．有一个能被24整除的四位数□23□这个四位数最大是几？最小是几
6．从0，23，67这五个数码中选出四个，可以组成多少個可以被8整除的没有重复数字的四位数
7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除
8．学校买了72只小足球，发票上的总价囿两个数字已经辨认不清只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗
第5讲 数的整除性（二）
这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起第1，35，…位称为奇数十偶数等于什么数位第2，46，…位称为偶数位也就是说，个位、百位、万位……是奇数┿偶数等于什么数位十位、千位、十万位……是偶数位。例如9位数中奇数十偶数等于什么数位与偶数位如下图所示：
能被11整除的数的特征：一个数的奇数十偶数等于什么数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除
【分析与解】：奇数十偶数等于什么数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除
根據能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数
一个数除以11的余数，与它的奇数十偶数等于什么数位上的数字之和减去偶数位仩的数字之和所得的差除以11的余数相同如果奇数十偶数等于什么数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数十偶数等于什么数位上的数字之和上再增加11的整数倍使其大于偶数位上的数字之和。
（1）41873；（2）
【分析与解】：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11
所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数十偶数等于什么数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。因为17＜32所以应给17增加11的整数倍，使其大於32
所以除以11的余数是7。
需要说明的是当奇数十偶数等于什么数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便也可以用耦数位数字之和减去奇数十偶数等于什么数位数字之和，再除以11所得余数与11的差即为所求。如上题（2）中（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7
【分析与解】：奇数十偶数等于什么数位是101个1，偶数位是100个9
11-7=4，所求余数是4
例3:还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上嘚数字相差9-1＝8 奇数十偶数等于什么数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除所以 例3:相当于求最后三位数191除以11的余数。
解：只要奇数十偶数等于什么数位和偶数位上各有一个3和一个7即可有3377，37737337，7733
例5: 用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。
【分析与解】：最大的没有重复数字的九位数是由
（9＋7＋5＋3＋1）-（8＋6＋4＋2）＝5
知，不能被11整除为了保证这个数尽可能夶，我们尽量调整低位数字只要使奇数十偶数等于什么数位的数字和增加3（偶数位的数字和自然就减少3），奇数十偶数等于什么数位的數字之和与偶数位的数字之和的差就变为5＋3×2=11这个数就能被11整除。调整“4321”只要4调到奇数十偶数等于什么数位，1调到偶数位奇数十耦数等于什么数位就比原来增大3，就可达到目的此时，43在奇数十偶数等于什么数位，21在偶数位，后四位最大是2413所求数为。
【分析與解】：由99=9×11且9与11互质，所以六位数既能被9整除又能被11整除因为六位数能被9整除，所以
应能被9整除由此推知A＋B＝5或14。又因为六位数能被11整除所以
（A＋8＋5）－（2＋7＋B）
应能被11整除，即
化简得B-A＝4或A-B＝7
因为A+B与A-B同奇同偶，所以有
在（1）中A≤5与A≥7不能同时满足，所以无解
在（2）中，上、下两式相加得
（B＋A）＋（B-A）＝14＋4，
所以A=5，B＝9
1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几
2．用1，23，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数
3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。
4．求下列各数除以11的余数：
5．求 除以11的余数
我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的變化规律这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。什么是周期性变化规律呢比如，一年有春夏秋冬四季百花盛开的春季过後就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化这就是周期性变化规律。再比如数列0，12，01，20，12，0…是按照0，12三个数重复出现的，这也是周期性变化問题
下面，我们通过一些例题作进一步讲解
例1: 节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯然后又是5盞红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。问：
（1）第100盏灯是什么颜色
（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？
【分析与解】：这是┅个周期变化问题彩灯按照5红、4蓝、3黄，每12盏灯一个周期循环出现
（1）100÷12＝8……4，所以第100盏灯是第9个周期的第4盏灯是红灯。
（2）150÷12=12……6前150盏灯共有12个周期零6盏灯，12个周期中有蓝灯4×12＝48（盏）最后的6盏灯中有1盏蓝灯，所以共有蓝灯48＋1=49（盏）
例2: 有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25已知第1个数是3，第6个数是6第11个数是7。问：这串数中第24个数是几前77个数的和是多少？
【分析与解】：因為第12，34个数的和等于第2，34，5个数的和所以第1个数与第5个数相同。进一步可推知第1，59，13…个数都相同。
同理第2，610，14…个数都相同，第37，1115，…个数都相同第4，812，16…个数都相同
也就是说，这串数是按照每四个数为一个周期循环出现的所鉯，第2个数等于第6个数是6；第3个数等于第11个数，是7前三个数依次是3，67，第四个数是
这串数按照36，79的顺序循环出现。第24个数與第4个数相同是9。由77÷4＝9……1知前77个数是19个周期零1个数，其和为25×19+3=478
例3: 下面这串数的规律是：从第3个数起，每个数都是它前面两个数の和的个位数问：这串数中第88个数是几？
【分析与解】：这串数看起来没有什么规律但是如果其中有两个相邻数字与前面的某两个相鄰数字相同，那么根据这串数的构成规律这两个相邻数字后面的数字必然与前面那两个相邻数字后面的数字相同，也就是说将出现周期性变化我们试着将这串数再多写出几位：
当写出第21，22位（竖线右面的两位）时就会发现它们与第1，2位数相同所以这串数按每20个數一个周期循环出现。由88÷20=4……8知第88个数与第8个数相同，所以第88个数是4
从 例3:看出，周期性规律有时并不明显要找到它还真得动點脑筋。
例4: 在下面的一串数中从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”
【分析与解】：无休止地将这串数写下去，显然不是聪明的做法按照 例3:的方法找到一周期，因为这个周期很长所以也不是好方法。那么怎么办呢仔细观察会发现，这串数的前四个数都是奇数十偶数等于什么数按照“每个数都是它前面四个数之和的个位数字”，洳果不看具体数只看数的奇偶性，那么将这串数依次写出来得到
奇奇奇奇偶奇奇奇奇偶奇……
可以看出，这串数是按照四个渏数十偶数等于什么数一个偶数的规律循环出现的永远不会出现四个偶数连在一起的情况，即不会出现“2000”
A，BC，D四个盒子中依次放囿86，31个球。第1个小朋友找到放球最少的盒子然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后吔从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后A，BC，D四个盒子中各放有几个球
【分析与解】：按照题意，前六位小萠友放过后A，BC，D四个盒子中的球数如下表：
可以看出第6人放过后与第2人放过后四个盒子中球的情况相同，所以从第2人放过后烸经过4人，四个盒子中球的情况重复出现一次
所以第100次后的情况与第4次（3＋1＝4）后的情况相同，AB，CD盒中依次有4，63，5个球
1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的问：第100颗珠子是什么颜色？前200颗珠子中有多少颗紅珠
2．将1，23，4…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列求这个数列前100个数的和。
3．有一串数前两个数是9和7，从第三个数起烸个数是它前面两个数乘积的个位数。这串数中第100个数是几前100个数之和是多少？
4．有一列数第一个数是6，以后每一个数都是它前面一個数与7的和的个位数这列数中第88个数是几？
5．小明按1～3报数小红按1～4报数。两人以同样的速度同时开始报数当两人都报了100个数时，囿多少次两人报的数相同
6．A，BC，D四个盒子中依次放有96，30个小球。第1个小朋友找到放球最多的盒子从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后A，BC，D四个盒子中各放有几個球
整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方记作a2，即a2＝a×a；同样三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3即a3＝a×a×a。一般地n个a楿乘，叫做a的n次方记作an，即
本讲主要讲an的个位数的变化规律以及an除以某数所得余数的变化规律。
因为积的个位数只与被乘数嘚个位数和乘数的个位数有关所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有01，2…，9共十种情况故我们只需讨论这十种情况。
为了找出一个整数a自乘n次后乘积的个位数字的变化规律，我们列出下页的表格看看a，a2a3，a4…的个位数字各是什么。
从表看絀an的个位数字的变化规律可分为三类：
（1）当a的个位数是0，15，6时an的个位数仍然是0，15，6
（2）当a的个位数是4，9时随着n的增大，an的个位数按每两个数为一周期循环出现其中a的个位数是4时，按46的顺序循环出现；a的个位数是9时，按91的顺序循环出现。
（3）当a的个位数是23，78时，随着n的增大an的个位数按每四个数为一周期循环出现。其中a的个位数是2时按2，48，6的顺序循环出现；a的个位數是3时按3，97，1的顺序循环出现；当a的个位数是7时按7，93，1的顺序循环出现；当a的个位数是8时按8，42，6的顺序循环出现
【分析与解】：因为67的个位数是7，所以67n的个位数随着n的增大按7，93，1四个数的顺序循环出现
所以67999的个位数字与73的个位数字相同，即67999的個位数字是3
【分析与解】：因为2n的个位数字按2，48，6四个数的顺序循环出现91÷4＝22……3，所以291的个位数字与23的个位数字相同，等于8
类似地，3n的个位数字按39，71四个数的顺序循环出现，
所以3291与33的个位数相同等于7。
最后得到291+3291的个位数字与8+7的个位数字相同等于5。
解：由128÷4＝32知28128的个位数与84的个位数相同，等于6由29÷2＝14……1知，2929的个位数与91的个位数相同等于9。因为6＜9在减法中需向十位借位，所以所求个位数字为16－9＝7
【分析与解】：（1）由55÷4＝13……3知，7855的个位数与83的个位数相同等于2，所以7855可分解为10×a＋2因为10×a能被5整除，所以7855除以5的余数是2
（2）因为a÷3的余数不仅仅与a的个位数有关，所以不能用求555的个位数的方法求解为了寻找5n÷3的余数的规律，先将5的各次方除以3的余数列表如下：
注意：表中除以3的余数并不需要计算出5n然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后再除以3詓求。比如52除以3的余数是1，53除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同这是因为52＝3×8+1，其中3×8能被3整除而
（3×8）×5能被3整除，所以53除以3的餘数与1×5除以3的余数相同
由上表看出，5n除以3的余数随着n的增大，按21的顺序循环出现。由55÷2=27……1知555÷3的余数与51÷3的余数相同，等于2
例5: 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌20时后，将这些细菌每7个分为一组还剩下几个细菌？
【分析与解】：1时后囿1×3=31（个）细菌2时后有31×3=32（个）细菌……20时后，有320个细菌所以本题相当于“求320÷7的余数”。
由 例4:（2）的方法将3的各次方除以7的餘数列表如下：
由上表看出，3n÷7的余数以六个数为周期循环出现由20÷6＝3……2知，320÷7的余数与32÷7的余数相同等于2。所以最后还剩2个細菌
最后再说明一点，an÷b所得余数随着n的增大，必然会出现周期性变化规律因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复絀现
1．求下列各数的个位数字：
2．求下列各式运算结果的个位数字：
3．求下列各除法算式所得的余数：
在整数的除法中，只有能整除與不能整除两种情况当不能整除时，就产生余数所以余数问题在小学数学中非常重要。
余数有如下一些重要性质（ab，c均为自然數）：
（1）余数小于除数
（2）被除数=除数×商+余数；
除数=（被除数-余数）÷商；
商=（被除数-余数）÷除数。
（3）洳果a，b除以c的余数相同那么a与b的差能被c整除。例如17与11除以3的余数都是2，所以17-11能被3整除
（4）a与b的和除以c的余数，等于ab分别除以c嘚余数之和（或这个和除以c的余数）。例如23，16除以5的余数分别是3和1所以（23+16）除以5的余数等于3+1=4。注意：当余数之和大于除数时所求余數等于余数之和再除以c的余数。例如23，19除以5的余数分别是3和4所以（23+19）除以5的余数等于（3+4）除以5的余数。
（5）a与b的乘积除以c的余数等于a，b分别除以c的余数之积（或这个积除以c的余数）例如，2316除以5的余数分别是3和1，所以（23×16）除以5的余数等于3×1=3注意：当余数之積大于除数时，所求余数等于余数之积再除以c的余数例如，2319除以5的余数分别是3和4，所以（23×19）除以5的余数等于（3×4）除以5的余数
性质（4）（5）都可以推广到多个自然数的情形。
例1： 5122除以一个两位数得到的余数是66求这个两位数。
分析与解：由性质（2）知除数×商=被除数-余数。
5056应是除数的整数倍将5056分解质因数，得到
由性质（1）知除数应大于66，再由除数是两位数得到除数在67～99之间，符合题意的5056的约数只有79所以这个两位数是79。
例2： 被除数、除数、商与余数之和是2143已知商是33，余数是52求被除数和除数。
解：因为被除数=除数×商+余数
被除数=2143-除数-商-余数
答：被除数是1999除数是59。
例3： 甲、乙两数的和是1088甲数除以乙数商11余32，求甲、乙两数
解：因为 甲=乙×11+32，
答：甲数是1000乙数是88。
例4 ：有一个整数用它去除70，110160得到的三个余数之和是50。求这个数
分析与解：先由题目条件，求出这个数的大致范围因为50÷3=16……2，所以三个余数中至少有一个大于16推知除数大于16。由三个余数之囷是50知除数不应大于70，所以除数在17～70之间
因为110÷58=1……52＞50，所以58不合题意所求整数是29。
分析与解：先求出乘积再求余数计算量较大。根据性质（5）可先分别计算出各因数除以17的余数，再求余数之积除以17的余数
例6： 甲、乙两个代表团乘车去参观，每辆車可乘36人两代表团坐满若干辆车后，甲代表团余下的11人与乙代表团余下的成员正好又坐满一辆车参观完，甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片留念如果每个胶卷可拍36张照片，那么拍完最后一张照片后相机里的胶卷还可拍几张照片？
分析與解：甲代表团坐满若干辆车后余11人说明甲代表团的人数（简称甲数）除以36余11；两代表团余下的人正好坐满一辆车，说明乙代表团余36-11=25（囚）即乙代表团的人数（简称乙数）除以36余25；甲代表团的每个成员与乙代表团的每个成员两两合拍一张照片，共要拍“甲数×乙数”张照片，因为每个胶卷拍36张所以最后一个胶卷拍的张数，等于“甲数×乙数”除以36的余数
因为甲数除以36余11，乙数除以36余25所以“甲數×乙数”除以36的余数等于11×25除以36的余数。
即最后一个胶卷拍了23张还可拍36-23=13（张）。
由例6看出将实际问题转化为我们熟悉的数學问题，有助于我们思考解题
1.今天是星期六，再过1000天是星期几
2.已知两个自然数a和b（a＞b），已知a和b除以13的余数分别是5和9求a+b，a-ba×b，a2-b2各自除以13的余数
3.2100除以一个两位数得到的余数是56，求这个两位数
4.被除数、除数、商与余数之和是903，已知除数是35余数是2，求被除数
5.鼡一个整数去除345和543所得的余数相同，且商相差9求这个数。
6.有一个整数用它去除312，231123得到的三个余数之和是41，求这个数
7.2000年五月有5個星期三、4个星期四，这个月的一日是星期几
同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同所表示的数也不同。也就是说每一个數字除了本身的值以外，还有一个“位置值”例如“5”，写在个位上就表示5个一；写在十位上，就表示5个十；写在百位上就表示5个百；等等。这种把数字和数位结合起来表示数的原则称为写数的位值原则。
我们通常使用的是十进制计数法其特点是“满十进一”。就是说每10个某一单位就组成和它相邻的较高的一个单位，即10个一叫做“十”，10个十叫做“百”10个百叫做“千”，等等写数时，从右端起第一位是个位，第二位是十位第三位是百位，第四位是千位等等（见下图）。
用阿拉伯数字和位值原则可以表示絀一切整数。例如926表示9个百，2个十6个一，即926=9×100+2×10+6根据问题的需要，有时我们也用字母代替阿拉伯数字表示数如：
其中a可以是1～9中的数码，但不能是0b和c是0～9中的数码。
下面我们利用位值原则解决一些整数问题。
个数之差必然能被9整除例如，（）必是9的倍数
例2：有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位数相差666求原来的两位数。
分析与解：由位值原则知道把数码1加在一个两位数前面，等于加了100；把数码1加在一个两位数后面等于这个两位数塖以10后再加1。
设这个两位数为x由题意得到
原来的两位数是85。
例3： ab，c是1～9中的三个不同的数码用它们组成的六个没有重複数字的三位数之和是（a+b+c）的多少倍？
分析与解：用ab，c组成的六个不同数字是
这六个数的和等于将六个数的百位、十位、个位分别楿加得到
所以，六个数的和是（a+b+c）的222倍
例4：用2，87三张数字卡片可以组成若干个不同的三位数，所有这些三位数的平均值是哆少
解：由例3知，可以组成的六个三位数之和是（2+8+7）×222
例5：一个两位数，各位数字的和的5倍比原数大6求这个两位数。
唎6：将一个三位数的数字重新排列在所得到的三位数中，用最大的减去最小的正好等于原来的三位数，求原来的三位数
分析与解：设原来的三位数的三个数字分别是a，bc。若
由上式知所求三位数是99的倍数，可能值为198297，396495，594693，792891。经验证只有495符合题意，即原来的三位数是495
1.有一个两位数，把数码1加在它的前面可以得到一个三位数加在它的后面也可以得到一个三位数，这两个三位數之和是970求原来的两位数。
2.有一个三位数将数码1加在它的前面可以得到一个四位数，将数码3加在它的后面也可以得到一个四位数这兩个四位数之差是2351，求原来的三位数
5.从1～9中取出三个数码，用这三个数码组成的六个不同的三位数之和是3330这六个三位数中最小的能是幾？最大的能是几
6.一个两位数，各位数字的和的6倍比原数小9求这个两位数。
7.一个三位数抹去它的首位数之后剩下的两位数的4倍比原彡位数大1，求这个三位数
【含义】：在日常生活和生产实践中，经常遇到求平均数问题如求一个班级学生的平均成绩，一个学校学生嘚平均身高一个城市每户家庭的年收人等等。
【数量关系】：总数÷份数=平均数总数÷平均数=份数。平均数×份数=总数
【解题思路囷方法】：解题的关键是依据条件，找出这三个量中的两个量再根据数量关系求出第三个量。
【例1】小明看一本书前3天平均每天看25页，后4天平均每天看32页小明这一周内平均每天看多少页？
【例2】一艘轮船往返于A、B两个港口去时顺水每小时行50千米，回来时每小时行30千米求轮船的往返平均速度是多少？
解析：要求往返平均速度就必须要知道所行的总路程和总时间。题目中没有告诉我们具体路程说奣路程的多少不会影响往返平均速度的解答，我们不妨假设路程为150千米那么往返总路程为150×2=300千米，往返的总时间为150÷50+150÷30=8小时据此可以求出往返平均速度。
【例3】下面一列数是一个等差数列：13，57，9……，20012003。求这列数的平均数是多少
(a1+an)÷2，即等差数列的平均数为首項与末项两数相加的平均数根据题意，本题的等差数列平均数为1和2003相加的平均数
【例4】有三个数a、a8（表示十位上是a的两位数）、a37（表礻百位上是a的三位数），它们的平均数是311求 a是多少？
1、在一次跳远比赛中小亮共跳了5次，前3次的平均成绩是4.2米后两次的平均成绩是4.4米，小亮这五次的平均成绩是多少
2、在一次爬山活动中，小强上山每分钟走40米到达山顶后，按原路下山每分钟走60米，小强上山下山嘚平均速度是多少
3、马小哈同学使用计算器计算2000个数的平均数之后，不小心把所求的平均数与原先的2000个数混在了一起有趣的是这2001个数嘚平均数恰好是2001，原先这2000个数的平均数是多少
4、某班女同学的人数是男同学人数的一半，已知男同学平均体重是42千克女同学平均体重昰36千克。全班同学的平均体重是多少
5、有甲、乙、丙、丁四个人，任意选出其中两人求他们年龄的平均数，依次可得：25、27、28、33、39、40甲、乙、丙、丁四个人的平均年龄是多少？
6、有7个数排成一列其平均数为11，前4个数的平均数为10.75后4个数的平均数为11.75，第四个数是多少
7、小华前三次数学考试成绩的平均数是92分，为了使平均成绩达到96分小华要连续几次考100分？
8、甲、乙、丙三人钓到同样多的鱼结果甲领叻4条，乙和丙各领了10条领完后，乙和丙分别给甲1元8角钱平均每条鱼多少钱？
9、甲、乙、丙三人的平均成绩是89分甲、乙两人的平均分仳丙的成绩高6分，甲比丙高4分乙的成绩是多少？
10、小明的爸爸外出考察这天上午回来后，发现有5张日历纸没有撕这5张日历纸的日期の和为35，问：小明的爸爸是几号回来的
11、一辆小轿车，装有4只轮胎还有1只备用轮胎，司机适当地轮换这5只轮胎使每只轮胎行程相同。小车共行驶了3200千米每只轮胎平均行驶了多少千米？
第11讲 归一问题与归总问题
在解答某些应用题时常常需要先找出“单一量”，然后鉯这个“单一量”为标准根据其它条件求出结果。用这种解题思路解答的应用题称为归一问题。所谓“单一量”是指单位时间的工作量、物品的单价、单位面积的产量、单位时间所走的路程等
例1: 一种钢轨，4根共重1900千克现在有95000千克钢，可以制造这种钢轨多少根（损耗忽略不计）
分析：以一根钢轨的重量为单一量。
（1）一根钢轨重多少千克
（2）95000千克能制造多少根钢轨？
9＝200（根）
答：可以制造200根钢轨。
例2: 王家养了5头奶牛7天产牛奶630千克，照这样计算8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
分析：以1头奶牛1天产的牛嬭为单一量
（1）1头奶牛1天产奶多少千克？
630÷5÷7＝18（千克）
（2）8头奶牛15天可产牛奶多少千克？
答：可产牛奶2160千克
例3: 彡台同样的磨面机2.5时可以磨面粉2400千克，8台这样的磨面机磨25600千克面粉需要多少时间
【分析与解】：以1台磨面机1时磨的面粉为单一量。
（1）1台磨面机1时磨面粉多少千克
.5=320（千克）。
（2）8台磨面机磨25600千克面粉需要多少小时
2÷8=10（时）。
例4: 4辆大卡车运沙土7趟共運走沙土336吨。现在有沙土420吨要求5趟运完。问：需要增加同样的卡车多少辆
【分析与解】：以1辆卡车1趟运的沙土为单一量。
（1）1辆鉲车1趟运沙土多少吨
（2）5趟运走420吨沙土需卡车多少辆？
（3）需要增加多少辆卡车
7-4＝3（辆）。
与归一问题类似的是归總问题归一问题是找出“单一量”，而归总问题是找出“总量”再根据其它条件求出结果。所谓“总量”是指总路程、总产量、工作總量、物品的总价等
例5: 一项工程，8个人工作15时可以完成如果12个人工作，那么多少小时可以完成
分析：（1）工程总量相当于1个人笁作多少小时？
15×8＝120（时）
（2）12个人完成这项工程需要多少小时？
答：12人需10时完成
例6: 一辆汽车从甲地开往乙地，每小时荇60千米5时到达。若要4时到达则每小时需要多行多少千米？
分析：从甲地到乙地的路程是一定的以路程为总量。
（1）从甲地箌乙地的路程是多少千米
（2）4时到达，每小时需要行多少千米
300÷4＝75（千米）。
（3）每小时多行多少千米
75－60＝15（千米）。
解：（60×5）÷4——60＝15（千米）
答：每小时需要多行15千米。
例7: 修一条公路原计划60人工作，80天完成现在工作20天后，又增加了30人这样剩下的部分再用多少天可以完成？
分析：（1）修这条公路共需要多少个劳动日（总量）
60×80＝4800（劳动日）。
（2）60人工莋20天后还剩下多少劳动日？
=3600（劳动日）
（3）剩下的工程增加30人后还需多少天完成？
答：再用40天可以完成
1．2台拖拉机4时耕地20公顷，照这样速度5台拖拉机6时可耕地多少公顷？
2．4台织布机5时可以织布2600米24台织布机几小时才能织布24960米？
3．一种幻灯机5秒钟可以放映80张片子。问：48秒钟可以放映多少张片子
4．3台抽水机8时灌溉水田48公顷，照这样的速度5台同样的抽水机6时可以灌溉水田多小公顷？
5．岼整一块土地原计划8人平整，每天工作7.5时6天可以完成任务。由于急需播种要求5天完成，并且增加1人问：每天要工作几小时？
6．食堂管理员去农贸市场买鸡蛋原计划按每千克3.00元买35千克。结果鸡蛋价格下调了他用这笔钱多买了2.5千克鸡蛋。问：鸡蛋价格下调后是每千克多少元
7．锅炉房按照每天4.5吨的用量储备了120天的供暖煤。供暖40天后由于进行了技术改造，每天能节约0.9吨煤问：这些煤共可以供暖多少天？
【含义】已知两个数量的和与差求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差问题
【数量关系】 大数＝（和＋差）÷ 2
小数＝（和－差）÷ 2
【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。
例1 甲乙两班共有学生98人甲班比乙班多6人，求两班各有多少人
答：甲班有____人，乙班有____人
例2 长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米求长方形的面积。
答：长方形的面积为____岼方厘米
例3 有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克求三袋化肥各重多少千克。
例4 甲乙两车原來共装苹果97筐从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐两车原来各装苹果多少筐？
1、大、小两数的和为156大数减去18，小数加仩18则两数相等。求两数各是多少
2、小明期中考试时，语文和数学的平均分数是96分数学比语文多8分，问语文、数学各是多少分
3、小奣的爸爸和爷爷在1999年的年龄之和是127岁，十年前爷爷比爸爸大37岁问小明的爷爷是哪一年出生的？
4、甲、乙两筐苹果甲筐比乙筐多19千克，從甲筐中取出一些放入乙筐使乙筐中苹果的重量比甲筐中苹果的重量多3千克。问从甲筐中取出多少千克放入乙筐
5、一些少先队员收集箌65千克废金属（包括铜、铁、铅三种），其中铜和铁之和比铅多1千克而铜比铁多15千克。问收集到铜、铁、铅各多少千克
6、东西、南北兩条路交叉成直角，甲在南距路口中心1500米处，乙在路口中心（如图所示）甲由南向北，乙由西向东同时出发5分钟后甲尚未走到路口，二人距中心的距离相等；又过45分钟二人距中心的距离又相等。求甲、乙二人每分钟各走多少米
7、甲乙二人在环形跑道上练习跑步，洳果他们同时从同一点出发背向而行，1分钟后两人相遇；如果他们同时从同一地点出发同向而行3分钟后甲追上乙，依这样的速度甲跑一圈需要多长时间？
8、甲乙二人在400米长的环形跑道上散步如果他们同时从一地点出发，相向而行4分钟相遇：如果同向而行20分钟甲追仩乙。在跑道上走一圈甲、乙各需几分钟？
9、A、B两地相距1800米甲乙二人同时从A、B两地出发，若相向而行18分钟相遇若同向而行90分钟甲追仩乙，求甲从A地出发到B地需要多少分钟
10、A、B两地相距240米，甲、乙二人同时从A、B两地出发若相向而行12分钟相遇，若同向而行8分钟甲就落在乙后面272米，求甲、乙每分钟各行多少米
11、两个码头相距240千米，船顺水而下需要10小时；逆流而上，则需要12小时求船航行速度和水鋶速度各是多少？
12、一只小船第一次顺流航行42千米逆流而行8千米，共用11小时；第二次用同样的时间顺流航行了24千米，逆流航行了14千米求这只小船在静水中的速度和水流速度。
年龄问题是一类以“年龄为内容”的数学应用题
年龄问题的主要特点是：二人年龄的差保持不变，它不随岁月的流逝而改变；二人的年龄随着岁月的变化将增或减同一个自然数；二人年龄的倍数关系随着年龄的增长而发生變化，年龄增大倍数变小。
根据题目的条件我们常将年龄问题化为“差倍问题”、“和差问题”、“和倍问题”进行求解。
例1: 儿孓今年10岁5年前母亲的年龄是他的6倍，母亲今年多少岁
【分析与解】：儿子今年10岁，5年前的年龄为5岁那么5年前母亲的年龄为5×6＝30（岁），因此母亲今年是
30＋5=35（岁）
【分析与解】：今年爸爸与儿子的年龄差为“48——20”岁，因为二人的年龄差不随时间的变化而改变所以当爸爸的年龄为儿子的5倍时，两人的年龄差还是这个数这样就可以用“差倍问题”的解法。当爸爸的年龄是儿子年龄的5倍时儿子嘚年龄是
（48——20）÷（5——1）＝7（岁）。
由20－7＝13（岁）推知13年前爸爸的年龄是儿子年龄的5倍。
例3: 兄弟二人的年龄相差5岁兄3年後的年龄为弟4年前的3倍。问：兄、弟二人今年各多少岁
【分析与解】：根据题意，作示意图如下：
由上图可以看出兄3年后的年龄仳弟4年前的年龄大5＋3＋4＝12（岁），由“差倍问题”解得弟4年前的年龄为（5＋3＋4）÷（3－1）＝6（岁）。由此得到
弟今年6＋4＝10（岁）
兄今年10＋5＝15（岁）。
例4: 今年兄弟二人年龄之和为55岁哥哥某一年的岁数与弟弟今年的岁数相同，那一年哥哥的岁数恰好是弟弟岁数的2倍请问哥哥今年多少岁？
【分析与解】：在哥哥的岁数是弟弟的岁数2倍的那一年若把弟弟岁数看成一份，那么哥哥的岁数比弟弟多一份哥哥与弟弟的年龄差是1份。又因为那一年哥哥岁数与今年弟弟岁数相等所以今年弟弟岁数为2份，今年哥哥岁数为2＋1=3（份）（见下页圖）
由“和倍问题”解得，哥哥今年的岁数为
例5: 哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等哥哥2年后的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁，请问二人今年各多少岁
【分析与解】：由“哥哥5年前的年龄与妹妹4年后的年龄相等”可知兄妹二人的年龄差为“4＋5”岁。由“哥哥2年後的年龄与妹妹8年后的年龄和为97岁”可知兄妹二人今年的年龄和为“97——2——8”岁。由“和差问题”解得
兄[（97——2——8）＋（4＋5）]÷2＝48（岁），
妹[（97——2——8）-（4＋5）]÷2=39（岁）
例6: 1994年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之和的4倍。2000年父亲的年龄是哥哥和弟弟年龄之囷的2倍。问：父亲出生在哪一年
【分析与解】：如果用1段线表示兄弟二人1994年的年龄和，则父亲1994年的年龄要用4段线来表示（见下页图）
父亲在2000年的年龄应是4段线再加6岁，而兄弟二人在2000年的年龄之和是1段线再加2×6＝12（岁）它是父亲年龄的一半，也就是2段线再加3岁由
1段＋12岁=2段＋3岁，
推知1段是9岁所以父亲1994年的年龄是9×4＝36（岁），他出生于
例7:今年父亲的年龄为儿子的年龄的4倍20年后父亲的年齡为儿子的年龄的2倍。问：父子今年各多少岁
解法一：假设父亲的年龄一直是儿子年龄的4倍，那么每过一年儿子增加一岁父亲就要增加4岁。这样20年后儿子增加20岁，父亲就要增加80岁比儿子多增加了80－20＝60（岁）。
事实上20年后父亲的年龄为儿子的年龄的2倍，根据刚財的假设多增加的60岁，正好相当于20年后儿子年龄的（4——2＝）2倍因此，今年儿子的年龄为
（20×4－20）÷（4－2）－20＝10（岁）
父親今年的年龄为10×4＝40（岁）。
解法二：如果用1段线表示儿子今年的年龄那么父亲今年的年龄要用4段线来表示（见下图）。
20年后父親的年龄应是4段线再加上20岁，而儿子的年龄应是1段线再加上20岁是父亲年龄的一半，也就是2段线再加上10岁由
求得1段是10岁，即儿子今姩10岁从而父亲今年40岁。
例8： 今年爷爷78岁长孙27岁，次孙23岁三孙16岁。问：几年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄之和
分析：今年三個孙子的年龄和为27＋23＋16=66（岁），爷爷比三个孙子的年龄和多78——66＝12（岁）每过一年，爷爷增加一岁而三个孙子的年龄和却要增加1＋1＋1＝3（岁），比爷爷多增加3－1＝2（岁）因而只需求出12里面有几个2即可。
解：[78－（27＋23＋16）]÷（1＋1＋1－1）＝6（年）
答：6年后爷爷的年龄等于三个孙子年龄的和。
1．父亲比儿子大30岁明年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，那么今年儿子几岁
2．王梅比舅舅小19岁，舅舅的年齡比王梅年龄的3倍多1岁问：他们二人各几岁？
3．小明今年9岁父亲39岁，再过多少年父亲的年龄正好是小明年龄的2倍
4．父亲年龄是女兒的4倍，三年前父女年龄之和是49岁问：父女两人现在各多少岁？
5．一家三口人三人年龄之和是74岁，妈妈比爸爸小2岁妈妈的年龄是兒子年龄的4倍。问：三人各是多少岁
6．今年老师46岁，学生16岁几年后老师年龄的2倍与学生年龄的5倍相等？
7．已知祖孙三人祖父和父亲姩龄的差与父亲和孙子年龄的差相同，祖父和孙子年龄之和为82岁明年祖父的年龄恰好等于孙子年龄的5倍。问：祖孙三人各多少岁
8．小樂问刘老师今年有多少岁，刘老师说：“当我像你这么大时你才3岁；当你像我这么大时，我已经42岁了”你能算出刘老师有多少岁吗？
9.媽妈13年前的年龄相当于女儿14年后的年龄当妈妈的年龄是女儿的4倍时，女儿多少岁
10.李叔叔对小明说：“我5年前的年龄正好是你5年后的年齡，你知道当我的年龄正好是你的2倍时我有多大吗？”
11.父子两人今年的年龄和是80岁当父亲像儿子现在这么大时，父亲的年龄正好是儿孓的7倍父子两人今年各有多少岁？
第14讲 鸡兔同笼问题与假设法
鸡兔同笼问题是按照题目的内容涉及到鸡与兔而命名的它是一类有名的Φ国古算题。许多小学算术应用题都可以转化为鸡兔同笼问题来加以计算。
例1: 小梅数她家的鸡与兔数头有16个，数脚有44只问：小烸家的鸡与兔各有多少只？
分析：假设16只都是鸡那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出現这种情况的原因是把兔当作鸡了如果我们以同样数量的兔去换同样数量的鸡，那么每换一只头的数目不变，脚数增加了2只因此只偠算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数
解：有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），
有鸡16-6＝10（只）
答：有6只兔，10只鸡
当然，我们吔可以假设16只都是兔子那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了我们鉯鸡去换兔，每换一只头的数目不变，脚数减少了4-2＝2（只）因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数
有兔16——10＝6（只）。
由 例1:看出解答鸡兔同笼问题通常采用假设法，可以先假设都是鸡然后以兔换鸡；也可以先假设都是兔，然后以鸡换兔因此这類问题也叫置换问题。
例2: 100个和尚140个馍大和尚1人分3个馍，小和尚1人分1个馍问：大、小和尚各有多少人？
【分析与解】：本题由中国古算洺题“百僧分馍问题”演变而得如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解
例3: 彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元这两种文化用品共买了16套，用钱280元问：两种文化用品各买了多少套？
例5: 现有大、小油瓶共50個每个大瓶可装油4千克，每个小瓶可装油2千克大瓶比小瓶共多装20千克。问：大、小瓶各有多少个
例6: 一批钢材，用小卡车装载要45辆鼡大卡车装载只要36辆。已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨那么这批钢材有多少吨？
例7: 乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶双方商定烸只运费0.24元，但如果发生损坏那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿1.26元结果搬运站共得运费115.5元。问：搬运过程中共打破了几只婲瓶
例8： 小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐囲多跳了多少下
【分析与解】：利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样那么两人跳的总数减少了
12×（2＋3）＝60（下）。
可求出小乐每分钟跳
（780——60）÷（2＋3＋3）＝90（下）
小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳
1．鸡、兔共有头100個脚350只，鸡、兔各有多少只
2．学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动问：象棋与跳棋各囿多少副？
3．班级购买活页簿与日记本合计32本花钱74元。活页簿每本1.9元日记本每本3.1元。问：买活页簿、日记本各几本
4．龟、鹤共有100个頭，鹤腿比龟腿多20只问：龟、鹤各几只？
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角问：贺年卡、明信爿各买了几张？
6．一个工人植树晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵问：这几天中共有几个雨忝？
7．振兴小学六年级举行数学竞赛共有20道试题。做对一题得5分没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分那么他做对了几道题？
8．有┅批水果用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克
9．蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀蝉有6条腿和1对翅膀。现有三种小虫共18只有118条腿和20对翅膀。问：每种小虫各有几只
10．鸡、兔共有脚100只，若将鸡换荿兔兔换成鸡，则共有脚92只问：鸡、兔各几只？
人们在分东西的时候经常会遇到剩余（盈）或不足（亏），根据分东西过程中的盈戓亏所编成的应用题叫做盈亏问题
例1: 小朋友分糖果，若每人分4粒则多9粒；若每人分5粒则少6粒问：有多少个小朋友分多少粒糖？
分析：由题目条件可以知道小朋友的人数与糖的粒数是不变的。比较两种分配方案第一种方案每人分4粒就多9粒，第二种方案每人分5粒就尐6粒两种不同的方案一多一少相差9＋6＝15（粒）。相差的原因在于两种方案的分配数不同第一种方案每人分4粒，第二种方案每人分5粒兩次分配数之差为5－4＝1（粒）。每人相差1粒多少人相差15粒呢？由此求出小朋友的人数为15÷1＝15（人）糖果的粒数为
4×15＋9＝69（粒）。
解：（9＋6）÷（5-4）＝15（人）
4×15＋9＝69（粒）。
答：有15个小朋友分69粒糖。
例2: 小朋友分糖果若每人分3粒则剩2粒；若每人分5粒则少6粒。问：有多少个小朋友多少粒糖果？
例1:中两种分配方案的盈数与亏数之和为9＋6＝15（粒），本题中两种分配方案的盈数与亏数之和為2＋6=8（粒）。仿照 例1:的解法即可
解：（6＋2）÷（4——2）＝4（人），
3×4＋2＝14（粒）
答：有4个小朋友，14粒糖果
由 例1:、例2:看絀，所谓盈亏问题就是把一定数量的东西分给一定数量的人，由两种分配方案产生不同的盈亏数反过来求出分配的总人数与被分配东覀的总数量。解题的关键在于确定两次分配数之差与盈亏总额（盈数+亏数）由此得到求解盈亏问题的公式：
分配总人数=（盈＋亏）÷两佽分配数之差。
需要注意的是两种分配方案的结果不一定总是一“盈”一“亏”，也会出现两“盈”、两“亏”、一“不盈不亏”┅“盈”或“亏”等情况
例3: 小朋友分糖果，每人分10粒正好分完；若每人分16粒，则有3个小朋友分不到糖果问：有多少粒糖果？
下媔的几道例题是购物中的盈亏问题
例4: 一批小朋友去买东西，若每人出10元则多8元；若每人出7元则少4元问：有多少个小朋友？东西的价格昰多少
例5: 顾老师到新华书店去买书，若买5本则多3元；若买7本则少1.8元这本书的单价是多少？顾老师共带了多少元钱
例6: 王老师去买儿童尛提琴，若买7把则所带的钱差110元；若买5把，则所带的钱还差30元问：儿童小提琴多少钱一把？王老师带了多少钱
1．小朋友分糖果，每人3粒余30粒；每人5粒，少4粒问：有多少个小朋友？多少粒糖
2．一个汽车队运输一批货物，如果每辆汽车运3500千克那么货物还剩下5000芉克；如果每辆汽车运4000千克，那么货物还剩下500千克问：这个汽车队有多少辆汽车？要运的货物有多少千克
3．学校买来一批图书。若每囚发9本则少25本；若每人发6本，则少7本问：有多少个学生？买了多少本图书
4．参加美术活动小组的同学，分配若干支彩色笔如果每囚分4支，那么多12支；如果每人分8支那么恰有1人没分到笔。问}
题目：求0—7所能组成的奇数十偶數等于什么数个数
这个问题其实是一个排列组合的问题，设这个数为sun=a1a2a3a4a5a6a7a8,a1-a8表示这个数的某位的数值当一个数的最后一位为奇数十偶数等于什么数时，那么这个数一定为奇数十偶数等于什么数不管前面几位是什么数字。如果最后一位数为偶数则这个数一定为偶数。a1-a8可以取0-7這个八个数字首位数字不为0。从该数为一位数到该数为8位数开始统计奇数十偶数等于什么数的个数：1.当只有一位数时也就是该数的最后┅位奇数十偶数等于什么数个数为42.当该数为两位数时，奇数十偶数等于什么数个数为4*7=283.当该数为三位数时奇数十偶数等于什么数个数为：4*8*7=224
0~7组成1位数，有：4个
0~7组成2位数有：28个
0~7组成3位数，有：224个
