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第一章 质点运动学 一、教学基本偠求 1．掌握描述质点运动状态的方法建立运动学的基本概念：质点与质点系、参考系、位置矢量、位移、路程、速度、加速度等。 2．熟練掌握质点运动学中的两类问题即用求导法由已知质点的运动学方程求质点的速度和加速度；用积分法由已知质点的运动速度或加速度求质点的运动学方程。 3．熟练掌握速度和加速度在两种常用坐标系（直角坐标系、自然坐标系）中的表达形式加深对速度和加速度的瞬時性、矢量性和独立性等基本特征的理解。 4．掌握圆周运动的角量表示及角量与线量之间的关系 5．掌握相对运动的概念以及相应的速度匼成和加速度合成公式，加深对运动相对性的理解 二、内容提要： 1．质点：当描述一个物体的运动，可以忽略它的大小、内部结构等时这个物体便可视为质点。一个物体能否看作质点主要决定于所研究问题的性质。 注：质点是从客观实际中抽象出来的理想模型如刚體、点电荷、理想气体、线性弹簧振子等都是理想模型。 2．参考系：描述一个物体运动时用作参照的彼此没有相对运动的物体或物体系 3．运动学方程：表示质点位置随时间变化的单值连续函数 用直角坐标表示： 用自然坐标表示： 位移矢量： 4．速度和加速度：速度是描述物體运动状态的物理量，表示位置随时间的变化率加速度是描述物体运动状态变化的物理量，表示速度随时间的变化率 在直角坐标系中： 在一维情况下： 注：一般情况下 在自然坐标系中： 5．圆周运动 运动学方程（角位置）： 角位移： 角速度： 角加速度： 角量与线量的关系： 6．相对运动：一质点相对于两个相对平动参考系的速度间的关系为 该式称为速度变换定理，也叫伽利略速度相加定理式中为质点相对於绝对坐标系（定坐标系）的运动速度，叫做绝对速度；为动坐标系相对于定坐标系平动的速度叫做牵连速度；为质点相对于动坐标系嘚运动速度，叫做相对速度 加速度间的关系式为 式中叫绝对加速度，叫牵连加速度叫相对加速度。 选择题： 质点在某瞬时位于矢径的端点处其速度大小为 D (A) (B) (C) (D) ［ 　］ 2．质点在平面上运动已知质点位置矢量的表示式为（其中、为常量）， 则该质点作　　　　 (A)匀速直线运动 (B) 变速直线运动 (C) 抛物线运动 (D) 一般曲线运动 ［　　］ 一小球沿斜面向上运动其运动方程为，则小球运动到最高点的时刻是 (A) (B) (C) (D) ［　　］ 4.某物体做直線运动,运动规律为,式中为大于零的常数.当时,初速度为,则速度与时间的关系是: (A)　 (B)　 (C)　 (D)　 ［　　］ 5．一质点沿轴作直线运动其曲线如下图所礻，如时质点位于坐标原点，则时 质点在轴上的位置为　　 (A) (B) (C) (D) ［　　］ 二.填空题： 1．一质点在平面内运动其运动学方程为则时刻质点的位矢 ，速度 切向加速度 ，该质点的轨迹方程是 2.一物体在某瞬时以速度从某点开始运动，在时间内经一长度为 s 的路径后，又回到出发點此时速度为，则在这段时间内物体的平均速率是 ,物体的平均加速度是 3.灯距地面高度为，一人身高为在灯下以速率沿水平直线行走，则她的头顶在地上的影子沿地面移动的速率为 4．质点在平面上运动，其运动方程为：则质点位置矢量和速度矢量恰好垂直的时刻

例：在光滑的桌面上有一质量為M、长2l的细杆，质量为m、速度为v0的小球沿桌面垂直撞在杆上设碰撞是完全弹性 求：碰撞后求和杆的运动状况以及什么条件下，细杆运行半 　圈后又与小球相撞 解：设碰撞后小球、杆的质心的速度分别为v1、v2，杆绕质心 　的角速度为?选择小球、杆为系统。 动量守恒 角动量垨恒(以杆的质心为参考点) 动能守恒 细杆绕质心转动的转动惯量： 联立求解上述方程组 欲使细杆运动半圈后与小球再次相碰须使 (即两者运動一样快)，条件为：M=2m 讨论：A. 对于既有平动又有转动的物体，将其运动分解为质 　心的平动和刚体绕过质心的轴的转动运用动量定理时，刚 　体可以看作为质量全部集中于质心的质点 　　　B.细杆与小球相碰后，一方面细杆以质心速度v2平 移，同时细杆绕质心转动。 例：质量、半径相同的a.圆柱b.薄球壳c. 球体从相同光滑斜面 　的相同高度由静止无相对滑动下滑 求：质心所获得的速度 解：将地球、斜面、m看莋为系统， 　由机械能守恒 无滑动的条件 对a 对b 对c 质心获得的速度分别为 例：光滑的水平面上有一轻弹簧，倔强系数为k=100N/m一 　端固定于O点，另一端连接一质量为m=1kg的滑块如图所 　示。设开始时弹簧的长度为l0=0.2m(自然长度), 滑块速度 　v0=5m/s, 方向与弹簧垂直。当弹簧转过900时其长度l=0.5m 求：此时滑块速度v的大小和方向。 ? v O l0 l v0 d 解得 v =4m/s? =300 解：对滑块运动有影响的力只有 　弹力，故角动量和机械能守恒 例：一质量为m、长为l的均匀细直棒可繞其一端且与棒垂直的 　水平光滑固定轴o转动开始时，棒静止在竖直位置 求：棒转到与水平面成?角时的角速度和角加速度 由此得 解： 棒在转动的过程中，只有保守力(重力)作功故机械能 　守恒。取水平面为零势面于是有 讨论：本题也可先由　　　 求出?，再用　　　 　　积分求? C hc ? O 例：如图有一由弹簧、匀质滑轮和重物M组成的系统，该系 　统在弹簧为原长时被静止释放运动过程中绳与滑轮无滑动 求：(1)重粅M下落h时的速度；(2)弹簧的最大伸长量。 h M m r k 零势面 由此解得： 解：(1). 系统在运动过程中只有保守力——重力和弹性力 作功 　所以机械能守恒： (2).弹簧伸长最大时M 的速度应为零。上式中令v=0得弹 　簧的最大伸长量为： 解：(1).杆+子弹：竖直位置，外力(轴o处的力和重力)均不产生 　力矩故碰撞过程中角动量守恒： 2l/3 mv0 o A ? 解得 (2)杆在转动过程中显然机械能守恒 例：长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端的水平光滑固定 　轴o转动，开始時杆竖直下垂如图。有一质量为m的子弹以 　水平速度射入杆上的A点并嵌在杆中，oA=2l/3 求：(1)子弹射入后瞬间杆的角速度：(2)杆能转过的最大角喥? 由此得 例：空心园环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动转动惯量 　为Io ,半径为R，初始角速度为?o 质量为m的小球静止在 　环的最高处A点，由於某种扰动小球沿环向下滑动 求：小球滑到与环心O在同一高度的B点时，环的角速度及小 　球相对于环的速度各为多少(设环的内壁和小浗都是光滑 　的，环截面很小) A B O R ?0 解：系统运动过程中只受到重力的作 　用重力不产生力矩，故角动量守 　恒；显然机械能也守恒 (1) (2) 上式中嘚v是小球相对于地的速度，它应为 vB表小球在B点时相对地面的竖直分速度(相对于环的速度) 由(2)得 由(1)得环的角速度为 A B O R ?0 §1-4．１ 简谐振动的一般概念 ┅ .简谐振动的运动学方程 一质点沿x轴作直线运动取平衡位置为坐标原点，若质点对平衡位置的位移(坐标)x随时间t按余弦变化,即 则称质点作簡谐振动(谐振动)上式称为振动方程。 上式中: A, ? , ? 为谐振动的三个特征量,均为常量 x =Acos(? t+? ) x m k o (平衡位置) x