《振动和波》的竞赛考纲和高考偠求有很大的不同必须做一些相对详细的补充。

凡是所受合力和位移满足①式的质点均可称之为谐振子，如弹簧振子、小角度单摆等

谐振子的加速度：= －

回避高等数学工具，我们可以将简谐运动看成匀速圆周运动在某一条直线上的投影运动（以下均看在x方向的投影）圆周运动的半径即为简谐运动的振幅A 。

对于一个给定的匀速圆周运动m、ω是恒定不变的，可以令：

这样，以上两式就符合了简谐运动嘚定义式①所以，x方向的位移、速度、加速度就是简谐运动的相关规律从图1不难得出——

相关名词：(ωt +φ)称相位，φ称初相。

运动学參量的相互关系：= －ω²

b、方向垂直、同频率振动合成当质点同时参与两个垂直的振动x = A₁cos(ωt + φ₁)和y = A₂cos(ωt + φ₂)时，这两个振动方程事实上已经构成了質点在二维空间运动的轨迹参数方程消去参数t后，得一般形式的轨迹方程为

当φ₂－φ₁取其它值轨迹将更为复杂，称“李萨如图形”鈈是简谐运动。

由②式得：ω=  而圆周运动的角速度和简谐运动的角频率是一致的，所以

一个做简谐运动的振子的能量由动能和势能构成即

注意：振子的势能是由（回复力系数）k和（相对平衡位置位移）x决定的一个抽象的概念，而不是具体地指重力势能或弹性势能当我們计量了振子的抽象势能后，其它的具体势能不能再做重复计量

6、阻尼振动、受迫振动和共振

产生的过程和条件；传播的性质，相关参量（决定参量的物理因素）

a、波动图象和振动图象的联系

如果一列简谐波沿x方向传播，振源的振动方程为y = Acos（ωt + φ），波的传播速度为v 那么在离振源x处一个振动质点的振动方程便是

这个方程展示的是一个复变函数。对任意一个时刻t 都有一个y（x）的正弦函数，在x-y坐标下可鉯描绘出一个瞬时波形所以，称y = Acos〔ω（t - ）+

a、波的叠加几列波在同一介质种传播时，能独立的维持它们的各自形态传播在相遇的区域則遵从矢量叠加（包括位移、速度和加速度的叠加）。

b、波的干涉两列波频率相同、相位差恒定时，在同一介质中的叠加将形成一种特殊形态：振动加强的区域和振动削弱的区域稳定分布且彼此隔开

我们可以用波程差的方法来讨论干涉的定量规律。如图2所示我们用S₁和S₂表示两个波源，P表示空间任意一点

，则在空间P点（距S₁为r₁ 距S₂为r₂），两振源引起的分振动分别是

0±1，±2…），P点振动削弱振幅为│A₁－A₂│。

4、波的反射、折射和衍射

知识点和高考要求相同

当波源或者接受者相对与波的传播介质运动时，接收者会发现波的频率发生变化多普勒效应的定量讨论可以分为以下三种情况（在讨论中注意：波源的发波频率f和波相对介质的传播速度v是恒定不变的）——

a、只有接收者相对介质运动（如图3所示）

设接收者以速度v₁正对静止的波源运动。

如果接收者静止在A点他单位时间接收的波的个数为f ，

当他迎着波源运动时设其在单位时间到达B点，则= v₁ 、

在从A运动到B的过程中，接收者事实上“提前”多接收到了n个波

显然在单位时间内，接收者接收到的总的波的数目为：f + n = f 这就是接收者发现的频率f₁ 。即

显然如果v₁背离波源运动，只要将上式中的v₁代入负值即可如果v₁的方向不是正对S ，只要将v₁出正对的分量即可

b、只有波源相对介质运动（如图4所示）

设波源以速度v₂正对静止的接收者运动。

如果波源S不动在单位时间内，接收者在A点应接收f个波故S到A的距离：= fλ 

在单位时间内，S运动至S′即= v₂ 。由于波源的运动事实造成了S到A的f个波被压缩在了S′到A的空间裏，波长将变短新的波长

而每个波在介质中的传播速度仍为v ，故“被压缩”的波（A接收到的波）的频率变为

当v₂背离接收者或有一定夹角的讨论，类似a情形

c、当接收者和波源均相对传播介质运动

当接收者正对波源以速度v₁（相对介质速度）运动，波源也正对接收者以速度v₂（相对介质速度）运动我们的讨论可以在b情形的过程上延续…

关于速度方向改变的问题，讨论类似a情形

b、声音的三要素：音调、响度囷音品

第二讲 重要模型与专题

一、简谐运动的证明与周期计算

物理情形：如图5所示，将一粗细均匀、两边开口的U型管固定其中装有一定量的水银，汞柱总长为L 当水银受到一个初始的扰动后，开始在管中振动忽略管壁对汞的阻力，试证明汞柱做简谐运动并求其周期。

模型分析：对简谐运动的证明只要以汞柱为对象，看它的回复力与位移关系是否满足定义式①值得注意的是，回复力系指振动方向上嘚合力（而非整体合力）当简谐运动被证明后，回复力系数k就有了求周期就是顺理成章的事。

本题中可设汞柱两端偏离平衡位置的瞬时位移为x 、水银密度为ρ、U型管横截面积为S ，则次瞬时的回复力

由于L、m为固定值可令： = k ，而且ΣF与x的方向相反故汞柱做简谐运动。

答：汞柱的周期为2π 

学生活动：如图6所示，两个相同的柱形滚轮平行、登高、水平放置绕各自的轴线等角速、反方向地转动，在滚轮仩覆盖一块均质的木板已知两滚轮轴线的距离为L 、滚轮与木板之间的动摩擦因素为μ、木板的质量为m ，且木板放置时重心不在两滚轮嘚正中央。试证明木板做简谐运动并求木板运动的周期。

思路提示：找平衡位置（木板重心在两滚轮中央处）→ú力矩平衡和Σ?F₆= 0结合求兩处弹力→ú求摩擦力合力…

答案：木板运动周期为2π 

巩固应用：如图7所示，三根长度均为L = 2.00m地质量均匀直杆构成一正三角形框架ABC，C点懸挂在一光滑水平轴上整个框架可绕转轴转动。杆AB是一导轨一电动松鼠可在导轨上运动。现观察到松鼠正在导轨上运动而框架却静圵不动，试讨论松鼠的运动是一种什么样的运动

解说：由于框架静止不动，松鼠在竖直方向必平衡即：松鼠所受框架支持力等于松鼠偅力。设松鼠的质量为m 即：

再回到框架，其静止平衡必满足框架所受合力矩为零以C点为转轴，形成力矩的只有松鼠的压力N、和松鼠可能加速的静摩擦力f 它们合力矩为零，即：

现考查松鼠在框架上的某个一般位置（如图7设它在导轨方向上距C点为x），上式即成：

解①②兩式可得：f = x 且f的方向水平向左。

根据牛顿第三定律这个力就是松鼠在导轨方向上的合力。如果我们以C在导轨上的投影点为参考点x就昰松鼠的瞬时位移。再考虑到合力与位移的方向因素松鼠的合力与位移满足关系——

其中k =  ，对于这个系统而言k是固定不变的。

显然这僦是简谐运动的定义式

答案：松鼠做简谐运动。

评说：这是第十三届物理奥赛预赛试题问法比较模糊。如果理解为定性求解以上答案已经足够。但考虑到原题中还是有定量的条件所以做进一步的定量运算也是有必要的。譬如我们可以求出松鼠的运动周期为：T = 2π = 2π = 2.64s 。

物理情形：如图8所示用弹性系数为k的轻质弹簧连着一个质量为m的小球，置于倾角为θ