莫比乌斯圈的用途有哪些？_百度知道
莫比乌斯圈的用途有哪些？
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出门在外也不愁请举例说明莫比乌斯环在过山车中应用？
过山车中是否有些结构采用了莫比乌斯环 能不能举例说明 谢谢
那样的话车子会翻到轨道下面去的
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社交帐号登录先拜大牛。感谢贾志鹏严谨的思维。以及简单清晰的论文描述。
一定要结合论文看。我只是提出我觉得关键的部分。论文在网上随处可见。贾志鹏线性筛。
开头两种线性筛的比较。
一种是传统的线性筛。时间复杂度为N*log(log(N))。
另外一种是优化了合数的筛法。文中称作Euler线性筛。
其优化的地方。
举个例子：合数6。 是2的倍数也是3的倍数。 当你用传统的筛法的时候在遍历2的倍数的时候会遍历到6。遍历3的倍数的时候同样也会遍历到6。
而另外一种只会筛出6为2的倍数。3就不会筛6了。
另外个人认为筛法二有一个很重要的思想。当i为合数的时候。其实脑海里不认为是合数。而是素数的乘积。这样就能比较直观地确定这个算法的正确性了。
积性函数。
分为完全积性和条件积性。
我们最喜欢的积性。大概就是互素积性了。因为满足互素积性的话。根据算术基本定理。就能够简单做到推广到任意实数。
f(1) = 1 。 这个在我们高中数学题。抽象函数。就已经能简单知道了。
欧拉函数。就不再谈了。包括其线性筛的那一步至关重要的证明。也在我其它博文提到过了。
其 欧拉定理和费马小定理的作用。我得再多补充一点。
以及互质数和。 n的互质数和为 n*&(n)/2.
莫比乌斯函数和容斥定理的关系。
可以发现莫比乌斯函数其实就是容斥定理的映射一般。
莫比乌斯函数 是我们再熟悉不过的了。不熟悉可以看。
首先看 (-1)^r m = p1p2p3p4p5pr 其实就是在模拟容斥定理。
假如一但不是素数。那就为0.
两个函数的线性筛。这其实是我们处理问题的基本。这里需要讲的是。不一定只有积性函数才可以用这种筛法。
只要你能找到f(kn) n整除k 和不整除的两个时刻所对应的递推式。这个在扩展问题中会出现。
问题一：求1~N对质数P的乘法逆元。
关于f(n)为完全积性函数。根据同余定理可以简单获得。要证明的话。减法证同余即可。
P = nt + k
n'& & n*(t^2)*f(k)^2 (mod P)
这个证明过程很漂亮(很佩服这么顺畅,思维这么清晰)。也是根据同余定理。还有逆元的性质。就能推理的。
这个问题的意义。可以求N!的 mod P 的逆元了。逆元还是很有用的。因为毕竟除法并没有特别好的同余式。（依稀还记得那两个。）
问题二：给T组N,M.依次求出的值.(N,M&=10^6,T&=10^3)
求解gcd(a,b).把gcd(a,b)当做n.再通过欧拉函数和式。推导过程如下。
第二个等式是用d来看待式子的方法来化简和式的。
之后再穷举d即可。
#include&stdio.h&
#include&string.h&
bool mark[N+5];
int prime[N+5];
int euler[N+5];
int Min(int a,int b){return a&b?a:b;}
void Euler()
memset(euler,0,sizeof(euler));
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(mark,0,sizeof(mark));
euler[1] = 1; // multiply function
for(i=2;i&=N;i++)
if(!mark[i])
prime[num++] =
euler[i] = i-1;
for(j=0;j&j++)
if(i*prime[j]&N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
euler[i*prime[j]] = euler[i]*prime[j];
euler[i*prime[j]] = euler[prime[j]]*euler[i];
int main()
int M1,M2;
for(i=0;i&i++)printf("%d ",prime[i]);
printf("\n");
for(i=1;i&=N;i++)printf("%d ",euler[i]);
printf("\n");
int sum = 0;
int min = Min(M1,M2);
for(i=1;i&=i++)
sum += euler[i]*(M1/i)*(M2/i);
printf("%d\n",sum);
the second problem test
问题三：给T组N,M.依次求出的值.(N,M&=10^6,T&=10^3)
在证明之前，先证明以下式子。
问题的解决推导。
第一个等式。lcm(a,b) = ab/gcd(a,b).
第二个等式。令d=gcd(a,b)。
第三个等式。转化为d的视角。（这个手法经常有）。
第四个等式。转化为莫比乌斯函数。
第五个等式。利用上述的等式来转化。注意d和d'
第六个等式。论文中提到的有趣的化简性质。
第七个等式。其实是d = dd'换元。不过有点老奸巨猾啊。干嘛不设个T = dd'。这个我纠结了半天。
之后就是如论文中介绍的。g(d) 为积性函数。线性筛之。
总体上算法还是N的。
问题四：给T组N,M.依次求出的值.(N,M&=10^6,T&=10^3)
实质上就是求　其中x和y互素。的对数。
我们是时候需要有和式化成的思想了。[gcd(a,b)=1]真是漂亮的莫比乌斯函数的和式的结果。
第一个等式：莫比乌斯函数扩写
第二个等式：gcd(a,b)=p -& gcd(a/p,b/p)=1问题转换。
第三个等式：一个和式的处理手段。
第四个等式：很常见的。
#include&stdio.h&
#include&string.h&
bool mark[N+5];
int prime[N+5];
int mobi[N+5];
int Min(int a,int b){return a&b?a:b;}
void Mobi()
memset(mobi,0,sizeof(mobi));
memset(prime,0,sizeof(prime));
memset(mark,0,sizeof(mark));
mobi[1] = 1; // multiply function
for(i=2;i&=N;i++)
if(!mark[i])
prime[num++] =
mobi[i] = -1;
for(j=0;j&j++)
if(i*prime[j]&N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
mobi[i*prime[j]] = 0;
mobi[i*prime[j]] = mobi[prime[j]]*mobi[i];
int main()
int M1,M2;
for(i=0;i&i++)printf("%d ",prime[i]);
printf("\n");
for(i=1;i&=N;i++)printf("%d ",mobi[i]);
printf("\n");
int sum = 0;
int min = Min(M1,M2);
for(i=1;i&=i++)
sum += mobi[i]*(M1/i)*(M2/i);
printf("%d\n",sum);
Test problem forth
问题五：给T组N.依次求出的值.(N&=10^6,T&=10^3)
其实根据问题三.可以直接获得该化简出来的式子的。
然后解法和问题三一样。
但是论文上寻找积性f(n)直接筛出答案。
首先佩服一下其思维的紧密。一个变量啊。就寻找积性函数。这个转化真是清晰而又巧。
画个图就能知道 -n 是用来去重复的统计的。
f(n)是积性的。具体证明如论文上解释。
第一个等式:d = gcd(n,i)
第二个等式:k = i/d.且全部都除以d.gcd(a,b)=d转化成求互素(gcd(a,b)=1)的问题。
第三个等式:令d=n/d。是对应的。& 其实在第二个等式就能看出是欧拉函数求约数和问题了。
第四个等式:不解释了吧。
第五个等式:手算一下容易得。
欧拉函数求互质数和的函数是积性函数
有一道题。就是利用这个。后会介绍。
见到积性函数我们现在应该是very happy的。
扩展问题1: T组N.依次求出的值.(N&=10^6,T&=10^3)
借鉴了贾志鹏上面所有问题的证明。这个是我自己写的扩展证明。难免有错误。见谅。还望留言提醒。
我觉得这样的证明是非常轻快明了的。然后网上还有流行一种。用莫比乌斯反演的另外一种表示式的。也是非常神奇的。
不过。那个反演我还没有证明过。不过还是借鉴了其下半部分的设T。（也是这个设T点醒了我。贾志鹏第3个问题的证明的最后一步。）
这里并不能因为p是素数。而n/p不一定是素数。所以并不是对称的。(如果看过具体数学就能很快明白了。)
分类对于 g(kx) .有
&g(kx)=&(x)&&&&&&& & & & && k|p
&g(kx)=&(x)-g(x)&&&&&&&&& k!|p
结合莫比乌斯函数。可以知道分类成立:
我们可以借这个 并且借用之前两个积性函数的筛法 来筛 g(n)。
这是明显可行的。也就是说。我们不需要函数必须是积性的才能去筛。
我们只需要找到g(kx)是由g(x)获得的。或者是在g(x)之前就筛掉的值获得的。eg:g(x-1) (筛法总是从小到大。)
更甚的是。我们只需要获得大值和小值的关系！就可以筛法。但是该筛法。是建立在素数表达式之上的。
这段阐述也许很混乱。但是我也只能描述个大概的个人体会。理解不理解没关系。
&给你个例子。筛一个数的素因子之和。
对于上述的筛法.
让F[n] 为n的素因子之和。
F[i*prime[j]] = F[i]+prime[j] & & & & & & & & & & & & & &i\prime[j]时。
F[i*prime[j]] = F[i]+prime[j] & & & & & & & & & & & & && &i!\prime[j]时。&
两种情况是一样的。原因显而易见。不过我们还是得判断。因为i\prime[j]的时候我们更新后可以直接
再考虑一个问题:筛一个数的所拥有的素因子之和。 比如12 为2*2*3 我们只计算2+3.
F[i*prime[j]] = F[i] & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & & i\prime[j]时。
F[i*prime[j]] = F[i]+prime[j] & & & & & & & & & & & & && &i!\prime[j]时。&
对于这个问题的code.
#include&stdio.h&
#include&string.h&
#define N 100
int num,prime[N+5],f[N+5];
bool mark[N+5];
void Init()
for(i=2;i&=N;i++)
if(!mark[i])
prime[num++] =
for(j=0;j&j++)
if(i*prime[j]&N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
f[i*prime[j]] = f[i];
f[i*prime[j]] = f[i]+prime[j];
int main()
for(i=1;i&=N;i++)
printf("%d = %d \n",i,f[i]);
Problem test
再考虑一个问题：筛一个数的所拥有的不重复的素因子之和。比如12 为2*2*3 我们只计算3
&i\prime[j]时。
　　情况1: （i/prime[j]）\prime[j]时.
　　F[i*prime[j]] = F[i]
　　情况2： （i/prime[j]）！\prime[j]时.
　　FF[i*prime[j]] = F[i]-prime[j].
&i!\prime[j]时。&
F[i*prime[j]] = F[i]+prime[j] & & & & & & & & & & & & &&
#include&stdio.h&
#include&string.h&
#define N 100
int num,prime[N+5],f[N+5];
bool mark[N+5];
int Max(int a,int b)
return a&b?a:b;
void Init()
for(i=2;i&=N;i++)
if(!mark[i])
prime[num++] =
for(j=0;j&j++)
if(i*prime[j]&N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
if((i/prime[j])%prime[j]==0)
f[i*prime[j]] = f[i];
f[i*prime[j]] = f[i] - prime[j];
f[i*prime[j]] = f[i]+prime[j];
int main()
for(i=1;i&=N;i++)
printf("%d = %d \n",i,f[i]);
Problem test
&扩展问题1: T组N.求1~N范围上与N互素的数的和。
值得一提的是推导到最后的。按照以往的手段似乎没有继续下去的可能了。（但是如果你仔细观察的话。可以发现 n/k 不需要取底符号。那么就能提取出一个n的因子）
#include&stdio.h&
#include&string.h&
#define N 100
int prime[N+5];
int mobius[N+5];
bool mark[N+5];
void Mobius()
mobius[1] = 1;
for(i=2;i&=N;i++)
if(!mark[i])
prime[num++] =
mobius[i] = -1;
for(j=0;j&j++)
if(i*prime[j]&N){break;}
mark[i*prime[j]] = 1;
if(i%prime[j]==0)
mobius[i*prime[j]] = 0;
mobius[i*prime[j]] = -mobius[i];
int solve(int n)
for(i=1;i&=n;i++)
if(n%i==0)
r += mobius[i]*i*(n/i)*(n/i+1);
int main()
while(scanf("%d",&n)!=EOF)
printf("%d = %d\n",n,solve(n));
Problem two
&实际上求互质数和有 n*&(n)/2 。
用莫比乌斯函数表示
&上面公式得证。十分感谢yzq986的留言。告诉了我后续的解法！！！~~~
如果我们直接用n*&(n)/2。该函数我们是可以直接筛出来的。
&对于互质数我们探讨得较多了。个数（欧拉函数）。互素数和。就是以上的。
那么对于约数呢？另外开一篇随笔去探讨这个问题。
论文上的一个优化:
论文上sqrt的优化具体原理论文已经给得很清楚了。
即存在 a/x = a/(x+k)& 这个是取整除法
稍微讲述一下代码的构造。
我们预处理出目标函数之后。再预处理出其前缀和用sum数组保存.通过以下代码进行结果的处理。即可。
for(int i=1,i&=n;i=last+1)
last = min(n/(n/i),m/(m/i));
ans += (n/i)*(m/i)*(sum[last]-sum[i-1]);
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带答案激尽
提问者采纳
数家吐露麦比乌斯带单面要两半十笑条带 莫比乌斯环奇妙处三：
、莫比乌斯环存面
二、沿着莫比乌斯环间剪形比原莫比乌斯环空间倍、具反两面环（环0）形两莫比乌斯环或两其形式环
三、再沿着环0间剪形两与环0空间、具反两面环且两环相互套起（环1环2）再沿着环1环2及沿着环1环2间剪所所环间剪都形两与环0空间、具反两面环永止境……且所所环都套起永远、永远能与其环发联系独立存
数仅宏规模帮助进行形状设计3层半楼层高复节彩蛋且微范围内帮助设计本章叙述美博尔德市科罗拉戴维•沃尔巴及其同事何奇特麦比乌斯带合故事
神秘麦比乌斯带数家宠物用条窄纸条制作麦比乌斯带例取条加器用纸带半扭转再纸带两端连接形闭合环麦比乌斯带
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11<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad65凯库勒认识碳链环绕着旋转形环梦幻给灵我坐着编写教科书工作毫进展我思维差我椅转向取暖壁炉并打起盹原再我眼前欢跳较原谨慎呆基底我灵眼睛通种重复景象更加敏锐现辨别种形体较结构排列行更紧密拼接起；整行迂曲折像蛇运瞧条蛇咬住自尾巴嘲弄般我眼前快速旋转仿佛道闪电我惊醒……晚我推断假设结论
首先凯库勒推导苯结构由6碳原6氢原组凯库勒断定<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad碳原形六角形各带氢原与每碳原相连自凯库勒辨明苯形状<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad0内机化家发现更复杂形状诸双螺旋脱氧核糖核酸近些化家才观察形状呈麦比乌斯带麦比乌斯自界发现由戴维&#8226;沃尔巴及其同事实验室合始用形状像架3级梯合（梯每级实际碳-碳双键忽略掉）使梯环绕着弯曲再两端连接使其实际形环状物环形物半仅仅条环形带另半两端连接半截扭转形条麦比乌斯带麦比乌斯带与麦比乌斯纸带都具许神秘性能3碳双健全部断仍单碳双键断相于沿着纸带线环绕着麦比乌斯带两半于纸带两者说结都单带其周原两倍
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且化键相同两种化化合物性质截同实体关键于拓扑看能存着截同镜像
右手左手都众所周知镜像所习惯与其镜像相反物体称左手或右手镜像物究竟哪叫做像习惯问题街道右侧存绝位置取决于行走向两种麦比乌斯带已称右旋左旋麦比乌斯带必担何者右旋何者左旋存右旋左旋形式称手性希腊词手（Cheir）借用
右旋左旋麦比乌斯带都镜像形状实例拓扑看性质截同着等价镜像形状现简单图形例圆形本身镜像显拓扑看圆形与本身等价
另例字母R及其镜像Я若用软橡胶制图形R用拓扑变形变换镜像软橡胶制物理约束力防止任何式发变形尽管R形能够转变镜像须弯曲变形——确根本需要弯曲用硬塑料制字母图形R及其镜像Я放桌要拿起翻转能使其变另
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种见解往往证明用沃尔巴已经三级梯形合麦比乌斯带请我直接观察两级梯形合类似所形状手性图所示由于能变换具反射称性形状所手性
惜种解释于三级麦比乌斯似乎起作用经许思考实验沃尔巴推测像能变形具反射称性形状变形已经显示反射称性断定三级麦比乌斯形状变形镜像逆叙确任何变形未能显示反射称性否意味着本身能变形其镜像
毛病答案太容易沃尔巴请我考虑两橡胶手套右手另则左手手套显都镜像拓扑看等价手套刚性等价我像翻转字母R翻转两手套获镜像行通我任何手套往外翻转能使手套等价（拓扑家发现自处奇特位置既能认手套右手能认左手）手套往外翻转程手套任何步骤都具反射称性
我许能够结论手套反例：某种形状拓扑与其镜像等价其变形程却具备反射称性种结论能错误我没让手套充变形我使劲拽手套至少理论能够手套变形圆盘形状手套具反射称性（沿任何直径向都反射称性）讨论要点沃尔巴化面些研究已向拓扑家提重要问题：某种形状变形程能具备反射称性否结论拓扑看形状本身与其镜像等价呢基本问题数文献像没提
问题整都牵扯重要哲问题：物理科新概念否启迪数新概念或者反换句说何者先物理科数许哲家遇问题与众所周知关于鸡蛋何者先问题答案看令满意
两种情况所结论似乎置否证据目性试验些步柏拉图尘专横数家断言科与物理实际相脱离认即使没供计数物体数字存固执数家则承认科与数紧密相连坚持数先提群论作证据群论数门支科<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0a007a世纪30代诞完全没物理用途近才粒物理家应用便用于研究20内发现亚原粒集
物理家则相信科先且认历史站边例伊萨克&#8226;牛顿创造数著名支科微积需要种数工具用析极空间与间间隔我认数与科都相益彰才惟公结论尽管种判断既鼓舞增进知识麦比乌斯带故事数与物理科间错综复杂相互促进关系实例1858论文竞赛提麦比乌斯带仅仅创立纯数现化发展起且已化家熟练运用纯理论数家提许问题
欣慰麦比乌斯带仅服务于化家且服务于工业家B．F．古德奇公司已经获麦比乌斯输送带专利权普通输送带带侧较磨损与撕裂麦比乌斯输送带应力布两侧延其使用期倍 麦比乌斯简介(Mobius<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad90～1868)
德数家文家 1790 11月17于瑙姆堡附近舒尔普福塔<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad689月26卒于莱比锡1809 入莱比锡习律转攻数、物理文1814 获博士位<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad16任副教授<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad29选柏林科院通讯院士<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0ad44任莱比锡文与高等力教授
麦比乌斯科贡献涉及文数两领域领导建立莱比锡文台并任台发表《关于行星掩星计算》获文家赞誉外著《文原理》《体力基础》等文著作数面麦比乌斯发展射影几何代数其主要著作《重计算》独立于 J. 普吕克等创立代数射影几何基本概念——齐坐标同著作揭示偶原理与配极间关系并交比概念给完善处理麦比乌斯知数发现名字命名单侧曲面——麦比乌斯带外麦比乌斯拓扑球面三角等其数支重要贡献 堂趣数课 ——制作神奇莫比乌斯带 班主题：周五午课 郑师黑板写神奇莫比乌斯带（数课）午我全班都奇期待节课
级：三级目标：南京琅琊路科技月——手起1、
让我认识莫比乌斯带形纸条制莫比乌斯带2、
引导我通思考操作发现并验证莫比乌斯带特征培养我胆猜测、勇于探究求索精神3、
莫比乌斯带魔术般变化受数穷魅力拓展数视野进步激发我习数兴趣准备：准备剪刀胶带、彩笔三张形彩纸程：、制作莫比乌斯带手操作：首尾相接围圈 （图自网络） 我取2号纸条先做普通纸圈端翻转180°再用胶带粘牢完面条边纸圈知道纸圈叫名字神奇莫比乌斯带德数家莫比乌斯<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0a007a58偶间发现所名字命名叫莫比乌斯带叫莫比乌斯圈管叫怪圈 二、研究莫比乌斯带莫比乌斯带底神奇呢面我用剪办研究师先拿平纸圈问：沿着纸带间剪变呢（师手剪观察验证）请同认真观察师剪（变<img class="word-replace" src="/api/getdecpic?picenc=0a5f纸圈）（）1/2剪莫比乌斯带1、现师拿莫比乌斯带我用剪刀沿线剪莫比乌斯纸圈师让我猜猜变2、请同自手验证3、我按照师示范做起验证结：变更圈 说神奇（二）1/3剪莫比乌斯带1、我拿3号纸条再做莫比乌斯带2、我要沿着三等线剪猜猜：要剪几剪结呢3、我手操作我同桌合作帮助4、验证结：圈套着圈 三、应用莫比乌斯带仅玩趣且应用面面1、山车：些山车跑道采用莫比乌斯原理
（图自网络）2、莫比乌斯爬梯科技馆标志性物体由莫比乌斯带演变 （图自网络）
通今节课习我觉莫比乌斯带充满奥秘问题师清楚我爸爸告诉我数门专门研究莫比乌斯带书叫《拓扑》种现象应用许许呢
我用扭节打比看底图形我看作平面曲线似乎自身相交再看似乎断三截其实容易明白图形其实三维空间曲线并自相交且连续断条曲线平面条曲线自做第三维穿第三维避自相交我要画二维平面点画相交或者断裂克莱瓶事实处于四维空间曲面我三维空间即使高明能工巧匠做自身相交模；象高明画家纸画扭结候画自身相交模题图用玻璃吹制克莱瓶款创意钟外形像神奇莫比乌斯圈由三外圈组每面用显示间数字除极具性创意扭曲外形设计师特准备便睡模式钟响起候要其翻转关闭闹钟进入睡模式十便设置钟间操作与类似
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