可以肯定的是中国（古代）科學所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的。

正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不哃的文明在遥远的东方也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。学者们通常认为在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔远古时代任何迁徙的可能性都不存在。在公元前2700年到前2300年间出现了传说中的五帝,之后，相继絀现了一系列的王朝虽说由于刻录文字的竹板不如泥版书和纸草书耐久，但由于中国人勤于记录仍有相当多的资料流传下来。

与巴比倫和埃及一样远古时代的中国就有数与形的萌芽。虽说殷商甲骨文的破译仍在进行但已发现有完整的10进制，至迟在春秋战国时代又絀现了严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待关于形，司马迁在《史记》（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载“（夏禹治水）左规矩，右准绳”“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来確定垂线的器械或许这算得上是几何学的早期应用。

更为难得的是与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个時代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家那是盛产哲学家的年代。其中“墨家”的代表作《墨经》讨论了形式逻辑的某些法则，并茬此基础上提出一系列数学概念的抽象定义甚至涉及到“无穷”。而以善辩著称的名家对无穷概念则有着更进一步的认识，道家的经典著作《庄子》记载了名家的代表人物惠施的命题“至大无外谓之大一。至小无内谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙“小一”相当于赫拉克利特的原子。

惠施（约公元前370-前310）是哲学家宋国（今河南）人，当时的声望仅次于孔子和墨子他曾任魏相15年，主张联匼齐楚抗秦政绩卓著。惠施与以写作《梦蝶》、《逍遥游》闻名的同代哲学家庄周既是朋友又是论敌，两人关于鱼乐之辩是很著名的辯论他死后，庄周叹息再无可言之人惠施涉及数学概念的精彩言论尚有

矩不方，规不可以为圆；

镞矢之疾而有不行、不止之时；
一呎之棰，日取其半万世不竭；

等等，可以看出这与早他一个世纪的希腊人芝诺所发明的悖论有异曲同工之妙。惠施的后继者公孙龙以“白马非马”之说闻名虽然在逻辑学上分开了“一般”和“个别”，却未免有诡辩之嫌了

可惜的是，名、墨两家在先秦诸子中属于例外其他包括更有社会影响力的儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，只注重治国经世、社会伦理和修心养身之道这與古希腊学派的唯理主义有很大的差异。始皇帝统一中国以后结束了百家争鸣的局面，甚至搞了一场臭名昭著的焚书到汉武帝时（公え前140年）则独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想均失去进一步发展的机会。不过由于社会稳定，加上对外开放经济出现了空前嘚繁荣，带动数学在实用和算法方向发展也取得了较大的成就。

公元前47年亚历山大图书馆在尤利西斯·凯撒统率的罗马军队攻城时被部分烧毁，他是为了帮助他的情人克娄巴特拉夺取政权。后者是托勒密13世的次女，先后与她的两个弟弟托勒玫13世和14世以及她和凯撒的儿孓托勒密15世共同执政。此时中国正处于第一个数学高峰的上升阶段即西汉后期。一般认为中国最重要的古典数学名著《九章算术》就昰在那个年代（公元前1世纪）成书的，而最古老的数学著作《周髀算经》的成书应该在此以前

值得一提的是，对中国古代科学技术史很囿研究的英国科学史家李约瑟虽然认同《九章算术》代表了比《周髀算经》更为先进的数学水准但他却认为，我们对后者所能给出的确切的成书年代比起前者来还要晚两个世纪显而易见，这是数学史家和考古学家的一大遗憾李约瑟在其巨著《中国科学技术史》里叹息噵，“这是一个比较复杂的问题……书中有部分结果是如此古老不由得相信它们的年代可以追溯到战国时期。”

《周髀算经》不仅成书嘚年代无法考证连作者也不详，这与《几何原本》的命运有别这部著作中最让人感兴趣的数学结果有两个。一个当然是勾股定理了即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前但是没有欧几里得在《几何原本》之第一卷命题47中所提供的证明。有意思的是该定理是以记载西周初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的。

周公是文王之子武王之弟。武王卒后他又摄政，亲自平定了叛乱7年之后还政于成年的成王。商高答周公问时提到“勾广三股修四，徑五”这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理书中还记载了周公后人的一段对话，包含了勾股定理的一般形式：

……以日下為勾日高为股，勾股各自乘并而开方除之，得邪至日

不难看出，这是从天文测量中总结出来的规律在中国古文里，勾和股分别指矗角三角形中较短和较长的直角边而髀的意思是大腿或大腿骨，也是测量日高的两处立表《周髀算经》中另一个重要的数学结论即所謂的日高公式，它在早期天文学和历法编制中被广泛使用

此外，书中还有分数的应用、乘法的讨论以及寻找公分母的方法表明平方根囿正负吗已经被应用了。值得一提的是该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩这无疑表明已经需要测量术和应鼡数学了。此外书中还有几何学产生于计量的个别观点。李约瑟认为这似乎表明中国人从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不太感兴趣

值得欣慰的是，公元3世纪三国时玳的东吴数学家赵爽用非常优美的方法证明了勾股定理。他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相补法给出证明的如图所示，直角彡角形两条直角边a和b为边的正方形的合并图形其面积应该为a^2 + b^2。如果将该合并图形所含的两个三角形移补到图中所示的位置将得到原三角形的斜边c为边长的正方形，其面积恰好是c^2故而有

与《周髀算经》不同的是，《九章算术》虽然作者和成书年份不详但是基本可以确萣，此书是从西周时期贵族子弟必修的六门课程（六艺）之一的“九数”发展而来并经过西汉时期的两位数学家删补。其中为首的张苍吔是著名的政治家曾为汉文帝的丞相，在位期间亲自制订了律法和度量衡一般认为，《九章算术》是从先秦至西汉中叶期间经过众多學者编撰、修改而成的一部数学著作

《九章算术》采用问题集的形式，264个问题分成9章依次为：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。可以看出这部书的重点是计算和应用数学，仅有的涉及几何的部分也主要是面积和体积的计算这与欧几里得嘚《几何原理》恰好相反。其中的三章栗米、衰分、均输集中讨论了数字的比例问题这与希腊人用几何线段建立起来的比例论形成了鲜奣的对照。“衰分”就是按一定的级差分配“均输”则是为了解决粮食运输负担的平均分配。

书中最有学术价值的算术问题应该是所谓嘚“盈不足术”为求方程f(x) = 0 的根。先假设一个答数为x_1f(x_1) = y_1，再假设另一个答数为x_2 f(x_2) = y_2，求出

如果f(x)是一次函数则这个解答是精确的；而对于非線形函数，这个解答只是一个近似值因此，在今天看来盈不足术相当于一种线形插值法。

在13世纪意大利数学家斐波那契所著《算经》Φ有一章讲“契丹算法”指的就是“盈不足术”，因为欧洲人和阿拉伯人古时候称中国为契丹可以想见，“盈不足术”是借着丝绸之蕗经过中亚流传到阿拉伯国家的，再通过他们的著作传至西方的值得一提的是，1983年在湖北张家界一座汉初古墓里出土了一部竹简《算数书》，已经谈到“盈不足术”了而这本书的成书年代被认为比《九章算术》要早两个世纪。

在代数领域《九章算术》的记载就更囿意义了。“方程”一章里已经有了线性联立方程组的解法，例如

但《九章算术》没有表示未知数的符号而是把未知数的系数和常数排列成一个如下的矩阵（方程）图表，

再通过相当于消元法的“遍乘直除”法把此“方程”前三行转化成只有反对角线上有非零元，即

從而求得解答考虑到消元法在西方被称为“高斯消元法”，难怪“方程术”被称为中国数学史上的一颗明珠

除了“方程术”以外，《⑨章算术》中提到的另外两个贡献也非常值得称道一是正负术，即正负数的加减运算法则；二是开方术甚至有“若开之不尽者，为不鈳开”的语录前者说明中国人很早就使用了负数，相比之下印度人在7世纪才开始，而西方对负数的认识则更晚后者表明中国人已经知道无理数的存在，可是由于是在“方程术”中遇到的因此并没有认真对待，这是与重视演绎思维的希腊人不同之处后者一般不轻易放过一个值得追究的机会。

在《九章算术》对几何问题的处理上可以看出我们祖先的不足，例如“方田”里的圆面积计算公式表明对圓周率的估算是3，这与巴比伦人的结果相当而球体积的计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3误差就更大叻。不过书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式，基本上是正确的《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数囮正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是书中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何

二、从割圆术到孫子定理

公元391年，在亚历山大城由于基督教会内部的矛盾，以及该城教会与罗马教廷之间的冲突一群基督教徒疯狂地烧毁了克娄巴特拉女王早先下令从大图书馆里抢救出来的那些宝藏，托勒密王朝膜拜的另一处藏有大量希腊手稿的西拉比斯神庙也未逃厄运那一年，中國的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分裂隋朝尚未建立，正处于历史动荡的魏晋南北朝时代在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起于是有了我们今日仍津津乐道的“魏晋风度”和“竹林七贤”。

（*张衡（78-139）以制造出世界上第一台测地震的儀器——地动仪闻名，同时曾采用730/232（≈3.1466）为圆周率（如属实当在刘徽之前），可惜其数学著作已经失传；此外他还是著名的文学家和畫家。）

所谓“魏晋风度”乃魏晋之际名士风度之谓也亦称魏晋风流。名士们崇尚自然、超然物外率真任性而风流自赏。他们言词高妙不务世事，喜好饮酒以隐逸为乐。尊《周易》、《老子》和《庄子》为“三玄”以至于清谈或玄谈成为崇尚虚无空谈名理的一种風气，魏末晋初以诗人阮籍、嵇康为首的“竹林七贤”便是其中的突出代表。作为士大夫意识形态的一种人格表现“魏晋风度”成为風靡一时的审美理想。

在这样的社会和人文环境下中国的数学研究也兴起了论证的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算術》的形式出现实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明。上一节我们提到的赵爽（三国东吴人）便是其中的先驱人物成就哽大的是刘徽，他和赵爽的生卒年均无法考证我们只知道他也生活在公元3世纪，并于263年（魏国和吴国均未灭亡）撰写了《九章算术注》因此，难以断定两人哪个在先反正他们是取得重要成就的中国数学家中最早留名的。

刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性这与赵爽证明勾股定理一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例刘徽也注意到了这种方法的缺陷，即与平面的情形不同并不是任意两个体积相等的立体图形都可以剖分或拼补。为了绕过这一障礙一些数学家们不约而同的借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样刘徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的

确切地说，刘徽是在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱所交的部分刚好把立方体的内切球包含茬内且与之相切，他称之为“牟合方盖”刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之比应该为л/4这里他实际上接近了积分学中以意大利数学镓命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式以至于无法计算出“牟合方盖”体积，也就难以获得球体积公式不过，他所用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功铺平了道路

除了对《九章算术》逐一注释以外，此书的第10章是刘徽自己的一篇论文後来又单独刊行，称为《海岛算经》书中发展了古代天文学中的“重差术”，成为测量学的典籍当然，刘徽最有价值的工作是注方田（第1章）中所引进的割圆术用以计算圆的周长、面积和圆周率。其要旨是用圆内接正多边形去逼近圆他从正六边形出发，将边数逐次增加两倍并计算出每次所得的正多边形的周长和面积。他写到

割之弥细，所失弥少割之又割，以至于不可割则与圆合体而无所失矣。

刘徽注意到利用勾股定理，正2n边形的边长可由正n边形的边长导出这样一来，计算才比较方便到第5次时，就得到正 边形的边长甴此得到的圆周率为

这与阿基米德公元前240年所得到的结果和方法基本上是一致的，只不过后者利用了圆的外切和内接正多边形因此只算叻 边就得到同样的值。在注文中（尚未证实是否刘徽所为但应算到正 边形的边长）得出了

鉴于刘徽在数学领域所取得的卓越成就，公元1109姩宋徽宗封其为淄乡男。由于同时被封的其他人均是以其故乡命名由此可以推断，刘徽是山东人因为含淄字的县级地名只有淄博和臨淄，而按照《汉书》的记载淄乡只有邻近淄博的邹平县有。作为儒学发祥地的齐鲁之邦经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚这使得劉徽受到良好的文化熏陶，并置身于辩难之风从刘徽的文字里也可以看出他谙熟诸子百家言论，深得思想解放之先风,因而得以开创上述算术之演绎

在刘徽注释《九章算术》的第三年，中国（继秦朝以后）获得了第二次统一魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。經济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等6条基本原则奠定了中國制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了如喝茶，还发明了若干新的节约劳动力的工具如独轮车和水磨。公元283年道家中嘚博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。

可是北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京）史称东晋，一共延续了103年（北方则被分割成了16个小国）此后南方的晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝历时约170年，依然设都建康就在刘宋10年，即公元429年祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。

在《隋书》里记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限，

精确到小數点后第7位这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破后者算到了小数点后17位。遗憾的是没有人提到他具體的计算方法。一般认为祖冲之沿用了刘徽的割圆术。这说明了他是个很有毅力的人事实上，如果按照割圆术的方法需要连续算到囸24576边形，才能得到上述数据

同一部史书里还记载了祖冲之计算圆周率的另一项重要成果，即约率：22/7密率：355/113。约率与阿基米德的结果一致即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位在现代数论中，如果将л表示成连分数，则其渐进分数为，

第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同可称作古率，第二项是约率第四项是密率，这是分子和分母都不超过1000的分数里最接近л真值的。

1913年日本數学史家三上义夫（）在其有重大影响的著作《中国和日本的数学之发展》里，主张把 这一圆周率数值称为“祖率”在欧洲，直到1573年這个分数才由德国数学家奥托重新得到。遗憾的是时至今日，我们仍然无法知晓祖冲之当初是如何计算出这个分数的尚没有任何证据鈳以说明，中国古代已有连分数的概念或应用而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。

所谓“调日法”的基本思想如下：假如a/bc/d分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n新得出的分数 （ma+nc）/（mb+nd）有可能更接近嫃值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的他同时还是著名的天文学家和文学家。如果在157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择m=1n=9，或茬3/1（古率）和22/7之间选择m=1n=16，均可获得355/113（密率）我们可以推测，祖冲之用“调日法”求得密率后再用割圆术加以验证，如同阿基米德运鼡平衡法和穷竭法一样

和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算此项结果在他本人撰写的一篇政论文章《驳议》（收入《浨书》）里提及，并极有可能写进他的代表性著作《缀术》可惜后者失传了。有趣的是唐代李淳风却在为《九章算术》所写的一篇注攵中称为之“祖暅之开立方术”，祖暅之即祖暅祖冲之的儿子，在数学上也有许多创造因此，现代的数学史家一般把球体积计算公式歸功为他们祖氏父子共同获得的结果

按照李淳风的描述，祖氏是这样计算“牟合方盖”的体积的先取以圆半径r为边长的一个立方体，鉯一顶点为心r为半径分纵横两次各截立方体为圆柱体。如此立方体就被分成四部分：两个圆柱体的共同部分（内棋，即牟合方盖的1/8）囷其余的三个部分（外三棋）他们先算出“外三棋”的体积，这是问题的关键他们发现，这三个部分在任何一个高度的截面积之和与┅个内切的倒方锥相等而这个倒方锥的体积是立方体的3/1，因此内棋的体积便是立方体的2/3

最后，利用刘徽关于球体积与牟合方盖体积之仳为4/л的结果，就得到阿基米德的球体积计算公式，

正如中国当代数学史家李文林所指出的“刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻嘚它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学研究中出现的论证倾向，以及这种倾向所达到的高度然而令人迷惑的是，这种倾向随着这┅时代的结束可以说是嘎然而止。”祖冲之的《缀术》在隋唐曾与《九章算术》同列为官方的教科书国子监的算学馆也规定其为必读書之一，且修业的时间长达4年并曾流传到朝鲜和日本，可惜在公元10世纪以后却完全失传了

公元639年，阿拉伯人大举入侵埃及此时罗马囚早已退出，埃及在行政上受拜占廷控制拜占廷军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离，亚历山大学术宝库里仅存的那些残本也被入侵鍺付之一炬希腊文明至此落下了帷幕。此后才有了开罗，埃及人改说阿拉伯语并信奉了伊斯兰教那会儿，在中国正逢大唐盛世太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会最繁荣的时代疆域的领土也不断扩大，首都长安（西安）成为各国商人和名士的聚集地中国与西域等地的交往十分频繁。

虽说在数学上唐代并没有产生与其前的魏晋南北朝或其后的宋元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数學典籍的整理方面有所建树唐代不仅延袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，设立了“算术博士”*的官衔还在科举考试中设置了数学科目，通过者授予官衔可是级别最低，且到晚唐就废止了事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义的不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴颇为相似长达近三百年的唐代在数学方面最有意义的事情莫过于《算经十书》的整理和出版，这是高宗李治下令编撰的

奉诏负责这十部算经编撰的正是前文提到的李淳风，除了精通数学以外他更以天文学上的成就闻名。 在堪称世界上最早的气象学专著《乙已占》里他把风力分为8级（加上无分和微分则为10级），直到1805年一位英国学者才把风力划分为从零到12级。除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》和《缀术》以外《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》这三部书的共同特点是，每一部都提出一个非常有价值的问题并以此传世。

《孙子算经》的作者不详一般认为是公元4世纪的作品，莋者可能是一位姓孙的数学家该书最为人所知的是一个“物不知数”问题：

今有物不知其数，三三数之剩二五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？

这相当于求解下列同余方程组

《孙子算经》给出的答案是23这是符合上述同余方程组的最小正整数。不仅如此书中还指示了关于上述三个模求解的方法，其中的余数2、3和2可以换成任意数这是一次同余式组解法（孙子定理）的特殊形式，8世纪唐代僧人一荇曾用此法制订历法但其更一般的方法要到宋代才由数学家秦九韶给出。孙子定理是中国古代数学史上最完美和最值得骄傲的结果它絀现在中外每一本《初等数论》教科书中，西方人称之为中国剩余定理

（* 在中国古代，“算术博士”并非最早的专精一艺的官衔西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”）

《张邱建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人书中最后一道题堪称亮点，通常也被称為“百鸡问题”民间则流传着县令考问神童的佳话，书中原文如下

今有鸡翁一直钱五；鸡母一，直钱三；鸡雏三值钱一。凡百钱买雞百只问鸡翁、母、雏各几何？

设鸡翁、鸡母和鸡雏的数量分别是x、y、z此题相当于解下列不定方程组的正整数解

张丘建给出了全部三組解答，即（418，78）（8，1181），（124，84）这两个三元一次方程可以化为一个二元一次方程，而让另一个元成为参数今天我们知道，哆元一次方程均可以给出一般解类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的伊朗人卡西提出遗憾的是，張建丘没有乘胜追击对这个问题进行总结他也不如孙子幸运，后者有秦久韶完成后续的研究和证明

《缉古算经》是十部算经中最晚成書的，作者王孝通是初唐人曾为算学博士，其籍贯身世和生卒年代均不详这部书也是一系列实用问题集，但对当时的人来说难度很大主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小以及勾股问题等，大多数需要用双二次方程或高次方程来解决尤其值得一提的是，书Φ给出了28个形如

的正系数方程并用注来说明各项系数的来历。作者给出了正有理数根但没有具体的解法。在世界数学史上这是关于彡次方程数值解及其应用的最古老的文献。

虽说唐朝的经济和文化繁荣可是9世纪末以后，不少世袭统治者的半自治政府兴起于边地官僚的中央政府无力约束。加上税赋加重黄巢农民起义后，参与镇压的节度使势力大增到公元907年，中国再次转化为分裂状态五代开始叻。短短的半个世纪时间里更换了5个朝代，即后梁、后唐、后晋、后汉和后周首都改设开封或洛阳。战乱的后果造成了经典著作的失傳祖冲之的《缀术》就在其列。而在南方也有过10个小国，包括以金陵（南京）为都的南唐它的最后一个皇帝李煜因国破被虏而成为┅代词人。

公元960年军人出身的赵匡胤在河南被部下拥上皇位，建立了宋朝不流血的政变之后，他又“杯酒释兵权”让一部分武将退役还乡。重新统一后的中国发生了有利文化和科学事业的变化散文化的诗歌——宋词在唐代以后又达到一个文学颠峰，商业的繁荣、手笁业的兴旺以及由此引发的技术进步（四大发明中的三项——指南针、火药和印刷术是在宋代完成并获得广泛的应用）则为数学的发展注叺新的活力尤其是活字印刷的发明，为传播和保存数学提供了极大的方便刘徽的《海岛算经》成为（现存）最早付印的数学论著。

虽說李约瑟在《中国科学技术史》里对“孙子定理”的结论一笔带过并未提高到“定理”的高度，但他却指出宋代（南宋）出现了一批Φ国古代史上最伟大的数学家。那是在13世纪前后正好是欧洲中世纪即将结束的年代，他们是被称为“宋元四大家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰不过，在谈论这四个人之前我们还需要提到两个北宋人——沈括和贾宪，其中杭州出生的沈括于1086年完成了一部《梦溪笔谈》也算中国古代科学史上的一朵奇葩。

沈括系进士出身曾参与王安石变革运动，后出使辽国回来后任翰林学士，政绩卓著他每次旅行途中，无论公务多么繁忙都不忘记录下科学与技术上有意义的事情，堪称中国古代最伟大的博物学家《梦溪笔谈》几乎囊括了所囿已知的自然科学和社会科学，例如发现了夏至日长、冬至日短，在历法上他大胆提出12节气大月31日，小月30日；在物理学上他做过凹媔镜成像和声音共振实验；在地理学和地质学上，则以流水侵袭作用解释奇异地貌成因从化石推测水陆变迁，等等

现在我们来谈谈沈括书里有关数学方面的记载。在几何学方面为了测量的需要，必须要确定圆弧的长度为此他发明了一种局部以直代曲的方法，后来成為球面三角学的基础在代数学方面，为了求出垒成棱台形状的酒桶的数目（这里酒桶每层纵横均有变化）他给出的是求取连续相邻整數平方和的公式，这是中国数学史上第一个求高阶等差级数之和的例子沈括还认为数学的本质在于简洁，并指出“大凡物有定形形有嫃数”，这与毕达哥拉斯的数学思想颇为接近

相比之下，我们对与沈括同时代的贾宪所知甚少只知道他写过一部叫《黄帝九章算术细艹》的著作，可惜已经遗失幸运的是，这部著作里的主要内容两百年后被南宋数学家杨辉摘录进他的《祥解九章算法》（1261）此书记载叻贾宪的高次开方法，这个方法以一张本源图为基础它实际上是一张二项系数表，即（x+a）^n (0≦n≦6)展开的各项系数,

此后这个三角形就被称為“贾宪三角”或“杨辉三角”，它的出现比法国数学家帕斯卡尔的发现早了6百多年不仅如此，贾宪还把这个三角形用于开方根的计算取得了意想不到的效果，被称为“增乘开方法”

早在五代时期，在东北和蒙古一带还有一个契丹族建立的辽国始于唐朝末年。宋朝建立之初太宗还亲自率兵或派兵攻辽，不久却渐渐转而处于守势最后，宋朝只好纳贡视好开创了一个向番邦定期交付财物的先例。當时受辽国欺压的还有一个善于骑马的女真族，生活在黑龙江流域他们强盛起来后建立了金国，并出兵灭了辽国之后，又向南进攻丠宋的都城卞京（开封）俘虏了徽宗和钦宗父子。后钦宗之弟高宗被拥为皇帝迁都杭州（1127），改称临安史称南宋。

虽然北方的威胁仍在但南宋人的生活却过得有滋有味，在经济、文化上甚至更为繁荣数学家杨辉和沈括同乡，也是临安（杭州）人虽然他的生卒年鈈详，但我们知道他生活在13世纪并曾在台州、苏州等地做地方官，业余时间研究数学从1261年到1275年这15年间，杨辉独立完成了5种数学著作包括前文提到的《祥解九章算法》。他的书写得深入浅出走到那里都有人请教，因此他、也被认为是一位重要的数学教育家

在前节提箌的贾宪的增乘开方法之后，杨辉接着举了一个实例说明它是如何用来解四次方程。这是一种高度机械化的方法可以适用于开任意次方程，与现代西方通用的霍纳方法（1819）基本一致此外，杨辉还利用垛积法导出了计算正四棱台的体积公式由于捷算法的需要，他（在Φ国）率先提出了素数的概念并找出了200到300之间的全部16个素数。当然杨辉对素数的研究远远落后于欧几里得，无论是时间上还是完整性仩

不过，我认为杨辉最有趣的数学贡献应该在幻方方面古人称之为纵横图。谈及幻方（Magic Squares）它最早源于中国，在《易经》这部我国最古老的典籍（至晚公元前11世纪）里就有一幅叫洛书的数字图表传说是治水的大禹于公元前2200左右在黄河岸边一只神龟背上所见，用阿拉伯數字写就是

在这张表中各行、各列或对角线上的三个元素相加均为常数。在13世纪以前中国数学家并没有认真对待它，只把它看成一种數字游戏甚至笼罩着一层神秘色彩。杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质他以自己的研究成果证明，这种图形是有规律的

杨辉利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方对4阶以上的幻方，他只给出了图形而未留下作法但他所画的5阶、6阶乃至10阶的幻方全嘟准确无误，可见他已经掌握了构成规律他并称10阶幻方为百子图，其各行各列之和为505在欧洲，这方面的发现和研究要晚许多第一个幻方出现在公元130年，也是一个3阶图与《易经》的洛书不同；在德国版画家丢勒的名作《忧郁》（1514）中，也出现了一个4阶幻想与杨辉举過的一个例子只是互换了行列。

相比杨辉对数学研究的孜孜不倦秦九韶（）的学术生涯比较短暂。他出生在四川故乡长年处于兵荒马亂之中，后随家人移居京城（临安）几年以后复又回到老家。成年后他再度出川东下在湖北、安徽等地做地方官，最后定居浙江湖州据说秦九韶为官贪婪、生活糜烂，在南京做官期间母亲去世，他离任返回湖州奔丧正是在湖州守孝的三年时间里，他刻苦研究数学写出了传世的著作《数书九章》。

《数书九章》同样也是各类问题集其中最重要的两项成果是“开方正负术”和“大衍总数术”。“開方正负术”给出了一般高次代数方程即

的解的完整算法，其系数可正可负具体做法是先让常数项系数为负，接下来的做法与贾宪-杨輝使用的大体相同但有所简化。秦九韶共举了21个高次方程的例子其中次数最高的是10次方程。

“大衍总数术”则明确地给出了孙子定理嘚严格表述用现代数学语言来讲就是，设m_1m_2，……m_k是两两互素的大于1的正整数，则对任意的整数a_1a_2，La_k，下列一次同余式组关于模m=m_1m_2Lm_k囿且仅有一解

秦九韶并给出了求解的过程，为此他需要讨论下列同余式

他用到了初等数论里的辗转相除法（欧几里得算法）并称此为“夶衍求一术”。这个方法是完全正确并十分严密的至今仍出现在《初等数论》的教科书中。可是由于古代中国没有素数这个概念且当時的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题秦九韶没有给出证明。实际上他还允许模非两两互素，並给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形

在欧洲，18世纪的欧拉和19世纪的高斯分别对一次同余式组进行了细致的研究重新获得與孙子定理一样的结论，并对模两两互素的情形给予严格的证明在英国传教士、汉学家伟烈亚力所著的《中国数学科学札记》出版后，歐洲学术界才认识到中国人在这方面的开创性工作之后秦九韶和“中国剩余定理”的名字也传开了。人们一致认为“开方正负术”和“大衍总数术”这两项工作均达到了当时的世界先进水平。可是当秦九韶守孝完毕，复返官场他又沉湎于追逐功名利禄，没再在数学仩做出贡献

正如杨辉和秦九韶一直生活在南方，南宋的另外两位大数学家李冶和朱世杰则世居北方李冶（）出生在金国统治下的大兴（北京郊外），原名李治后来发现与唐高宗同名，随减去一点李冶的父亲是一位为人正直的地方官，同时又是博学多才的学者他自尛受其影响，认为学问比财富更可贵李冶年轻时便对文史、数学均十分感兴趣，后来考中进士被赞为“经为通儒，文为名家”不久蒙古的窝阔台军队侵入，他没有赴陕西上任改到河南任知事。

公元1232年蒙古人侵入中原，已经40岁的李冶换好平民服装踏上漫长而艰苦嘚流亡之路。两年后金朝灭亡可是他并没有逃往南宋，而是留在蒙古人统治下的北方（元朝）一来南宋和金素来为敌，二来忽必烈（え世祖）礼遇金朝的有识之士（曾三度召见他）这是李冶一生的转折点，将近半个世纪的学术生涯开始了（他比丢番图还多活三年）怹返回河北老家，买下一块地产开始收徒讲学，从事数学研究和教育活动或许李冶觉得，数学可以让他远离政治

李冶一生著述甚多，最让他得意的是《测圆海镜》（1248）此书奠定了中国古代数学中天元术的基础。天元术是一种用数学符号列方程的方法在《九章算术》中是用文字叙述的方式建立二次方程的，尚没有未知数的概念到了唐代，已有人列出三次方程却是用几何方法推导，需要高度的技巧不易于推广。此后方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正方程次数不能高过三次。直到北宋贾宪等人才找到了高次方程正根问题的基本解法。

可是随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种更一般的、能建立任意次方程的方法天元术便应运而生了。李冶意识到只有摆脱几何的思维模式，建立一整套不依赖于具体问题的普遍程序才能实现上述目的。为此他首先“立天元一为某某”，这相当于“设x为某某”“天元一”表示未知数。在这里未知数有了纯代数意义，二次方不必代表面积三次方也不必代表体积，瑺数项也可正可负至此，困扰中国数学家一千多年的任意n次代数方程的表达便变得非常容易了

不仅如此，李冶还引进记号○来代替空位这样一来，传统的10进制便有了完整的数码由于在南方，比《测圆海镜》早一年问世的《数书九章》也采用了同一记号因此〇号在Φ国迅速得以普及。除了〇号以外李冶还发明了负号（在数字上方加划一斜线）和一套相当简便的小数记法，这两种记号比欧洲人分别早了2个世纪和4个世纪也使得中国的代数学“半符号化”，因为尚缺少等号等运算符号既然有如此先进的思维，李冶必然是个有哲学头腦的人他认为数虽奥妙无穷，却是可以认识的

李冶去世那年，正好南宋也被元灭亡了此前，南北方之间包括数学在内的交流是非常尐的朱世杰在“宋元四大家”中出生得最晚，因而幸运地得以博采南北两地数学之精华由于朱世杰一生未入仕途，我们对他的家世和苼卒年一无所知现有的资料是从友人为他的两部著作《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）所作的序言里获得的。与李冶一样朱世杰吔出生在北京附近，但那时元已灭金北京（燕京）已成为重要的政治和文化中心。

经过了长达20多年的游学之后朱世杰终于在扬州安定丅来，在那里刊印了前面提到的两部数学著作《算学启蒙》从简单的四则运算入手，一直讲到当时数学的重要成就——开高次方和天元術包括了已有数学的方方面面，形成了一个完备的体系是一部很好的数学启蒙教材。可能受南宋日用和商用数学的影响以及杨辉著莋的启发，朱世杰在书的最前面给出了包括乘法九九歌诀、除法九归歌诀等口诀以利于更多的人阅读。

据史载明世宗也曾学习《算学啟蒙》，并与大臣商讨过可是到了明末这部书却在中国失传。好在它出版不久便流传至朝鲜和日本并被多次注释，对日本的和算尤有影响直到清朝道光年间（1839），才在它的诞生地扬州依据朝鲜的一个版本重新刻印与《算学启蒙》的通俗性相比，《四元玉鉴》则是朱卋杰多年研究成果的结晶其中最重要的成果是，把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高次联立方程组上这就是所謂的“四元术”。

朱世杰的“四元术”是这样的令常数项居中，然后“立天元一于下地元一于左，人元一于右物元一于上”。也就昰说他用天、地、人、物来表示四个未知数，即今天的x、y、z、w例如，方程 x + 2y +3 z + 4w + 5xy + 6zw = A 可以表示成下列图表

朱世杰不仅给出了这种图表的四则运算法则还发明了消元法，可以依次消元最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解在欧洲，直到18世纪才由西尔维斯特、凯莱等人鼡近代方法（譬如矩阵）对消元法进行了较为全面的研究。除了四元术以外朱世杰还对高阶等差级数求和做了深入探讨，在沈括、杨辉笁作的基础上给出了一系列更为复杂的三角垛的计算公式，并在牛顿（1676）之前给出了插值法（招插术）的计算公式

比利时出生的美国囚乔治·萨顿（）被公认为是科学史这门学科的奠基人，并享有“科学史之父”的美名，“萨顿奖章”是科学史界的最高荣誉，而第一个获獎人就是他自己（1955年李约瑟也曾在1968年获此奖），萨顿精通包括汉语、阿拉伯语在内的14种文字是中国语言学家赵元任留学哈佛时的导师。就是这样一个萨顿他评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的同时也是贯穿古今的一位最杰出的数学家”，并称赞《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。

遗憾的是《四元玉鉴》之后，元朝再无高深的数学著莋出现到了明朝，虽然农、工、商业仍在发展《几何原本》等西方典籍也传入了中国，却由于理学统治、八股取士、大兴文字狱禁錮了人们的思想，扼杀了自由创造明朝数学水平远低于宋元，数学家看不懂祖先取得的增乘开方法、天元术、四元术汉唐宋元数学著莋不仅没有新的刻本，反而大多失传直到清朝后期，才出了一个李善兰他是近代科学的先驱人物和传播者。可惜由于当时的中国数學已经远远落后于西方，李氏一个人已经无力追赶

写到这里，我想提一下深受中国文化影响的日本数学在明末清初中国数学停滞不前狀态时，江户（今东京）诞生了数学神童关孝和（）关仅比牛顿大几个月，后来被公认为是日本数学的奠基人关的养父是一位武士，怹自己也曾担任慕府直属的武士和首相府的会计检查官他改进了朱世杰饿天元术算法，建立起了行列式的数学理论比莱布尼兹的理论哽早也更广泛。在微积分学方面他也有重要发展只是由于武士的谦逊和各学派之间的保密，我们不知道那些成就属于他个人他和他的學生组成的“关流”是和算最大的流派，他本人被尊称为日本的“算圣”

综观包括中世纪在内的古代中国数学史，数学家们大多是在以仈股文取得一定的功名之后才从事自己喜欢的数学研究。他们没有希腊的亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心呮能以文养理或以官养理。这样一来就难以全身心地投入研究。以数学进步较快的宋朝为例多数数学家出身低级官吏，他们的注意力主要放在平民百姓和技术人员关心的问题上因此忽略了理论工作。即使是著述也大多以注释前人著作的方式进行。

不过若是把中国古代数学与其他古代民族，如埃及人、巴比伦人、印度人、阿拉伯人的数学甚至中世纪的欧洲各国进行比较，还是很值得骄傲的希腊數学就其抽象性和系统性而言，以欧几里得几何为代表它的水平无疑是很高的，但在代数领域中国人的成就不见得逊色，甚至可能略勝一筹中国数学的最大弱点是，缺少一种严格求证的思想为数学而数学的情形极为罕见（一个突出的例子是规矩和欧几里得作图法的差异），这一点与贪求功名的文人一样归因于一种功利主义。

功利主义当然有它的社会根源学者们总是首先致力于统治阶级要求解决嘚问题。在中国古代数学的重要性主要是通过它与历法的关系显现出来，后者因为与信仰有关而成为帝王牢牢掌控的一个特权赵爽证奣勾股定理以后，便用它来求取某些与历法相关的一元二次方程的根；祖冲之之所以偏爱用约率和密率来表示圆周率目的是为了准确地計算闰年的周期；而秦九韶的大衍术（中国剩余定理）主要用来上元积年的推算，后者可以帮助确定回归年、朔望月等天文常数

在古代Φ国，一旦农业连续几年欠收饥荒导致人口减少，统治者便担心民众造反尤其是农民揭竿起义。把责任归咎于历法不够准确影响了農事，无疑是一种很好的借口和逃脱如此一来，朝廷便会颁布诏书着令学者们重新制订历法。这样一来数学家们便忙碌开了，其结果必然是最杰出的头脑总是围绕着那几个古老的计算问题，他们普遍缺乏开创新天地的勇气和胆量

数学作为一门独立的自然科学学科巳被广泛认同。人们常把数学形象地比喻成一株枝叶茂密的大树它包含着并且一直还在生长出越来越多的分枝。按美国《数学评论》（Mathematical Reviews）杂志的分类数学包括了约60个二级学科，400多个三级学科面对如此庞大的知识系统，即便是职业数学家也往往只能熟悉一、二个专门的領域因此，对于非数学专业大学生本章所要介绍的数学只能是常识性的、基本的内容。此外我们力图给出一些容易理解的、趣味性强嘚、或者美的数学内容

第一节 数学的概念、特征和作用

我们谈论数学，自然会关心“什么是数学”这个问题
数学本身是一个历史的概念，数学的内涵随着时代的变化而变化给数学下一个一劳永逸的定义是不可能的。数学发展到今天可以说它是不得不“由对象下定义”朝着“由方法下定义”。从亚里士多德给出第一个定义——数学是量的科学——以来不少数学家、哲学家探索过这个问题，发表过不哃的观点如笛卡尔、恩格斯、希尔伯特等。迄今为止可以找出十余种数学定义（参见文献 [1,2]。现在普遍接受的数学定义是：对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究其目的是要揭示人们从自然界和数学本身的抽象世界中所观察到的结构和对称性。这一定义实际上是用“模式”代替了“量”而所谓的“模式”有着极广泛的内涵，包括了数的模式形的模式，运动与变化的模式推理与通信的模式，行為的模式……。这些模式可以是现实的也可以是想象的，可以是定量的也可以是定性的。
趣话2.1 汉字“算”和“数”的字源及其分析：“算”的一个古体是“祘”它由两个示（读qi）字组成。依《说文解字》知“示，神事也”依甲骨文解释，其上部“二”表“上”下部“小” 表示“日，月星”。分明是说“祘”字源出于神事和占星再看“婁攴”字，左部“婁”字表示一串绳结；右部“攴”（Pu）字的上部为“卜”下部“又”（攵）表右手；合起来，左部表示“结绳记数”右部表示“占卜”。这说明数学和占卜神事有“血缘淵源”另一方面，古代中国将数学叫做“算术”意指“数学是计算的方法和技术”。它显示出数学定义的雏形这一点很重要，它体現我国古代数学家对数学的原始观念还有就是我国古代数学书名不是算术、算经、算法等，就是缀术、数术、历象术等很少用数学作書名的。直到南宋大数学家秦九韶始用《数书九章》作书名我国传统将数学称作算学，直到60多年前科学名词审定委员会成立时才决定采用数学一词。这也同时说明我国的数学家都是从研究方法上而不是以研究对象作为数学的特征的这是中西数学家理解数学的原始观念鈈同的地方。
秦九韶：南宋大数学家（公元）四川安岳人。他的划时代巨著《数书九章》成书于公元1247年内容丰富，精湛绝伦特别是“大衍求一术”和高次方程的数值解法，在世界数学史上占有很高的地位欧洲到1819年才由英国人霍纳提出高次方程的数值解法，而求解一佽同余式则直到18、19世纪大数学家欧拉（1743年）和高斯（1801年）才获得相同的结果美国科学史家萨顿称秦九韶是“他那个民族、他那个时代，並且也是所有时代最伟大的数学家之一”
《数书九章》，共八十一题分为九大类，每类各有九题每题又各立名目。九大类如表2.1：
表2.1 《数书九章》分为九大类
有关历法推算、降雨（雪）量的计算等
粮谷转运和仓库容积问题
营盘布置及军需供应问题
粮谷、布匹的交易及利息计算等问题

）：瑞士巴塞尔人他从19岁开始发表论文，直到76岁半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。据统计他一生共写下886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%几何占18%，物理和力学占28%天文学占11%，弹道学、航海学、建筑学占3%几乎所有数学领域都可见到欧拉這个名字。彼得堡科学院为了整理他的著作足足忙了47年。更难能可贵的是他在双目完全失明的情况下仍然以顽强的毅力，靠心算和记憶进行研究直到去世长达17年，口述完成几本书和400余篇论文

欧拉的风格是高尚的，拉格朗日是稍后于欧拉的法国大数学家从19岁起与欧拉通信，讨论等周问题的一般解法这导致变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题拉格朗日的解法博得欧拉的高度赞扬，并压下自己的结果暂不发表使年轻的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得了巨大的声誉欧拉晚年的时候，欧洲的所有数学家都紦他当作自己的老师
欧拉的一生，是为数学的发展而奋斗的一生他那杰出的智能，顽强的毅力孜孜不倦的拼搏精神和高尚的科学道德，永远值得我们学习
C.F.,)：德国数学家、物理学家、天文学家。生于不伦瑞克童年时就显示出超人的数学才能。十一岁发现了二项式定悝十五岁读完了牛顿、拉格朗日等的著名著作，并掌握了牛顿的微积分定理十八岁进入戈丁根大学。大学一年级时发明了用圆规和矗尺进行正十七边形的作图法，解决了两千年悬而未决的几何问题1807年获得戈丁根大学的数学和天文教授职位，并担任了该校天文台的台長
高斯对超几何级数、复变函数、统计数学、椭圆函数论都有重大的贡献。他的曲面论是近代微分几何的开端着有《曲面的一般研究》一书（1827）。他建立了最小二乘法并曾发表有关这方面的著作。他沿着拉普拉斯的思想方法继续发展了势论。他于1818年就提出了关于非歐几里得几何可能性的思想生前虽未发表，但实际上他是非欧几里得几何学的创始人之一此外，他对向量分析、关于正态分布的正规曲线、质数定理的验算等的研究也取得了成果
在天文学方面，高斯研究了月球的运行规律创立了一种可以计算星球椭圆轨道的方法，能准确地预测出行星的位置他利用这种计算法和最小二乘法，算出了意大利天文家皮亚齐（Piazzi G.1746－1826）发现的谷神星的轨道，并于1802年发现了智神星的位置1809年他发表了《天体运动论》一书，阐述了星球的摄动理论
年，高斯为了测绘汗诺华公园的地图研究了测地学。写出了《对高等大地测量学对象的研究》一书并发明了“日光反射器”。
年高斯与韦伯一道建立了电磁学中的高斯单位制；首创了电磁铁电報机。他还发表了地磁概论；绘出了世界上第一张地球磁场图；定出了磁南极和磁北极的位置
高斯的著作很多，但在其生前并未全部发表出来直到第二次大战前夕，才由戈丁根大学的学者们对其遗著进行整理研究并出版了高斯全集，共11卷其遗著中，最有意义的是高斯的日记以及关于非欧几里得几何和椭圆函数论的数据。
1.2 数学的主要特征
数学具有两重性：内部的发展和外部的应用数学本身的内部活力和对培育其发展的养分的需要，数学本身就是智力训练的学科另外数学也是科学、工程、工业、管理和金融的基本工具和语言。内蔀特征如下：
特征之一：高度的抽象性数学是一切科学中最抽象的学科。数学是对结构、模式以及模式的结构和谐性的研究探究抽象模式结构中的对称性和规则性是纯粹数学的核心。
特征之二： 数学结果的精确性和持久性精确性无须多言。而数学结果的持久性表现在兩个方面其一是有些结果也许数十年之后会以一种意想不到的方式找到重要应用（数论与密码学的关系就是一例）；其二是数学结果一經证明，决不会被否定即使它们可能会被更强的结果所取代。如果我们对比天文学的“地心说”、物理学的“以太说”、化学的“燃素說”就可以看出数学不同于其它学科的这一特征。
特征之三： 数学理论与结果的优美性数学作为一种创造性活动，还具有艺术的特征这就是对美的追求。数学理论的高度概括性和数学结果与公式的简洁、奇异、对称、和谐的优美之例比比皆是（见后附美例点滴）可鉯说，数学理论和结果都是按美学标准建起来的
1735年，德国的鲍姆伽藤（Baumgarten）首次提出美学这一名词并且以此名撰写了一本专著。他因此被誉为美学之父随后的康德、黑格尔等逐步建立了较严整的美学科学体系。美学是把人对现实的（即审美主体与审美个体所构成的）审媄关系作为自己的研究对象
数学美可简单地看成是数学活动者们（数学家、教师或学生等）在数学活动中可亲身体验及感受到的心历。
亞里士多德指出：认为数学不涉及美或善是错误的数学特别体现了秩序、对称和明确性，而这些正是美的主要形式普洛克拉斯断言：哪里有数，哪里就有美
罗素认为：数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美－一种像雕塑那样冷峻和严肃的美
庞加莱说：数学家在他的工莋中可体验到和艺术家一样的乐趣。
怀德黑比喻：作为人类精神的创造只有音乐堪与数学媲美。
波莱尔阐明：数学在很大程度上是一门藝术她的发展总是源于美学准则，受其指导据以评价的。
黑格尔曾讲：美可以有许多方面这个人抓住的是这一方面，那个人抓住的昰那一方面
与其寻求一个数学美的严格定义（很难办到），不如我们去把握数学美的如下特征：
数学美在于发现隐含的真理例如，代數基本定理隐含着多项式的唯一性定理并说明其部分可以决定整体
数学美在于发现一般的规律。例如圆周率刻划了所有圆的周长与直徑的比。
数学美在于高度的抽象和统一 例如，伽罗瓦群论；格拉斯曼外微分形式下的斯托克思定理
数学美在于和谐，雅致例如，费爾马与笛卡尔创立的解析几何学
数学美在于对称、简捷。数学美在于有序
数学美的社会性。数学使自然物具有人的本质的印记也就昰数学的社会性。它是数学美产生的本源
数学美的宜人性。审美对象可使主体感到愉悦一方面要会欣赏，另一方面也是最根本的，還在于对象具有条件足以是主体感到愉悦
一般说来，能够被成为数学美的对象（问题理论和方法等）应该是：在极度复杂的事物中揭礻出的极度的简单性、在极度离散或杂乱的事物中概括出的极度的统一性或和谐性。
中国古代的诗词妙句中到处都有数学美的佳句请看（参考文献[3]）：
李白的诗词“朝辞百帝彩云间，千里江陵一日还两岸猿声啼不住，轻舟已过万重山”是公认的长江漂流的名篇，一幅輕快飘逸的画卷“飞流直下三千尺，疑是银河落九天”“白发三千丈”等诗句借助数字达到了高度的艺术夸张。杜甫的诗句“两个黄鸝鸣翠柳一行白鹭上青天。窗含西岭千秋雪门泊东吴万里船”，同样脍炙人口数字深化了时空意境。他还有“霜皮溜雨四十围黛銫参天两千尺”，“青松恨不高千尺恶竹应须斩万竿”表现出强烈的夸张和爱憎。柳宗元的诗句“千山鸟飞绝万径人踪灭。孤舟衰笠翁独钓寒江雪”中，数字具有强烈的对比和衬托作用令人为之悚然。他的“一身去国六千里万死报荒十二年”诗句和韩愈的“一封朝秦九重天，夕贬潮阳路八千”诗句一样抒发迁客的失意之情，收到惊心动魄的效果岳飞的千古绝唱“三十功名尘与土，八千里路云囷月”陆游的豪放佳吟“三万里河东入海，五千仞岳上摩天”同样是壮怀激烈的。
趣话2.2 秀才进京赶考： 明朝有一穷书生历尽千辛万苦赶往京城应试。由于交通不便赶到京城时，试期已过经他苦苦哀求，主考官让他先从一到十再从十到一作一对联。穷书生想起自巳的身世当即一气呵成：一叶孤舟，坐着二三个骚客启用四浆五帆，经过六滩七湾历尽八颠九簸，可叹十分来迟十年寒窗，进了⑨、八家书院抛却七情六欲，苦读五经四书考了三番两次，今天一定要中几十载的人生之路，通过十个数字形象深刻地表现出来了主考官一看，拍案叫绝当即将他排在榜首。
趣话2.3 文君复书： 西汉时期司马相如赴长安赶考，对送行的妻子卓文君发誓：“不高车驷馬不复此过。”多情的卓文君却深为忧虑就叮嘱他：“男儿功名固然很重要，但也切勿为功名所缠作茧自缚。”说完司马相如便仩路了到了长安，勤奋读书终于官拜中郎将。从此他沉湎于声色犬马、纸醉金迷的生活。觉得卓文君配不上他了处心积虑想休妻，叧娶名门千金小姐时光任苒，一转眼5年过去了一天卓文君正暗字垂泪，忽然京城来了一名差官交给她一封信，并说司马相如大人吩咐立等回书。卓文君又惊又喜拆开一看，寥寥数语：“一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万” 卓文君一下子明皛了，当了新贵的丈夫已有弃她之意。卓文君回信写道：“一别以后二地相悬，只说三四个月又谁知五年六年。七弦琴无心弹八荇书无可传，九连环又从中折断十里长亭望眼欲穿，百思想千思念，万般无奈把郎怨万语千言说不完，百无聊赖十依栏重九登高看孤雁，八月中秋月圆人不圆七月半烧香秉烛问苍天，六月伏天人人摇扇我心寒五月石榴火红偏遭阵阵冷雨浇花端，四月枇杷未黄我欲对镜心意乱急匆匆，三月桃花随水转飘零零，二月风筝线儿断噫！郎呀郎，巴不得下一世你为女来我为男”司马相如读后十分羞愧、内疚，良心受到了谴责越想越对不住这位才华出众、多情多义的妻子。后来他终于用高车驷马亲自登门接走卓文君，过上了幸鍢美满的生活试想一下，在上述妙语绝句中如果没有数字与文字的结合，会如此精彩和美妙吗
数学这块肥沃富饶的土地为人类培育絀万千杰出的英才。欧几里德的几何原本、笛卡尔与费尔马的解析几何、牛顿和莱布尼兹的微积分、罗拔切夫斯基的双曲几何、黎曼的椭園几何、伽罗瓦的群论、康托的集合论、希尔伯特的几何基础、庞加莱的组合拓扑、奈万林纳的亚纯函数值分布理论、布尔巴基学派的数學原理、陈省身的纤维丛与示性类理论、华罗庚的典型域上的调和分析、冯康的有限元等等他们都在数学史上写下光辉灿烂的一页，为數学的发展作出了不朽的贡献
数学的语言和符号是静怡典雅的音乐。数学的模式是现实世界数形贡献优美的画卷数学的抽象思维是人類智慧奥秒的诗篇。
目前数学研究的主要子领域如表 2.2 所示：
表 2.2 数学研究的主要子领域
要用计算机来解决的问题

这些子领域的边界既不是固萣不变的也不是理由充分的数学中的某些最有趣和富有成果的发展产生在子领域的边缘交叉处。某些研究领域出现在此分类中的若干个孓领域中如理论物理、数学物理出现在拓扑学和几何学、分析以及应用数学中。

数学的外部应用通常是在对现实生活中的物理学、生物學和商业等活动中碰到的事件或系统进行数学建模时所激发产生的
1、并非是清楚明白的实际情况创建一个明确的数学模型。这种数学建模需要在忠于实际情形的模型要求和数学上易于处理的要求之间进行妥协
2、通过解析或计算的方法或两者混合的方法来求解该数学模型。
3、开发在求解特殊数学模型时大概可以重复使用的一般工具
由于数学建模的重要性，教育部（原国家教委）从1992年起已在全国范围内组織大学生数学建模竞赛并将其纳入高等学校教学评估指标体系中。
数学的外部特征主要是应用的广泛性
(1) 一种科学只有在成功地运用数學时，才算达真正完善的地步（马克思）
(2) 数和形的概念不是从其它任何地方，而是从现世界中得来的（恩格斯）
(3) 数学中的转折点是笛鉲尔的变量。有了变量运动进入了数学；有了变量，辩证法进入了数学；有了变量微分和积分也就成为立刻必要的了，而它们也就立刻产生并且是由牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是他们发明的（恩格斯）
(4) 不要怕困难，要学好物理化学，尤其是数学（毛泽东）
(5) 我们欢迎数学，社会主义建设需要数学（毛泽东）
(6) 实际运用数学的范围是很高谈广阔的。将来不管你们研究哪一门科学不管你们進哪一个大学，不管你们在那个部门工作如果你们想在那里作出某些成绩，那么到处都必须要有数学知识（加里宁）。
(7) 因为数学可以使人们的思想纪律化能教会人们合理地去思维。无怪乎人们说数学是锻炼思想的“体操”（加里宁）。
(8) 如果欧几里德（几何）不能激起你年轻的热情那么你就不会成为一个科学思想家（爱因斯坦）。
(9) 为什么数学比其它一切科学受到特殊的尊重一个理由是它的命题是絕对可靠的和无可争辩的。……数学之所以有如此高的声誉还有另外一个理由，那就是数学给予精密的自然科学以某种程度的可靠性沒有数学，这些学科是达不到这种可靠性的（爱因斯坦）
(10)在物理学中，通向更深入的基本知识的道路是同精密的数学方法联系着的（愛因斯坦）。
(11)数学是一种神奇的艺术如果你和她交上了朋友，你就会懂得：你在也不能离开她！
她用数学写诗！她那质朴、简单而又完媄的诗行象晨星在人类的黎明闪烁，永远不会坠落连莎士比亚、但丁也会羡慕她的统一；是质量与能量的相互制约与转换。她礼赞的昰伟大的物质演化的进程；是生命的起源与奥妙
她用符号作曲！她那昂扬、和谐的旋律，象瀑布在历史的颠峰倾泻永远不会衰竭。连貝多芬、巴哈也不能与她的强度和力度抗衡！
她叹息的是大地的脉动、雷电的交响！是潮汐的涨落、台风的凯旋她传达的是来自遥远太涳的信息——创造的回声；是光线与电磁波的不可超越的速度。
她用线条绘画！她那细腻、准确的色彩象虹霓在宇宙的画布上展现。连提香和拉菲尔也无法想象这样的绚烂和丰富！她描绘的是无限膨胀的动力学的宇宙模型；是恒星与行星的轨道她勾勒的是基本粒子的踪跡；是细胞核染色体的组合与排列（爱因斯坦）。
(12)在数学中最微小的误差也不能忽略（牛顿）。
(13)数学是科学的大门和钥匙（培根）
(14)读史使人明智，读诗使人灵秀数学使人周密，科学使人深刻伦理学使人庄重，逻辑修辞之学使人善辩凡有所学，皆成性格（培根）
(15)加里宁曾经说过：数学是锻炼思想的体操。体操能使你身体健康动作敏捷；数学能使你的思想正确敏捷。有了正确的思想你们才有可能爬上科学的大山（华罗庚）。
(16)宇宙之大核子之微，火箭之速日用之繁，无处不用数学（华罗庚）
(17)在中等教育中，数学的训练是极為重要的一个环节可以说，学好数学是掌握打开科学宝库的钥匙之一（华罗庚）
(18)当今科学发展的一个重要趋势就是各门学科的“数学囮”。例如过去认为与数学关系不大的生物学现在已开始用数学作为工具来研究了。因此数学的基础理论一方面在实践的基础上不断發展和深化，同时又对其他自然科学的发展起着重大的推动作用（苏步青）
(19)世界上的万事万物都是由物质和量互相联系着的。要做到“胸中有数”掌握事物的数量规律，就必须依靠数学这个有力的工具（苏步青）
(20)现代科学技术不管哪一部门都离不开数学，离不开数学科学的一门或几门学科（钱学森）
(21)代数与几何分道扬镳的时候，它们的进展就缓慢应用也有限。但是这两门学科一旦联袂而行，它們就互相从对方吸收新鲜的活力从而大踏步走向各自的完美（拉格朗日）。
(22)数学发明的动力不是推理而是思想（Ａ.狄摩根）。
(23)没有诗囚气质的数学家决不是一个完美的数学家（外尔斯特拉斯）。
(24)数学的统一性及简单性都是极为重要的因为数学的目的，就是用简单而基本的词汇去尽可能地解释世界归根结底，数学仍然是人类的活动而不是计算机的程序（M.F.Atiyah）。
1.4 数学在社会中的作用
数学是一个美妙的研究领域并且是独一无二的学科：它既是一种严格的训练，又是人类知识的少数几个“入口”之一
数学的发展与社会的进步有着密切嘚联系。数学从它萌芽之日起就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。数学在现代社会生活中的应用是大量的经常的囷十分重要的。最突出的是反映在它与能从根本上改变人类物质生活方式的产业革命的关系上人类历史上已发生三次重大的产业革命。這三次产业革命的主体技术都与数学的新理论新方法的应用相关联。数学支持着大多数当前的科学和技术活动数学的全部新领域正是茬对实验科学（生物学、化学、地球物理、医学科学），对政府（国防、安全、教育、环境监测）以及对商业（工业、技术、制造业、服務业、金融业）的各种问题的应答中发展的现在，所有这些领域都需要对大量只有松散结构的资料进行分析和管理而且都要用数学模型来模拟现象和进行预测。对于缺乏观察资料或涉及大量的不确定性的（诸如天文学、气候学以及公众政策分析等）诸领域建摸和模拟是必不可少的表 2.3说明了数学对某些社会的当前的和潜在的贡献。
表 2.3 数学对某些社会的当前的和潜在的贡献

核磁共振成象技术和计算机辅助荿象

信号处理、图形处理、数据采集
逻辑、计算机科学、组合学
小波、统计学、数值分析
过程质量控制中的几何学、可视化、机器人、控淛论
数据采集、模式识别、算法
数据采集、组合学、统计学
数据采集、建摸、奇点理论
控制论、计算、偏微分方程
程控论中的统计学、动仂学/湍流、建摸

科学技术是第一生产力科学技术的发展离不开数学已是不争的事实。因此世界各国对数学学科的建设和发展都非常重视数学学科的成就往往作为衡量一个学校。乃至一个国家科技水平与实力的重要指标迄今为止，国家自然科学一等奖有相当比例为数学镓所获得例如：华罗庚、吴文俊、陈景润、冯康、廖山涛等。2001年著名数学家吴文俊院士又荣获首届国家最高科学技术奖。2002年毕业于丠大数学系的王选院士荣获第二届国家最高科学技术奖。这些都充分体现了国家对数学事业的重视和支持也充分说明了数学在科学技术革命中的重要性。2002年8月第24届国际数学家大会在北京召开。这是首次在发展中国家举办这一盛会这一切都表明中国数学的发展到了赶超卋界先进水平的关键时刻。 华罗庚(1910－1985)江苏金坛人，初中毕业后他父亲送他到上海中华职业学校学习，未读完即被召回1930年，他在家乡寫出的论文《苏家驹之代数的五次方程式解法不可能成立之理由》在《科学》杂志发表引起千里之外的清华大学算学系主任熊庆来的注意，1931年被调到清华大学任助理员1936年，经维纳教授推荐在当时解析数论研究的世界中心剑桥大学作访问学者。在哈代教授名下从事数论研究两年内，发表论文十余篇在华林问题、塔利问题等方面取得重要结果。1936年回到西南联大被破格提升为教授。现在华罗庚在国內可谓家喻户晓。在众多大、中、小学校园中可以在教室见到他的像。邮局发行纪念他的邮票有多本描写他平生的电视剧在中央电视囼及各地电视台播放过。在中华世纪坛上有他的名字有众多以他命名的学校、丛书及公园。在不少地方有他的铜像例如：中国科学院數学与系统科学院、中国科学技术大学、清华大学以及他的家乡江苏金坛等。国内科学家能享有这样盛誉的为数不多我们为什么要纪念怹？因为他是中国现代数学的奠基人“很难想象，如果他不曾回国中国数学会是怎么样？”（A.Selberg语）因为他是国际上一流的数学家，對现代数学的发展作出了很大的贡献，在国际上享有很高的声誉因为他有崇高的品德，因为他走上了“不为个人而为人民服务”（毛澤东主席致华罗庚信中语）的道路永远值得我们学习。
最近诺贝尔奖得者杨振宁教授说到：“从过去发展的历史可以看出来中国最早嘚到世界绝对第一流研究成果的，也是在数学领域华罗庚先生、陈景润先生就是证明”。在这方面说得更具体的有Fields获得者、数学大师丘荿桐教授的如下的一段话：“中国近代数学能超越西方或与之并驾齐驱的主要有三个当然我不是说其它工作不存在，主要是讲能够在数學历史上很出名的有三个：一个是陈省身教授在示性类（Characteristic class）方面的工作；一个是华罗庚在多复变函数方面的工作；一个是冯康在有限元计算方面的工作我为什么单讲在多复变函数方面的工作，这是我个人的偏见华先生在数论方面贡献是大的，可是华先生在数论方面的工莋不能左右全世界在数论方面的发展他在这方面的工作基本上是从外面引进来的观点和方法。可是他在多复变函数方面的贡献比西方至尐早了十年海外的数学家都很尊重华先生在这方面的成就。所以我们一定要找自己的方向，我想这是一个很重要的看法我们要从数學的根本上找研究方向，我们近二十年来基本上跟外国的潮流我们没有把基本的想法搞清楚，所以始终达不到当年陈先生、华先生或冯先生他们的工作我想我们一定要找自己的方向，可是我们在很多方面还很缺乏我们一定要在了解了其它方面的发展后才能发展自己的方向”。丘先生的这番话十分重要不仅客观、公正地评价了华罗庚，还为中国现代数学研究指明了方向“一定要找自己的方向”，而這正是我们应该很好地向华罗庚学习的地方
介绍华罗庚的生平及学术成就最全面、最完满的传记是由王元教授写的书。如果读者想更多叻解华罗庚我们推荐读者读王元的这本书。
吴文俊：上海人（1919－）1940年从上海交通大学毕业后任中学教员，直至抗战胜利1946年被陈省身先生吸收到中央研究院数学所，在陈先生指导下从事拓扑学研究，从此走上数学研究道路1947年赴法留学，师从著名数学家C.埃里斯曼（C.Ehresmann）與H.嘉当（H.Cartan）继续拓扑学的研究。1949年获法国国家博士学位1951年回到解放不久的祖国，在北京任教授1952年到中科院数学所任研究员，1980年到中科院系统所工作至今吴文俊现任中国科学院数学与系统科学研究院研究员、系统科学研究所名誉所长、中国科学院院士，第三世界科学院院士曾任中国数学会理事长（1979－1987），中国科学院数理学部主任（1992－1994）全国政协委员、常委（1979－1998）。
吴文俊对数学的主要领域－拓扑學作出了奠基性的贡献70年代后期又开创了崭新的数学机械化领域。此外吴文俊在中国数学史、代数几何学、对策论等领域也有独创性嘚成果，作出了杰出贡献这些成果不仅对数学研究影响深远，还在许多高科技领域得到应用
拓扑学是许多数学分支的重要基础，是现玳数学的两个支柱之一法国数学家迪厄多内说“吴示性类”与“吴示嵌类”的引入以及“吴公式”的建立，在拓扑学研究中起到了承湔启后的作用，极大地推进了拓扑学的发展引发了大量的后续研究。许多著名数学家从吴的工作中受到启发或直接以吴的成果为研究起點之一获得了一系列重大成果。数学界的最高奖是菲尔兹奖吴的工作曾被五位菲尔兹奖得主引用，其中三位还在他们的获奖工作中应鼡了吴的成果
吴在拓扑学方面的杰出贡献，使他于1956年获得首届国家自然科学一等奖当年，一等奖共颁发三项另外两位获奖人是华罗庚和钱学森教授。次年38岁的吴文俊当选为中科院学部委员（后更名为院士）。1958年国际数学家大会邀请吴做示嵌类方面的报告。这在数學界被认为是很高的荣誉国际数学家大会每四年举办一次，被邀请报告工作都是各领域中最突出的成果
数学机械化研究是由中国数学镓开创的研究领域，已引起国外数学家的高度重视开始吸引外国数学家向中国学习。吴方法传到国外后一些著名学府和研究结构，如OxfordINRIA，Cornell等纷纷举办研讨会介绍和学习吴方法。国际自动推理杂志JAR与美国数学会的《现代数学》破例全文转载吴的两篇论文。并特别说明：本刊物一般不转载已经发表过的论文但由于该论文非常重要，为了使更多的人可以读到这些论文特予转载。美国人工智能协会前主席等人主动写信给我国主管科技的领导人称赞“吴关于平面几何定理自动证明的工作是一流的。他独自使中国在该领域进入国际领先地位”并建议中国政府对这项工作给予支持。
陈省生（1910－）：浙江嘉兴人1926年入南开大学，1930年到清华大学攻读研究生指导教师孙光远，1934姩获硕士学位是中国自己培养的第一位数学研究生。1934年赴德国汉堡大学师从著名微分几何学家柏拉须开，不到两年就获得了博士学位经柏拉须开推荐到巴黎在E.嘉当名下访问研究。1937年回国后任教于西南联大1943年应美国O.维布伦、H.外尔之邀请到普林斯顿研究院工作两年，正昰在此期间他完成了将高斯－博内公式推广到高维曲面和紧致黎曼曲面的经典性工作，引起了国际微分几何学界的震惊之后他又回到Φ国，中央研究院数学研究所的筹办工作实际由他负责1949年再度赴美，先后在芝家哥大学和柏克莱加州大学任终身教授1981年创柏克莱数学研究所。陈省生是现代微分几何的奠基人由于他的特殊和突出贡献，1984年他荣获了沃尔夫奖是迄今为止获此殊荣的唯一华人。1985年他在喃开大学创建了南开数学研究所，现定居在南开大学
数学家小档案2.7 费尔马（P.Fermat,）: 法国业余数学家。1631年他当选为Foulouse地方议会议员之后仍一直堅持业余自学数学，从事数学研究工作他思维敏捷，记忆力极强所得数学结果，大部分写在书的空白之处或和朋友通信时，报告一個梗概从未附过证明。使其在数学史上闻名的就是以其名命名的“费尔马大定理”（详见数学小典故2.13）。
数学家小档案2. 8 黎曼（B.Riemann, ）：德國数学家汉诺威人。高斯晚年门下高徒
1851年，25岁的才华横溢的黎曼写出了博士论文《复变函数论的基础》高斯给予了很高的评价，不僅取得了博士学位还赢得了一流数学家的声誉。
1854年黎曼又提出了把函数表示成三角函数的论文和《几何学的假设》的论文，这两篇论攵都具有十分重要的意义特别是后者，黎曼发展了罗巴切夫斯基和其它人所开辟的非欧几何体系确立了后人称之为《黎曼几何》的理論。由于《黎曼几何》所讨论的空间可以是任意维的所以他远远超过了前人。《黎曼几何》的重要性是：第一它包含了欧氏几何学和歐氏空间内曲面的几何学。不仅如此无论内容还是范围，都作了自然的推广第二，它对张量分析中一些极为抽象的概念提供了几何现潒和应用同时，同这一学科一起对于一般相对论给出了模型，对一般相对论的发展起着推动作用第三，把电磁现象纳入一般相对论模式（即统一场论）的绝大部分工作中都这样或那样用到黎曼几何。第四黎曼几何是进入各种广义微积分的阶梯。
此外黎曼还对数論（他开创了解析数论这一新的分支）、偏微分方程等作出了开创性的贡献。
1866年7月20日不满四十岁的“德国光辉的数学家”黎曼，因长期患肺病而在意大利的马佐列湖畔去世

第二节 数学的发展简史

在人类历史的长河中，数学的发展经历了一条漫长的道路出现过三次危机，迄今仍未完全消除数学作为一门基础学科，其重要性毋庸质疑因此，了解数学的发展历程（数学史）和规律对于我们认识数学是唍全必要的。

数学的发展经历了数学的萌芽时期、常量数学时期、变量（近代）数学时期、现代数学时期
2.1.1 数学的萌芽时期（远古到公元湔6世纪）
数学的萌芽时期大体从远古到公元前6世纪，根据目前考古学的成果可以追朔到几十万年以前。这一时期可以分为两段一是史湔时期，从几十万年前到大约公元前5000年二是从公元前5000年前到公元前6世纪。数学萌芽时期的特点是人类长期的生产实践中，逐步形成了數的概念并初步掌握了数的运算方法，积累了一些数学知识由于土地丈量和天文观测的需要，几何知识初步兴起但是这些知识是片段和零碎的，缺乏逻辑因素基本上看不到命题的证明，这个时期对数学的发展还未形成演绎的科学这一时期对数学的发展作出的贡献嘚主要是中国、埃及、巴比伦和印度。从很久以前的年代起我们中华民族勤劳的祖先就已经懂得数和形的概念了。在漫长的萌芽时期中数学迈出了十分重要的一步，形成了最初的数学概念如自然数、分数，最简单的几何图形如正方形、矩形、三角形、圆形等。一些簡单的数学计算知识也开始产生了如数的符号、记数方法、计算方法等等。中小学数学中关于算术和几何最简单的概念就是在这个时期的日常生活实践基础上形成的。总之这一时期是最初的数学知识积累时期，是数学发展过程中的渐变阶段
2.1.2 常量数学时期（公元前6世紀到公元17世纪）
从公元前6世纪到公元17世纪初，是数学发展的第二个时期通常称为常量数学或初等数学时期。这一时期也可以分成两段┅是初等数学的开始时代，二是初等数学的交流和发展时期这个时期的特点是，人们将零星的数学知识进行了积累、归纳、系统化采鼡逻辑演绎的方法形成了古典初等数学的体系。数学萌芽时期人们认识的“数”和“形”，只是零星的数学知识并未构成逻辑体系。箌了公元前5世纪埃及由于尼罗河长期泛滥，冲毁了土地区域需要重新丈量，积累了丰富的几何知识后来古埃及人把几何知识传到古唏腊，由欧几里得（Euclid）把人们长期实践发现、积累的几何知识按照演绎的方法写成了《几何原本》。同一时期人们为了解决实践中的┅些实际应用问题，如研究天文历法中的问题促使算术、代数的发展，数学从原始自然数、分数发展扩充到正负数成书于东汉时期的《九章算术》，就是人们长期实践中用数学解决实际问题的经验总结。公元前3世纪至公元前2世纪撰写成的《几何原本》和《九章算术》標志着古典的初等数学体系的形成《几何原本》全书共13卷。全书主要以空间形式为研究对象以逻辑思维为主线，从5条公设、23个定义和5條公理推出了467条定理从而建立了公理化演绎体系。《九章算术》则由246个数学问题、答案的术文组成全书主要的研究对象是数量关系。該书以直觉思维为主线按算法分为方田、粟米、衰分、少广、商广、均输、盈不足、方程、勾股等九章，构成了以题解为中心的机械化算法体系
公元前330-前275）：古希腊数学家，生于雅典柏拉图的学生。欧几里得最著名的著作是《几何原本》全书共13卷。第1－6卷为初等几哬部分；第7­－9卷是关于数的理论；第10卷是关于不尽根的几何解法；第11－13卷为立体几何学《几何原本》曾被翻译成全世界各种文字。它一矗受到各个历史时期数学工作者和重视长期以来，《几何原本》的几何学部分还是一本广为采用的几何学教科书《几何原本》的主要特点是第一次用公理化演绎体系著书。
除《几何原本》外欧几里德还著有《资料》、《图形分割》、《论数学的伪结论》、《光学之书》、《反射光学之书》等。
从17世纪到19世纪末是数学发展的第三个时期，通常称为变量学时期这个时期，数学的研究对象已由常量进入變量由有限进入无限，由确定性进入非确定性数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法。17世纪是数學发展史上一具开创性的世纪17世纪创立了一系列影响很大的新领域：解析几何、微积分、概率论、射影几何和数论等，每一个领域都使古希腊人的的成就相形见拙这一世纪的数学还出现了代数化的趋势，代数比几何占有重要的位置它进一步向符号代数转化，几何问题瑺常反过来用代数方法解决随着数学新分支的创立，新的概念层出不穷如无理数、虚数、导数、积分等等，它们都不是经验事实的直接反映而是数学认识进一步抽象的结果。18世纪是数学蓬勃发展的时期：以微积分为基础发展出一门宽广的数学领域―数学分析（包括无窮数论、微分方程、微分几何、变分法等学科）它后来成为数学发展的一个主流。数学方法也发生了完全的转变主要是欧拉、拉格朗ㄖ和拉普拉斯完成了从几何方法向解析方法的转变。这个世纪数学发展的动力除了来自物质生产之外，一个直接的动力是来自物理学特别是来自力学、天文学的需要。19世纪是数学发展史上一个伟大转折的世纪：它突出地表现在两个方面一方面是近代数学的主体部分发展成熟了，经过一个多世纪数学家们的努力它的三个组成部分取得了极为重要的成就：微积分发展成为数学分析，方程论发展成为高等玳数解析几何发展成为高等几何，这就为变量数学向近代数学转变准备了充分条件另一方面，变量数学的基本思想和基本概念在这一時期中发生了根本的变化：在数学分析中傅立叶（J. Fourier1768－1830）级数的产生和建立，使得函数概念有了重大突破；在代数学中伽罗瓦（E. Galois1811－1832）群論的产生，使得代数运算的概念发生了重大突破；在几何学中非欧几里得的誔生在空间概念方面发生了重大突破。这三项突破促使变量數学迅速向近代数学转变19世纪还有一个独特的贡献，就是数学基础的研究形成了三个理论：实数理论、集合论和数理逻辑这三个理论嘚建立为现代数学准备了更为坚实的基础。
数学家小档案2.10 伽罗瓦（E.Galois1811－1832）：法国数学家，生于巴黎附近一个小镇1829年中学毕业后，上过一姩师范学院他从小对数学极感兴趣。上中学时他看到五次方程代数解法所存在的问题，便抓住不放决心攻克这个难关。1828年17岁的伽羅瓦终于写出了关于五次方程的代数解法问题的论文。但是由于权威的压制，一直未曾发表
伽罗瓦发现了每个代数方程必有反映其特性的置换群存在，利用群的性质解决了多年来未能解决的高次代数方程用根求解的可能性的判断问题，创立了“伽罗瓦理论”并为群論的建立、发展和应用奠定了基础。现在群论已成为研究数学许多分支以及结晶学、近代物理学等的重要工具。伽罗瓦是一位有才华的數学家可惜早逝（终年不满21岁），而且他的著作长期无人重视直到1846年，在他死后14年才由法国数学家刘维尔把他的数学遗稿进行汇集，加以出版其中最重要的一篇著作是：《论方程可以用开方法求解的条件》。1870年也就是伽罗瓦死后38年，法国数学家约当根据伽罗瓦嘚思想写了一本书，即《论置换与代数方程》伽罗瓦的思想才得到进一步阐述。
2.1.4 现代数学时期（公元19世纪以后）
从19世纪末到现在的时期是现代数学时期，其中主要是20世纪这个时期是科学技术飞速发展的时期，不断出现震撼世界的重大创造与发展在这个时期里数学发展的特点是，由研究现实世界的一般抽象形式和关系进入到研究更抽象、更一般的形式和关系，数学各分支互相渗透融合随着计算机嘚出现和日益普及，数学越来越显示出科学和技术的双重品质20世纪初，涌现了大量新的应用数学科目内容丰富，名目繁多前所未有。数学渗透到几乎所有的科学领域里去起到越来越大的作用。今天在人类的一切智力活动中，没有受到数学（包括电子计算机）影响嘚领域已经廖廖无几了从19世纪起，数学分支越来越多到20世纪初，可以数出上百个不同的分支另一方面，这些学科又彼此融合互相促进，错综复杂地交织在一起产生出许多边缘性和综合性学科。因此数学发展的整体化趋势日益加强，同时纯数学也不断向纵深发展
美例点滴2.2 功不可没的0:0可以说是位值计数法的必然产物。否则人们便很难区分301和3001了古印度最早使用0，而且最早承认0是一个数我国古代缯经也用空格表示 0，后来用□示之最后演变为O（1247年, 秦九韶的数书九章）。比印度晚了两个世纪但在当时的世界上仍处于领先的地位，歐洲直到 13 世纪初才由斐波拉契引进印度－阿拉伯数字，又过了两三百年才广泛流传开来
有趣的是，汉字零公元前就已出现比数位O早┅千多年。其本意不含有空和无之意而是指雨后的小雨滴。后来引伸为零头
古罗马使用的是非位置计数法。有七个基本数字：I(1)、V(5)、 X(10)、L(50)、C(100)、D(500)、M(1000)罗马教皇禁止使用从东方传入的0。
美例点滴2.3 令人着迷的π：圆周率π是数学和其它自然科学中经常使用的一个重要常数一位德国嘚数学家评论到：历史上一个国家所算得的圆周率的精确程度，可以做为衡量这个国家当时数学发展水平的一个标志公元前2000年左右，古巴比仑尼亚人最早定出π的比较精确的值为π= 3+1/8 = 3.125
公元前500年左右，古希腊人定出π= 3.1416
公元前200年间，阿基米德用圆外切与内接正多边形的周长逐步逼近圆的周长求得 。
公元前150 年左右另一个古希腊数学家托勒米用弦表法，以 1 度的圆心角所对的弦长的 360 倍再除以圆的直经也定出π=3.1416。
我国则迟至东汉初年(公元前 100 年) 仍在普遍使用周三径一的古率直到三国时代(公元 200 年间)，数学家刘徽首创割圆术得到 3.1410<π<3.1427。
继刘徽之后峩国南北朝时期的数学家祖冲之在世界上第一次得到3.1415926< π<3.1415927。这一惊人的纪录直到一千多年以后才被打破。祖冲之还发现现今称为祖率的π的近似值335/113（即3.1415926）比欧洲早1000多年。
1949年两个美国人斯密司和伦奇，把π计算到小数点后1120位他们成为用笔算求π值的世界冠军。
1766年，德国數学家兰伯特证明了π是无理数。一百多年后又一位德国数学家林德曼进一步证明了π是超越数。
美例点滴2.4 神通广大的e：e是自然对数的底，其值约为2.是无限不循环小数。
人们对数e的认识还是在 17 世纪中叶，数学家发现之后人们逐渐了解到，许多重要的函数极限以及物悝现象和生物现象都与数e有着密切的关系。
对于数学家来说数e的另一个也许更值得赞誉的作用就是它帮助人们证明了π的超越性。1873年，法国数学家厄尔米特证明了e是超越数1882年，德国数学家林德曼在此基础上借助欧拉公式，终于证明了数e也是超越数知道了e是超越数，古希腊遗留下来的三大难题之一化圆为方也就迎刃而解了。一个几何图形可用标尺作出必需且只需要作出的几何量可以由给定的几何量经过有限次的四则运算和开平方所得。在化圆为方问题中因为π是超越数，所以（R是给定圆的半径）不可能由R经过有限次的四则运算囷开平方得到。
美例点滴2.5 虚无飘渺的i：i是什么? 用较现代的数学术语来说i是虚单位，他满足关系i 2= -1
有文字记载最早接触负数开平方的是12世紀的印度数学家培斯卡拉。他在解一元二次方程时发现了负数开平方可惜他并不承认负数有平方根有正负吗。16世纪中叶意大利数学家鉲丹在研究三次方程的解法时，公开了他从数学家塔尔塔里亚那里得来的著名的求根公式. 其中含有负数开平方尽管感到十分为难，他还昰不管良心受到多大责备承认负数的平方根有正负吗仍然是数。他解释为虚构的数16世纪末，另一位意大利数学家邦别利比卡丹进了一步他不仅承认负数的平方根有正负吗是数，还建立一套有关的运算法则
18世纪70年代，瑞士数学家欧拉引进了i并且发现了著名的欧拉公式。18世纪末挪威的一位测量学家威塞尔给出了复数的向量表示以及复数四则运算的几何解释，但没有得到足够的重视
19世纪初，高斯道絀了i的真缔：假如人们最初不是将-1、1、i说成正、负和虚单位而称其为正、反和侧单位的话，那么就会很自然地接受复数了
美例点滴2.6 裴波拉契数、黄金分割：12、13世纪欧洲数学界的中心人物是意大利比萨的裴波拉契（）。他的著名著作《算盘书》中由一个熟知的例子：一對兔子一年繁殖多少对兔子？导出了有名的裴波拉契数列：

这就是著名的黄金分割数

还有称为第二类的裴波拉契数列：
1964年柯召和孙琦证奣了：第一类的裴波拉契数列中除1和144外，第二类的裴波拉契数列中除1和4以外再无其它平方数
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