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定积分及其应用
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你可能喜欢为什么∫x^2dx在0-无穷是求线的上面积。而∫sinxdx在0-π上是算线下面积呢_百度知道
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为什么∫x^2dx在0-无穷是求线的上面积。而∫sinxdx在0-π上是算线下面积呢
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都是“线下”的面积
谁跟你说的。看看积分的定义好伐，
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换一换
回答问题，赢新手礼包曲线积分一、第一类曲线积分；1．设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,求；?(xL2?y2)ds.；222?解：曲线L：x?cost，y?sint，；L?2．设一段锥面螺线L：x?etcost，y?；??x,y,z??1x?y?z222，求该构件的；解：计算微分ds?x?(t)2?y?(t)2?z；?2(e2tcos2t?e2tsin2t)?e2；M???(
曲线积分 一、第一类曲线积分 1．设平面曲线L为下半圆周y??1?x2,求 ?(xL2?y2)ds. 222?解：曲线L：x?cost，y?sint，t?[?,2?]，ds?1dt，?(x?y)ds??dt?? L?2．设一段锥面螺线L：x?etcost，y?etsint，z?et ?0?t?2π?上点?x,y,z?处的线密度为??x,y,z??1x?y?z222，求该构件的质量． 解：计算微分ds?x?(t)2?y?(t)2?z?(t)2dt?(etcost?etsint)2?(etsint?etcost)2?e2tdt ?2(e2tcos2t?e2tsin2t)?e2tdt?3e2tdt?3etdt M???(x,y)ds??L2?12e2t03e2tdt?322??6? 3．计算?L2yds，其中L是抛物线y?x2上点（0，0）与（1，1）之间一段弧． 解：L1:y?x2,x?[0,1],ds?1?4x2dx， ?L2yds??102x21?4x2dx?2?x1?4x2dx??4xdx ?1?4xd(1?4x)??1?4x?1)?(55?1) 121204．设一折线型构件占有xoy面上曲线弧L，L为连接点A(2,0)，O(0,0)与点B(0,3)的折线段，且在曲线L上点?x,y?处的线密度为??x,y??x?y，求该构件的质量． 33解：M???(x,y)ds，L?L1?L2，L1是先沿直线从点A(2,0)到点O(0,0)，L1:y?0，x:2?0， L??5.计算?eLx2?y2L1?(x,y)ds??(x3?y3)ds??(x3?0)1?0dx?4 L102L2是沿直线点从O(0,0)到点B(0,3)，L2：x?0，y:0?3， L2?(x,y)ds??(x?y)ds??(y3?0)1?0dy?L2033381， 4M???(x,y)ds?L?ds,其中L是由x?acost,y?asint,t?[0,]. 4《高等数学）》 第8章
L:x?acost,y?asint,
ds?adt .?eLx2?y2?ds??4eaadt?aea0?4?a?ae. 4二、第二类曲线积分 ????6.设一质点在力F?yi?xj的作用下，沿圆周x?Rcost,y?Rsint上由t1?0到t2?的一段弧移动作的2功W． ?x?Rcost?解
L为：? . t:0?.dx??Rsintdt，dy?Rcostdt，
2?y?Rsint?Lydx?xdy??Rsint(?Rsint)dt?Rcost?Rcost?dt??R?sint?costdt??R2cos2tdt 22??200?22??20212?Rsin2t?0 20?7．计算?x3ydy，其中L是抛物线y?x2上从点(0,0)到点(1,1)的一段弧． L解：L:y?x2,
dy?2xdx，?x3ydy??L102x7232? x?x?2xdx?70718．计算?(x?y)dx?(y?x)dy，其中 L（1）L是先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线． （2）L是抛物线y2?x上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧 解：（1）L1是先沿直线从点(1,1)到点(1,2)，L1:x?1，y:1?2， ?L1(x?y)dx?(y?x)dy??(1?y)0?(y?1)dy?121 2L2是沿直线点从(1,2)到点(4,2)，L2:y?2，x:1?4， ?L2(x?y)dx?(y?x)dy??(x?2)dx?1427，
2?L(x?y)dx?(y?x)dy=271??14 22（2）L3:x?y2，y:1?2，?(x?y)dx?(y?x)dy L11134??(y2?y)?2ydy?(y?y2)dy??(2y3?y2?y)dy?(y4?y3?y2)? ??229．设有一平面力场F??x?a??yi，将一质点沿曲线L：(x?a)2?y2?a2?a?0?从点?a,a?移动??到点?2a,0?所作的功W?1，求a． 解：曲线L：x?a?acost，y?asint，t:?2?0， 《高等数学）》 第8章
W??L[?x?a??y2]dx???(a2)?(?asint)dt?a3?1，a?1 220?????10．设一质点在力F?yi?zj?xk的作用下，从点A?0,1,2?沿直线段移动到点B?2,3,5?，求力F作的功W． xy?1z?2?解：直线AB的方程为：?，点A?0,1,2?对应t?0，点B?2,3,5?x?2t,y?2t?1,z?3t?2，223对应t?1，t:0?1，
W??Lydx?zdy?xdz??(2t?1)?2dt?(3t?2)?2dt?2t?3dt?14 01三、格林公式及积分与路径无关 22422L(x?2xy?3y)dx?(x?y)dy11．计算?，其中是曲线x?y??2y取顺时针方向． ?L解：P(x,y)?x4?2xy?3y,Q(x,y)?x2?y2，?Q?P?2x， ?2x?3,?x?y?L?(x4?2xy?3y)dx?(x2?y2)dy????(D?Q?P?)d?????3d???3???d???3????3? ?x?yDD12．计算曲线积分I??[exsiny?2x]dx?(excosy?x)dy，其中L为曲线y?1?x2上点A(1,0)沿逆时 L针方向到点B(?1,0)的一段弧． 解：?Q?Q?P?P?excosy?1，??excosy,，用格林公式，添加直线段BA，形成封闭曲线L? ?x?x?y?y??L?[exsiny?2x]dx?(excosy?x)dy???(?1)d?????1d???DD?2 直线段BA：y?0，x:?1?1，? BA[exsiny?2x]dx?(excosy?x)dy???2xdx?0 ?11?LL???L???BA???2 13．设Lx2?y2?2x,逆时针方向，求??ysinxdx?cosxdy． 解: P(x,y)?ysinx,Q(x,y)??cosx，?Q?P?sinx?,所以曲线积分与路径无关, ?x?y?Lysinxdx?cosxdy?0 ?14．设一变力在坐标轴上投影X?2xy?y4?3,
Y?x2?4xy3，这力确定了一个力场．证明（1）质点在此场内移动时场力所作的功与路径无关；（2）求质点从点A(1,0)移动到点B(2,1)，该变力所作的功． 解:功W??(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy，其中P(x,y)?2xy?y4?3,
Q(x,y)?x2?4xy3, L《高等数学）》 第8章
?Q?P?Q?P，因为,所以曲线积分与路径无关.即场力所作的功与路径无关. ?2x?4y3???x?x?y?y（2）求质点从点A(1,0)移动到点B(2,1)，该变力所作的功．选择折线段AOB AO:y?0,
dy?0,W1??(2xy?y?3)dx?(x?4xy)dy??3dx?3 AO14232OB :x?2,
dx?0， W2??(2xy?y4?3)dx?(x2?4xy3)dy??(4?8y3)dy?(4y?2y4)?2 OB0011W?W1?W2?5 15.计算?(x2?y)dx?(x?siny)dy,其中L为圆周y?2x?x2上由点O(0,0)到点B(1,1)的一段弧. L解
?P(x,y)?x2?yQ(x,y)??x?siny，
?Q?P??1?.积分与路径无关. ?x?y添加直线段OA：y?0,
x:0?1，AB: x?1,y:0?1. ?AB(x?y)dx?(x?siny)dy???(1?siny)dy?(?y?cosy)0?cos1?2 ?xdx?()?(x?y)dx?(x?siny)dy ?0?OA30311?L(x2?y)dx?(x?siny)dy??OA??AB
?L?cos1?2?15?cos1? 33L16.设L为由x?0,x?2,y?0,y?3所围成的逆时针方向的封闭折线，求?(1?y2)dx?2xydy． 解:?Q?P?2y,所以曲线积分与路径无关,?(1?y2)dx?2xydy?0 ?2y,?L?x?y (2,0) (0,0)17．求?解:ex?cosydx?sinydy?． ?Q?P??exsiny?, 所以曲线积分与路径无关.选择线段OAy?0,x:0?2 ?x?y? (2,0) (0,0)e?cosydx?sinydy??x?
OAex?cosydx?sinydy???0L2exdx?e2?1 18．设L为圆域D:x2?y2??2x的正向边界，求?(x3?y)dx?(x?y3)dy． 解: ?Q?P?1 ,?(x3?y)dx?(x?y3)dy???1,?x?yL??D(1?1)d??2??2?
《高等数学）》 第8章
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在长为宽为2的矩形OABC内曲线y=sinX(0≤X≤π)与x轴未成阴影面积如图，想阴影区域投掷一点（该店落在OABC内人一点是等可能的）求该店落在阴影的概率
矩形OABC的面积S1=2π
正弦函数在0≤x≤π上的面积S2=∫sinxdx=[-cosx]|
=-(cosπ-cos0)
已知落在任意一点是等可能性的
所以，落在阴影的概率P=S2/S1=2/(2π)=1/π
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函数y=sinx(x∈[-π,π])图像与x轴围成的图形的面积是S=∫（π,-π）sinxdx这句话哪里错了
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因为函数y=sinx(x∈[-π,π])的图像与x轴围成的图形的面积分x轴上方与x轴下方在x轴上方的积分为正,而下方的积分为负.如果说面积为S=∫（π,-π）sinxdx,则刚好为0应该是2∫（π,0）sinxdx就没有问题了.
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