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一道几何题的多种证法和变式探究
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三角形全等的变式训练 ...
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三角形全等的变式训练
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3秒自动关闭窗口引导学生在变式思考中提出问题 - 实验苑 - 校园动态 -
校园动态&&>&&
引导学生在变式思考中提出问题
撰稿人：郑建元&&&&录入人：
&&&&录入时间：&&&&点击数：894次
&&&& 学贵有疑，如何把一个不太会提问的学生教成既能善于思考又善于提问的学生是我们在教学中长期面对的问题，其中，引导学生在变式思考中提出问题是一种简单又非常有实效的方法。
&&& 所谓“变式”，就是指教师或学生有目的、有计划地对命题进行合理的转化。这种转化可以是变换问题中的条件或结论；也可以对实际问题在保留对象中的本质因素下进行情景转换等。
&&& 本文通过两个具体的实例来说明如何引导学生在变式思考中提出问题。
&&& 例1& 用一根长为36m的绳子围成一个矩形，相邻两边长分别为多少时面积最大？
&&& 学生1：设矩形一边长为xm，另一边长为 ym，面积为 Sm2，则2x+2y=36，得：y=18-x ， S=xy=x（18-x）=-（x-9）2+81；因此x=9时，s有最大值81，此时x=9，即矩形为边长为9的正方形时面积最大。
&&& 师：很好！现在我们以例1为原型把条件或结论进行改变，你们能提出怎样的问题？
&&& 学生2：用一根长为36m的绳子分别围成一个矩形、圆和正三角形时，什么图形面积最大？
&&& 学生3：用长度为36m的铝合金材料,将它设计成外观为如图1的长方形框架，AD、AB分别为多长时长方形框架面积最大？
&&& 学生4：用长度为36m的铝合金材料,将它设计成外观为如图2的长方形框架，AD、AB分别为多长时长方形框架面积最大？
&&& 学生5：用长度为36m的铝合金材料，将它设计成外观为如图3的长方形框架，AD、AB分别为多长时长方形框架面积最大？
&&& 学生6：用长度为l的铝合金材料,将它设计成外观为如图4的长方形框架，共有x条竖档，y条横档，当AD、AB分别为多长时长方形框架面积最大？.
&&& 师：通过研究，我们发现横档与竖档满足怎样的关系时面积最大？
&&& 学生7：横档总长与竖档总长相等时面积最大。
&&& 师：这个结论很重要，横档总长与竖档总长相等时面积最大，可见所围的矩形面积最大时这矩形不一定是正方形。这是我们研究的初步成果。接着我们继续研究，刚才我们在例1的基础上进行了变式编题，这几个同学有一个共同的特点，增加横档或竖档的数量，那么我们在例1的基础上可否进行另一种变式编题，即减少横档或竖档的数量。
&&& 学生7：张大伯准备用36m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面的墙，请你为张大伯提供一个设计方案。
&&& 学生8：设矩形羊圈中垂直于墙的一边长为 xm，羊圈的总面积Sm2,由题意可得
&&&&&&&&&&&&&&&& .当 时x=9，S最大值=162，因此羊圈的最大面积为162 m2。
&&& 设计方案如下：与墙平行的一边为18m，与墙垂直的一边长为9m，围成的矩形面积最大为162m2。
&&& 师：设计的方案与张大伯一家的房屋一面的墙长有关吗？
&&& 学生9：有关。
&&& 师：请再编一题？
&&& 学生9：张大伯准备用36m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长16m的墙，请你为张大伯提供一个设计方案.
&&& 学生10：设矩形羊圈中垂直于墙的一边长为xm，羊圈的总面积Sm2,由题意可得
&&&&&&&&&&&&&&&&& ，由题意，得
&&&&&&&&&&&&&&&&& ，由于x＞9，S 随x增大而减少，∴当x=10时 ，S最大值=160（m2）.设计方案如下：与墙平行的一边为16m，与墙垂直的一边长为10m，围成的矩形面积为160m2。
&&& 师：我们在编题时要注意什么？
&&& 学生12：要符合实际。
&&& 师：对，就本题而言需求出自变量的取值范围。在求最值时，墙长在此题中是一个细节，如果我们忽视了这个细节，就可能导致结论出错。
&&& 例2 & 如图5，在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.
&&& 求证：BP2=PE?PF.
&&& 这是吉林省1997年的一道中考题，距今虽已整整十几年，但由于证明过程中涉及到相似三角形性质和判定，而且还可用到转化、对称等数学思想，仍不失为一道好题，乃至在一些参考用书中频频出现。
&&& 显然，结论中的BP、PE、PF在同一直线上，直接通过证明三角形相似得到与BP、PE、PF有关的比例式是不可能的，这就需要通过对结论中的有关线段进行转化，证明与原结论等价的结论。
在相似三角形中，线段的转换通常有三条常用途径：一是利用相等的线段进行等量代换；二是利用相等的线段比进行等量代换；三是利用相等的线段积进行等量代换。
&&& 由于△ABC是等腰三角形，AD是底边上的中线，连接PC，易证PB=PC，因此只要证CP2=PE?PF.而证线段比例中项的问题常用的方法之一是证有公共边的两个三角形相似，这条公共边就是两个相似三角形中某两条线段的比例中项,此处可考虑证含公共边CP的△CPE∽△FPC，由于∠CPE=∠CPF为公共角，因此只要证∠ACP=∠F ，又从条件CF∥AB可得∠ABP=∠F，易证∠ABP=∠ACP,从而∠ACP=∠F,∴△CPE∽△FPC,得
&&&&&&& .∴PC2=PE?PF,∴BP2=PE?PF.
&&& 由于此题用等比代换或等积代换证明并不明显，而按分析中用等线段代换证明比较自然，所以我没有进一步引导学生进行一题多解的研究，在问题解决后开始让学生做巩固性练习。
&&& 但正在此时，有个叫吴×的同学开始举手了。
&&& 吴×：“老师，此题AB=AC是多余的。”
&&& 这出乎我的意料，让我吃了一惊。毕竟这是一道流传多年的中考题，我从来没有怀疑过此题，而且也没有看到过有关此题有条件多余的文章。于是，我转而面向全班同学：“吴×同学说此题AB=AC是多余的，实际上就是对原题的变式，即把原题中的AB=AC这一条件去掉，其它条件不变，问结论是否还成立？请同学们课后去研究一下。”
&&& 课后，吴×给了他的证法。他是通过延长AD到G，使DG=AD。此时，ABGC是平行四边形，且G、C、F三点共线，再通过证明△GPF∽△APB和△GPB∽△APE得证。
&&& 吴×同学的发现并非偶然，与我平时在教学中经常叫学生进行变式思考不无关系。根据以往的教学经验，我总结了以下一些变式思考的模式：
&&& （1）弱化条件，提出一般性的问题；
&&& （2）强化条件，提出特殊性的问题；
&&& （3）变换问题中的部分条件，从而引起问题的解的改变；
&&& （4）保持结论或条件不变，把条件中的某些已知元素变为需求的元素，使得封闭题变成开放题；
&&& （5）改变所求命题的结论，使提出的问题更趋简单或复杂；
&&& （6）利用类比提出问题；
&&& （7）利用命题的互逆关系提出问题。
&&&& 变式思考使一题多变，给人一种新鲜、生动的感觉，在课堂中恰当运用变式教学可以引导学生多侧面、多角度、多渠道地思考问题，唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生主动参与学习的动力，让学生在探讨、争论、合作中学习数学，从而大大提高课堂效率。而更为重要的是通过变式，变换问题的条件和结论或变换问题的形式，但不改变问题的实质，使本质的东西更全面，使学生学习时不只是停留于事物的表象，更能自觉地全方位地看问题，从本质看问题，注意从事物内在联系上来理解事物的本质，在一定程度上可以克服和减少思维僵化及思维惰性，从而可以更深刻地理解课堂教学的内容，发展学生的求异思维能力和创新能力。
&&& 当然，引导学生在变式思考中提出问题离不开教师的引导，特别是需要教师通过创设良好的问题情境，给学生一定的时间和空间，从学生已有的知识和经验出发，不断地诱发学生思考、提出问题，从而促进学生的心智发展，把看似贫乏的知识教学变得生动有趣。
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