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时间：2016-05-02 05:37
如何撰写课题的设计思路，方法和内容_百度知道
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如何撰写课题的设计思路，方法和内容
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深入的，或1-2年、&教育方面的研究已比较多，是对研究的高度概括，重点介绍自己课题设计的主要内容、前人工作、争论焦点，课题研究期限一般为一年、类比法，所以需要在题目中点出来为好、教育教学活动中的保护等），可改成"，一定要严格按照方法的要求，不能凭经验、常识去做;课题名称"，"，一目了然，特色鲜明、地址"、逆向思维法、注意引用文献的代表性、可靠性和科学性。引用要忠实文献原文。3、参考文献不能省略，文字要简明扼要；有的题目未加一定的限制词，使题目显得太大，如《我区社区教育的研究》，为报告的高级形式；&单位及职务、职称&，应填写明确，都不能少。如果课题已批准立题，而签字盖章都应该补上;幼儿园安全保护工作研究&，最好点明研究方法，如《在小学数学中培养学生思维品质的实验研究》（方法为教育实验研究）。有的课题题目没有点明，一般要求十篇以上，必须是作者直接阅读过的。二、 如何撰写课题的设计思路？）、新颖性，如果再去研究，我们认为必要性不大，如&、&构建小学数学情境课堂的实践与研究&、设计思路的撰写总体上来说就是设计者以一个什么样的大体思路来完成自己的课题设计。内容主要包括规划选题的设计计划、设计步骤的主要组成部分、计划选题在什么地方有一些创新突破点、达到什么样的设计效果;等、系统的论述;图式理论&（低年级还不太适宜）、&新课程标准下学生英语学习方式转变的研究&在高中英语教学中提高后进生的研究&应填写清楚、"。可以说明在设计的某一阶段主要采用什么设计方法。我们在应用各种方法时、关于课题的题目教育科研课题的选题要求符合需要性、最新的文献资料是写好综述的前提。对照上述要求，象申报2005年度省;、&农村中小学英语教学衔接初探"，应明确制定调查表，明确如何进行分析包括综合分析和设计分析。3、设计内容的撰写简单介绍自己为何进行这项设计（说明现有设计的缺点）;说明&是这样要求的：课题申报须附有详细的研究方案，方案应按规范要求设计，字数为（用电脑打印），并包括有以下内容：（1）课题的现实背景及意义；（2）国内外关于同类课题的研究综述；（3）课题研究的内容及预期目标；（4）如研究已有一定基础，可写上初期研究成果或&研究的操作措施及做法&；（5）课题研究的步骤及人员分工；（6）课题研究的条件分析（含已取得的与本课题有关的研究成果）。可有的研究方案没有按照上面的要求去写，需要修补。一如写&课题的现实背景及&，往往本人、本校、本县（区），甚至本市的背景情况、实际中碰到的、存在的问题情况没有反映或没有足够的反映。这里介绍阐述的比较好的例子，如《幼儿自我保护能力培养教育的研究》这一课题对研究的现实背景及意义是这样陈述的：&在幼儿班的多年教学中，经常碰到有孩子把积木塞进鼻孔，或手拿剪刀、竹竿在活动室里追逐打闹；或爬高爬低，乱挤乱撞，造成呼吸障碍、刺伤、摔伤等事故。电视、报纸等各种新闻媒体中也经常报道幼儿被拐、溺水、发生交通事故等严重事件，而且许多事例触目惊心。我们对幼儿班200名家长进行了问卷调查，结果为分类 孩子出生以来受过伤的 家长对孩子自我保护能力培养没有进行过的 孩子出现问题时才进行 有目的、有计划进行 希望幼儿园对孩子进行全面指导、教育的人数 98 48 115 37 200百分比 49% 24% 57.5％ 18.5％ 100％由上说明，幼儿期是突发事件发生的频繁时期。分析原因，一个重要的因素就是幼儿自身的弱点。在幼儿判断能力、应变能力及体力等方面远不及成人，面对突如其来的以外事故时，很难及时作出正确反应，容易导致意外事故的发生。同时幼儿家长对孩子自我保护能力的培养还很不重视。据资料反映，国外对幼儿此方面能力的培养较为重视，孩子的自我保护能力强于国内孩子。另外，家长希望幼儿园对孩子进行较为全面指导人数达100％，这说明家长对幼儿园寄予极高的期望。安全工作是幼儿园工作的重要组成部分。但目前幼儿园纲要对此方面要求不够强调，同时也没有这方面的完整教材。因此，我们把幼儿自我保护能力培养教育作为一个重要课题来研究。&二如写&国内外关于同类课题的研究综述&，一些课题申报者往往把从网上浏览到的许多东西洋洋洒洒地写上，但是不是拿来作为对本课题的指导呢？本课题将要在上面引述基础上研究什么呢？我们本县（区）、本市、本省研究到什么程度了呢？等等，都没有说，或没有很好说，如有必要请予补上。本县（区）、本市、本省的研究情况，可从近年来公布的立项课题和获奖课题成果目录中去作大概了解，还要去购买相关的书籍进行阅读。三如写&研究内容和目标&，一些方案在&研究内容和目标&的陈述方面存在的主要问题在于：要么缺乏可操作性，要么缺乏&研究&性，有的是比较含混、罗嗦。这里介绍陈述得比较好的例子，如《幼儿自我保护能力培养教育的研究》这一课题：（一）研究内容：1、幼儿自我保护教育内容研究：一是交通安全；二是生活安全；三是活动安全；四是防火安全；五是防止意外伤害，设计一系列教育活动，进行幼儿自我保护教育。2、幼儿自我保护能力培养途径研究：一是采用集体教育活动进行；二是通过玩角色游戏进行；三是在日常活动中进行；四是利用一些环境进行；五是与家长联系配合进行。3、幼儿自我保护能力培养方法研究；一是案例、故事分析法；二是游戏模拟法；三是对比法；四是反语激将法；五是家庭作业法。&上面对&研究内容&的叙述，可以看出课题设计者从&内容安排&、&培养途径&、&培养方法&三个方面阐述课题的研究内容，是将&操作&与&研究&结合在一起，条理清晰，层次感强。关于&研究的内容&，一般还要对题目中的关键词进行&界定&。如果是搞实验，还应写出&自变量&、&因变量&和&控制变量&。而目前许多被立项的课题，需要但没有作&界定&，也没有考虑&变&量的问题。（二）研究目标：1、形成自我保护教育序列，提供一系列的自我保护教育活动设计。2、通过教育，使幼儿掌握有关自我保护方面的必要知识和技能，增强自我保护意识，从而形成一定的自我保护能力。3、对幼儿自我保护能力的形成规律进行揭示和探讨。&上面对&研究目标&的陈述，很有层次感；二是形成一些可操作的方法，教师、幼儿及其家长均仿照采用；二是对幼儿有哪些帮助，使得幼儿掌握知识，增强意识，形成能力；三是理论突破，如规律性的揭示和探讨。四如写&研究基础&，往往是课题申报之前没作任何研究，开始申报就是县（区）级，甚至市、省级课题，或者对自己研究室的其他课题，包括本校其他研究的课题没有加以联系起来，象是孤零零的一个。实际上，仔细想想，&研究基础&方面还是有内容可以写，而且是必须给予反映的。如《中国教育券制度的实践与探索》这本书，写的是长兴县教育券这一省级规划研究课题成果鉴定、省教育厅在长兴县召开教育券研讨会等情况。可省厅领导黄新茂却在研讨会上提出：&如明后年，全国课题立项时浙江教育券立进去，作为全国规划课题&。什么意思呢？也就是有了长兴的研究基础、全省研讨会的基础，才考虑全国课题的立项。所以你们在申报省、市科研课题时应将&研究基础&写上，或者说，当你们已有一定研究基础时再报省、市级课题，才更具有条件，才更有资格。五如&课题研究的步骤及人员分工&，要有阶段时间和阶段任务，不能脚踩西皮，滑到哪里算哪里，至少是三个大阶段，一是准备阶段，二是实施阶段，三是结题阶段。其中&实施阶段&，又可以具体分出几个来。课题组人员分工也要具体、明确，不能全由主持人一人来做。有的课题较大，需要明确立子课题，那么，由谁，承担什么样的子课题，应该明确。六如&课题研究的条件分析&，包括课题负责人及其课题组成员自身的科研水平、能力，所在单位所能提供的人、财、物力的支持程度。有的课题涉及到自己的权限，须得单位领导同意和支持。所以单位盖章、领导签名这一条争取到，一定得补上。二、课题实施1、应按照开题会议最终确立的研究方案（开题报告）认真实施研究。应保证研究方案的严肃性，对开题会议最终确定的课题题目、主要内容、预期目标、研究方法及步骤分工等不随意变动。2、要根据课题研究（实验）方案确定的方法、内容、步骤、要求等，并根据变化了的情况作适当的调整，切实实施好研究工作。大家可以翻阅我们提供的（湖州市教育科学规化课题优秀研究报告（论文（选）），其中的&课题的实施&部分，不难看出这些课题的承担者们所进行的扎扎实实的研究（实验）工作。3、严格执行所订立的课题研究制度，如应按设计的《课题实施记录本》及时记录&课题实施的阶段性计划&、&相关理论学习的摘要、心得&、&课题组活动（包括调研、访问、开课、评课、随感等）情况&；根据阶段小结要求将&课题实施的过程与成绩&、&课题研究的问题与不足&、&课题研究改进的措施&等情况及时填写在《课题研究阶段性小结表》中；课题组成员应努力完成阶段性研究（实验）任务，并认真组织（参加）阶段性研究的小结交流活动。4、研究者&资料意识&要强，研究的各个环节都应尽可能地形成资料，包括开题报告、前测资料及分析报告、阶段小结、活动材料、交流材料、子课题研究报告（论文）、相关案例、后测资料及分析报告、获奖资料等、要十分重视资料的整理工作，对收集的资料要采用多种方法予以保存，最好采用资料卡或采用电脑摘要储存。各类研究资料应建立档案，分类存档。5、各课题承担者应经常向各县、区（市属学校直接向市）教科规划办汇报课题研究进展情况，主动接受管理。谈谈教学反思的写法一、什么是教学反思反思教学就是教师自觉地把自己的课堂教学实践， 作为认识对象而进行全面而深入的冷静思考和总结。它是一种用来提高自身的业务，改进教学实践的学习方式，不断对自己的教育实践深入反思，积极探索与解决教育实践中的一系列问题，从而进一步充实自己，提高教学水平。二、为何要写教学反思1、促进思考向纵深发展的意义。一般的思考，往往因时间、大脑遗忘规律等方面的因素，或者导致思考停留在一般或者还没思考出具体的结果就产生了搁置现象。而写，首先需要教师对在教学中的引发了注意的教学现象进行认真地回忆，具体、细致、形象的描述，形成对教学事件、个案的进一步细致地、比较全面的认识，为深入思考奠定了基础。其次，写反思的时候，因为要落笔，就需要对所思考的内容进行逻辑化、条理化、理性化的表述，促使思考具有一定的理性化。我们经常遇到这样的现象；同时，对写下来的教学现象、个案进行思考，因为写得翔实，思考也会趋于全面。2、促进教师教育理论学习的深入。如果一般的思考，往往是教师的思考不能够与理论的学习结合起来，从而导致思考的肤浅。而写，往往使人产生一种写的深刻一点的需求，在这种需求的驱动下，往往要参阅一些资料、翻看一些书籍，促使教师进一步学习，是自己的思考与倡导的理论结合起来，从而实现对理论认识的提升，从而提高自己的理论水平。3、促成教师的经验积累和提升。一般的思考，会随着时间的推移而将往事淡忘。而写，能够帮助教师把自己教学实践中的经验、问题和思考积累下来，使自己对自己教学现象中的典型事例和思考深深地记忆下来。因为写的积累作用，教师便真正成为了一个有丰富教学经验和理性思考的教师。同时，写下来的东西更方便与人交流，会促进教师更好的发展。三、教学反思的内容1、写成功之处将教学过程中达到预先设计的教学目的、引起教学共振效应的做法；课堂教学中临时应变得当的措施；层次清楚、条理分明的板书；某些教学思想方法的渗透与应用的过程；教育学、心理学中一些基本原理使用的感触；教学方法上的改革与创新等等，详细得当地记录下来，供以后教学时参考使用，并可在此基础上不断地改进、完善、推陈出新，达到光辉顶点。2、写不足之处即使是成功的课堂教学也难免有疏漏失误之处，对它们进行系统的回顾、梳理，并对其作深刻的反思、探究和剖析，使之成为今后再教学上吸取教训，更上一层楼。3、写教学机智课堂教学中，随着教学内容的展开，师生的思维发展及情感交流的融洽，往往会因为一些偶发事件而产生瞬间灵感，这些＂智慧的火花＂常常是不由自主、突然而至，若不及时利用课后反思去捕捉，便会因时过境迁而烟消云散，令人遗憾不已。4、写学生创新在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会有&创新的火花&在闪烁，教师应当充分肯定学生在课堂上提出的一些独特的见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和激励。同时，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路，提高教学水平。因此，将其记录下来，可以补充今后教学的丰富材料养分。5、写&再教设计&一节课下来，静心沉思，摸索出了哪些教学规律；教法上有哪些创新；知识点上有什么发现；组织教学方面有何新招；解题的诸多误区有无突破；启迪是否得当；训练是否到位等等。及时记下这些得失，并进行必要的归类与取舍，考虑一下再教这部分内容时应该如何做，写出&再教设计&，这样可以做到扬长避短、精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的境界和高度。四、写好教学反思的方法1、从怀疑处反思。从怀疑处寻求问题，至少产生两个角度以上的思考。如：教学方法的使用是否科学。从&是&与&否&两个角度，还可以延生出怎么&更科学&，怎么才能避免&不科学&等举一反三的思考。2、从转换立场处反思。一个教学细节，从教师、学生、家长的角度来看也会不同，细究之，从学生的不同层次来看也是如此。因此，反思中，要有机地寻求转换立场，多角度来&包围&反思主题，才能增强反思的深度与客观性。3、从转换知识系统、学科领域处反思。综合实践、跨学科教学实践是课程标准的新理念。因此，反思有时也应从转换知识系统、学科领域来寻求不同的答案。4、转换时空处反思。环境、时间的变化影响了人们的认知。每个教学细节都有其发生、发展的时空特性，一堂课、一个教育教学过程的成功与失败都有诸多偶然因素，不要因为成功或失败就放过或忽略潜藏其中的问题。5、从假设性问题处反思。注重思维的设计性是培养创新思维的要点。假设是逻辑思考的重要方式。一种假设就代表一种新思维、新概念，甚至能产生与已有的问题相悖的结果。反思中提出一个假设，就可能是在发现问题后寻找到的解决问题的一把钥匙。6、从联系对比处反思。对比体现差异，联系体现衔接，通过横向、纵向的联系、对比，我们就可以从中发现许多新的问题。7、从事物本质处反思。
哲学是所有科学的基础，心理学、教育学是教育科学的基础。要学会做更深层次的反思，就必须掌握哲学原理，学习心理学、教育学知识，才能使&反思&更全面、更科学、更客观，才能提高&反思&的含金量。五、写教学反思的注意点1、注意反思的&落脚点&。教师们多数处于实践研究层面，因此要重视发挥自已的优长，找准&反思&的落脚点。首先要做好个人教学能力与教学风格的自我反思，如课堂教学设计是否过于单一，教学组织是否有序，激励奖惩是否得法，课堂氛围是否和谐。通过一番自我&反思&，明确自已&反思&的中短期目标、方向；其次&反思&要有结合实际教育资源意识，如社区环境、学校环境、办学条件、学生实际等，有了实际的教育资源意识，&反思&才能实事求是，才能因地制宜。2、注意反思的&系统化&。一堂课、一个教学细节都是反思的因子，但&反思&并不是仅仅只是为了一堂课或一个教学细节，而是为了更好地改造我们整个的教学理念，教学思维，说到底是提高教育教学的生命活力。因此，要做好反思还必须具备系统化意识。所有的学科都由若干的子系统组成，都有其内在的规律特征与传统经验积累，只有进行&系统&的反思、实践，才能提高整体教学能力，才能提升自己的教育思想境界。3、注意反思的&实践性&。新课标是一种理念，实践是在理念的指引下进行的，理念又是在实践的论证下发展的。&反思&的目的就是为了改造教学实践，在实践中体现价值。4、注意反思的&发展性&。经验的积累与知识能力的更新，对于新时期的老师来说，都是非常重要的。因此，反思不仅仅只是对教学实践的反思，还应该有对&反思&的&再反思&，反思后的再学习，学习后的再反思。课题研究方案的设计与撰写一、什么是课题研究方案的设计课题研究方案的设计是研究人员为了完成研究任务而进行的总体谋划。二、课题研究方案设计的意义（一） 保证课题研究具有明确的方向和目标。（二） 保证课题研究步骤有序化。（三） 有利于课题论证、评价与管理。三、课题研究方案的主要内容及其要求。（一）课题名称。
要求：简明、贴切、清晰。如：学生电子成长记录的研究和应用（二）课题界定。
要求回答&什么是&的问题，说明课题名称及其关键词的涵义。方案设计的许多内容将由此发出去。科学的课题界定有利于使研究内容和活动切题，防止研究目标和方向的转移或使研究范围任意扩大或缩小。例： “电子成长记录” 课题 利用网络技术（数字化教学平台）开展过程性评价和多元评价，反映学生多个方面的努力，进步和成就。发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学的功能，同时在评价方法与技术等方面进行探索和尝试。“学生成长记录”子课题选题：1、生成长记录的项目（认知、情感、技能等）以及对应的评价和记录方法；2、学习方式、活动方式、评价方式的设计对实现“电子成长记录”的影响；3、网络教学活动设计与评价模型的构建；4、学科知识单元或活动单元的形成性评价如何设计；5、如何开展学生的自评和互评；6、如何发挥学生、教师、家长三方参与评价的积极性；7、如何通过“电子成长记录”实施过程性评价和多元评价；8、如何通过“电子成长记录”实现定性评价与定量评价相结合；9、“电子成长记录”对学生成长的影响（理论与实验数据）；（学生、教师、家长的个案研究；实验班形式的研究；不同素养方面的研究）（三）研究背景与意义。要求回答&为什么要进行该课题研究&的问题。可说明：1．研究原因。
具体说明：（1）时代背景。用以说明研究者选用的新的社会参照标准。（2）针对问题。说明根据新的社会参照标准的要求，本课题试图解决的教育中的主要问题。总课题所列问题要包容子课题旨在解决的问题，防止各说各的互相矛盾。子课题要根据总课题所列的某些问题作具体说明。旨在解决的问题要与研究目标、指导理论、研究内容及操作变量等相呼应，前后照应，防止相互分离。（3）学生发展的需要。（4）学校发展的需要。新课程改革的需要，学生发展的需要，教师的发展，学校发展的需要。新课程改革根据社会发展对学校、教师、学生都提出了新的要求，现在的关键是如何使这些新要求变为现实。如果这些要求不能实现，不仅新课程改革的目标不能实现，而且还会影响我国整体教育质量、综合国力及其在21世纪的竞争力。极大地影响学生的发展，影响我国人才的质量。因此，新要求必须转化为教师、学生的行为和素质，变为学校的管理。以教育评价改革为切入点，在教学方式、学习方式开展教育科研，促进教师的专业成长与学生的全面发展，提高学校办学质量。建立学习、交流和沟通的信息化学习共同体，促进学校管理水平和教师教育教学能力的共同发展；2．本课题研究的先进性。说明本课题的研究切合国内外相关课题研究的现状和发展趋势，与其既有联系又有区别。教育评价改革已落后于新课程改革实践。评价已成为新课程改革急于突破的瓶颈。评价的多元化、实时化、网络化、过程化、质性化、3．本课题研究的实践意义和理论价值。建立与新课程改革相适应的评价标准、内容、方法。发挥广大教师、学生、家长参与新课程改革的积极性。促进学生全面发展。促进教师专业成长。（四） 课题研究的对象。可说明：1．根据研究的目的和任务确定对象的代表性2．根据统计学要求推算研究对象的数量3．通过前测对实验对象和对照对象进行等化处理或采取随机抽样的方法确定研究对象和对照对象。对象可以是： 自然班、学科组、活动组、学生个体、教师、家长等（五）研究思路。可说明：1．研究假设。研究假设是研究者根据一定的科学事实和科学理论对研究中所要解决的问题的结果所做的猜测，即对课题中涉及的两个变量之间相互关系的设想。假设在课题研究中具有定向、限定和标准的作用。研究必须围绕假设进行，对假设进行验证，并在、&写一种即可;和&农村后进生自主学习心理素质优化的研究&中的&后进生&幼我积极生存、安全自护教育的实践与研究&（"。2。"。要把握“综”和“述”的特点，或换成深一点的角度--&幼儿生存教育的实践与研究&，如&幼儿园英语"，一般填3个内容，否则你的研究得不到单位及领导的支持，这里封面上也需作相应调整；&课题负责人"，即规定研究方案撰写的内容方面的要求;在美术教学中引进童装设计的研究与实践&在低段数学中培养学生'互评学习方式'；有的题目提法欠妥，如&新理念下的学生活作文的实践与研究&，只填写1个即可；&完成时间&、缺点列举法、关于课题申报表未按要求填写的，应按要求填写到位;结题报告&不太适宜进行）、设计方法和设计内容 1，使材料更精炼明确，更有逻辑层次;古典诗词的阅读与欣赏"，字数一般不超过21个，如果太多时可使用副标题的形式;完成时间&课题组其他面员的有关情况"。在撰写时，应注意以下几个问题：1、搜集的文献应尽量全、尽量新。掌握全面、目的意义、创新性、实用价值诸方面的高度概括、"、头脑风暴法、十字坐标法，一般为&报告&;）;课题内分工&、希望点例举法、仿生学法、"，最后以一个什么样的方式展现设计成果等方面。2、设计方法的撰写设计方法有很多种比如实例分析法;（着眼于哪个新的角度呢。“综”式要求对所查阅的问小资料和市场调研情况进行综合分析、归纳整理，研究角度就鲜明一些了。有的题目加了限制词，但不够恰当，影响了研究的价值;、&多媒体技术在教学课堂教学中应用的实践与研究"，而&论文&;如果研究方案里作了调整、调查分析法;、&研究报告&，否则象是经验总结式的题目。如果谁的申报课题题目存在上述情况的，应作必要的调整。3、关于课题研究方案《教育科学研究课题申报表》，最后一个栏目为设计课题研究方案要求方面的&说明&、完整"，自己将要在哪些方面进行重点的设计，并希望有所突破等方面，填单位;。一些规范的课题目;等;的实践与研究&，可改为"；有的是老题目，如果要研究，须有新的角度，若改为《农村社区教育资源统合的探索与研究》、可行性等基本原则。题目;自护&中的&（目前争议较大，尤其是谁负责课题的总体设计，课题研究的正式开始时间早于申报填表时间、全面的，但所选择的课题在进行设计的时候不可能只用到一种设计方法、观点明确、文字精炼。比如，我们要进行市场调查时;成果形式&（以提教学方式转变为宜）、&初中英语教学中的中西文化融入&（一般在高中研究）；有的内容（题目）我们市里已有比较多的研究，“述”及iushiyaoqiu对课题进行比较专门的。如&小学科幻画特色教育的研究&，开设条件不够），你的"，准备从那一个新的角度去研究呢？要在题目中表明这个新的角度、&幼儿园折纸教育的实践与研究"。封面上的"，如&在童装之乡的学校美术教学中引入童装设计的研究与实践"，实在没有职务的，目前强调加强幼儿园门卫保护；&联系电话"，缩小扩大法。总之，课题综述是作者对选题历史背景。2。如何撰写课题研究方案和填写课题申报表1、研究现状、发展前景;图式理论在初三英语阅读教学中应用的研究&（"，图表列举法;实验报告"、&科幻画&;、&外来民工子女融入当地初中的实践与研究&（不明确）、&用新理念激活初中英语课堂的实践与研究&（一般用&新课标"，综合运用所学知识，沥青设计思路为作品的设计打下基础，有&调查报告&，谁承担课题结题报告的执笔撰写任务应予明确；&课题负责人所有单位意见&一般填写单位（自己办公室）电话和本人手机电话号码，便于我们之间的联系。第二面"、市规划课题有的方面我们认为不太适宜;，单位公章和单位分管领导的签字。课题综述只有800字左右，要求表述准确，扩大知识面、职称2个内容；&邮编一、 如何撰写课题综述课题综述是选题涉及到的相关文献资料进行专题搜集和必要的市场调研综合分析而写成的。通过写作过程，了解相关信息;应填某年某月底
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高中数学解题思想方法全部内容(2010版全)
目录前言 ????????????????????? 第一章 高中数学解题基本方法 ????????? 一、 配方法 ??????????????? 二、 换元法 ??????????????? 三、 待定系数法 ????????????? 四、 定义法 ??????????????? 五、 数学归纳法 ????????????? 六、 参数法 ??????????????? 七、 反证法 ??????????????? 八、 消去法 ??????????????? 九、 分析与综合法 ???????????? 十、 特殊与一般法 ???????????? 十一、 类比与归纳法 ?????????? 十二、 观察与实验法 ?????????? 第二章 高中数学常用的数学思想 ???????? 一、 数形结合思想 ???????????? 二、 分类讨论思想 ???????????? 三、 函数与方程思想 ??????????? 四、 转化（化归）思想 ?????????? 第三章 高考热点问题和解题策略 ???????? 一、 应用问题 ?????????????? 二、 探索性问题 ????????????? 三、 选择题解答策略 ??????????? 四、 填空题解答策略 ??????????? 附录 ????????????????????? 一、 高考数学试卷分析 ?????????? 二、 两套高考模拟试卷 ?????????? 三、 参考答案 ??????????????2 3 3 7 14 19 23 28 3235 35 41 47 54 59 59 65 71 77 2前言美国著名数学教育家波利亚说过， 掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一 个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法 理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的 考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意 识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头 脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可 以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思 想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、 处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了， 数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作 性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常 在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是 提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙， 掌握解题的思想方法， 本书先是介绍高考中常用的数学 基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与 综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函 数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关 策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再 现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对 方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题 的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者：东升高中 高建彪
第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法2 3 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知 和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添 项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知 中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲 线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公 式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab； a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b 2) ＋（223 2b） ；21 2[(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]222a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝? 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α ＝1＋2sinα cosα ＝（sinα ＋cosα ） ； x ＋2 21 x2＝(x＋1 x) －2＝(x－21 x) ＋2 ；?? 等等。2Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程 x ＋y －4kx－2y＋5k＝0 表示圆的充要条件是_____。 A.1 422&k&14B. k& 1 或 k&1 44C. k∈RD. k＝ 1 或 k＝1 43. 已知 sin α ＋cos α ＝1，则 sinα ＋cosα 的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1 或－1 D. 0 4. 函数 y＝log1 2(－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。5 42A. （－∞,2]B. [ 5 ,+∞) 4C. (－ 1 , 5 ] 2 4D. [ 5 ,3) 42 25. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 1 、x 2 ，则点 P(x 1 ,x 2 )在圆 x +y =4 上，则实 数 a＝_____。 【简解】 1 小题：利用等比数列性质 a m ? p a m ? p ＝a m ，将已知等式左边后配方（a 3 ＋ a 5 ） 易求。答案是：5。 2 小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解 r &0 即可，选 B。 3 小题：已知等式经配方成(sin α ＋cos α ) －2sin α cos α ＝1，求出 sinα cosα ， 然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。 4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 小题：答案 3－ 1 1 。 Ⅱ、示范性题组： 例 1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角 线长为_____。 A. 2 3 B. 1 4 C. 5 D. 63 4 【分析】 先 转 换 为 数 学 表 达 式 ： 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z ， 则x ? y ? z2 2 2?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 ,而欲求对角线长 ? ?4( x ? y ? z ) ? 24，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度 之和为 24”而得： ??2( xy ? yz ? xz ) ? 11 ?4( x ? y ? z ) ? 242 2 2。2 2 长方体所求对角线长为： x ? y ? z ＝ ( x ? y ? z ) ? 2 ( x y ? y z ? x z ) ＝ 6 ? 1 1＝5 所以选 B。 【注】 本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式， 观察和分析三 个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。 这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例 2. 设方程 x ＋kx＋2=0 的两实根为 p、q，若( 值范围。 【解】方程 x ＋kx＋2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , ((k22p q) +(2q p) ≤7 成立，求实数 k 的取22p q)22+(q p)2＝p ? q44( pq )2＝(p2? q ) ? 2p q2 2 22( pq )2＝[( p ? q ) ? 2 p q ] ? 2 p q2 2 22( pq )2＝? 4) ? 8 4≤7， 解得 k≤－ 1 0 或 k≥ 1 0 。2 2 又 ∵p、 为方程 x ＋kx＋2=0 的两实根， ∴ △＝k －8≥0 即 k≥2 2 或 k≤－2 2 q综合起来，k 的取值范围是：－ 1 0 ≤k≤－ 2 2 或者 2 2 ≤k≤ 1 0 。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ ”；已知方程有两根 时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p＋q、pq 后，观察已知不等式，从其结构 特征联想到先通分后配方，表示成 p＋q 与 pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将 出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这 一点我们要尤为注意和重视。 例 3. 设非零复数 a、b 满足 a ＋ab＋b =0，求( 【分析】 对已知式可以联想：变形为(2 2 2a a ? b)1998＋(b a ? b)1998。a b) ＋(2a b)＋1＝0，则a b＝ω （ω 为 1 的立方虚根）；或配方为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。 【解】由 a ＋ab＋b =0 变形得：( 设ω ＝2 2 2a b) ＋(2a b)＋1＝0 ，1a b，则ω ＋ω ＋1＝0，可知ω 为 1 的立方虚根，所以：2 22?＝b a，ω ＝ ?33＝1。又由 a ＋ab＋b =0 变形得：(a＋b) ＝ab ，4 5 所以 (?999a a ? b)1998＋(b a ? b)1998＝(a2)999＋(b2)999＝(a b)999＋(b a)999＝ω999＋abab＝2 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用ω 的性质，计算 表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 【另解】由 a ＋ab＋b ＝0 变形得：(2 2a b) 2 ＋(999a b)＋1＝0 ，解出 )999b a＝?1? 23i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式( 只是未?1? 2 3ia b)＋(b a后，完成后面的运算。此方法用于联想到ω 时进行解题。2 2假如本题没有想到以上一系列变换过程时， 还可由 a ＋ab＋b ＝0 解出： a＝?1? 23ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的 计算。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数 y＝(x－a) ＋(x－b) A. 8 B.2 2 2（a、b 为常数）的最小值为_____。 C.a2(a ? b) 22? b 22D.最小值不存在22. α 、β 是方程 x －2ax＋a＋6＝0 的两实根，则(α -1) A. － 449?+(β -1) 的最小值是_____。y2B. 8C. 182 2D.不存在x3. 已知 x、y∈R ，且满足 x＋3y－1＝0，则函数 t＝2 ＋8 有_____。 A.最大值 222B.最大值2 2C.最小值 22B.最小值2 24. 椭圆 x －2ax＋3y ＋a －6＝0 的一个焦点在直线 x＋y＋4＝0 上，则 a＝_____。 A. 2 B. －6 C. －2 或－6 D. 2 或 6 5. 化简：2 1 ? sin 8 ＋ 2 ? 2 cos 8 的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设 F 1 和 F 2 为双曲线 x －y ＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠F 1 PF 2 ＝90°，224则△F 1 PF 2 的面积是_________。 7. 若 x&－1，则 f(x)＝x ＋2x＋21 x ?1的最小值为___________。8. 已知 ? 〈β &α 〈 3 π ，cos(α -β )＝ 1 2 ，sin(α +β )＝－ 3 ，求 sin2α 的值。(9224213252 2 2年高考题) 9. 设二次函数 f(x)＝Ax ＋Bx＋C， 给定 m、 m&n） （ n ,且满足 A [(m+n) + m n ]＋2A[B(m+n) －Cmn]＋B ＋C ＝0 。 ① 解不等式 f(x)&0； ② 是否存在一个实数 t，使当 t∈(m+t,n-t)时，f(x)&0 ？若不存在，说出理由；若存在， 指出 t 的取值范围。2 25 6 10. 设 s&1， t&1， m∈R， x＝log s t＋log t s， y＝log s t＋log t s＋m(log s t＋log t s), ① 将 y 表示为 x 的函数 y＝f(x)，并求出 f(x)的定义域； ② 若关于 x 的方程 f(x)＝0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围。4 4 2 2二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这 叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研 究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简 单化，变得容易处理。6 7 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来， 隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和 推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方 程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或 者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过 变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设 2 ＝t（t&0），而变为熟悉的 一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知 识中有某点联系进行换元。如求函数 y＝ x ＋ 1 ? x 的值域时，易发现 x∈[0,1]，设 x＝ sin α ，α ∈[0,2 x x x?2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主2 2 2要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x ＋y ＝r （r&0） 时，则可作三角代换 x＝rcosθ 、y＝rsinθ 化为三角问题。 均值换元，如遇到 x＋y＝S 形式时，设 x＝S 2＋t，y＝S 2－t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围 的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中 的 t&0 和α ∈[0,?2]。Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设 f(x ＋1)＝log a (4－x ) （a&1），则 f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n ?1 ?a n ＝a n ?1 －a n ，则数列通项 a n ＝___________。 4.设实数 x、y 满足 x ＋2xy－1＝0，则 x＋y 的取值范围是___________。 5.方程1? 3?x x2 2 41? 3＝3 的解是_______________。x x ?16.不等式 log 2 (2 －1) ?log 2 (2－2)〈2 的解集是_______________。t2【简解】1 小题：设 sinx+cosx＝t∈[－ 2 , 2 ]，则 y＝ 当 t＝ 2 ，y m ax ＝2＋t－1 2，对称轴 t＝－1，21 2＋ 2；22 小题：设 x ＋1＝t (t≥1)，则 f(t)＝log a [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3 小题：已知变形为 ＝－n，所以 a n ＝－1 n2 21 a n ?1－1 an＝－1,设 b n ＝1 an，则 b 1 ＝－1,b n ＝－1＋(n－1)(-1)；4 小题：设 x＋y＝k，则 x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以 k≥1 或 k≤－1；7 8 5 小题：设 3 ＝y，则 3y ＋2y－1＝0,解得 y＝x x 21 3，所以 x＝－1；5 41 S max6 小题：设 log 2 (2 －1)＝y，则 y(y＋1)&2，解得－2&y&1，所以 x∈(log 2 Ⅱ、示范性题组： 例 1. 实数 x、y 满足 4x －5xy＋4y ＝5 的值。（93 年全国高中数学联赛题）2 2,log 2 3)。1 S m in（ ①式） ，设 S＝x ＋y ，求22＋【 分 析 】 由 S ＝ x ＋ y 联 想 到 cos α ＋ sin α ＝ 1, 于 是 进 行 三 角 换 元 ， 设2 2 2 2?x ? ? ? ?y ? ?S cos α S sin α代入①式求 S m ax 和 S m in 的值。S cos α S sin α10【解】设 ? 解得 S＝?x ? ? ?y ? ?代入①式得： 4S－5S?sinα cosα ＝58 ? 5 s in 2 α； ∴10 13∵ -1≤sin2α ≤1 ∴ 3≤8－5sin2α ≤13 ∴1 S m ax≤10 8 ? 5 s in ?≤10 3＋1 S m in＝3 10＋13 10＝16 10＝8 5此种解法后面求 S 最大值和最小值，还可由 sin2α ＝ 式：|8S ? 10 S8S ? 10 S的有界性而求，即解不等|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。2 2 2【另解】 由 S＝x ＋y ，设 x ＝S2 2S 2＋t，y ＝S22S 2－t，t∈[－2S 2，S 2]，则 xy＝±4－t代入①式得：4S±52 2410 13 8 5 10 3－t=5，移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。 ∴ ∴ 39S －160S＋100≤0 解得：1 S m ax2 2≤S≤＋1 S m in2＝3 10＋13 10＝16 10＝【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件 S＝x ＋y 与三角公 式 cos α ＋sin α ＝1 的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问 题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式 S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设2 2228 9 x ＝ S ＋t、y ＝ S －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种2 222方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量 x、y 时，可以设 x ＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设 x＝a＋b，y ＝a－b， 代入①式整理得 3a ＋13b ＝5 ， 求得 a ∈[0, 2(a ＋b )＝2 2 2 2 25 3]， 所以 S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝ 的值。2210 13＋20 13a ∈[210 13,10 3]，再求1 S m ax＋1 S m in例 2． △ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A＋C＝2B， cosA? C 21 cos A＋1 cos C＝－2 cos B，求的值。（96 年全国理）【 分 析 】 由 已 知 “ A ＋ C ＝ 2B ” 和 “ 三 角 形 内 角 和 等 于 180 ° ” 的 性 质 ， 可 得? A ? C ? 120° ? A＝ 60° ? α ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ? ? ? B＝ 60° ?C＝ 60° － α，再代入可求cosα 即 cosA? C 2。? A ? C ? 120° ? B＝ 60°【解】由△ABC 中已知 A＋C＝2B，可得 ?? A＝ 60° ? α ?C＝ 60° － α,由 A＋C＝120°，设 ?1 cos A，代入已知等式得： ＋1 c o s( 6 0 ? ? ? )cos ? cos ? ?2＋1 cos C＝1 c o s( 6 0 ? ? ? )cos ?＝1 21 cos ? ? 3 2 s in ?＋1 1 2 cos ? ? 3 2 s in ?＝1 4cos ? ?23 4＝s in ?23 4＝－2 2 ,解得：cosα ＝2 2，即：cosA? C 2＝2 2。1 cos A【另解】由 A＋C＝2B，得 A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＝－2 2 ，设 所以 cosA＝1 ? 2 ? m＋1 cos C＝－2 cos B1 cos A＝－ 2 ＋m，1 ?1 cos C＝－ 2 －m ，，cosC＝2 ? m，两式分别相加、相减得：9 10 cosA＋cosC＝2cosA? C 2cosA? C 2＝cosA? C 2＝2 22cosA－cosC＝－2sin 即：sin4A? C 2sinA? C 2＝－ 3 sin2 2 m2m ? 2 A? C2，2m m22＝? 2， ＋cos22A? C 2＝－2m 3(m2? 2)2，＝－? 2，代入 sin ＝1 cos AA? C 2A? C 2＝1 整理得：3m －16m－12＝0,解出 m ＝6，代入 cosA? C 22 2 m2? 2＝。2【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋1 cos C＝－2 2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对 三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由 A＋C＝ 2B，得 A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＝－2 2 cosAcosC，和积互化得： 2cos ＝A? C 21 cos A＋1 cos C＝－2 cos B＝－2 2 ，即 cosA＋cosCcosA? C 2＝－ 2 [cos(A+C)＋cos(A-C)，即 cos2 －1)，整理得：4 2 cosA? C 2＝2 2－ 2 cos(A-C) －3 2 ＝0,2 22 － 2 (2cosA? C 2A? C 2＋2cosA? C 2解得：cosA? C 2＝2 22例 3. 设 a&0，求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和最小值。2 【解】设 sinx＋cosx＝t， t∈[- 2 , 2 ]， 则 由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx?cosx 得：sinx?cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－1 22t2?1 2y , －2,2x(t－2a) ＋1 2（a&0） t∈[- 2 , 2 ] ，1 222 t＝- 2 时，取最小值：－2a －2 2 a－当 2a≥ 2 时，t＝ 2 ，取最大值：－2a ＋2 2 a－ 当 0&2a≤ 2 时，t＝2a，取最大值：1 21 2；。∴f(x)的最小值为－2a －22?1 2 ) ? (0 ? a ? 1 ?2 2 2 a－ ，最大值为 ? 2 1 ? 2 ? 2a ? 2 2a ? (a ? ? 2 ?。2 2 )10 11 【注】 此题属于局部换元法，设 sinx＋cosx＝t 后，抓住 sinx＋cosx 与 sinx?cosx 的 内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。 换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- 2 , 2 ]）与 sinx＋cosx 对应，否则将会出 错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置 关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地，在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值 和最小值的题型时，即函数为 f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转 化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例 4. 设对所于有实数 x，不等式 x log 2 恒成立，求 a 的取值范围。（87 年全国理） 【分析】不等式中 log 22a a ?124 ( a ? 1) a＋2x log 2( a ? 1) 4a2 22a a ?1＋log 2( a ? 1) 4a22&04 ( a ? 1) a、 log 22a a ?1、log 2三项有何联系？进行对数a ?1 2a式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 【解】 设 log 2 log 22a a ?1＝t，则 log 224 ( a ? 1) aa ?1 2a＝log 28 ( a ? 1) 2a＝3＋log 2＝3－＝3－t，log 2( a ? 1) 4a2＝2log 22＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t&0，它对一切实数 x 恒成立，所以：?3 ? t ? 0 ?t ? 3 ，解得 ? ? 2 ?t ? 0或 t ? 6 ?? ? 4t ? 8t(3 ? t ) ? 0∴ t&0 即 log 22a a ?1&00&2a a ?1&1，解得 0&a&1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设 元，关键是发现已知不等式中 log 24 ( a ? 1) a、 log 22a a ?1、log 2( a ? 1) 4a22三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。 一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的 已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 例 5. 已知 【解】 设2 2 2sin θ x sin θ x＝cos θ y， 且cos x2 2θ＋sin θ y22＝3( x102? y )2(②式)， 求2x y的值。2＝cos θ y＝k，则 sinθ ＝kx，cosθ ＝ky，且 sin θ ＋cos θ ＝k y x2 2 2k (x +y )＝1,代入②式得：10 3＋k x y222＝3( x102? y )2＝10k 32即：y x2 2＋x y2 2＝11 12 设x y2 2＝t，则 t＋ ＝ 1 0 ,tx y41解得：t＝3 或1 3∴x y＝± 3 或±cos θ x2 23 33【另解】 由＝sin θ cos θ2＝tgθ ，将等式②两边同时除以10 3 (1 ? 1 tg ?2，再表示成含 tgθ 的2式子：1＋tg θ ＝ (1 ? tg ? ) ?＝)10 3tg θ ，设 tg θ ＝t，则 3t ―10t＋3＝0，2 2∴t＝3 或1 3，解得x y＝± 3 或± ＝sin θ cos θ23 3。【注】 第一种解法由 第二种解法将已知变形为sin θ xcos θ y而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。x y＝，不难发现进行结果为 tgθ ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。 例 6. 实数 x、y 满足 【分析】由已知条件 是实施三角换元。 【解】由 即： ?( x ? 1) 9? x ? 1 ? 3 cos θ ? y ? ? 1 ? 4 sin θ2( x ? 1) 92＋ ＋( y ? 1) 1622＝1，若 x＋y－k&0 恒成立，求 k 的范围。 ＝1，可以发现它与 a ＋b ＝1 有相似之处，于2 2( x ? 1) 9( y ? 1) 16( y ? 1) 162＋＝1，设x ?1 3＝cosθ ，y ?1 4＝sinθ ，代入不等式 x＋y－k&0 得：3cosθ ＋4sinθ －k&0，即 k&3cosθ ＋4sinθ ＝5sin(θ +ψ ) 所以 k&-5 时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒 成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般 地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有 关问题时，经常使用“三角换元法”。 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式 ax＋by ＋c&0 (a&0)所表示的区域为直线 ax＋by＋c＝0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。 此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终 y 位于平面上 x＋y－k&0 的区域。 即当直线 x＋y－k＝0 在 x 与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，?1 6 ( x ? 1 ) ? 9 ( y ? 1 ) ? 1 4 4 方程组 ? 有相等的一组实 ?x ? y ? k ? 02 2数解，消元后由△＝0 可求得 k＝－3,所以 k&-3 时原不 等式恒成立。kx＋y－k&0 平面区域12 13 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知 f(x )＝lgx (x&0)，则 f(4)的值为_____。 A. 2lg24 3B.1 3lg2C.2 3lg2D.2 3lg42. 函数 y＝(x＋1) ＋2 的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)1 2C. (-∞,-1]3. 设等差数列{a n }的公差 d＝ ，且 S 1 0 0 ＝145，则 a 1 ＋a 3 ＋a 5 ＋??＋a 9 9 的值为 _____。 A. 852 2B. 72.5C. 601 2D. 52.51 24. 已知 x ＋4y ＝4x，则 x＋y 的范围是_________________。 5. 已知 a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 6. 不等式xa ?＋b?的范围是____________。&ax＋ 3 的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。27. 函数 y＝2x＋ x ? 1 的值域是________________。 8. 在等比数列{a n }中， 1 ＋a 2 ＋?＋a 1 0 ＝2， 1 1 ＋a 1 2 ＋?＋a 3 0 ＝12， a 3 1 ＋a 3 2 ＋? a a 求 ＋a 6 0 。 9. 实数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不等式 sin x＋2mcosx＋4m－1&0 恒成立。 10. 已知矩形 ABCD，顶点 C(4,4)，A 点在曲线 2 2 y D C x ＋y ＝2 (x&0,y&0)上移动，且 AB、AD 始 终平行 x 轴、y 轴，求矩形 ABCD 的最小面积。 A B O x2三、待定系数法 要确定变量间的函数关系， 设出某些未知系数， 然后根据所给条件来确定这些未知系数的 方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要条件 是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a) ? g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有 某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问 题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如 果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复 数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系 数法求解。13 14 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其 中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得 的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥 曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设 f(x)＝ A.5 22x 2＋m，f(x)的反函数 f B. －5 2?1(x)＝nx－5，那么 m、n 的值依次为_____。 C.1 2 5 21 3, －2， 2, 2D. －5 2，－22. 二次不等式 ax ＋bx＋2&0 的解集是(－ A. 103,)，则 a＋b 的值是_____。B. －1010C.145D. －143. 在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数 y＝a－bcos3x (b&0)的最大值为3 2，最小值为－1 2，则 y＝－4asin3bx 的最小正周期是_____。 5. 与直线 L：2x＋3y＋5＝0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。 6. 与 双 曲 线 x － ____________。 【简解】1 小题：由 f(x)＝ 2 小题：由不等式解集(－1 25 2y2＝ 1 有 共 同 的 渐 近 线 ， 且 过 点 (2,2) 的 双 曲 线 的 方 程 是4x 2＋m 求出 f1 3?1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选 C；1 2,)，可知－、 是方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根，代入两3512根，列出关于系数 a、b 的方程组，易求得 a＋b，选 D； 3 小题：分析 x 的系数由 C 1 0 与(－1)C 1 0 两项组成，相加后得 x 的系数，选 D； 4 小题：由已知最大值和最小值列出 a、b 的方程组求出 a、b 的值，再代入求得答案2? 35 2；5 小题：设直线 L’方程 2x＋3y＋c＝0，点 A(1,-4)代入求得 C＝10，即得 2x＋3y＋10＝0； 6 小题：设双曲线方程 x －2y2＝λ ，点(2,2)代入求得λ ＝3，即得方程x2－y2＝1。431214 15 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知函数 y＝mx2? 4 3x ? n x2?1的最大值为 7，最小值为－1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数 m、n 的值；已知最大值、最小值实际是 就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 3 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得 y－m≠0 ∴ △＝(－4 3 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7 是方程 y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0 的两根，2 2 2 2代入两根得： ? ∴ y＝5x2?1 ? ( m ? n ) ? m n ? 1 2 ? 0 ?4 9 ? 7( m ? n ) ? m n ? 1 2 ? 0?1解得： ??m ? 5 ?n ? 1或??m ? 1 ?n ? 5? 4 3x ? 1 x2或者 y＝x2? 4 3x ? 5 x2?12此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即 y －6y－7≤0，然后与不等式①比较系 数而得： ??m ? n ? 6 ?m n ? 12 ? ?7，解出 m、n 而求得函数式 y。【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问 题，得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数 m、n。两 种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出 m、n 的方程求解；二是由已知解集写出不 等式，比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概 念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将 y 视为参数，函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数 y 的不等式，解出 y 的 范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较 近的端点距离是 1 0 － 5 ，求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据 a、b、c 之值，问题就全部解决了。 设 a、b、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一 y B’ 个方程， 再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a－c 的值 后列出第二个方程。 x 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c，则|BF’| ＝a A F O’ F’ A’ ∴?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 2 ?a ? a ? (2b ) ? ?a ? c ? 10 ? 5x2解得： ??a ? ? ?b ? ?10 5B∴ 所求椭圆方程是：＋y2＝110515 16 也可有垂直关系推证出等腰 Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰 Rt△B’O’F’，再进行如下?b ? c ? 列式： ? a ? c ? 1 0 ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c5，更容易求出 a、b 的值。【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确 定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变， 本题就利用了这一特征，列出关于 a－c 的等式。 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或 几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。 例 3. 是否存在常数 a、b、c，使得等式 1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝2 2 2n ( n ? 1) 12(an2＋bn＋c)对一切自然数 n 都成立？并证明你的结论。 （89 年全国高考题） 【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数 n 都成立，取特殊值 n＝1、 2、3 列出关于 a、b、c 的方程组，解方程组求出 a、b、c 的值，再用数学归纳法证明等式对 所有自然数 n 都成立。 【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立，令：n＝1，得 4＝1 2 1 6(a＋b＋c)；n＝2，得 22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得 70＝9a＋3b＋c。整理得：?a ? b ? c ? 24 ?a ? 3 ? ? ? 4 a ? 2 b ? c ? 4 4 ,解得 ? b ? 1 1 ， ? ? ? 9 a ? 3b ? C ? 7 0 ?c ? 10于是对 n＝1、2、3，等式 1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝ 立，下面用数学归纳法证明对任意自然数 n，该等式都成立：222n ( n ? 1) 12(3n ＋11n＋10)成2假设对 n＝k 时等式成立，即 1?2 ＋2?3 ＋?＋k(k＋1) ＝2 2 2222k ( k ? 1) 12(3k ＋11k＋10)； (3k ＋11k （3k2 22当 n＝k＋1 时，1?2 ＋2?3 ＋?＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ ＋10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ ＋5k＋12k＋24）＝22k ( k ? 1)k ( k ? 1) 12(k＋2) （3k＋5） ＋(k＋1)(k＋2) ＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]，2212 ( k ? 1 )( k ? 2 ) 12( k ? 1 )( k ? 2 ) 12也就是说，等式对 n＝k＋1 也成立。 综上所述，当 a＝8、b＝11、c＝10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现 了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后 归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 1 ＋2 ＋?＋n 、1 ＋2 ＋?＋n 求和 的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由 n(n＋1) ＝n ＋2n ＋2 3 2 3 3 3 2 2 216 17 n 得 S n ＝1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋?＋n )＋2(1 ＋2 ＋?＋n )＋(1＋2 2 2 3 3 3 2 2 22＋?＋n)＝n ( n ? 1)22＋2?n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 6＋n ( n ? 1) 2＝n ( n ? 1) 12(3n ＋11n＋10)，综24上所述，当 a＝8、b＝11、c＝10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立。 例 4. 有矩形的铁皮，其长为 30cm，宽为 14cm，要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正 方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问 x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积 是多少？ 【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函 数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为 xcm。 ∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x&0，7－x&0，x&0。 设 V＝4 ab(15a－ax)(7b－bx)x(a&0,b&0）要使用均值不等式，则 ? 解得：a＝1 464 3 15 4?? a ? b ? 1 ? 0 ?1 5 a ? a x ? 7 b ? b x ? x， b＝3 4， x＝3 。15 ? 3321 4从而 V＝(－x 4)(21 4－3 4x)x≤64 3(4) ＝364 3?27＝576。所以当 x＝3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm 。 【注】 均值不等式应用时要注意等号成立的条件， 当条件不满足时要凑配系数， 可以用 “待 定系数法”求。本题解答中也可以令 V＝4 ab(15a－ax)(7－x)bx 或4 ab(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了 “凑配法”和“函数思想”。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数 y＝log a x 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|&1，则 a 的取值范围是_____。 A. 2&a& 1 且 a≠122 2B. 0&a& 1 或 1&a&22C. 1&a&2D. a&2 或 0&a& 122. 方程 x ＋px＋q＝0 与 x ＋qx＋p＝0 只有一个公共根，则其余两个不同根之和为 _____。 A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定 3. 如果函数 y＝sin2x＋a?cos2x 的图像关于直线 x＝－ π 对称，那么 a＝_____。8A.20 1B. －22C. 1nD. －14. 满足 C n ＋1?C n ＋2?C n ＋?＋n?C n &500 的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 717 18 5. 无穷等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ＝a－ A. －129 21 2n, 则所有项的和等于_____。 D.与 a 有关B. 1C.1 296. (1＋kx) ＝b 0 ＋b 1 x＋b 2 x ＋?＋b 9 x ，若 b 0 ＋b 1 ＋b 2 ＋?＋b 9 ＝－1，则 k＝ ______。 7. 经过两直线 11x－3y－9＝0 与 12x＋y－19＝0 的交点，且过点(3,-2)的直线方程为 _____________。 8. 正三棱锥底面边长为 2，侧棱和底面所成角为 60°，过底面一边作截面，使其与底面 成 30°角，则截面面积为______________。 9. 设 y＝f(x)是一次函数，已知 f(8)＝15,且 f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求 f(1) ＋f(2)＋?＋f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y＝2x＋7 和抛物线截得的线段长是 4 1 0 , 求抛物线的方程。四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定 义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质 属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果， 它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。 简 单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让 我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知集合 A 中有 2 个元素，集合 B 中有 7 个元素，A∪B 的元素个数为 n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设 MP、OM、AT 分别是 46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP&OM&AT B. OM&MP&AT C. AT&&OM&MP D. OM&AT&MP18 19 3. 复数 z 1 ＝a＋2ｉ，z 2 ＝－2＋ｉ，如果|z 1 |& |z 2 |，则实数 a 的取值范围是_____。 A. －1&a&1 B. a&1 C. a&0 D. a&－1 或 a&1 4. 椭圆x2＋y2＝1 上有一点 P，它到左准线的距离为5 2，那么 P 点到右焦点的距离为259_____。 A. 8 C. 7.5 C.75 4D. 3T 25. 奇函数 f(x)的最小正周期为 T，则 f(－ A. T B. 0 C.T 2)的值为_____。D. 不能确定6. 正三棱台的侧棱与底面成 45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1 小题：利用并集定义，选 B； 2 小题：利用三角函数线定义，作出图形，选 B； 3 小题：利用复数模的定义得 a ? 2 & 5 ，选 A；2 24 小题：利用椭圆的第二定义得到| P F左 | 5 2＝e＝4 5，选 A；5 小题：利用周期函数、奇函数的定义得到 f(－ 6 小题：利用线面角、面面角的定义，答案 2。 Ⅱ、示范性题组：T 2)＝f(T 2)＝－f(－T 2)，选 B；例 1. 已知 z＝1＋ｉ， ① 设 w＝z ＋3 z －4， w 的三角形式； 求2② 如果z2 2? az ? b ? z ?1z＝1－ｉ，求实数 a、b 的值。（94 年全国理） 【分析】代入 z 进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】 z＝1＋ｉ， w＝z ＋3 z －4＝(1＋ｉ) ＋3 (1 ? i ) －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－ 由 有2 21－ｉ，w 的三角形式是 2 （cos 由 z＝1＋ｉ，有z2 25? 4＋ｉsin25? 4）； ＝( a ? b ) ? ( a ? 2 )i i? az ? b ? z ?1＝(1 ? i ) ? a (1 ? i ) ? b (1 ? i ) ? (1 ? i ) ? 12＝(a＋2)－(az＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得： ? 解得 ??a ? ?1 ?b ? 2 ?a ? 2 ? 1 ?? (a ? b) ? ?1，。【注】 求复数的三角形式， 一般直接利用复数的三角形式定义求解。 利用复数相等的定义， 由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。19 20 例 2. 已知 f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求 y＝log3n2 2f(x)的定义域，判定在(2 2,1)上的单调性。【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定 n 与 c 的值求出函数的解析式，再利用函数 的单调性定义判断。? f (2) ? ?2 ? 2c ? ?14 ? 【解】 ? n ? f (4) ? ?4 ? 4c ? ?252 ?n解得： ??n ? 4 ?c ? 1∴ f(x)＝－x ＋x 解 f(x)&0 得：0&x&134设2 2&x1&x2&1 ，2则 f(x21) － f(x2)＝－x41+x1- （ -x42+x2）=(x 1 -x 2 )[1-(x 1 +x 2 )( x 1 +x 2 )],3∵ x 1 +x 2 & 3 2 ， x 1 +x 2 &224 233∴ (x 1 +x 2 )( x 1 +x 2 )〉 3 2 ?2 23224 2＝1∴ f(x 1 )－f(x 2 )&0 即 f(x)在( ∵2 2,1)上是减函数2 2&1∴ y＝log2 2f(x) 在(,1)上是增函数。【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性 A’ A 的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求 n、c D 的过程中，运用了待定系数法和换元法。 C’ C 例 3. 如图，已知 A’B’C’―ABC 是正三棱柱，D 是 AC O H 中点。 ① 证明：AB’∥平面 DBC’； B’ B ② 假设 AB’⊥BC’， 求二面角 D―BC’―C 的度数。 （94 年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证 AB’平行平面 DBC’内的一条直线而得； 由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接 B’C 交 BC’于 O, 连接 OD ∵ A’B’C’―ABC 是正三棱柱 ∴ 四边形 B’BCC’是矩形 ∴ O 是 B’C 中点 △AB’C 中， D 是 AC 中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面 DBC’ ② 作 DH⊥BC 于 H，连接 OH ∴ DH⊥平面 BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH 为所求二面角的平面角。 设 AC＝1，作 OE⊥BC 于 E，则 DH＝1 2sin60°＝3 4，BH＝3 4，EH＝1 4；20 21 Rt△BOH 中，OH ＝BH?EH＝ ∴ OH＝3 423 16，＝DH∴∠DOH＝45°，即二面角 D―BC’―C 的度数为 45°。【注】对于二面角 D―BC’―C 的平面角，容易误认为∠DOC 即所求。利用二面角的平面角 定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线 DH，再证得垂直于棱的垂 线 DO，最后连接两个垂足 OH，则∠DOH 即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角 形十分熟练，在 Rt△BOH 中运用射影定理求 OH 的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设 AB’⊥BC’，BC＝2，求 AB’在侧面 BB’C’C 的 射影长。解答 中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法 如下：作 AE⊥BC 于 E，连接 B’E 即所求，易得到 OE∥B’B，所以2EF BF＝OE B'B＝1 2，EF＝1 3B’E。在 Rt△B’BE 中，易得到 BF⊥BE,由射影定理得：B’E?EF＝BE 即 例 4. 求过定点 M(1,2)，以 x 轴为准线，离心率为1 21 32 B’E ＝1，所以 B’E＝ 3 。的椭圆的y M F A x下顶点的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点 M，准线固定为 x 轴，所以 M 到准线 距离为 2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到| AF| 2＝1 2建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 【解】设 A(x,y)、F(x,m)，由 M(1,2)，则椭圆上定点 M 到准线距离为 2，下顶点 A 到准 线距离为 y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：1 ? 2 2 ? ( x ? 1) ? ( m ? 2 ) ? 2 ? 2 ? ? m ? y 1 ? ? ? y 2 ?(y ? 4 3 )2)2，消 m 得：（x－1） ＋( (y ? 4 3 )2 222 3＝1，)所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋(22 3＝1。【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根 据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数 m,列出的是所 满足的方程组，消去参数 m 就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建 立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦 点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定 义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数 y＝f(x)＝a ＋k 的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则 f(x)的表 达式是___。x21 22 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线准线上的射影分 别为 A 1 、B 1 ,则∠A 1 FB 1 等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知 A＝{0,1}，B＝{x|x ? A}，则下列关系正确的是_____。 A. A ? B B. A ? B C. A∈B D. A ? B 4. 双曲线 3x －y ＝3 的渐近线方程是_____。2 2A. y＝±3xB. y＝± 1 x3C. y＝±3xD. y＝±3 3x5. 已知定义在 R 上的非零函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 6. C 3 n38? n＋C 2 1 ? n ＝________。1 z223n7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是__________。28. 不等式 ax ＋bx＋c&0 的解集是(1,2)，则不等式 bx ＋cx＋a&0 解集是__________。 9. 已知数列{a n }是等差数列，求证数列{b n }也是等差数列，其中 b n ＝ 1 (a 1 ＋a 2 ＋…n＋a n )。 10. 已知 F 1 、F 2 是椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 (a&b&0)的两个焦点，其中 F 2 与抛物线 y ＝12x 的22 2ab焦点重合，M 是两曲线的一个焦点，且有 cos∠M F 1 F 2 ?cos∠MF 2 F 1 ＝ 273 ，求椭圆方程。五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。 归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳 推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全 体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了 一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法， 在解数学题中有着 广泛的应用。 它是一个递推的数学论证方法， 论证的第一步是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立， 这是递推的基础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是无 限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正 确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定 “对任何自然数（或 n≥n 0 且 n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递 推实现归纳的，属于完全归纳。22 23 运用数学归纳法证明问题时， 关键是 n＝k＋1 时命题成立的推证， 此步证明要具有目标意 识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步 减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等 式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2 ?1?2?(2n－1) 到 k＋1”，左端需乘的代数式为_____。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1)1 2k ?1 k n（n∈N），从“kC.1 2n2k ? 1 k ?1D.2k ? 3 k ?12. 用数学归纳法证明 1＋＋1 3＋?＋?1&n (n&1)时，由 n＝k (k&1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的代数式的个数是_____。 A. 2 B. 2 －1 C. 2 D. 2 ＋1 3. 某个命题与自然数 n 有关，若 n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时该 命题也成立。现已知当 n＝5 时该命题不成立，那么可推得______。 (94 年上海高考) A.当 n＝6 时该命题不成立 B.当 n＝6 时该命题成立 C.当 n＝4 时该命题不成立 D.当 n＝4 时该命题成立 4. 数列{a }中，已知 a 1 ＝1，当 n≥2 时 a n ＝a n ?1 ＋2n－1，依次计算 a 2 、a 3 、a 4 后， 猜想 a n 的表达式是_____。 A. 3n－2 5. 用数学归纳法证明 3 ＋52 ( k ?1 )?1 n k kB. n4n?22 2 n ?1C. 3n ?1D. 4n－34 ( k ?1 ) ? 2＋5(n∈N)能被 14 整除， n＝k＋1 时对于式子 3 当应变形为_______________________。 6. 设 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k＋1 棱柱对角面的个数为 f(k+1)＝f(k)＋_________。 【简解】1 小题：n＝k 时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)?(k＋k),n＝k＋1 时，左端的( 2 k ? 1 )( 2 k ? 2 ) k ?1代数式是(k＋2)(k＋3)?(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为k ?1 k k，选 B；2 小题：（2 －1）－（2 －1）＝2 ，选 C； 3 小题：原命题与逆否命题等价，若 n＝k＋1 时命题不成立，则 n＝k 命题不成立，选 C。 4 小题：计算出 a 1 ＝1、a 2 ＝4、a 3 ＝9、a 4 ＝16 再猜想 a n ，选 B； 5 小题：答案（3 ＋5 6 小题：答案 k－1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知数列8?1 1 ?32 24k ?22 k ?1）3 ＋5k2 k ?1（5 －3 ）；24，得，?，8? n ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)2 2，?。S n 为其前 n 项和，求 S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ，推测 S n 公式，并用数学归纳法证明。 （93 年全国理） 【解】 计算得 S 1 ＝28 92，S 2 ＝24 25，S 3 ＝48 49，S 4 ＝80 81，猜测 S n ＝( 2 n ? 1) ? 1 ( 2 n ? 1)(n∈N)。23 24 当 n＝1 时，等式显然成立； 假设当 n＝k 时等式成立，即：S k ＝ 当 n＝k＋1 时，S k ? 1 ＝S k ＋ ＝ ＝ ＝( 2 k ? 1) ? 12( 2 k ? 1) ? 12( 2 k ? 1)22，8 ? ( k ? 1) ( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )2( 2 k ? 1)2＋8 ? ( k ? 1) ( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )2 2( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 ) ? ( 2 k ? 3 ) ? 8 ? ( k ? 1)2 2 2( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )22( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 ) ? ( 2 k ? 1)2 22( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )22＝( 2 k ? 3) ? 12( 2 k ? 3)2,由此可知，当 n＝k＋1 时等式也成立。 综上所述，等式对任何 n∈N 都成立。 【注】 把要证的等式 S k ? 1 ＝( 2 k ? 3) ? 12( 2 k ? 3)2作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再考22虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3） －1。这样证题过程中简洁一些，有 效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想， 再用数学归纳法进行严格证明， 这是关于探索性问题的常见证法， 在数列问题中经常见到。 假 如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进 行三步：试值 → 猜想 → 证明。 【另解】 用裂项相消法求和： 由 an ＝8? n ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)2 2＝1 ( 2 n ? 1)2－1 ( 2 n ? 1) 12 2得，1 ( 2 n ? 1)2S n ＝（1－21 32）＋（ 。1 32－1 52）＋??＋( 2 n ? 1)－＝1－1 ( 2 n ? 1)2＝( 2 n ? 1) ? 1 ( 2 n ? 1)2此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现1 ( 2 n ? 1)28? n ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)2 2＝－1 ( 2 n ? 1)2的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。 (n∈N),证明： n(n＋1)&a n &2 1 1 2例 2. 设 a n ＝ 1 ? 2 ＋ 2 ? 3 ＋?＋ n ( n ? 1 )2(n＋1) 。 【分析】与自然数 n 有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1 时容易证得，n＝k＋1 时，因为 ak ?1＝ak＋( k ? 1 )( k ? 2 ) , 所 以 在 假 设 n ＝ k 成 立 得 到 的 不 等 式 中 同 时 加 上( k ? 1 )( k ? 2 ) ，再与目标比较而进行适当的放缩求解。24 25 【解】 当 n＝1 时，a n ＝ 2 ， ∴ n＝1 时不等式成立。 假设当 n＝k 时不等式成立，即： 当 n＝k＋1 时，1 21 2 1 2 1 2n(n+1)＝1 2，1 2 1 2(n+1) ＝2 ，2k(k＋1)&a k &(k＋1)1 22，1 2k(k＋1)＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) &a k ?1 &1 21 222 (k＋1) ＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) ,k(k＋1)＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) &k(k＋1)＋(k＋1)＝1 2(k＋1)(k＋3)&1 21 2(k＋1)(k＋2)，3 22 (k＋1) ＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) ＝ 22 (k＋1) ＋ k ? 3 k ? 2 &(k＋1) ＋(k＋2)＝1 2(k＋2) ， 所以1 2(k＋1)(k＋2) &a k &1 2(k＋2) ，即 n＝k＋1 时不等式也成立。1 22综上所述，对所有的 n∈N，不等式n(n＋1)&a n &1 2(n＋1) 恒成立。2【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分 别将 ( k ? 1 )( k ? 2 ) 缩小成(k＋1)、将 ( k ? 1 )( k ? 2 ) 放大成(k＋3 2)的两步放缩是证 n＝k＋1 时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求， 也是遵循放缩要适当的原则。 本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对 n ( n ? 1 ) 的分析，注意 与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由 n ( n ? 1 ) &n 可得，a n &1＋2＋3＋? ＋n＝ ＝1 21 22n(n＋1)； 由 n ( n ? 1 ) &n＋1 21 2可得， n &1＋2＋3＋?＋n＋ a1 21 2?n＝1 2n(n＋1)＋1 2n(n ＋2n)&(n＋1) 。所以21 2n(n＋1)&a n &(n＋1) 。n( a1 ? a n ) 22例 3. 设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若对于所有的自然数 n，都有 S n ＝ 证明{a n }是等差数列。 （94 年全国文），【分析】 要证明{a n }是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即 证：a n ＝a 1 ＋(n－1)d 。命题与 n 有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。 【解】 设 a 2 －a 1 ＝d，猜测 a n ＝a 1 ＋(n－1)d 当 n＝1 时，a n ＝a 1 ， ∴ 当 n＝1 时猜测正确。 ∴当 n＝2 时猜测正确。k (a1 ? a k ) 2当 n＝2 时，a 1 ＋(2－1)d＝a 1 ＋d＝a 2 ，假设当 n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a k ＝a 1 ＋(k－1)d ， 当 n＝k＋1 时，a k ?1 ＝S k ?1 －S k ＝( k ? 1 )( a 1 ? a k ? 1 ) 2－，将 a k ＝a 1 ＋(k－1)d 代入上式， 得到 2a k ?1 ＝(k＋1)(a 1 ＋a k ?1 )－2ka 1 －k(k－1)d，25 26 整理得(k－1)a k ?1 ＝(k－1)a 1 ＋k(k－1)d， 因为 k≥2,所以 a k ?1 ＝a 1 ＋kd，即 n＝k＋1 时猜测正确。 综上所述，对所有的自然数 n，都有 a n ＝a 1 ＋(n－1)d，从而{a n }是等差数列。 【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数 n 成立的问题。在证明 过程中 a k ?1 的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式 S n ＝n( a1 ? a n ) 2、数列中通项与前 n 项和的关系 a k ?1 ＝S k ?1 －S k 建立含 a k ?1 的方程，代入假设成立的式子 a k ＝a 1 ＋(k－1)d 解出来 a k ?1 。另外本题注意的一点是不能忽视验证 n＝1、n＝2 的正确性，用数学归纳法证明 时递推的基础是 n＝2 时等式成立， 因为由(k－1)a k ?1 ＝(k－1)a 1 ＋k(k－1)d 得到 a k ?1 ＝a 1 ＋ kd 的条件是 k≥2。 【另解】 可证 a n ?1 －a n ＝ a n － a n ?1 对于任意 n≥2 都成立： n≥2 时， n ＝S n －S n ? 1 当 a ＝n( a1 ? a n )－( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2；同理有 a2 n( a1 ? a n )2n ?1＝Sn ?1－Sn＝( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2－；从而 a n ?1 －a n ＝( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2－n(a 1 ＋a n )＋( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2，整理得 a n ?1 －a n ＝ a n － a n ?1 ，从而{a n }是等差数列。 一般地，在数列问题中含有 a n 与 S n 时，我们可以考虑运用 a n ＝S n －S n ? 1 的关系，并注 意只对 n≥2 时关系成立，象已知数列的 S n 求 a n 一类型题应用此关系最多。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 用数学归纳法证明：6n 2 n ?1＋1 (n∈N)能被 7 整除。22. 用数学归纳法证明： 1?4＋2?7＋3?10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1) 3. n∈N，试比较 2 与(n＋1) 的大小，并用证明你的结论。 4. 用数学归纳法证明等式：cos x ?cos2 x 22(n∈N)。sin x2?cosx 23???cosx 2n＝n(81 年x 2n2 ? sin全国高考) 5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| 6. 数列{a n }的通项公式 a n ＝1 ( n ? 1)2（n∈N）。 （85 年广东高考）(n∈N)，设 f(n)＝(1－a 1 )(1－a 2 )?(1－a n )，试求 f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出 f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。 7. 已知数列{a n }满足 a 1 ＝1，a n ＝a n ?1 cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ ，n≥2 且 n ∈N)。 ①．求 a 2 和 a 3 ； ②.猜测 a n ，并用数学归纳法证明你的猜测。 8. 设 f(log a x)＝ a ( x 2x(a2? 1) ? 1), ①.求 f(x)的定义域； ②.在 y＝f(x)的图像上是否存在 ③.求证： f(n)&n (n&1两个不同点， 使经过这两点的直线与 x 轴平行？证明你的结论。 且 n∈N)26 27六、参数法 参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量 （参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程 都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的， 联系的方式是丰富多采的， 科学的任务就是 要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状 态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经 渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数， 沟通已知和未知之间的内在联系， 利用参数提 供的信息，顺利地解答问题。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设 2 ＝3 ＝5 &1，则 2x、3y、5z 从小到大排列是________________。x y z27 28? x ? ?2 ? ? ?y ? 3? ? 2t 2t2 22. （理）直线 ?上与点 A(-2,3)的距离等于 2 的点的坐标是________。（文）若 k&－1，则圆锥曲线 x －ky ＝1 的离心率是_________。 3. 点 Z 的 虚 轴 上 移 动 ， 则 复 数 C ＝ z ＋ 1 ＋ 2 ｉ 在 复 平 面 上 对 应 的 轨 迹 图 像 为 ____________________。 4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是 6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数 f(x)对任意的 x、y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x&0 时，f(x)&0， 则 f(x)的 R 上是______函数。(填“增”或“减”) 6. 椭圆x22＋y2164＝1 上的点到直线 x＋2y－ 2 ＝0 的最大距离是_____。 B.xA. 311y zC.10D. 2 2【简解】1 小题：设 2 ＝3 ＝5 ＝t，分别取 2、3、5 为底的对数，解出 x、y、z，再用 “比较法”比较 2x、3y、5z，得出 3y&2x&5z； 2 小题：（理）A(-2,3)为 t＝0 时，所求点为 t＝± 2 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已 知曲线为椭圆，a＝1，c＝ 1 ?1 k2，所以 e＝－1 kk2? k ；3 小题：设 z＝bｉ，则 C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于 x 轴向右的射 线； 4 小题：设三条侧棱 x、y、z，则1 2xy＝6、1 2yz＝4、1 2xz＝3,所以 xyz＝24,体积为 4。5 小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以 f(x)是奇函数，答案：减； 6 小题：设 x＝4sinα 、y＝2cosα ，再求 d＝ Ⅱ、示范性题组： 例1. 实数 a、b、c 满足 a＋b＋c＝1，求 a ＋b ＋c 的最小值。 【分析】由 a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设 a＝ b＝1 32 2 2|4 sin ? ? 4 c o s ? ? 52|的最大值，选 C。1 3＋t 1 ，＋t 2 ，c＝1 3＋t 3 ，代入 a ＋b ＋c 可求。1 3222【解】由 a＋b＋c＝1，设 a＝ ∴2＋t 1 ，b＝21 3＋t 2 ，c＝21 3＋t 3 ，其中 t 1 ＋t 2 ＋t 3 ＝0，2a ＋b ＋c ＝（2 22221 3＋t 1 ） ＋（2 21 3＋t 2 ） ＋(1 31 3＋t 3 ) ＝1 3＋2 3(t 1 ＋t 2 ＋t 3 )＋t 1 ＋t 2 ＋t 3 ＝2 21 32＋t 1 ＋t 2 ＋t 3 ≥1 32所以 a ＋b ＋c 的最小值是。【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解 法的一个技巧。28 29 本题另一种解题思路是利用均}
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如何撰写课题的设计思路，方法和内容
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深入的，或1-2年、&教育方面的研究已比较多，是对研究的高度概括，重点介绍自己课题设计的主要内容、前人工作、争论焦点，课题研究期限一般为一年、类比法，所以需要在题目中点出来为好、教育教学活动中的保护等），可改成"，一定要严格按照方法的要求，不能凭经验、常识去做;课题名称"，"，一目了然，特色鲜明、地址"、逆向思维法、注意引用文献的代表性、可靠性和科学性。引用要忠实文献原文。3、参考文献不能省略，文字要简明扼要；有的题目未加一定的限制词，使题目显得太大，如《我区社区教育的研究》，为报告的高级形式；&单位及职务、职称&，应填写明确，都不能少。如果课题已批准立题，而签字盖章都应该补上;幼儿园安全保护工作研究&，最好点明研究方法，如《在小学数学中培养学生思维品质的实验研究》（方法为教育实验研究）。有的课题题目没有点明，一般要求十篇以上，必须是作者直接阅读过的。二、 如何撰写课题的设计思路？）、新颖性，如果再去研究，我们认为必要性不大，如&、&构建小学数学情境课堂的实践与研究&、设计思路的撰写总体上来说就是设计者以一个什么样的大体思路来完成自己的课题设计。内容主要包括规划选题的设计计划、设计步骤的主要组成部分、计划选题在什么地方有一些创新突破点、达到什么样的设计效果;等、系统的论述;图式理论&（低年级还不太适宜）、&新课程标准下学生英语学习方式转变的研究&在高中英语教学中提高后进生的研究&应填写清楚、"。可以说明在设计的某一阶段主要采用什么设计方法。我们在应用各种方法时、关于课题的题目教育科研课题的选题要求符合需要性、最新的文献资料是写好综述的前提。对照上述要求，象申报2005年度省;、&农村中小学英语教学衔接初探"，应明确制定调查表，明确如何进行分析包括综合分析和设计分析。3、设计内容的撰写简单介绍自己为何进行这项设计（说明现有设计的缺点）;说明&是这样要求的：课题申报须附有详细的研究方案，方案应按规范要求设计，字数为（用电脑打印），并包括有以下内容：（1）课题的现实背景及意义；（2）国内外关于同类课题的研究综述；（3）课题研究的内容及预期目标；（4）如研究已有一定基础，可写上初期研究成果或&研究的操作措施及做法&；（5）课题研究的步骤及人员分工；（6）课题研究的条件分析（含已取得的与本课题有关的研究成果）。可有的研究方案没有按照上面的要求去写，需要修补。一如写&课题的现实背景及&，往往本人、本校、本县（区），甚至本市的背景情况、实际中碰到的、存在的问题情况没有反映或没有足够的反映。这里介绍阐述的比较好的例子，如《幼儿自我保护能力培养教育的研究》这一课题对研究的现实背景及意义是这样陈述的：&在幼儿班的多年教学中，经常碰到有孩子把积木塞进鼻孔，或手拿剪刀、竹竿在活动室里追逐打闹；或爬高爬低，乱挤乱撞，造成呼吸障碍、刺伤、摔伤等事故。电视、报纸等各种新闻媒体中也经常报道幼儿被拐、溺水、发生交通事故等严重事件，而且许多事例触目惊心。我们对幼儿班200名家长进行了问卷调查，结果为分类 孩子出生以来受过伤的 家长对孩子自我保护能力培养没有进行过的 孩子出现问题时才进行 有目的、有计划进行 希望幼儿园对孩子进行全面指导、教育的人数 98 48 115 37 200百分比 49% 24% 57.5％ 18.5％ 100％由上说明，幼儿期是突发事件发生的频繁时期。分析原因，一个重要的因素就是幼儿自身的弱点。在幼儿判断能力、应变能力及体力等方面远不及成人，面对突如其来的以外事故时，很难及时作出正确反应，容易导致意外事故的发生。同时幼儿家长对孩子自我保护能力的培养还很不重视。据资料反映，国外对幼儿此方面能力的培养较为重视，孩子的自我保护能力强于国内孩子。另外，家长希望幼儿园对孩子进行较为全面指导人数达100％，这说明家长对幼儿园寄予极高的期望。安全工作是幼儿园工作的重要组成部分。但目前幼儿园纲要对此方面要求不够强调，同时也没有这方面的完整教材。因此，我们把幼儿自我保护能力培养教育作为一个重要课题来研究。&二如写&国内外关于同类课题的研究综述&，一些课题申报者往往把从网上浏览到的许多东西洋洋洒洒地写上，但是不是拿来作为对本课题的指导呢？本课题将要在上面引述基础上研究什么呢？我们本县（区）、本市、本省研究到什么程度了呢？等等，都没有说，或没有很好说，如有必要请予补上。本县（区）、本市、本省的研究情况，可从近年来公布的立项课题和获奖课题成果目录中去作大概了解，还要去购买相关的书籍进行阅读。三如写&研究内容和目标&，一些方案在&研究内容和目标&的陈述方面存在的主要问题在于：要么缺乏可操作性，要么缺乏&研究&性，有的是比较含混、罗嗦。这里介绍陈述得比较好的例子，如《幼儿自我保护能力培养教育的研究》这一课题：（一）研究内容：1、幼儿自我保护教育内容研究：一是交通安全；二是生活安全；三是活动安全；四是防火安全；五是防止意外伤害，设计一系列教育活动，进行幼儿自我保护教育。2、幼儿自我保护能力培养途径研究：一是采用集体教育活动进行；二是通过玩角色游戏进行；三是在日常活动中进行；四是利用一些环境进行；五是与家长联系配合进行。3、幼儿自我保护能力培养方法研究；一是案例、故事分析法；二是游戏模拟法；三是对比法；四是反语激将法；五是家庭作业法。&上面对&研究内容&的叙述，可以看出课题设计者从&内容安排&、&培养途径&、&培养方法&三个方面阐述课题的研究内容，是将&操作&与&研究&结合在一起，条理清晰，层次感强。关于&研究的内容&，一般还要对题目中的关键词进行&界定&。如果是搞实验，还应写出&自变量&、&因变量&和&控制变量&。而目前许多被立项的课题，需要但没有作&界定&，也没有考虑&变&量的问题。（二）研究目标：1、形成自我保护教育序列，提供一系列的自我保护教育活动设计。2、通过教育，使幼儿掌握有关自我保护方面的必要知识和技能，增强自我保护意识，从而形成一定的自我保护能力。3、对幼儿自我保护能力的形成规律进行揭示和探讨。&上面对&研究目标&的陈述，很有层次感；二是形成一些可操作的方法，教师、幼儿及其家长均仿照采用；二是对幼儿有哪些帮助，使得幼儿掌握知识，增强意识，形成能力；三是理论突破，如规律性的揭示和探讨。四如写&研究基础&，往往是课题申报之前没作任何研究，开始申报就是县（区）级，甚至市、省级课题，或者对自己研究室的其他课题，包括本校其他研究的课题没有加以联系起来，象是孤零零的一个。实际上，仔细想想，&研究基础&方面还是有内容可以写，而且是必须给予反映的。如《中国教育券制度的实践与探索》这本书，写的是长兴县教育券这一省级规划研究课题成果鉴定、省教育厅在长兴县召开教育券研讨会等情况。可省厅领导黄新茂却在研讨会上提出：&如明后年，全国课题立项时浙江教育券立进去，作为全国规划课题&。什么意思呢？也就是有了长兴的研究基础、全省研讨会的基础，才考虑全国课题的立项。所以你们在申报省、市科研课题时应将&研究基础&写上，或者说，当你们已有一定研究基础时再报省、市级课题，才更具有条件，才更有资格。五如&课题研究的步骤及人员分工&，要有阶段时间和阶段任务，不能脚踩西皮，滑到哪里算哪里，至少是三个大阶段，一是准备阶段，二是实施阶段，三是结题阶段。其中&实施阶段&，又可以具体分出几个来。课题组人员分工也要具体、明确，不能全由主持人一人来做。有的课题较大，需要明确立子课题，那么，由谁，承担什么样的子课题，应该明确。六如&课题研究的条件分析&，包括课题负责人及其课题组成员自身的科研水平、能力，所在单位所能提供的人、财、物力的支持程度。有的课题涉及到自己的权限，须得单位领导同意和支持。所以单位盖章、领导签名这一条争取到，一定得补上。二、课题实施1、应按照开题会议最终确立的研究方案（开题报告）认真实施研究。应保证研究方案的严肃性，对开题会议最终确定的课题题目、主要内容、预期目标、研究方法及步骤分工等不随意变动。2、要根据课题研究（实验）方案确定的方法、内容、步骤、要求等，并根据变化了的情况作适当的调整，切实实施好研究工作。大家可以翻阅我们提供的（湖州市教育科学规化课题优秀研究报告（论文（选）），其中的&课题的实施&部分，不难看出这些课题的承担者们所进行的扎扎实实的研究（实验）工作。3、严格执行所订立的课题研究制度，如应按设计的《课题实施记录本》及时记录&课题实施的阶段性计划&、&相关理论学习的摘要、心得&、&课题组活动（包括调研、访问、开课、评课、随感等）情况&；根据阶段小结要求将&课题实施的过程与成绩&、&课题研究的问题与不足&、&课题研究改进的措施&等情况及时填写在《课题研究阶段性小结表》中；课题组成员应努力完成阶段性研究（实验）任务，并认真组织（参加）阶段性研究的小结交流活动。4、研究者&资料意识&要强，研究的各个环节都应尽可能地形成资料，包括开题报告、前测资料及分析报告、阶段小结、活动材料、交流材料、子课题研究报告（论文）、相关案例、后测资料及分析报告、获奖资料等、要十分重视资料的整理工作，对收集的资料要采用多种方法予以保存，最好采用资料卡或采用电脑摘要储存。各类研究资料应建立档案，分类存档。5、各课题承担者应经常向各县、区（市属学校直接向市）教科规划办汇报课题研究进展情况，主动接受管理。谈谈教学反思的写法一、什么是教学反思反思教学就是教师自觉地把自己的课堂教学实践， 作为认识对象而进行全面而深入的冷静思考和总结。它是一种用来提高自身的业务，改进教学实践的学习方式，不断对自己的教育实践深入反思，积极探索与解决教育实践中的一系列问题，从而进一步充实自己，提高教学水平。二、为何要写教学反思1、促进思考向纵深发展的意义。一般的思考，往往因时间、大脑遗忘规律等方面的因素，或者导致思考停留在一般或者还没思考出具体的结果就产生了搁置现象。而写，首先需要教师对在教学中的引发了注意的教学现象进行认真地回忆，具体、细致、形象的描述，形成对教学事件、个案的进一步细致地、比较全面的认识，为深入思考奠定了基础。其次，写反思的时候，因为要落笔，就需要对所思考的内容进行逻辑化、条理化、理性化的表述，促使思考具有一定的理性化。我们经常遇到这样的现象；同时，对写下来的教学现象、个案进行思考，因为写得翔实，思考也会趋于全面。2、促进教师教育理论学习的深入。如果一般的思考，往往是教师的思考不能够与理论的学习结合起来，从而导致思考的肤浅。而写，往往使人产生一种写的深刻一点的需求，在这种需求的驱动下，往往要参阅一些资料、翻看一些书籍，促使教师进一步学习，是自己的思考与倡导的理论结合起来，从而实现对理论认识的提升，从而提高自己的理论水平。3、促成教师的经验积累和提升。一般的思考，会随着时间的推移而将往事淡忘。而写，能够帮助教师把自己教学实践中的经验、问题和思考积累下来，使自己对自己教学现象中的典型事例和思考深深地记忆下来。因为写的积累作用，教师便真正成为了一个有丰富教学经验和理性思考的教师。同时，写下来的东西更方便与人交流，会促进教师更好的发展。三、教学反思的内容1、写成功之处将教学过程中达到预先设计的教学目的、引起教学共振效应的做法；课堂教学中临时应变得当的措施；层次清楚、条理分明的板书；某些教学思想方法的渗透与应用的过程；教育学、心理学中一些基本原理使用的感触；教学方法上的改革与创新等等，详细得当地记录下来，供以后教学时参考使用，并可在此基础上不断地改进、完善、推陈出新，达到光辉顶点。2、写不足之处即使是成功的课堂教学也难免有疏漏失误之处，对它们进行系统的回顾、梳理，并对其作深刻的反思、探究和剖析，使之成为今后再教学上吸取教训，更上一层楼。3、写教学机智课堂教学中，随着教学内容的展开，师生的思维发展及情感交流的融洽，往往会因为一些偶发事件而产生瞬间灵感，这些＂智慧的火花＂常常是不由自主、突然而至，若不及时利用课后反思去捕捉，便会因时过境迁而烟消云散，令人遗憾不已。4、写学生创新在课堂教学过程中，学生是学习的主体，学生总会有&创新的火花&在闪烁，教师应当充分肯定学生在课堂上提出的一些独特的见解，这样不仅使学生的好方法、好思路得以推广，而且对学生也是一种赞赏和激励。同时，这些难能可贵的见解也是对课堂教学的补充与完善，可以拓宽教师的教学思路，提高教学水平。因此，将其记录下来，可以补充今后教学的丰富材料养分。5、写&再教设计&一节课下来，静心沉思，摸索出了哪些教学规律；教法上有哪些创新；知识点上有什么发现；组织教学方面有何新招；解题的诸多误区有无突破；启迪是否得当；训练是否到位等等。及时记下这些得失，并进行必要的归类与取舍，考虑一下再教这部分内容时应该如何做，写出&再教设计&，这样可以做到扬长避短、精益求精，把自己的教学水平提高到一个新的境界和高度。四、写好教学反思的方法1、从怀疑处反思。从怀疑处寻求问题，至少产生两个角度以上的思考。如：教学方法的使用是否科学。从&是&与&否&两个角度，还可以延生出怎么&更科学&，怎么才能避免&不科学&等举一反三的思考。2、从转换立场处反思。一个教学细节，从教师、学生、家长的角度来看也会不同，细究之，从学生的不同层次来看也是如此。因此，反思中，要有机地寻求转换立场，多角度来&包围&反思主题，才能增强反思的深度与客观性。3、从转换知识系统、学科领域处反思。综合实践、跨学科教学实践是课程标准的新理念。因此，反思有时也应从转换知识系统、学科领域来寻求不同的答案。4、转换时空处反思。环境、时间的变化影响了人们的认知。每个教学细节都有其发生、发展的时空特性，一堂课、一个教育教学过程的成功与失败都有诸多偶然因素，不要因为成功或失败就放过或忽略潜藏其中的问题。5、从假设性问题处反思。注重思维的设计性是培养创新思维的要点。假设是逻辑思考的重要方式。一种假设就代表一种新思维、新概念，甚至能产生与已有的问题相悖的结果。反思中提出一个假设，就可能是在发现问题后寻找到的解决问题的一把钥匙。6、从联系对比处反思。对比体现差异，联系体现衔接，通过横向、纵向的联系、对比，我们就可以从中发现许多新的问题。7、从事物本质处反思。
哲学是所有科学的基础，心理学、教育学是教育科学的基础。要学会做更深层次的反思，就必须掌握哲学原理，学习心理学、教育学知识，才能使&反思&更全面、更科学、更客观，才能提高&反思&的含金量。五、写教学反思的注意点1、注意反思的&落脚点&。教师们多数处于实践研究层面，因此要重视发挥自已的优长，找准&反思&的落脚点。首先要做好个人教学能力与教学风格的自我反思，如课堂教学设计是否过于单一，教学组织是否有序，激励奖惩是否得法，课堂氛围是否和谐。通过一番自我&反思&，明确自已&反思&的中短期目标、方向；其次&反思&要有结合实际教育资源意识，如社区环境、学校环境、办学条件、学生实际等，有了实际的教育资源意识，&反思&才能实事求是，才能因地制宜。2、注意反思的&系统化&。一堂课、一个教学细节都是反思的因子，但&反思&并不是仅仅只是为了一堂课或一个教学细节，而是为了更好地改造我们整个的教学理念，教学思维，说到底是提高教育教学的生命活力。因此，要做好反思还必须具备系统化意识。所有的学科都由若干的子系统组成，都有其内在的规律特征与传统经验积累，只有进行&系统&的反思、实践，才能提高整体教学能力，才能提升自己的教育思想境界。3、注意反思的&实践性&。新课标是一种理念，实践是在理念的指引下进行的，理念又是在实践的论证下发展的。&反思&的目的就是为了改造教学实践，在实践中体现价值。4、注意反思的&发展性&。经验的积累与知识能力的更新，对于新时期的老师来说，都是非常重要的。因此，反思不仅仅只是对教学实践的反思，还应该有对&反思&的&再反思&，反思后的再学习，学习后的再反思。课题研究方案的设计与撰写一、什么是课题研究方案的设计课题研究方案的设计是研究人员为了完成研究任务而进行的总体谋划。二、课题研究方案设计的意义（一） 保证课题研究具有明确的方向和目标。（二） 保证课题研究步骤有序化。（三） 有利于课题论证、评价与管理。三、课题研究方案的主要内容及其要求。（一）课题名称。
要求：简明、贴切、清晰。如：学生电子成长记录的研究和应用（二）课题界定。
要求回答&什么是&的问题，说明课题名称及其关键词的涵义。方案设计的许多内容将由此发出去。科学的课题界定有利于使研究内容和活动切题，防止研究目标和方向的转移或使研究范围任意扩大或缩小。例： “电子成长记录” 课题 利用网络技术（数字化教学平台）开展过程性评价和多元评价，反映学生多个方面的努力，进步和成就。发挥评价促进学生发展、教师提高和改进教学的功能，同时在评价方法与技术等方面进行探索和尝试。“学生成长记录”子课题选题：1、生成长记录的项目（认知、情感、技能等）以及对应的评价和记录方法；2、学习方式、活动方式、评价方式的设计对实现“电子成长记录”的影响；3、网络教学活动设计与评价模型的构建；4、学科知识单元或活动单元的形成性评价如何设计；5、如何开展学生的自评和互评；6、如何发挥学生、教师、家长三方参与评价的积极性；7、如何通过“电子成长记录”实施过程性评价和多元评价；8、如何通过“电子成长记录”实现定性评价与定量评价相结合；9、“电子成长记录”对学生成长的影响（理论与实验数据）；（学生、教师、家长的个案研究；实验班形式的研究；不同素养方面的研究）（三）研究背景与意义。要求回答&为什么要进行该课题研究&的问题。可说明：1．研究原因。
具体说明：（1）时代背景。用以说明研究者选用的新的社会参照标准。（2）针对问题。说明根据新的社会参照标准的要求，本课题试图解决的教育中的主要问题。总课题所列问题要包容子课题旨在解决的问题，防止各说各的互相矛盾。子课题要根据总课题所列的某些问题作具体说明。旨在解决的问题要与研究目标、指导理论、研究内容及操作变量等相呼应，前后照应，防止相互分离。（3）学生发展的需要。（4）学校发展的需要。新课程改革的需要，学生发展的需要，教师的发展，学校发展的需要。新课程改革根据社会发展对学校、教师、学生都提出了新的要求，现在的关键是如何使这些新要求变为现实。如果这些要求不能实现，不仅新课程改革的目标不能实现，而且还会影响我国整体教育质量、综合国力及其在21世纪的竞争力。极大地影响学生的发展，影响我国人才的质量。因此，新要求必须转化为教师、学生的行为和素质，变为学校的管理。以教育评价改革为切入点，在教学方式、学习方式开展教育科研，促进教师的专业成长与学生的全面发展，提高学校办学质量。建立学习、交流和沟通的信息化学习共同体，促进学校管理水平和教师教育教学能力的共同发展；2．本课题研究的先进性。说明本课题的研究切合国内外相关课题研究的现状和发展趋势，与其既有联系又有区别。教育评价改革已落后于新课程改革实践。评价已成为新课程改革急于突破的瓶颈。评价的多元化、实时化、网络化、过程化、质性化、3．本课题研究的实践意义和理论价值。建立与新课程改革相适应的评价标准、内容、方法。发挥广大教师、学生、家长参与新课程改革的积极性。促进学生全面发展。促进教师专业成长。（四） 课题研究的对象。可说明：1．根据研究的目的和任务确定对象的代表性2．根据统计学要求推算研究对象的数量3．通过前测对实验对象和对照对象进行等化处理或采取随机抽样的方法确定研究对象和对照对象。对象可以是： 自然班、学科组、活动组、学生个体、教师、家长等（五）研究思路。可说明：1．研究假设。研究假设是研究者根据一定的科学事实和科学理论对研究中所要解决的问题的结果所做的猜测，即对课题中涉及的两个变量之间相互关系的设想。假设在课题研究中具有定向、限定和标准的作用。研究必须围绕假设进行，对假设进行验证，并在、&写一种即可;和&农村后进生自主学习心理素质优化的研究&中的&后进生&幼我积极生存、安全自护教育的实践与研究&（"。2。"。要把握“综”和“述”的特点，或换成深一点的角度--&幼儿生存教育的实践与研究&，如&幼儿园英语"，一般填3个内容，否则你的研究得不到单位及领导的支持，这里封面上也需作相应调整；&课题负责人"，即规定研究方案撰写的内容方面的要求;在美术教学中引进童装设计的研究与实践&在低段数学中培养学生'互评学习方式'；有的题目提法欠妥，如&新理念下的学生活作文的实践与研究&，只填写1个即可；&完成时间&、缺点列举法、关于课题申报表未按要求填写的，应按要求填写到位;结题报告&不太适宜进行）、设计方法和设计内容 1，使材料更精炼明确，更有逻辑层次;古典诗词的阅读与欣赏"，字数一般不超过21个，如果太多时可使用副标题的形式;完成时间&课题组其他面员的有关情况"。在撰写时，应注意以下几个问题：1、搜集的文献应尽量全、尽量新。掌握全面、目的意义、创新性、实用价值诸方面的高度概括、"、头脑风暴法、十字坐标法，一般为&报告&;）;课题内分工&、希望点例举法、仿生学法、"，最后以一个什么样的方式展现设计成果等方面。2、设计方法的撰写设计方法有很多种比如实例分析法;（着眼于哪个新的角度呢。“综”式要求对所查阅的问小资料和市场调研情况进行综合分析、归纳整理，研究角度就鲜明一些了。有的题目加了限制词，但不够恰当，影响了研究的价值;、&多媒体技术在教学课堂教学中应用的实践与研究"，而&论文&;如果研究方案里作了调整、调查分析法;、&研究报告&，否则象是经验总结式的题目。如果谁的申报课题题目存在上述情况的，应作必要的调整。3、关于课题研究方案《教育科学研究课题申报表》，最后一个栏目为设计课题研究方案要求方面的&说明&、完整"，自己将要在哪些方面进行重点的设计，并希望有所突破等方面，填单位;。一些规范的课题目;等;的实践与研究&，可改为"；有的是老题目，如果要研究，须有新的角度，若改为《农村社区教育资源统合的探索与研究》、可行性等基本原则。题目;自护&中的&（目前争议较大，尤其是谁负责课题的总体设计，课题研究的正式开始时间早于申报填表时间、全面的，但所选择的课题在进行设计的时候不可能只用到一种设计方法、观点明确、文字精炼。比如，我们要进行市场调查时;成果形式&（以提教学方式转变为宜）、&初中英语教学中的中西文化融入&（一般在高中研究）；有的内容（题目）我们市里已有比较多的研究，“述”及iushiyaoqiu对课题进行比较专门的。如&小学科幻画特色教育的研究&，开设条件不够），你的"，准备从那一个新的角度去研究呢？要在题目中表明这个新的角度、&幼儿园折纸教育的实践与研究"。封面上的"，如&在童装之乡的学校美术教学中引入童装设计的研究与实践"，实在没有职务的，目前强调加强幼儿园门卫保护；&联系电话"，缩小扩大法。总之，课题综述是作者对选题历史背景。2。如何撰写课题研究方案和填写课题申报表1、研究现状、发展前景;图式理论在初三英语阅读教学中应用的研究&（"，图表列举法;实验报告"、&科幻画&;、&外来民工子女融入当地初中的实践与研究&（不明确）、&用新理念激活初中英语课堂的实践与研究&（一般用&新课标"，综合运用所学知识，沥青设计思路为作品的设计打下基础，有&调查报告&，谁承担课题结题报告的执笔撰写任务应予明确；&课题负责人所有单位意见&一般填写单位（自己办公室）电话和本人手机电话号码，便于我们之间的联系。第二面"、市规划课题有的方面我们认为不太适宜;，单位公章和单位分管领导的签字。课题综述只有800字左右，要求表述准确，扩大知识面、职称2个内容；&邮编一、 如何撰写课题综述课题综述是选题涉及到的相关文献资料进行专题搜集和必要的市场调研综合分析而写成的。通过写作过程，了解相关信息;应填某年某月底
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高中数学解题思想方法全部内容(2010版全)
目录前言 ????????????????????? 第一章 高中数学解题基本方法 ????????? 一、 配方法 ??????????????? 二、 换元法 ??????????????? 三、 待定系数法 ????????????? 四、 定义法 ??????????????? 五、 数学归纳法 ????????????? 六、 参数法 ??????????????? 七、 反证法 ??????????????? 八、 消去法 ??????????????? 九、 分析与综合法 ???????????? 十、 特殊与一般法 ???????????? 十一、 类比与归纳法 ?????????? 十二、 观察与实验法 ?????????? 第二章 高中数学常用的数学思想 ???????? 一、 数形结合思想 ???????????? 二、 分类讨论思想 ???????????? 三、 函数与方程思想 ??????????? 四、 转化（化归）思想 ?????????? 第三章 高考热点问题和解题策略 ???????? 一、 应用问题 ?????????????? 二、 探索性问题 ????????????? 三、 选择题解答策略 ??????????? 四、 填空题解答策略 ??????????? 附录 ????????????????????? 一、 高考数学试卷分析 ?????????? 二、 两套高考模拟试卷 ?????????? 三、 参考答案 ??????????????2 3 3 7 14 19 23 28 3235 35 41 47 54 59 59 65 71 77 2前言美国著名数学教育家波利亚说过， 掌握数学就意味着要善于解题。 而当我们解题时遇到一 个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法 理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的 考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。我们要有意 识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力，提高数学素质，使自己具有数学头 脑和眼光。 高考试题主要从以下几个方面对数学思想方法进行考查： ① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等； ② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、演绎法等； ③ 数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综合、特殊与一般、类比、归纳和 演绎等； ④ 常用数学思想：函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想 等。 数学思想方法与数学基础知识相比较，它有较高的地位和层次。数学知识是数学内容，可 以用文字和符号来记录和描述，随着时间的推移，记忆力的减退，将来可能忘记。而数学思 想方法则是一种数学意识，只能够领会和运用，属于思维的范畴，用以对数学问题的认识、 处理和解决，掌握数学思想方法，不是受用一阵子，而是受用一辈子，即使数学知识忘记了， 数学思想方法也还是对你起作用。 数学思想方法中，数学基本方法是数学思想的体现，是数学的行为，具有模式化与可操作 性的特征，可以选用作为解题的具体手段。数学思想是数学的灵魂，它与数学基本方法常常 在学习、掌握数学知识的同时获得。 可以说，“知识”是基础，“方法”是手段，“思想”是深化，提高数学素质的核心就是 提高学生对数学思想方法的认识和运用，数学素质的综合体现就是“能力”。 为了帮助学生掌握解题的金钥匙， 掌握解题的思想方法， 本书先是介绍高考中常用的数学 基本方法：配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法、反证法、分析与 综合法、特殊与一般法、类比与归纳法、观察与实验法，再介绍高考中常用的数学思想：函 数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想、转化（化归）思想。最后谈谈解题中的有关 策略和高考中的几个热点问题，并在附录部分提供了近几年的高考试卷。 在每节的内容中，先是对方法或者问题进行综合性的叙述，再以三种题组的形式出现。再 现性题组是一组简单的选择填空题进行方法的再现，示范性题组进行详细的解答和分析，对 方法和问题进行示范。巩固性题组旨在检查学习的效果，起到巩固的作用。每个题组中习题 的选取，又尽量综合到代数、三角、几何几个部分重要章节的数学知识。编者：东升高中 高建彪
第一章 高中数学解题基本方法一、 配方法2 3 配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知 和未知的联系，从而化繁为简。何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添 项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配法”。 最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。它主要适用于：已知或者未知 中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺 xy 项的二次曲 线的平移变换等问题。 配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b) ＝a ＋2ab＋b ，将这个公 式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如： a ＋b ＝(a＋b) －2ab＝(a－b) ＋2ab； a ＋ab＋b ＝(a＋b) －ab＝(a－b) ＋3ab＝(a＋ a ＋b ＋c ＋ab＋bc＋ca＝2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b 2) ＋（223 2b） ；21 2[(a＋b) ＋(b＋c) ＋(c＋a) ]222a ＋b ＋c ＝(a＋b＋c) －2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c) －2(ab－bc－ca)＝? 结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如： 1＋sin2α ＝1＋2sinα cosα ＝（sinα ＋cosα ） ； x ＋2 21 x2＝(x＋1 x) －2＝(x－21 x) ＋2 ；?? 等等。2Ⅰ、再现性题组： 1. 在正项等比数列{a n }中，a 1 ?a 5 +2a 3 ?a 5 +a 3 ?a 7 =25，则 a 3 ＋a 5 ＝_______。 2. 方程 x ＋y －4kx－2y＋5k＝0 表示圆的充要条件是_____。 A.1 422&k&14B. k& 1 或 k&1 44C. k∈RD. k＝ 1 或 k＝1 43. 已知 sin α ＋cos α ＝1，则 sinα ＋cosα 的值为______。 A. 1 B. －1 C. 1 或－1 D. 0 4. 函数 y＝log1 2(－2x ＋5x＋3)的单调递增区间是_____。5 42A. （－∞,2]B. [ 5 ,+∞) 4C. (－ 1 , 5 ] 2 4D. [ 5 ,3) 42 25. 已知方程 x +(a-2)x+a-1=0 的两根 x 1 、x 2 ，则点 P(x 1 ,x 2 )在圆 x +y =4 上，则实 数 a＝_____。 【简解】 1 小题：利用等比数列性质 a m ? p a m ? p ＝a m ，将已知等式左边后配方（a 3 ＋ a 5 ） 易求。答案是：5。 2 小题：配方成圆的标准方程形式(x－a) ＋(y－b) ＝r ，解 r &0 即可，选 B。 3 小题：已知等式经配方成(sin α ＋cos α ) －2sin α cos α ＝1，求出 sinα cosα ， 然后求出所求式的平方值，再开方求解。选 C。 4 小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。选 D。2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25 小题：答案 3－ 1 1 。 Ⅱ、示范性题组： 例 1. 已知长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度之和为 24，则这个长方体的一条对角 线长为_____。 A. 2 3 B. 1 4 C. 5 D. 63 4 【分析】 先 转 换 为 数 学 表 达 式 ： 设 长 方 体 长 宽 高 分 别 为 x,y,z ， 则x ? y ? z2 2 2?2( xy ? yz ? xz ) ? 11 ,而欲求对角线长 ? ?4( x ? y ? z ) ? 24，将其配凑成两已知式的组合形式可得。 【解】设长方体长宽高分别为 x,y,z，由已知“长方体的全面积为 11，其 12 条棱的长度 之和为 24”而得： ??2( xy ? yz ? xz ) ? 11 ?4( x ? y ? z ) ? 242 2 2。2 2 长方体所求对角线长为： x ? y ? z ＝ ( x ? y ? z ) ? 2 ( x y ? y z ? x z ) ＝ 6 ? 1 1＝5 所以选 B。 【注】 本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式， 观察和分析三 个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。 这也是我们使用配方法的一种解题模式。 例 2. 设方程 x ＋kx＋2=0 的两实根为 p、q，若( 值范围。 【解】方程 x ＋kx＋2=0 的两实根为 p、q，由韦达定理得：p＋q＝－k，pq＝2 , ((k22p q) +(2q p) ≤7 成立，求实数 k 的取22p q)22+(q p)2＝p ? q44( pq )2＝(p2? q ) ? 2p q2 2 22( pq )2＝[( p ? q ) ? 2 p q ] ? 2 p q2 2 22( pq )2＝? 4) ? 8 4≤7， 解得 k≤－ 1 0 或 k≥ 1 0 。2 2 又 ∵p、 为方程 x ＋kx＋2=0 的两实根， ∴ △＝k －8≥0 即 k≥2 2 或 k≤－2 2 q综合起来，k 的取值范围是：－ 1 0 ≤k≤－ 2 2 或者 2 2 ≤k≤ 1 0 。 【注】 关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ ”；已知方程有两根 时，可以恰当运用韦达定理。本题由韦达定理得到 p＋q、pq 后，观察已知不等式，从其结构 特征联想到先通分后配方，表示成 p＋q 与 pq 的组合式。假如本题不对“△”讨论，结果将 出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这 一点我们要尤为注意和重视。 例 3. 设非零复数 a、b 满足 a ＋ab＋b =0，求( 【分析】 对已知式可以联想：变形为(2 2 2a a ? b)1998＋(b a ? b)1998。a b) ＋(2a b)＋1＝0，则a b＝ω （ω 为 1 的立方虚根）；或配方为(a＋b) ＝ab 。则代入所求式即得。 【解】由 a ＋ab＋b =0 变形得：( 设ω ＝2 2 2a b) ＋(2a b)＋1＝0 ，1a b，则ω ＋ω ＋1＝0，可知ω 为 1 的立方虚根，所以：2 22?＝b a，ω ＝ ?33＝1。又由 a ＋ab＋b =0 变形得：(a＋b) ＝ab ，4 5 所以 (?999a a ? b)1998＋(b a ? b)1998＝(a2)999＋(b2)999＝(a b)999＋(b a)999＝ω999＋abab＝2 。 【注】 本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用 1 的立方虚根，活用ω 的性质，计算 表达式中的高次幂。一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。 【另解】由 a ＋ab＋b ＝0 变形得：(2 2a b) 2 ＋(999a b)＋1＝0 ，解出 )999b a＝?1? 23i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式( 只是未?1? 2 3ia b)＋(b a后，完成后面的运算。此方法用于联想到ω 时进行解题。2 2假如本题没有想到以上一系列变换过程时， 还可由 a ＋ab＋b ＝0 解出： a＝?1? 23ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的 计算。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数 y＝(x－a) ＋(x－b) A. 8 B.2 2 2（a、b 为常数）的最小值为_____。 C.a2(a ? b) 22? b 22D.最小值不存在22. α 、β 是方程 x －2ax＋a＋6＝0 的两实根，则(α -1) A. － 449?+(β -1) 的最小值是_____。y2B. 8C. 182 2D.不存在x3. 已知 x、y∈R ，且满足 x＋3y－1＝0，则函数 t＝2 ＋8 有_____。 A.最大值 222B.最大值2 2C.最小值 22B.最小值2 24. 椭圆 x －2ax＋3y ＋a －6＝0 的一个焦点在直线 x＋y＋4＝0 上，则 a＝_____。 A. 2 B. －6 C. －2 或－6 D. 2 或 6 5. 化简：2 1 ? sin 8 ＋ 2 ? 2 cos 8 的结果是_____。 A. 2sin4 B. 2sin4－4cos4 C. －2sin4 D. 4cos4－2sin4 6. 设 F 1 和 F 2 为双曲线 x －y ＝1 的两个焦点，点 P 在双曲线上且满足∠F 1 PF 2 ＝90°，224则△F 1 PF 2 的面积是_________。 7. 若 x&－1，则 f(x)＝x ＋2x＋21 x ?1的最小值为___________。8. 已知 ? 〈β &α 〈 3 π ，cos(α -β )＝ 1 2 ，sin(α +β )＝－ 3 ，求 sin2α 的值。(9224213252 2 2年高考题) 9. 设二次函数 f(x)＝Ax ＋Bx＋C， 给定 m、 m&n） （ n ,且满足 A [(m+n) + m n ]＋2A[B(m+n) －Cmn]＋B ＋C ＝0 。 ① 解不等式 f(x)&0； ② 是否存在一个实数 t，使当 t∈(m+t,n-t)时，f(x)&0 ？若不存在，说出理由；若存在， 指出 t 的取值范围。2 25 6 10. 设 s&1， t&1， m∈R， x＝log s t＋log t s， y＝log s t＋log t s＋m(log s t＋log t s), ① 将 y 表示为 x 的函数 y＝f(x)，并求出 f(x)的定义域； ② 若关于 x 的方程 f(x)＝0 有且仅有一个实根，求 m 的取值范围。4 4 2 2二、换元法 解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这 叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研 究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简 单化，变得容易处理。6 7 换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来， 隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和 推证简化。 它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方 程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。 换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或 者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过 变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设 2 ＝t（t&0），而变为熟悉的 一元二次不等式求解和指数方程的问题。 三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知 识中有某点联系进行换元。如求函数 y＝ x ＋ 1 ? x 的值域时，易发现 x∈[0,1]，设 x＝ sin α ，α ∈[0,2 x x x?2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主2 2 2要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量 x、y 适合条件 x ＋y ＝r （r&0） 时，则可作三角代换 x＝rcosθ 、y＝rsinθ 化为三角问题。 均值换元，如遇到 x＋y＝S 形式时，设 x＝S 2＋t，y＝S 2－t 等等。我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围 的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中 的 t&0 和α ∈[0,?2]。Ⅰ、再现性题组： 1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx 的最大值是_________。 2.设 f(x ＋1)＝log a (4－x ) （a&1），则 f(x)的值域是_______________。 3.已知数列{a n }中，a 1 ＝－1，a n ?1 ?a n ＝a n ?1 －a n ，则数列通项 a n ＝___________。 4.设实数 x、y 满足 x ＋2xy－1＝0，则 x＋y 的取值范围是___________。 5.方程1? 3?x x2 2 41? 3＝3 的解是_______________。x x ?16.不等式 log 2 (2 －1) ?log 2 (2－2)〈2 的解集是_______________。t2【简解】1 小题：设 sinx+cosx＝t∈[－ 2 , 2 ]，则 y＝ 当 t＝ 2 ，y m ax ＝2＋t－1 2，对称轴 t＝－1，21 2＋ 2；22 小题：设 x ＋1＝t (t≥1)，则 f(t)＝log a [-(t-1) ＋4]，所以值域为(－∞,log a 4]； 3 小题：已知变形为 ＝－n，所以 a n ＝－1 n2 21 a n ?1－1 an＝－1,设 b n ＝1 an，则 b 1 ＝－1,b n ＝－1＋(n－1)(-1)；4 小题：设 x＋y＝k，则 x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以 k≥1 或 k≤－1；7 8 5 小题：设 3 ＝y，则 3y ＋2y－1＝0,解得 y＝x x 21 3，所以 x＝－1；5 41 S max6 小题：设 log 2 (2 －1)＝y，则 y(y＋1)&2，解得－2&y&1，所以 x∈(log 2 Ⅱ、示范性题组： 例 1. 实数 x、y 满足 4x －5xy＋4y ＝5 的值。（93 年全国高中数学联赛题）2 2,log 2 3)。1 S m in（ ①式） ，设 S＝x ＋y ，求22＋【 分 析 】 由 S ＝ x ＋ y 联 想 到 cos α ＋ sin α ＝ 1, 于 是 进 行 三 角 换 元 ， 设2 2 2 2?x ? ? ? ?y ? ?S cos α S sin α代入①式求 S m ax 和 S m in 的值。S cos α S sin α10【解】设 ? 解得 S＝?x ? ? ?y ? ?代入①式得： 4S－5S?sinα cosα ＝58 ? 5 s in 2 α； ∴10 13∵ -1≤sin2α ≤1 ∴ 3≤8－5sin2α ≤13 ∴1 S m ax≤10 8 ? 5 s in ?≤10 3＋1 S m in＝3 10＋13 10＝16 10＝8 5此种解法后面求 S 最大值和最小值，还可由 sin2α ＝ 式：|8S ? 10 S8S ? 10 S的有界性而求，即解不等|≤1。这种方法是求函数值域时经常用到的“有界法”。2 2 2【另解】 由 S＝x ＋y ，设 x ＝S2 2S 2＋t，y ＝S22S 2－t，t∈[－2S 2，S 2]，则 xy＝±4－t代入①式得：4S±52 2410 13 8 5 10 3－t=5，移项平方整理得 100t +39S －160S＋100＝0 。 ∴ ∴ 39S －160S＋100≤0 解得：1 S m ax2 2≤S≤＋1 S m in2＝3 10＋13 10＝16 10＝【注】 此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条件 S＝x ＋y 与三角公 式 cos α ＋sin α ＝1 的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问 题。第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式 S＝x ＋y 而按照均值换元的思路，设2 2228 9 x ＝ S ＋t、y ＝ S －t，减少了元的个数，问题且容易求解。另外，还用到了求值域的几种2 222方法：有界法、不等式性质法、分离参数法。 和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变量 x、y 时，可以设 x ＝a＋b，y＝a－b，这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。本题设 x＝a＋b，y ＝a－b， 代入①式整理得 3a ＋13b ＝5 ， 求得 a ∈[0, 2(a ＋b )＝2 2 2 2 25 3]， 所以 S＝(a－b) ＋(a＋b) ＝ 的值。2210 13＋20 13a ∈[210 13,10 3]，再求1 S m ax＋1 S m in例 2． △ABC 的三个内角 A、B、C 满足：A＋C＝2B， cosA? C 21 cos A＋1 cos C＝－2 cos B，求的值。（96 年全国理）【 分 析 】 由 已 知 “ A ＋ C ＝ 2B ” 和 “ 三 角 形 内 角 和 等 于 180 ° ” 的 性 质 ， 可 得? A ? C ? 120° ? A＝ 60° ? α ；由“A＋C＝120°”进行均值换元，则设 ? ? ? B＝ 60° ?C＝ 60° － α，再代入可求cosα 即 cosA? C 2。? A ? C ? 120° ? B＝ 60°【解】由△ABC 中已知 A＋C＝2B，可得 ?? A＝ 60° ? α ?C＝ 60° － α,由 A＋C＝120°，设 ?1 cos A，代入已知等式得： ＋1 c o s( 6 0 ? ? ? )cos ? cos ? ?2＋1 cos C＝1 c o s( 6 0 ? ? ? )cos ?＝1 21 cos ? ? 3 2 s in ?＋1 1 2 cos ? ? 3 2 s in ?＝1 4cos ? ?23 4＝s in ?23 4＝－2 2 ,解得：cosα ＝2 2，即：cosA? C 2＝2 2。1 cos A【另解】由 A＋C＝2B，得 A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＝－2 2 ，设 所以 cosA＝1 ? 2 ? m＋1 cos C＝－2 cos B1 cos A＝－ 2 ＋m，1 ?1 cos C＝－ 2 －m ，，cosC＝2 ? m，两式分别相加、相减得：9 10 cosA＋cosC＝2cosA? C 2cosA? C 2＝cosA? C 2＝2 22cosA－cosC＝－2sin 即：sin4A? C 2sinA? C 2＝－ 3 sin2 2 m2m ? 2 A? C2，2m m22＝? 2， ＋cos22A? C 2＝－2m 3(m2? 2)2，＝－? 2，代入 sin ＝1 cos AA? C 2A? C 2＝1 整理得：3m －16m－12＝0,解出 m ＝6，代入 cosA? C 22 2 m2? 2＝。2【注】 本题两种解法由“A＋C＝120°”、“＋1 cos C＝－2 2 ”分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对 三角公式的运用相当熟练。假如未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：由 A＋C＝ 2B，得 A＋C＝120°，B＝60°。所以 ＝－2 2 cosAcosC，和积互化得： 2cos ＝A? C 21 cos A＋1 cos C＝－2 cos B＝－2 2 ，即 cosA＋cosCcosA? C 2＝－ 2 [cos(A+C)＋cos(A-C)，即 cos2 －1)，整理得：4 2 cosA? C 2＝2 2－ 2 cos(A-C) －3 2 ＝0,2 22 － 2 (2cosA? C 2A? C 2＋2cosA? C 2解得：cosA? C 2＝2 22例 3. 设 a&0，求 f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a 的最大值和最小值。2 【解】设 sinx＋cosx＝t， t∈[- 2 , 2 ]， 则 由(sinx＋cosx)＝1＋2sinx?cosx 得：sinx?cosx＝ ∴ f(x)＝g(t)＝－1 22t2?1 2y , －2,2x(t－2a) ＋1 2（a&0） t∈[- 2 , 2 ] ，1 222 t＝- 2 时，取最小值：－2a －2 2 a－当 2a≥ 2 时，t＝ 2 ，取最大值：－2a ＋2 2 a－ 当 0&2a≤ 2 时，t＝2a，取最大值：1 21 2；。∴f(x)的最小值为－2a －22?1 2 ) ? (0 ? a ? 1 ?2 2 2 a－ ，最大值为 ? 2 1 ? 2 ? 2a ? 2 2a ? (a ? ? 2 ?。2 2 )10 11 【注】 此题属于局部换元法，设 sinx＋cosx＝t 后，抓住 sinx＋cosx 与 sinx?cosx 的 内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。 换元过程中一定要注意新的参数的范围（t∈[- 2 , 2 ]）与 sinx＋cosx 对应，否则将会出 错。本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称轴与闭区间的位置 关系而确定参数分两种情况进行讨论。 一般地，在遇到题目已知和未知中含有 sinx 与 cosx 的和、差、积等而求三角式的最大值 和最小值的题型时，即函数为 f(sinx±cosx，sinxcsox)，经常用到这样设元的换元法，转 化为在闭区间上的二次函数或一次函数的研究。 例 4. 设对所于有实数 x，不等式 x log 2 恒成立，求 a 的取值范围。（87 年全国理） 【分析】不等式中 log 22a a ?124 ( a ? 1) a＋2x log 2( a ? 1) 4a2 22a a ?1＋log 2( a ? 1) 4a22&04 ( a ? 1) a、 log 22a a ?1、log 2三项有何联系？进行对数a ?1 2a式的有关变形后不难发现，再实施换元法。 【解】 设 log 2 log 22a a ?1＝t，则 log 224 ( a ? 1) aa ?1 2a＝log 28 ( a ? 1) 2a＝3＋log 2＝3－＝3－t，log 2( a ? 1) 4a2＝2log 22＝－2t，代入后原不等式简化为（3－t）x ＋2tx－2t&0，它对一切实数 x 恒成立，所以：?3 ? t ? 0 ?t ? 3 ，解得 ? ? 2 ?t ? 0或 t ? 6 ?? ? 4t ? 8t(3 ? t ) ? 0∴ t&0 即 log 22a a ?1&00&2a a ?1&1，解得 0&a&1。【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。为什么会想到换元及如何设 元，关键是发现已知不等式中 log 24 ( a ? 1) a、 log 22a a ?1、log 2( a ? 1) 4a22三项之间的联系。在解决不等式恒成立问题时，使用了“判别式法”。另外，本题还要求对数运算十分熟练。 一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的 已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。 例 5. 已知 【解】 设2 2 2sin θ x sin θ x＝cos θ y， 且cos x2 2θ＋sin θ y22＝3( x102? y )2(②式)， 求2x y的值。2＝cos θ y＝k，则 sinθ ＝kx，cosθ ＝ky，且 sin θ ＋cos θ ＝k y x2 2 2k (x +y )＝1,代入②式得：10 3＋k x y222＝3( x102? y )2＝10k 32即：y x2 2＋x y2 2＝11 12 设x y2 2＝t，则 t＋ ＝ 1 0 ,tx y41解得：t＝3 或1 3∴x y＝± 3 或±cos θ x2 23 33【另解】 由＝sin θ cos θ2＝tgθ ，将等式②两边同时除以10 3 (1 ? 1 tg ?2，再表示成含 tgθ 的2式子：1＋tg θ ＝ (1 ? tg ? ) ?＝)10 3tg θ ，设 tg θ ＝t，则 3t ―10t＋3＝0，2 2∴t＝3 或1 3，解得x y＝± 3 或± ＝sin θ cos θ23 3。【注】 第一种解法由 第二种解法将已知变形为sin θ xcos θ y而进行等量代换，进行换元，减少了变量的个数。x y＝，不难发现进行结果为 tgθ ，再进行换元和变形。两种解法要求代数变形比较熟练。在解高次方程时，都使用了换元法使方程次数降低。 例 6. 实数 x、y 满足 【分析】由已知条件 是实施三角换元。 【解】由 即： ?( x ? 1) 9? x ? 1 ? 3 cos θ ? y ? ? 1 ? 4 sin θ2( x ? 1) 92＋ ＋( y ? 1) 1622＝1，若 x＋y－k&0 恒成立，求 k 的范围。 ＝1，可以发现它与 a ＋b ＝1 有相似之处，于2 2( x ? 1) 9( y ? 1) 16( y ? 1) 162＋＝1，设x ?1 3＝cosθ ，y ?1 4＝sinθ ，代入不等式 x＋y－k&0 得：3cosθ ＋4sinθ －k&0，即 k&3cosθ ＋4sinθ ＝5sin(θ +ψ ) 所以 k&-5 时不等式恒成立。 【注】本题进行三角换元，将代数问题（或者是解析几何问题）化为了含参三角不等式恒 成立的问题，再运用“分离参数法”转化为三角函数的值域问题，从而求出参数范围。一般 地，在遇到与圆、椭圆、双曲线的方程相似的代数式时，或者在解决圆、椭圆、双曲线等有 关问题时，经常使用“三角换元法”。 本题另一种解题思路是使用数形结合法的思想方法：在平面直角坐标系，不等式 ax＋by ＋c&0 (a&0)所表示的区域为直线 ax＋by＋c＝0 所分平面成两部分中含 x 轴正方向的一部分。 此题不等式恒成立问题化为图形问题：椭圆上的点始终 y 位于平面上 x＋y－k&0 的区域。 即当直线 x＋y－k＝0 在 x 与椭圆下部相切的切线之下时。当直线与椭圆相切时，?1 6 ( x ? 1 ) ? 9 ( y ? 1 ) ? 1 4 4 方程组 ? 有相等的一组实 ?x ? y ? k ? 02 2数解，消元后由△＝0 可求得 k＝－3,所以 k&-3 时原不 等式恒成立。kx＋y－k&0 平面区域12 13 Ⅲ、巩固性题组： 1. 已知 f(x )＝lgx (x&0)，则 f(4)的值为_____。 A. 2lg24 3B.1 3lg2C.2 3lg2D.2 3lg42. 函数 y＝(x＋1) ＋2 的单调增区间是______。 A. [-2,+∞) B. [-1,+∞) D. (-∞,+∞)1 2C. (-∞,-1]3. 设等差数列{a n }的公差 d＝ ，且 S 1 0 0 ＝145，则 a 1 ＋a 3 ＋a 5 ＋??＋a 9 9 的值为 _____。 A. 852 2B. 72.5C. 601 2D. 52.51 24. 已知 x ＋4y ＝4x，则 x＋y 的范围是_________________。 5. 已知 a≥0，b≥0，a＋b＝1，则 6. 不等式xa ?＋b?的范围是____________。&ax＋ 3 的解集是(4,b)，则 a＝________，b＝_______。27. 函数 y＝2x＋ x ? 1 的值域是________________。 8. 在等比数列{a n }中， 1 ＋a 2 ＋?＋a 1 0 ＝2， 1 1 ＋a 1 2 ＋?＋a 3 0 ＝12， a 3 1 ＋a 3 2 ＋? a a 求 ＋a 6 0 。 9. 实数 m 在什么范围内取值，对任意实数 x，不等式 sin x＋2mcosx＋4m－1&0 恒成立。 10. 已知矩形 ABCD，顶点 C(4,4)，A 点在曲线 2 2 y D C x ＋y ＝2 (x&0,y&0)上移动，且 AB、AD 始 终平行 x 轴、y 轴，求矩形 ABCD 的最小面积。 A B O x2三、待定系数法 要确定变量间的函数关系， 设出某些未知系数， 然后根据所给条件来确定这些未知系数的 方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式 f(x) ? g(x)的充要条件 是：对于一个任意的 a 值，都有 f(a) ? g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有 某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问 题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如 果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复 数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系 数法求解。13 14 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其 中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得 的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥 曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设 f(x)＝ A.5 22x 2＋m，f(x)的反函数 f B. －5 2?1(x)＝nx－5，那么 m、n 的值依次为_____。 C.1 2 5 21 3, －2， 2, 2D. －5 2，－22. 二次不等式 ax ＋bx＋2&0 的解集是(－ A. 103,)，则 a＋b 的值是_____。B. －1010C.145D. －143. 在(1－x )（1＋x） 的展开式中，x 的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4. 函数 y＝a－bcos3x (b&0)的最大值为3 2，最小值为－1 2，则 y＝－4asin3bx 的最小正周期是_____。 5. 与直线 L：2x＋3y＋5＝0 平行且过点 A(1,-4)的直线 L’的方程是_______________。 6. 与 双 曲 线 x － ____________。 【简解】1 小题：由 f(x)＝ 2 小题：由不等式解集(－1 25 2y2＝ 1 有 共 同 的 渐 近 线 ， 且 过 点 (2,2) 的 双 曲 线 的 方 程 是4x 2＋m 求出 f1 3?1(x)＝2x－2m，比较系数易求，选 C；1 2,)，可知－、 是方程 ax ＋bx＋2＝0 的两根，代入两3512根，列出关于系数 a、b 的方程组，易求得 a＋b，选 D； 3 小题：分析 x 的系数由 C 1 0 与(－1)C 1 0 两项组成，相加后得 x 的系数，选 D； 4 小题：由已知最大值和最小值列出 a、b 的方程组求出 a、b 的值，再代入求得答案2? 35 2；5 小题：设直线 L’方程 2x＋3y＋c＝0，点 A(1,-4)代入求得 C＝10，即得 2x＋3y＋10＝0； 6 小题：设双曲线方程 x －2y2＝λ ，点(2,2)代入求得λ ＝3，即得方程x2－y2＝1。431214 15 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知函数 y＝mx2? 4 3x ? n x2?1的最大值为 7，最小值为－1，求此函数式。【分析】求函数的表达式，实际上就是确定系数 m、n 的值；已知最大值、最小值实际是 就是已知函数的值域，对分子或分母为二次函数的分式函数的值域易联想到“判别式法”。 【解】 函数式变形为： (y－m)x －4 3 x＋(y－n)＝0， x∈R, 由已知得 y－m≠0 ∴ △＝(－4 3 ) －4(y－m)(y－n)≥0 即： y －(m＋n)y＋(mn－12)≤0 ① 不等式①的解集为(-1,7)，则－1、7 是方程 y －(m＋n)y＋(mn－12)＝0 的两根，2 2 2 2代入两根得： ? ∴ y＝5x2?1 ? ( m ? n ) ? m n ? 1 2 ? 0 ?4 9 ? 7( m ? n ) ? m n ? 1 2 ? 0?1解得： ??m ? 5 ?n ? 1或??m ? 1 ?n ? 5? 4 3x ? 1 x2或者 y＝x2? 4 3x ? 5 x2?12此题也可由解集(-1,7)而设(y＋1)(y－7)≤0,即 y －6y－7≤0，然后与不等式①比较系 数而得： ??m ? n ? 6 ?m n ? 12 ? ?7，解出 m、n 而求得函数式 y。【注】 在所求函数式中有两个系数 m、n 需要确定，首先用“判别式法”处理函数值域问 题，得到了含参数 m、n 的关于 y 的一元二次不等式，且知道了它的解集，求参数 m、n。两 种方法可以求解，一是视为方程两根，代入后列出 m、n 的方程求解；二是由已知解集写出不 等式，比较含参数的不等式而列出 m、n 的方程组求解。本题要求对一元二次不等式的解集概 念理解透彻，也要求理解求函数值域的“判别式法”：将 y 视为参数，函数式化成含参数 y 的关于 x 的一元二次方程，可知其有解，利用△≥0,建立了关于参数 y 的不等式，解出 y 的 范围就是值域，使用“判别式法”的关键是否可以将函数化成一个一元二次方程。 例 2. 设椭圆中心在(2,-1)，它的一个焦点与短轴两端连线互相垂直，且此焦点与长轴较 近的端点距离是 1 0 － 5 ，求椭圆的方程。 【分析】求椭圆方程，根据所给条件，确定几何数据 a、b、c 之值，问题就全部解决了。 设 a、b、c 后，由已知垂直关系而联想到勾股定理建立一 y B’ 个方程， 再将焦点与长轴较近端点的距离转化为 a－c 的值 后列出第二个方程。 x 【解】 设椭圆长轴 2a、短轴 2b、焦距 2c，则|BF’| ＝a A F O’ F’ A’ ∴?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2 2 2 ?a ? a ? (2b ) ? ?a ? c ? 10 ? 5x2解得： ??a ? ? ?b ? ?10 5B∴ 所求椭圆方程是：＋y2＝110515 16 也可有垂直关系推证出等腰 Rt△BB’F’后，由其性质推证出等腰 Rt△B’O’F’，再进行如下?b ? c ? 列式： ? a ? c ? 1 0 ? ? 2 2 2 ?a ? b ? c5，更容易求出 a、b 的值。【注】 圆锥曲线中，参数（a、b、c、e、p）的确定，是待定系数法的生动体现；如何确 定，要抓住已知条件，将其转换成表达式。在曲线的平移中，几何数据（a、b、c、e）不变， 本题就利用了这一特征，列出关于 a－c 的等式。 一般地，解析几何中求曲线方程的问题，大部分用待定系数法，基本步骤是：设方程（或 几何数据）→几何条件转换成方程→求解→已知系数代入。 例 3. 是否存在常数 a、b、c，使得等式 1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝2 2 2n ( n ? 1) 12(an2＋bn＋c)对一切自然数 n 都成立？并证明你的结论。 （89 年全国高考题） 【分析】是否存在，不妨假设存在。由已知等式对一切自然数 n 都成立，取特殊值 n＝1、 2、3 列出关于 a、b、c 的方程组，解方程组求出 a、b、c 的值，再用数学归纳法证明等式对 所有自然数 n 都成立。 【解】假设存在 a、b、c 使得等式成立，令：n＝1，得 4＝1 2 1 6(a＋b＋c)；n＝2，得 22＝(4a＋2b＋c)；n＝3，得 70＝9a＋3b＋c。整理得：?a ? b ? c ? 24 ?a ? 3 ? ? ? 4 a ? 2 b ? c ? 4 4 ,解得 ? b ? 1 1 ， ? ? ? 9 a ? 3b ? C ? 7 0 ?c ? 10于是对 n＝1、2、3，等式 1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝ 立，下面用数学归纳法证明对任意自然数 n，该等式都成立：222n ( n ? 1) 12(3n ＋11n＋10)成2假设对 n＝k 时等式成立，即 1?2 ＋2?3 ＋?＋k(k＋1) ＝2 2 2222k ( k ? 1) 12(3k ＋11k＋10)； (3k ＋11k （3k2 22当 n＝k＋1 时，1?2 ＋2?3 ＋?＋k(k＋1) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ ＋10) ＋(k＋1)(k＋2) ＝ ＋5k＋12k＋24）＝22k ( k ? 1)k ( k ? 1) 12(k＋2) （3k＋5） ＋(k＋1)(k＋2) ＝ [3(k＋1) ＋11(k＋1)＋10]，2212 ( k ? 1 )( k ? 2 ) 12( k ? 1 )( k ? 2 ) 12也就是说，等式对 n＝k＋1 也成立。 综上所述，当 a＝8、b＝11、c＝10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立。 【注】建立关于待定系数的方程组，在于由几个特殊值代入而得到。此种解法中，也体现 了方程思想和特殊值法。对于是否存在性问题待定系数时，可以按照先试值、再猜想、最后 归纳证明的步骤进行。本题如果记得两个特殊数列 1 ＋2 ＋?＋n 、1 ＋2 ＋?＋n 求和 的公式，也可以抓住通项的拆开，运用数列求和公式而直接求解：由 n(n＋1) ＝n ＋2n ＋2 3 2 3 3 3 2 2 216 17 n 得 S n ＝1?2 ＋2?3 ＋?＋n(n＋1) ＝(1 ＋2 ＋?＋n )＋2(1 ＋2 ＋?＋n )＋(1＋2 2 2 3 3 3 2 2 22＋?＋n)＝n ( n ? 1)22＋2?n ( n ? 1 )( 2 n ? 1 ) 6＋n ( n ? 1) 2＝n ( n ? 1) 12(3n ＋11n＋10)，综24上所述，当 a＝8、b＝11、c＝10 时，题设的等式对一切自然数 n 都成立。 例 4. 有矩形的铁皮，其长为 30cm，宽为 14cm，要从四角上剪掉边长为 xcm 的四个小正 方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问 x 为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积 是多少？ 【分析】实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函 数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。 【解】 依题意，矩形盒子底边边长为(30－2x)cm，底边宽为(14－2x)cm，高为 xcm。 ∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ， 显然:15－x&0，7－x&0，x&0。 设 V＝4 ab(15a－ax)(7b－bx)x(a&0,b&0）要使用均值不等式，则 ? 解得：a＝1 464 3 15 4?? a ? b ? 1 ? 0 ?1 5 a ? a x ? 7 b ? b x ? x， b＝3 4， x＝3 。15 ? 3321 4从而 V＝(－x 4)(21 4－3 4x)x≤64 3(4) ＝364 3?27＝576。所以当 x＝3 时，矩形盒子的容积最大，最大容积是 576cm 。 【注】 均值不等式应用时要注意等号成立的条件， 当条件不满足时要凑配系数， 可以用 “待 定系数法”求。本题解答中也可以令 V＝4 ab(15a－ax)(7－x)bx 或4 ab(15－x)(7a－ax)bx，再由使用均值不等式的最佳条件而列出方程组，求出三项该进行凑配的系数，本题也体现了 “凑配法”和“函数思想”。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 函数 y＝log a x 的 x∈[2,+∞)上恒有|y|&1，则 a 的取值范围是_____。 A. 2&a& 1 且 a≠122 2B. 0&a& 1 或 1&a&22C. 1&a&2D. a&2 或 0&a& 122. 方程 x ＋px＋q＝0 与 x ＋qx＋p＝0 只有一个公共根，则其余两个不同根之和为 _____。 A. 1 B. －1 C. p＋q D. 无法确定 3. 如果函数 y＝sin2x＋a?cos2x 的图像关于直线 x＝－ π 对称，那么 a＝_____。8A.20 1B. －22C. 1nD. －14. 满足 C n ＋1?C n ＋2?C n ＋?＋n?C n &500 的最大正整数是_____。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 717 18 5. 无穷等比数列{a n }的前 n 项和为 S n ＝a－ A. －129 21 2n, 则所有项的和等于_____。 D.与 a 有关B. 1C.1 296. (1＋kx) ＝b 0 ＋b 1 x＋b 2 x ＋?＋b 9 x ，若 b 0 ＋b 1 ＋b 2 ＋?＋b 9 ＝－1，则 k＝ ______。 7. 经过两直线 11x－3y－9＝0 与 12x＋y－19＝0 的交点，且过点(3,-2)的直线方程为 _____________。 8. 正三棱锥底面边长为 2，侧棱和底面所成角为 60°，过底面一边作截面，使其与底面 成 30°角，则截面面积为______________。 9. 设 y＝f(x)是一次函数，已知 f(8)＝15,且 f(2)、f(5)、(f14)成等比数列，求 f(1) ＋f(2)＋?＋f(m)的值。 10. 设抛物线经过两点(-1,6)和(-1,-2)，对称轴与 x 轴平行，开口向右，直线 y＝2x＋7 和抛物线截得的线段长是 4 1 0 , 求抛物线的方程。四、定义法 所谓定义法，就是直接用数学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定 义和公理推演出来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的事物的本质 属性来明确概念。 定义是千百次实践后的必然结果， 它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。 简 单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解题，是最直接的方法，本讲让 我们回到定义中去。 Ⅰ、再现性题组： 1. 已知集合 A 中有 2 个元素，集合 B 中有 7 个元素，A∪B 的元素个数为 n，则______。 A. 2≤n≤9 B. 7≤n≤9 C. 5≤n≤9 D. 5≤n≤7 2. 设 MP、OM、AT 分别是 46°角的正弦线、余弦线和正切线，则_____。 A. MP&OM&AT B. OM&MP&AT C. AT&&OM&MP D. OM&AT&MP18 19 3. 复数 z 1 ＝a＋2ｉ，z 2 ＝－2＋ｉ，如果|z 1 |& |z 2 |，则实数 a 的取值范围是_____。 A. －1&a&1 B. a&1 C. a&0 D. a&－1 或 a&1 4. 椭圆x2＋y2＝1 上有一点 P，它到左准线的距离为5 2，那么 P 点到右焦点的距离为259_____。 A. 8 C. 7.5 C.75 4D. 3T 25. 奇函数 f(x)的最小正周期为 T，则 f(－ A. T B. 0 C.T 2)的值为_____。D. 不能确定6. 正三棱台的侧棱与底面成 45°角，则其侧面与底面所成角的正切值为_____。 【简解】1 小题：利用并集定义，选 B； 2 小题：利用三角函数线定义，作出图形，选 B； 3 小题：利用复数模的定义得 a ? 2 & 5 ，选 A；2 24 小题：利用椭圆的第二定义得到| P F左 | 5 2＝e＝4 5，选 A；5 小题：利用周期函数、奇函数的定义得到 f(－ 6 小题：利用线面角、面面角的定义，答案 2。 Ⅱ、示范性题组：T 2)＝f(T 2)＝－f(－T 2)，选 B；例 1. 已知 z＝1＋ｉ， ① 设 w＝z ＋3 z －4， w 的三角形式； 求2② 如果z2 2? az ? b ? z ?1z＝1－ｉ，求实数 a、b 的值。（94 年全国理） 【分析】代入 z 进行运算化简后，运用复数三角形式和复数相等的定义解答。 【解】 z＝1＋ｉ， w＝z ＋3 z －4＝(1＋ｉ) ＋3 (1 ? i ) －4＝2ｉ＋3(1－ｉ)－4＝－ 由 有2 21－ｉ，w 的三角形式是 2 （cos 由 z＝1＋ｉ，有z2 25? 4＋ｉsin25? 4）； ＝( a ? b ) ? ( a ? 2 )i i? az ? b ? z ?1＝(1 ? i ) ? a (1 ? i ) ? b (1 ? i ) ? (1 ? i ) ? 12＝(a＋2)－(az＋b)ｉ。 由题设条件知：(a＋2)－(a＋b)ｉ＝1＋ｉ； 根据复数相等的定义，得： ? 解得 ??a ? ?1 ?b ? 2 ?a ? 2 ? 1 ?? (a ? b) ? ?1，。【注】 求复数的三角形式， 一般直接利用复数的三角形式定义求解。 利用复数相等的定义， 由实部、虚部分别相等而建立方程组，这是复数中经常遇到的。19 20 例 2. 已知 f(x)＝－x ＋cx，f(2)＝－14，f(4)＝－252，求 y＝log3n2 2f(x)的定义域，判定在(2 2,1)上的单调性。【分析】要判断函数的单调性，必须首先确定 n 与 c 的值求出函数的解析式，再利用函数 的单调性定义判断。? f (2) ? ?2 ? 2c ? ?14 ? 【解】 ? n ? f (4) ? ?4 ? 4c ? ?252 ?n解得： ??n ? 4 ?c ? 1∴ f(x)＝－x ＋x 解 f(x)&0 得：0&x&134设2 2&x1&x2&1 ，2则 f(x21) － f(x2)＝－x41+x1- （ -x42+x2）=(x 1 -x 2 )[1-(x 1 +x 2 )( x 1 +x 2 )],3∵ x 1 +x 2 & 3 2 ， x 1 +x 2 &224 233∴ (x 1 +x 2 )( x 1 +x 2 )〉 3 2 ?2 23224 2＝1∴ f(x 1 )－f(x 2 )&0 即 f(x)在( ∵2 2,1)上是减函数2 2&1∴ y＝log2 2f(x) 在(,1)上是增函数。【注】关于函数的性质：奇偶性、单调性、周期性 A’ A 的判断，一般都是直接应用定义解题。本题还在求 n、c D 的过程中，运用了待定系数法和换元法。 C’ C 例 3. 如图，已知 A’B’C’―ABC 是正三棱柱，D 是 AC O H 中点。 ① 证明：AB’∥平面 DBC’； B’ B ② 假设 AB’⊥BC’， 求二面角 D―BC’―C 的度数。 （94 年全国理） 【分析】 由线面平行的定义来证①问，即通过证 AB’平行平面 DBC’内的一条直线而得； 由二面角的平面角的定义作出平面角，通过解三角形而求②问。 【解】 ① 连接 B’C 交 BC’于 O, 连接 OD ∵ A’B’C’―ABC 是正三棱柱 ∴ 四边形 B’BCC’是矩形 ∴ O 是 B’C 中点 △AB’C 中， D 是 AC 中点 ∴ AB’∥OD ∴ AB’∥平面 DBC’ ② 作 DH⊥BC 于 H，连接 OH ∴ DH⊥平面 BC’C ∵ AB’∥OD, AB’⊥BC’ ∴ BC’⊥OD ∴ BC’⊥OH 即∠DOH 为所求二面角的平面角。 设 AC＝1，作 OE⊥BC 于 E，则 DH＝1 2sin60°＝3 4，BH＝3 4，EH＝1 4；20 21 Rt△BOH 中，OH ＝BH?EH＝ ∴ OH＝3 423 16，＝DH∴∠DOH＝45°，即二面角 D―BC’―C 的度数为 45°。【注】对于二面角 D―BC’―C 的平面角，容易误认为∠DOC 即所求。利用二面角的平面角 定义，两边垂直于棱，抓住平面角的作法，先作垂直于一面的垂线 DH，再证得垂直于棱的垂 线 DO，最后连接两个垂足 OH，则∠DOH 即为所求，其依据是三垂线定理。本题还要求解三角 形十分熟练，在 Rt△BOH 中运用射影定理求 OH 的长是计算的关键。 此题文科考生的第二问为：假设 AB’⊥BC’，BC＝2，求 AB’在侧面 BB’C’C 的 射影长。解答 中抓住斜线在平面上的射影的定义，先作平面的垂线，连接垂足和斜足而得到射影。其解法 如下：作 AE⊥BC 于 E，连接 B’E 即所求，易得到 OE∥B’B，所以2EF BF＝OE B'B＝1 2，EF＝1 3B’E。在 Rt△B’BE 中，易得到 BF⊥BE,由射影定理得：B’E?EF＝BE 即 例 4. 求过定点 M(1,2)，以 x 轴为准线，离心率为1 21 32 B’E ＝1，所以 B’E＝ 3 。的椭圆的y M F A x下顶点的轨迹方程。 【分析】运动的椭圆过定点 M，准线固定为 x 轴，所以 M 到准线 距离为 2。抓住圆锥曲线的统一性定义，可以得到| AF| 2＝1 2建立一个方程，再由离心率的定义建立一个方程。 【解】设 A(x,y)、F(x,m)，由 M(1,2)，则椭圆上定点 M 到准线距离为 2，下顶点 A 到准 线距离为 y。根据椭圆的统一性定义和离心率的定义，得到：1 ? 2 2 ? ( x ? 1) ? ( m ? 2 ) ? 2 ? 2 ? ? m ? y 1 ? ? ? y 2 ?(y ? 4 3 )2)2，消 m 得：（x－1） ＋( (y ? 4 3 )2 222 3＝1，)所以椭圆下顶点的轨迹方程为（x－1） ＋(22 3＝1。【注】求曲线的轨迹方程，按照求曲线轨迹方程的步骤，设曲线上动点所满足的条件，根 据条件列出动点所满足的关系式，进行化简即可得到。本题还引入了一个参数 m,列出的是所 满足的方程组，消去参数 m 就得到了动点坐标所满足的方程，即所求曲线的轨迹方程。在建 立方程组时，巧妙地运用了椭圆的统一性定义和离心率的定义。一般地，圆锥曲线的点、焦 点、准线、离心率等问题，常用定义法解决；求圆锥曲线的方程，也总是利用圆锥曲线的定 义求解，但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。 Ⅲ、巩固性题组： 1． 函数 y＝f(x)＝a ＋k 的图像过点(1,7)，它的反函数的图像过点(4,0)，则 f(x)的表 达式是___。x21 22 2. 过抛物线焦点 F 的直线与抛物线相交于 A、B 两点，若 A、B 在抛物线准线上的射影分 别为 A 1 、B 1 ,则∠A 1 FB 1 等于_____。 A. 45° B. 60° C. 90° D. 120° 3. 已知 A＝{0,1}，B＝{x|x ? A}，则下列关系正确的是_____。 A. A ? B B. A ? B C. A∈B D. A ? B 4. 双曲线 3x －y ＝3 的渐近线方程是_____。2 2A. y＝±3xB. y＝± 1 x3C. y＝±3xD. y＝±3 3x5. 已知定义在 R 上的非零函数 f(x)满足 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，则 f(x)是_____。 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既奇既偶函数 6. C 3 n38? n＋C 2 1 ? n ＝________。1 z223n7. Z＝4(sin140°－ｉcos140°)，则复数的辐角主值是__________。28. 不等式 ax ＋bx＋c&0 的解集是(1,2)，则不等式 bx ＋cx＋a&0 解集是__________。 9. 已知数列{a n }是等差数列，求证数列{b n }也是等差数列，其中 b n ＝ 1 (a 1 ＋a 2 ＋…n＋a n )。 10. 已知 F 1 、F 2 是椭圆 x 2 ＋ y 2 ＝1 (a&b&0)的两个焦点，其中 F 2 与抛物线 y ＝12x 的22 2ab焦点重合，M 是两曲线的一个焦点，且有 cos∠M F 1 F 2 ?cos∠MF 2 F 1 ＝ 273 ，求椭圆方程。五、数学归纳法 归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。 归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳 推理两种。不完全归纳推理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质，推断该类事物全 体都具有的性质，这种推理方法，在数学推理论证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了 一类事物的全部对象后归纳得出结论来。 数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推理方法， 在解数学题中有着 广泛的应用。 它是一个递推的数学论证方法， 论证的第一步是证明命题在 n＝1(或 n 0 )时成立， 这是递推的基础；第二步是假设在 n＝k 时命题成立，再证明 n＝k＋1 时命题也成立，这是无 限递推下去的理论依据，它判断命题的正确性能否由特殊推广到一般，实际上它使命题的正 确性突破了有限，达到无限。这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定 “对任何自然数（或 n≥n 0 且 n∈N）结论都正确”。由这两步可以看出，数学归纳法是由递 推实现归纳的，属于完全归纳。22 23 运用数学归纳法证明问题时， 关键是 n＝k＋1 时命题成立的推证， 此步证明要具有目标意 识，注意与最终要达到的解题目标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步 减小，最终实现目标完成解题。 运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数 n 有关的恒等式、代数不等式、三角不等 式、数列问题、几何问题、整除性问题等等。 Ⅰ、再现性题组： 1. 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)?(n＋n)＝2 ?1?2?(2n－1) 到 k＋1”，左端需乘的代数式为_____。 A. 2k＋1 B. 2(2k＋1)1 2k ?1 k n（n∈N），从“kC.1 2n2k ? 1 k ?1D.2k ? 3 k ?12. 用数学归纳法证明 1＋＋1 3＋?＋?1&n (n&1)时，由 n＝k (k&1)不等式成立，推证 n＝k＋1 时，左边应增加的代数式的个数是_____。 A. 2 B. 2 －1 C. 2 D. 2 ＋1 3. 某个命题与自然数 n 有关，若 n＝k (k∈N)时该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时该 命题也成立。现已知当 n＝5 时该命题不成立，那么可推得______。 (94 年上海高考) A.当 n＝6 时该命题不成立 B.当 n＝6 时该命题成立 C.当 n＝4 时该命题不成立 D.当 n＝4 时该命题成立 4. 数列{a }中，已知 a 1 ＝1，当 n≥2 时 a n ＝a n ?1 ＋2n－1，依次计算 a 2 、a 3 、a 4 后， 猜想 a n 的表达式是_____。 A. 3n－2 5. 用数学归纳法证明 3 ＋52 ( k ?1 )?1 n k kB. n4n?22 2 n ?1C. 3n ?1D. 4n－34 ( k ?1 ) ? 2＋5(n∈N)能被 14 整除， n＝k＋1 时对于式子 3 当应变形为_______________________。 6. 设 k 棱柱有 f(k)个对角面，则 k＋1 棱柱对角面的个数为 f(k+1)＝f(k)＋_________。 【简解】1 小题：n＝k 时，左端的代数式是(k＋1)(k＋2)?(k＋k),n＝k＋1 时，左端的( 2 k ? 1 )( 2 k ? 2 ) k ?1代数式是(k＋2)(k＋3)?(2k＋1)(2k＋2)，所以应乘的代数式为k ?1 k k，选 B；2 小题：（2 －1）－（2 －1）＝2 ，选 C； 3 小题：原命题与逆否命题等价，若 n＝k＋1 时命题不成立，则 n＝k 命题不成立，选 C。 4 小题：计算出 a 1 ＝1、a 2 ＝4、a 3 ＝9、a 4 ＝16 再猜想 a n ，选 B； 5 小题：答案（3 ＋5 6 小题：答案 k－1。 Ⅱ、示范性题组： 例1. 已知数列8?1 1 ?32 24k ?22 k ?1）3 ＋5k2 k ?1（5 －3 ）；24，得，?，8? n ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)2 2，?。S n 为其前 n 项和，求 S 1 、S 2 、S 3 、S 4 ，推测 S n 公式，并用数学归纳法证明。 （93 年全国理） 【解】 计算得 S 1 ＝28 92，S 2 ＝24 25，S 3 ＝48 49，S 4 ＝80 81，猜测 S n ＝( 2 n ? 1) ? 1 ( 2 n ? 1)(n∈N)。23 24 当 n＝1 时，等式显然成立； 假设当 n＝k 时等式成立，即：S k ＝ 当 n＝k＋1 时，S k ? 1 ＝S k ＋ ＝ ＝ ＝( 2 k ? 1) ? 12( 2 k ? 1) ? 12( 2 k ? 1)22，8 ? ( k ? 1) ( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )2( 2 k ? 1)2＋8 ? ( k ? 1) ( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )2 2( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 ) ? ( 2 k ? 3 ) ? 8 ? ( k ? 1)2 2 2( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )22( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 ) ? ( 2 k ? 1)2 22( 2 k ? 1) ? ( 2 k ? 3 )22＝( 2 k ? 3) ? 12( 2 k ? 3)2,由此可知，当 n＝k＋1 时等式也成立。 综上所述，等式对任何 n∈N 都成立。 【注】 把要证的等式 S k ? 1 ＝( 2 k ? 3) ? 12( 2 k ? 3)2作为目标，先通分使分母含有(2k＋3) ，再考22虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3） －1。这样证题过程中简洁一些，有 效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想， 再用数学归纳法进行严格证明， 这是关于探索性问题的常见证法， 在数列问题中经常见到。 假 如猜想后不用数学归纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也不严密。必须要进 行三步：试值 → 猜想 → 证明。 【另解】 用裂项相消法求和： 由 an ＝8? n ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)2 2＝1 ( 2 n ? 1)2－1 ( 2 n ? 1) 12 2得，1 ( 2 n ? 1)2S n ＝（1－21 32）＋（ 。1 32－1 52）＋??＋( 2 n ? 1)－＝1－1 ( 2 n ? 1)2＝( 2 n ? 1) ? 1 ( 2 n ? 1)2此种解法与用试值猜想证明相比，过程十分简单，但要求发现1 ( 2 n ? 1)28? n ( 2 n ? 1) ? ( 2 n ? 1)2 2＝－1 ( 2 n ? 1)2的裂项公式。可以说，用试值猜想证明三步解题，具有一般性。 (n∈N),证明： n(n＋1)&a n &2 1 1 2例 2. 设 a n ＝ 1 ? 2 ＋ 2 ? 3 ＋?＋ n ( n ? 1 )2(n＋1) 。 【分析】与自然数 n 有关，考虑用数学归纳法证明。n＝1 时容易证得，n＝k＋1 时，因为 ak ?1＝ak＋( k ? 1 )( k ? 2 ) , 所 以 在 假 设 n ＝ k 成 立 得 到 的 不 等 式 中 同 时 加 上( k ? 1 )( k ? 2 ) ，再与目标比较而进行适当的放缩求解。24 25 【解】 当 n＝1 时，a n ＝ 2 ， ∴ n＝1 时不等式成立。 假设当 n＝k 时不等式成立，即： 当 n＝k＋1 时，1 21 2 1 2 1 2n(n+1)＝1 2，1 2 1 2(n+1) ＝2 ，2k(k＋1)&a k &(k＋1)1 22，1 2k(k＋1)＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) &a k ?1 &1 21 222 (k＋1) ＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) ,k(k＋1)＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) &k(k＋1)＋(k＋1)＝1 2(k＋1)(k＋3)&1 21 2(k＋1)(k＋2)，3 22 (k＋1) ＋ ( k ? 1 )( k ? 2 ) ＝ 22 (k＋1) ＋ k ? 3 k ? 2 &(k＋1) ＋(k＋2)＝1 2(k＋2) ， 所以1 2(k＋1)(k＋2) &a k &1 2(k＋2) ，即 n＝k＋1 时不等式也成立。1 22综上所述，对所有的 n∈N，不等式n(n＋1)&a n &1 2(n＋1) 恒成立。2【注】 用数学归纳法解决与自然数有关的不等式问题，注意适当选用放缩法。本题中分 别将 ( k ? 1 )( k ? 2 ) 缩小成(k＋1)、将 ( k ? 1 )( k ? 2 ) 放大成(k＋3 2)的两步放缩是证 n＝k＋1 时不等式成立的关键。为什么这样放缩，而不放大成(k＋2)，这是与目标比较后的要求， 也是遵循放缩要适当的原则。 本题另一种解题思路是直接采用放缩法进行证明。主要是抓住对 n ( n ? 1 ) 的分析，注意 与目标比较后，进行适当的放大和缩小。解法如下：由 n ( n ? 1 ) &n 可得，a n &1＋2＋3＋? ＋n＝ ＝1 21 22n(n＋1)； 由 n ( n ? 1 ) &n＋1 21 2可得， n &1＋2＋3＋?＋n＋ a1 21 2?n＝1 2n(n＋1)＋1 2n(n ＋2n)&(n＋1) 。所以21 2n(n＋1)&a n &(n＋1) 。n( a1 ? a n ) 22例 3. 设数列{a n }的前 n 项和为 S n ，若对于所有的自然数 n，都有 S n ＝ 证明{a n }是等差数列。 （94 年全国文），【分析】 要证明{a n }是等差数列，可以证明其通项符合等差数列的通项公式的形式，即 证：a n ＝a 1 ＋(n－1)d 。命题与 n 有关，考虑是否可以用数学归纳法进行证明。 【解】 设 a 2 －a 1 ＝d，猜测 a n ＝a 1 ＋(n－1)d 当 n＝1 时，a n ＝a 1 ， ∴ 当 n＝1 时猜测正确。 ∴当 n＝2 时猜测正确。k (a1 ? a k ) 2当 n＝2 时，a 1 ＋(2－1)d＝a 1 ＋d＝a 2 ，假设当 n＝k（k≥2）时，猜测正确，即：a k ＝a 1 ＋(k－1)d ， 当 n＝k＋1 时，a k ?1 ＝S k ?1 －S k ＝( k ? 1 )( a 1 ? a k ? 1 ) 2－，将 a k ＝a 1 ＋(k－1)d 代入上式， 得到 2a k ?1 ＝(k＋1)(a 1 ＋a k ?1 )－2ka 1 －k(k－1)d，25 26 整理得(k－1)a k ?1 ＝(k－1)a 1 ＋k(k－1)d， 因为 k≥2,所以 a k ?1 ＝a 1 ＋kd，即 n＝k＋1 时猜测正确。 综上所述，对所有的自然数 n，都有 a n ＝a 1 ＋(n－1)d，从而{a n }是等差数列。 【注】 将证明等差数列的问题转化成证明数学恒等式关于自然数 n 成立的问题。在证明 过程中 a k ?1 的得出是本题解答的关键，利用了已知的等式 S n ＝n( a1 ? a n ) 2、数列中通项与前 n 项和的关系 a k ?1 ＝S k ?1 －S k 建立含 a k ?1 的方程，代入假设成立的式子 a k ＝a 1 ＋(k－1)d 解出来 a k ?1 。另外本题注意的一点是不能忽视验证 n＝1、n＝2 的正确性，用数学归纳法证明 时递推的基础是 n＝2 时等式成立， 因为由(k－1)a k ?1 ＝(k－1)a 1 ＋k(k－1)d 得到 a k ?1 ＝a 1 ＋ kd 的条件是 k≥2。 【另解】 可证 a n ?1 －a n ＝ a n － a n ?1 对于任意 n≥2 都成立： n≥2 时， n ＝S n －S n ? 1 当 a ＝n( a1 ? a n )－( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2；同理有 a2 n( a1 ? a n )2n ?1＝Sn ?1－Sn＝( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2－；从而 a n ?1 －a n ＝( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2－n(a 1 ＋a n )＋( n ? 1 )( a 1 ? a n ? 1 ) 2，整理得 a n ?1 －a n ＝ a n － a n ?1 ，从而{a n }是等差数列。 一般地，在数列问题中含有 a n 与 S n 时，我们可以考虑运用 a n ＝S n －S n ? 1 的关系，并注 意只对 n≥2 时关系成立，象已知数列的 S n 求 a n 一类型题应用此关系最多。 Ⅲ、巩固性题组： 1. 用数学归纳法证明：6n 2 n ?1＋1 (n∈N)能被 7 整除。22. 用数学归纳法证明： 1?4＋2?7＋3?10＋?＋n(3n＋1)＝n(n＋1) 3. n∈N，试比较 2 与(n＋1) 的大小，并用证明你的结论。 4. 用数学归纳法证明等式：cos x ?cos2 x 22(n∈N)。sin x2?cosx 23???cosx 2n＝n(81 年x 2n2 ? sin全国高考) 5. 用数学归纳法证明： |sinnx|≤n|sinx| 6. 数列{a n }的通项公式 a n ＝1 ( n ? 1)2（n∈N）。 （85 年广东高考）(n∈N)，设 f(n)＝(1－a 1 )(1－a 2 )?(1－a n )，试求 f(1)、f(2)、f(3)的值，推测出 f(n)的值，并用数学归纳法加以证明。 7. 已知数列{a n }满足 a 1 ＝1，a n ＝a n ?1 cosx＋cos[(n－1)x]， (x≠kπ ，n≥2 且 n ∈N)。 ①．求 a 2 和 a 3 ； ②.猜测 a n ，并用数学归纳法证明你的猜测。 8. 设 f(log a x)＝ a ( x 2x(a2? 1) ? 1), ①.求 f(x)的定义域； ②.在 y＝f(x)的图像上是否存在 ③.求证： f(n)&n (n&1两个不同点， 使经过这两点的直线与 x 轴平行？证明你的结论。 且 n∈N)26 27六、参数法 参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量 （参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题。直线与二次曲线的参数方程 都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的典型例子。 辨证唯物论肯定了事物之间的联系是无穷的， 联系的方式是丰富多采的， 科学的任务就是 要揭示事物之间的内在联系，从而发现事物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化状 态，揭示变化因素之间的内在联系。参数体现了近代数学中运动与变化的思想，其观点已经 渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。 参数法解题的关键是恰到好处地引进参数， 沟通已知和未知之间的内在联系， 利用参数提 供的信息，顺利地解答问题。 Ⅰ、再现性题组： 1. 设 2 ＝3 ＝5 &1，则 2x、3y、5z 从小到大排列是________________。x y z27 28? x ? ?2 ? ? ?y ? 3? ? 2t 2t2 22. （理）直线 ?上与点 A(-2,3)的距离等于 2 的点的坐标是________。（文）若 k&－1，则圆锥曲线 x －ky ＝1 的离心率是_________。 3. 点 Z 的 虚 轴 上 移 动 ， 则 复 数 C ＝ z ＋ 1 ＋ 2 ｉ 在 复 平 面 上 对 应 的 轨 迹 图 像 为 ____________________。 4. 三棱锥的三个侧面互相垂直，它们的面积分别是 6、4、3，则其体积为______。 5. 设函数 f(x)对任意的 x、y∈R，都有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 x&0 时，f(x)&0， 则 f(x)的 R 上是______函数。(填“增”或“减”) 6. 椭圆x22＋y2164＝1 上的点到直线 x＋2y－ 2 ＝0 的最大距离是_____。 B.xA. 311y zC.10D. 2 2【简解】1 小题：设 2 ＝3 ＝5 ＝t，分别取 2、3、5 为底的对数，解出 x、y、z，再用 “比较法”比较 2x、3y、5z，得出 3y&2x&5z； 2 小题：（理）A(-2,3)为 t＝0 时，所求点为 t＝± 2 时，即(-4,5)或(0,1)；（文）已 知曲线为椭圆，a＝1，c＝ 1 ?1 k2，所以 e＝－1 kk2? k ；3 小题：设 z＝bｉ，则 C＝1－b ＋2ｉ，所以图像为：从(1,2)出发平行于 x 轴向右的射 线； 4 小题：设三条侧棱 x、y、z，则1 2xy＝6、1 2yz＝4、1 2xz＝3,所以 xyz＝24,体积为 4。5 小题：f(0)＝0，f(0)＝f(x)＋f(-x)，所以 f(x)是奇函数，答案：减； 6 小题：设 x＝4sinα 、y＝2cosα ，再求 d＝ Ⅱ、示范性题组： 例1. 实数 a、b、c 满足 a＋b＋c＝1，求 a ＋b ＋c 的最小值。 【分析】由 a＋b＋c＝1 想到“均值换元法”，于是引入了新的参数，即设 a＝ b＝1 32 2 2|4 sin ? ? 4 c o s ? ? 52|的最大值，选 C。1 3＋t 1 ，＋t 2 ，c＝1 3＋t 3 ，代入 a ＋b ＋c 可求。1 3222【解】由 a＋b＋c＝1，设 a＝ ∴2＋t 1 ，b＝21 3＋t 2 ，c＝21 3＋t 3 ，其中 t 1 ＋t 2 ＋t 3 ＝0，2a ＋b ＋c ＝（2 22221 3＋t 1 ） ＋（2 21 3＋t 2 ） ＋(1 31 3＋t 3 ) ＝1 3＋2 3(t 1 ＋t 2 ＋t 3 )＋t 1 ＋t 2 ＋t 3 ＝2 21 32＋t 1 ＋t 2 ＋t 3 ≥1 32所以 a ＋b ＋c 的最小值是。【注】由“均值换元法”引入了三个参数，却将代数式的研究进行了简化，是本题此种解 法的一个技巧。28 29 本题另一种解题思路是利用均}
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