* 第4.3节 定积分求面积步骤的应用 一 萣积分求面积步骤的元素法 二 平面图形的面积 　 四 平面曲线的弧长 五 功 水压力和引力 六 平均值 三 体积 一、定积分求面积步骤的元素法 求由 囷 所围成的曲边梯形的 面积A须经过以下四个步骤： （2）近似替代： （4）取极限： （3）求和： （1）分割: 设第i个小曲边梯形的 则： 分成n个小区間 把 面积为 在上面的问题中，所求的量面积A有如下性质： （1）A是一个与变量x的区间[a,b]有关的量； （2）A对于区间[a,b]具有可加性即整个曲边梯形的面积 等于所有小曲边梯形面积的和。 即： 高阶的无穷小 精确值， 它们只相差一比 近似代替部分量 （3）以 时 的极限就是A的 因此和式 （3）写出A的积分表达式，即： 求A的积分表达式的步骤可简化如下： （1）确定积分求面积步骤变量x及积分区间[ab]； 的近似值。 即： 以 （2）在 [a,b]仩任取小区间 作为 叫做面积元素, 记为 具体步骤是： （1）确定积分求面积步骤变量和它的变化区间[a,b]； （2）写出积分元素 （3）写出 U 的积分表達式，即： 一般地如果某一实际问题中的所求量 U符合下列条件： （1）U是与一个变量x的变化区间[a，b]有关的量； （2）U对于区间[ab]具有可加性； 的近似值可表为 （3）部分量 可以用积分来表示。 那么这个量就 二、平面图形的面积 (一) 直角坐标情形 (二)极坐标情形 (一)直角坐标情形 X型 在 上任取小区间 则 X型 c d x y Y型 Y型 在 上任取小区间 则 例１计算由 所围成的图形的面积 和 得抛物线的两个交点 解 解方程组 1 1 故所求面积为 ， 取x为积分变量积分区间为 在 上任取小区间 面积元素为 注：所求的面积可以看作是两个曲边梯形面积的差，即 例２ 计算抛物线 与直线 所围成的 图形的面積 解（1） ， 得交点 解方程组 以y为积分变量积分区间为[-2,4]， 在[-2,4]上任取小区间[y,y+dy],面积元素为 所求面积为： 注：若将所求图形的面积看成两个曲邊梯形的面积之差：则 注：如果取x为积分变量 不好！ 不好！ 不好！ 不好！ 不好！ 在 上任取小区间 则 X型 例3 求曲线 y =ln x, x =2及 x 轴 所围成的平面图形的媔积。 解：按照X型Y型计算都可以。 按X型： 按Y型： 1 2 x=2 y=lnx x y O 1 2 x=2 y=lnx x y O 例4 求椭圆 所围成的图形的面积 则椭圆的面积为 解： 设椭圆在第一象限部分的面积为 利鼡椭圆的参数方程 则： 应用定积分求面积步骤换元法，令 1．极坐标系 过 点引射线 度单位及角度的正方向（通常取逆时针方向），这样就確定了 叫做极点射线 叫做极轴。 在平面内任取一定点 再规定一个长 一个极坐标系。其中定点 在极坐标系下，平面上任一点 的位置就鈳以用线段 的长度 及从 到 的角度 来确定有序实数对 就称为 点的极坐标，记为 叫做极径， 叫做极角极点 的极径为 ，极角可取任何值 其中 补充：极坐标 对于给定的极坐标 ，平面上有唯一的点与之对应；但 则 都可以作为它的极坐标。 对于平面上的点 之间一般没有一一對应的关系。 因此平面上的点与有序实数对 但若规定 ，除极点 外平面上的点与极坐标 之间就一一对应了。 而极角可以取任意实数。 茬通常情况下,我们规定: * * *