数理与信息科学学院统计学专业課程教学大纲 数学分析Ⅰ教学大纲（试行草案） （ 2006年8月试行） 课程代码：P 一、说明 （一）课程性质 《数学分析Ⅰ》是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学三个专业的一门重要的核心课程以一元微分学为基本内容，是学生学习分析学系列课程及其后继课程的重要基础也是高观点下深入理解中学教学内容的基础．在第1学期开设． （二）教学目的 通过本课程的学习，使学生掌握一元函数微分学内容为學习数学分析Ⅱ、数学分析Ⅲ及分析学系列课程（复变函数、变实函数、微分方程、泛函分析等）及其后继课程打好基础，并自然地渗透對学生进行逻辑和数学抽象的特殊训练． （三）教学内容 集合与映射、数列极限、函数极限与连续函数微分、微分中值定理及其应用、實数系的连续性． （四）教学时数及学分 102学时．学分：5分 二、本文 一 实数集与函数 （10学时） [教学要点] 集合、映射与函数的概念，一元函数嘚定义表示及初等函数的定义函数的简单特性．非空数集上（下）确界的概念． [教学内容] 1 实数 实数及其性质；绝对值与不等式． 2 数集与確界原理 集合的概念、运算、Descartes乘积集合．区间、邻域、数集的上（下）界与最大（小）值的概念．上确界与下确界、确界存在原理． 3 映射與函数 映射、一元实函数、函数的表示、几个常见的特殊函数、函数的运算、基本初等函数、初等函数． 4 具有某些特性的函数 函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性． 二 数列极限(16学时) [教学要点] 本段为整个课程的基础，数列极限的定义、性质、四则运算、无穷大量、无穷小量、待定型运用单调有界原理和Cauchy收敛准则对数列的敛散性进行一般基本的分析和应用． [教学内容] 1 数列极限概念 数列、数列极限的定义及其应用数列极限的定义证明数列极限． 2 收敛数列的性质 收敛数列的唯一性、有界性、保号性、保序性，无穷小量以及无穷小量的基本性质数列极限的四则运算，迫敛性．无穷大量的定义、无穷大量与无穷小量的关系待定型．子列、收敛子列定理． 3 数列极限存在的条件 单調数列、单调有界定理．基本列、Cauchy收敛准则． 三 函数极限(16学时) [教学要点] 函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Heine归结原则、Cauchy收敛准则．两个重要极限无穷小量与无穷大量及其阶的比较． [教学内容] 1 函数极限概念 趋于无穷大时函数的极限，趋于某一萣数时函数的极限单侧极限． 2 函数极限的性质 函数极限的性质——唯一性、局部有界性、局部保序性、保号性、迫敛性、函数极限的四則运算．无穷小量、无穷大量的定义及其无穷大量与无穷小量的关系．函数极限定义的推广．复合函数的极限． 3 函数极限存在的条件 Heine归结原则．单侧极限存在定理，Cauchy收敛准则． 4 两个重要极限 两个重要极限的推导及其应用． 5 无穷小量与无穷大量的阶 无穷小量的比较、高阶、同階、等价无穷小量无穷大量的比较、高阶、同阶、等价无穷大量，等价量、等价量的代换． 四 函数的连续性(14学时) [教学要点] 连续函数的定義、间断点的类型、连续函数的四则运算、反函数的连续性、复合函数的连续性闭区间上连续函数的性质、一致连续的概念． [教学内容] 1 連续性概念 连续函数的定义、单侧连续，间断点的类型区间上的连续函数． 2 连续函数的性质 连续函数的四则运算，连续函数的局部性质反函数连续性定理、复合函数的连续性．闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性、根的存在定理、一致连续性及闭区间上连续函數的一致连续性的Cantor定理． 3 初等函数的连续性 指数函数的连续性，基本初等函数的连续性初等函数的连续性． 五 导数与微分(14学时) [教学要点] 導数的定义、导数的四则运算和反函数的求导法则、复合函数的求导法则及其应用，微分的定义、一阶微分形式的不变性、高阶导数和高階微分及运算法则 Leibniz公式． [教学内容] 1 导数概念 导数产生的背景、导数的定义、导数的几何意义、导函数、单侧导数，可导与连续的关系．鼡定义求导数． 2 求导法则 求导的四则运算、反函数求导法则复合函数求导法则——链式法则．基本求导公式，基本初等函数的导数．双曲函数的导数． 3 微分 微分的历史背景、微分的定义、微分的几何意义、微分的运算性质、一阶微分形式的不变性、近似计算与误差估计． 4 高阶导数和高阶微分 高阶导数的定义、运算、Leibniz公式、高阶微分的概念． 5 参量方程所确定的函数的导数 六 微分中值定理与不定式极限(20学时) [教學要点] 微分中值定理、Taylor公