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常微分方程课后答案
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常微分方程习题及答案.[1]_8800字
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常微分方程
一、是非题
1．任意微分方程都有通解。(
2．微分方程的通解中包含了它所有的解。(
3．函数y?3sinx?4cosx是微分方程y???y?0的解。(
4．函数y?x2?ex是微分方程y???2y??y?0的解。(
) 5．微分方程xy??lnx?0的通解是y?
(C为任意常数)。( 6．y??siny是一阶线性微分方程。(
) 7．y??x3y3?xy不是一阶线性微分方程。(
) 8．y???2y??5y?0的特征方程为r2?2r?5?0。(
是可分离变量的微分方程。(
二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
①?y?3??lnxdx?xdy?0是
。 ②?xy2?x?dx??y?x2y?dy?0是。 ③x
④xy??y?x2sinx是 ⑤y???y??2y?0是
2．y????sinxy??x?cosx的通解中应含
个独立常数。 3．y???e?2x的通解是。 4．y???sin2x?cosx的通解是
。 5．xy????2x2y?2?x3y?x4?1是阶微分方程。 6．微分方程y?y????y??6
?0是阶微分方程。
7．y?8．y??9．
所满足的微分方程是。 的通解为
?0的通解为
??x?1?2，其对应的齐次方程的通解为
11．方程xy???1?x2?y?0的通解为 12．3阶微分方程y????x3的通解为 三、选择题
1．微分方程xyy???x?y??3?y4y??0的阶数是(
2．微分方程y????x2y???x5?1的通解中应含的独立常数的个数为(
3．下列函数中，哪个是微分方程dy?2xdx?0的解(
)。 A．y?2x
4．微分方程y??3y3的一个特解是(
B．y??x?2?
C．y??x?C?
D． y?C?1?x?
5．函数y?cosx是下列哪个微分方程的解(
B．y??2y?0
D． y???y?cosx 6．y?C1ex?C2e?x是方程y???y?0的(
)，其中C1，C2为任意常数。 A．通解
C．是方程所有的解
D． 上述都不对 7．y??y满足y|x?0?2的特解是(
D． y?3?ex 8．微分方程y???y?sinx的一个特解具有形式(
)。 A．y*?asinx
B．y*?a?cosx
C．y*?x?asinx?bcosx?
D． y*?acosx?bsinx 9．下列微分方程中，(
)是二阶常系数齐次线性微分方程。 A．y???2y?0
B．y???xy??3y2?0
C．5y???4x?0
D． y???2y??1?0
10．微分方程y??y?0满足初始条件y?0??1的特解为(
11．在下列函数中，能够是微分方程y???y?0的解的函数是(
)。 A．y?1
12．过点?1,3?且切线斜率为2x的曲线方程y?y?x?应满足的关系是(
)。 A．y??2x
C．y??2x，y?1??3
D． y???2x，y?1??3 13．下列微分方程中，可分离变量的是(
)。 A．C．
?k?x?a??b?y?(k
,a,b是常数)
D． y??xy?y?e
14．方程y??2y?0的通解是(
B．y?4?e2x
C．y?C?e2x
15．微分方程
?0满足y|x?3?4的特解是(
A．x2?y2?25
B． x2?y2?7 3x?4y?C
16．微分方程A．
的通解是y?(
17．微分方程y??y?0的解为(
18．下列函数中，为微分方程xdx?ydy?0的通解是(
B．x2?y2?C
D． Cx2?y?0
19．微分方程2ydy?dx?0的通解为(
)。 A．y2?x?C
20．微分方程cosydy?sinxdx的通解是(
)。 A．sinx?cosy?C
B．cosy?sinx?C
C．cosx?siny?C
D． cosx?siny?C 21．y???e?x的通解为y?(
C．e?x?C1x?C2
D．?e?x?C1x?C2
22．按照微分方程通解定义，y???sinx的通解是(
)。 A．?sinx?C1x?C2
B．?sinx?C1?C2
C．sinx?C1x?C2
D． sinx?C1?C2
四、解答题
1．验证函数y?C?e?3x?e?2x(C为任意常数)是方程并求出满足初始条件y|x?0?0的特解。
?xy2?1dx?y1?x2dy?0
2．求微分方程?的通解和特解。
3．求微分方程解：sin
yx的特解。 4．求微分方程?
解：y2?2x2?lnx?2?。
5．求微分方程y??y?cosx?e?sinx的通解。 解：y?e?sinx?x?C?
6．求微分方程解：y?
?sinx?xcosx?C?
7．求微分方程??x?1?y?2y??x?1??0的特解。
y???x?1?2???x?1?
8．求微分方程y???解：y?x3?3x?1
满足初始条件x?0，y?1，y??3的特解。
9．求微分方程y???2yy?满足初始条件x?0，y?1，y??2的特解。 解：arctany?x?
或y?tan?x?
10．验证二元方程x2?xy?y2?C所确定的函数为微分方程
2x?y的解。
11．求微分方程?ex?y?ex?dx??ex?y?ey?dy?0的通解。 解：?ex?1??ey?1??C 12．求
?y?tanx?secxxcosx
，y|x?0?0的特解。
13．验证y1?cos?x，y2?sin?x都是y????2y?0的解，并写出该方程的通解。
14．求微分方程y??
解：y?Cx2?x2lnx 15．求微分方程y??
?0满足初始条件y?1??0的特解。
16．求微分方程解：
y??x?1???C?
17．求微分方程
dy?0满足条件y?0??1的特解。
解：2?y3?x3??3?y2?x2??5
18．求微分方程y???y??2y?0的通解。 解：y?C1ex?C2e?2x
19．求微分方程y???2y??5y?0的通解。 解：y?e?x?C1cos2x?C2sin2x?
20．求微分方程y???4y??4y?0的通解。 解：y??C1?C2x?e?2x
21．试求y???x的经过点M?0,1?且在此点与直线y?解：y?
?1相切的积分曲线。
一、是非题
1．可分离变量微分方程不都是全微分方程。(
2．若y1?x?，y2?x?都是y??P?x?y?Q?x?的特解，且y1?x?与y2?x?线性无关，则通解可表为y?x??y1?x??C?y1?x??y2?x??。(
3．函数y?e?x?e?x是微分方程y?????1??2?y???1?2y?0的解。(
4．曲线在点?x,y?处的切线斜率等于该点横坐标的平方，则曲线所满足的微分方程是y??x2?C(C是任意常数)。(
5．微分方程y??e2x?y，满足初始条件y|x?0?0的特解为ey?
二、填空题
1．y1?cosx与y2?sinx是方程y???y?0的两个解，则该方程的通解为。 2．微分方程y???2y??3y?0的通解为 3．微分方程y???2y??y?0的通解为。 4．微分方程y????e2x的通解是 5．微分方程y???y'的通解是 6．微分方程三、选择题
1．微分方程y???4y??4y?0的两个线性无关解是(
A．e2x与2?e2x
B．e?2x与x?e?2x
C．e2x与x?e2x
D． e?2x与4?e?2x
2．下列方程中，不是全微分方程的为(
A．?3x2?6xy2?dx??6x2y?4y2?dy?0
B．eydx??x?ey?2y?dy?0 C．y?x?2y?dx?x2dy?0
D． ?x2?y?dx?xdy?0 3．下列函数中，哪个函数是微分方程s???t???g的解(
)。 A．s??gt
4．下列函数中，是微分方程y???7y??12y?0的解(
)。 A．y?x3
D． y?e2x 5．方程?1?x2?y?xy??0的通解是(
)。 A．y?C?x
6．微分方程y?lnxdx?x?lnydy满足y|x?1?1的特解是(
)。 A．ln2x?ln2y
B．ln2x?ln2y?1
C．ln2x?ln2y?0
D． ln2x?ln2y?1
7．微分方程?1?x2?dy??1?y2?dx?0的通解是(
A．arctanx?arctany?C
B．tanx?tany?C C．lnx?lny?C
D． cotx?coty?C 8．微分方程y???sin??x?的通解是(
)。 A．y?sin??x?
B．y??sin??x?
C．y??sin??x??C1x?C2
D． y?sin??x??C1x?C2 9．方程xy??y?3的通解是(
四、解答题
1．求微分方程y???9y??24x?6?cos3x?2sin3x的通解。 解：y??C1?x?cos3x??C2?2x2?x?sinx3x 2．求微分方程y???7y??6y?sinx的通解。 解：y?C1e6x?C2ex?
?7cosx?5sinx?
3．求微分方程?3x2?2xy?y2?dx??x2?2xy?dy?0的通解。 解：y2?xy?x2?
一、是非题
1．只要给出n阶线性微分方程的n个特解，就能写出其通解。
2．已知二阶线性齐次方程y???P?x??y??Q?x??y?0的一个非零解y，即可求出它的通解。(
) 二、填空题
1．微分方程y???4y?5y?0的通解是。
2．已知y?1，y?x，y?x2某二阶非齐次线性微分方程的三个解，则该方程的通解为
3．微分方程y???2y??2y?ex的通解为 三、选择题
1．微分方程y??
B?arctanx?C?
Carctanx?C
D．A．arctanx?
2．微分方程y??y?1的通解是(
B．y?C?ex?1
C．y?C?ex?1
D．y??C?1??ex
?xy??y?33．?的解是(
B．y?3?1?x?
4．微分方程
5．已知微分方程y??p?x?y??x?1?2的一个特解为y?
*?x?1?2，则此微分
方程的通解是(
C．C?x?1??
)。6．微分方程y???y??ex?1的一个特解应具有形式(式中a，
D． axex?bx
四、解答题
1．设y?ex是微分方程xy??p?x?y?x的一个解，求此微分方程满足条件
解：代入y?ex到方程xy??p?x?y?x中，得p?x??xe?x?x 原方程为xy???xe?x?x??y?x
y?ex?1?C?ee?x?，y???ex?1??y?1 ∵x?ln2，y?0 ∴C??e
2．已知y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解：y1?y3?e?x，y3?y2?e2x?2e?x均是齐次方程的解且线性无关。
?是齐次方程的通解。当C
?2，C2?1时，齐次方程的
、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
∴C1e?x?C2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1，2，故特征方程r2?r?2?0。
相应的齐次方程为y???y??2y?0
故所求的二阶非齐方程为
y???y??2y?f?x?
y1是非齐次方程的特解代入上式得
f?x???1?2x??e
所以y???y??2y??1?2x?ex为所求的微分方程。
3．已知f?0??
，试确定f?x?，使?ex?f?x??ydx?f?x?dy?0为全微分方程，并
求此全微分方程的通解。
解：P??ex?f?x??y，Q?f?x?，由
f??x??ex?f?x?，即f??x??f?x??ex
，∴f?x??ex?x?
得全微分方程：?ex?ex?x?
??ydx?e?x??dy?02??2??
解得u?x,y??
e?x??dy?e?x??y
故此全微分方程的通解为ex?x?
一、是非题
1．×；2．×；3． √；4．×；5．√；6．×；7．×；8．√；9．√。 二、填空题
1．在横线上填上方程的名称
①可分离变量微分方程；②可分离变量微分方程；③齐次方程； ④一阶线性微分方程；⑤二阶常系数齐次线性微分方程。 2．3；3．e?2x?C1x?C2； 4．?
sin2x?cosx?C1x?C25．3；
6．2；7．y??y2?0 ；8．y?Cx2； 9．x2?y2?C；
10．y?C?x?1?2； 11．y?Cxe三、选择题
x?C1x?C2x?C3。
1．D； 2．A；3．B； 4．B；5．C；6．A；7．B；8．C；9．A；10．A；11．C；12．C；13．B；14．C；15．A；16．B；17．B；18．B；19．A；20．D；21．C； 22．A． 四、解答题
1．验证函数y?C?e?3x?e?2x(C为任意常数)是方程并求出满足初始条件y|x?0的特解。
?xy2?1dx?y1?x2dy?02．求微分方程?的通解和特解。
3．求微分方程
4．求微分方程?yx的特解。
解：y2?2x2?lnx?2?。
5．求微分方程y??y?cosx?e?sinx的通解。 解：y?e?sinx?x?C?。 6．求微分方程解：y?
?sinx?xcosx?C?。
7．求微分方程??x?1?y?2y??x?1??0的特解。
y???x?1?2???x?1?。
8．求微分方程
满足初始条件x?0，y?1，y??3的特解。
解：y?x3?3x?1。
9．求微分方程y???2yy?满足初始条件x?0，y?1，y??2的特解。 解：arctany?x?
或y?tan?x?
10．验证二元方程x2?xy?y2?C所确定的函数为微分方程
2x?y的解。
11．求微分方程?ex?y?ex?dx??ex?y?ey?dy?0的通解。 解：?ex?1??ey?1??C。 12．求
?y?tanx?secxxcosx
，y|x?0?0的特解。
13．验证y1?cosx，y2?sin?x都是y????2y?0的解，并写出该方程的通
14．求微分方程y??
解：y?Cx2?x2lnx。 15．求微分方程y??解：y?
?0满足初始条件y?1??0的特解。
16．求微分方程解：
y??x?1???C?
17．求微分方程
dy?0满足条件y?0??1的特解。
解：2?y3?x3??3?y2?x2??5。 18．求微分方程y???y??2y?0的通解。 解：y?C1ex?C2e?2x。
19．求微分方程y???2y??5y?0的通解。 解：y?e?x?C1cos2x?C2sin2x?。 20．求微分方程y???4y??4y?0的通解。 解：y??C1?C2x?e?2x。
21．试求y???x的经过点M?0,1?且在此点与直线y?解：y?
?1相切的积分曲线。
一、是非题
1．×；2．√；3．√；4．×；5．×。 二、填空题
1．y?C1cosx?C2sinx； 2．y?C1e?x?C2e3x ；3．y??C1?C2x?ex； 4．y?三、选择题
1．C；2．C；3．C；4．C；5．D；6．A；7．A；8．C；9．A．
四、解答题
1．求微分方程y???9y??24x?6?cos3x?2sin3x的通解。 解：y??C1?x?cos3x??C2?2x2?x?sinx3x。 2．求微分方程y???7y??6y?sinx的通解。 解：y?C1e6x?C2ex?
?C1x?C2x?C3；5．y?C1e?C2 6．y?C?e
?7cosx?5sinx?。
3．求微分方程?3x2?2xy?y2?dx??x2?2xy?dy?0的通解。 解：y2?xy?x2?
一、是非题
1．×；2．√； 二、填空题
1．y?e2x?C1cosx?C2sinx?； 2．y?C1?x?1??C2?x2?1??1 ； 3．y?ex?C1cosx?C2sinx?1? 三、选择题
1．B；2．C；3．A；4．A；5．D；6．D．
四、解答题
1．设y?ex是微分方程xy??p?x?y?x的一个解，求此微分方程满足条件
解：代入y?ex到方程xy??p?x?y?x中，得p?x??xe?x?x 原方程为xy???xe?x?x??y?x
y?ex?1?C?ee?x?，y???ex?1??y?1
∵x?ln2，y?0 ∴C??e
2．已知y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是某二阶线性非齐次微分方程的三个解，求此微分方程。
解：y1?y3?e?x，y3?y2?e2x?2e?x均是齐次方程的解且线性无关。
?是齐次方程的通解。当C
?2，C2?1时，齐次方程的
、e2x都是齐次方程的解且线性无关。
∴C1e?x?C2e2x是齐次方程的通解。
由此特征方程之根为-1，2，故特征方程r2?r?2?0。
相应的齐次方程为y???y??2y?0
故所求的二阶非齐方程为
y???y??2y?f?x?
y1是非齐次方程的特解代入上式得
f?x???1?2x??e
所以y???y??2y??1?2x?ex为所求的微分方程。 3．已知f?0??
，试确定f?x?，使?ex?f?x??ydx?f?x?dy?0为全微分方程，
并求此全微分方程的通解。
解：P??ex?f?x??y，Q?f?x?，由
f??x??ex?f?x?，即f??x??f?x??ex
，∴f?x??ex?x?
得全微分方程：?ex?ex?x?
??ydx?e?x??dy?02??2??
解得u?x,y??
e?x??dy?e?x??y
故此全微分方程的通解为ex?x?
第十二章 常微分方程(A)一、是非题1．任意微分方程都有通解。( )2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( )3．函数y?3sinx?4cosx是微分方程y???y?0的解。( ) 4．函数y?x2?ex是微分方程y???2y??y?0的解。( )…
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萌神落5韈儿
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谢谢，你是求了这个函数的值域吧，才知道能取-C或者+C的吧，如果我不分析这个函数本身的值域定义域什么的，比如就是f(x，y)那能得出f(x，y)=C’吗？，这道题原来是解微分方程的，这是最后一步。
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/e^(y)e^(y)dy=e^(x)dxe^(y)=e^(x)+c
&#47: 此为通解通解是指;=e^(x-y)
&#47，这个解式就是微分方程的通解n个积分常数恰好由n个初始条件唯一的确定;&#47，其解式中只含一个积分常数c: e^(x-y)=e^(x)&#47y&#39，(2)式为微分方程(1)的通解：微分方程的解式中含有独立的积分常数的个数恰好等于微分方程的阶数;;。本题是一阶微分方程
移过来，变成e^y*y'=e^x,即e^y dy=e^x dx,两边分别积分，得到e^y=e^x+C ,这就是通解，可以写作：y=ln(e^x+C), 其中C为任意常数。。。。通解就是一个方程所有解的集合，是一个集体，而特解是一个特定的解，是一个个体
微分方程的相关知识
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