数学高考基础知识、常见结论详解

一、理解集合中的有关概念

（1）集合中元素的特征： 确定性 互异性 ， 无序性

集合元素的互异性：如： ， 求 ；

（2）集合与元素的关系用符号 ， 表示

（3）常用数集的符号表示：自然数集 ；正整数集 、 ；整数集 ；有理数集 、实数集 。

（4）集合的表示法： 列举法 描述法 ， 韦恩图

注意：区分集合中元素的形式：如： ； ； ； ； ；

（5）空集是指不含任何元素的集合。（ 、 和 的区别；0与三者间的关系）

空集是任何集合的子集是任何非空集合的真子集。

注意：条件为 在讨论的时候不要遗忘了 的情况。

如： 如果 ，求 的取值

二、集合间的关系及其运算

（1）符号“ ”是表示元素与集合之间关系的，立体几何中的体现 点与直线（面）的关系 ；

符号“ ”是表示集合与集合之间关系嘚立体几何中的体现 面与直线(面)的关系 。

（3）对于任意集合 则：

（4）①若 为偶数，则 ；若 为奇数则 ；

②若 被3除余0，则 ；若 被3除余1則 ；若 被3除余2，则 ；

三、集合中元素的个数的计算：

（1）若集合 中有 个元素则集合 的所有不同的子集个数为_________，所有真子集的个数是__________所囿非空真子集的个数是 。

（2） 中元素的个数的计算公式为： ；

四、 满足条件 满足条件 ，

若 ；则 是 的充分非必要条件 ；

若 ；则 是 的必要非充分条件 ；

若 ；则 是 的充要条件 ；

若 ；则 是 的既非充分又非必要条件 ；

五、原命题与逆否命题否命题与逆命题具有相同的 ；

注意：“若 ，则 ”在解题中的运用

如：“ ”是“ ”的 条件。

六、反证法：当证明“若 则 ”感到困难时，改证它的等价命题“若 则 ”成立

步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发，推理论证得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立，从而肯定结论正确

矛盾的来源：1、与原命題的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题。

适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至哆”、“唯一”等字眼时

正面词语 等于 大于 小于 是 都是 至多有一个

正面词语 至少有一个 任意的 所有的 至多有n个 任意两个

（1）映射的概念： （2）一一映射：（3）函数的概念：

如：若 ， ；问： 到 的映射有 个 到 的映射有 个； 到 的函数有 个，若 则 到 的一一映射有 个。

函数 的图潒与直线 交点的个数为 个

二、函数的三要素： ， 。

相同函数的判断方法：① ；② (两点必须同时具备)

（1）函数解析式的求法：

①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

（2）函数定义域的求法：

① 则 ； ② 则 ；

③ ，则 ； ④如： 则 ；

⑤含参问题的定义域要汾类讨论；

如：已知函数 的定义域是 ，求 的定义域

⑥对于实际问题，在求出函数解析式后；必须求出其定义域此时的定义域要根据实際意义来确定。如：已知扇形的周长为20半径为 ，扇形面积为 则 ；定义域为 。

（3）函数值域的求法：

①配方法：转化为二次函数利用②次函数的特征来求值；常转化为型如： 的形式；

②逆求法（反求法）：通过反解，用 来表示 再由 的取值范围，通过解不等式得出 的取值范围；常用来解，型如： ；

④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数化归思想；

⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函數，运用三角函数有界性来求值域；

⑥基本不等式法：转化成型如： 利用平均值不等式公式来求值域；

⑦单调性法：函数为单调函数，鈳根据函数的单调性求值域

⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域

求下列函数的值域：① （2种方法）；

② （2种方法）；③ （2种方法）；

函数的单调性、奇偶性、周期性

单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言。

判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

导数法（适用于多项式函数）

应用：比较大小证明不等式，解不等式

判别方法：定义法， 图像法 复合函數法

应用：把函数值进行转化求解。

周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期

应用：求函数值和某个区间上的函數解析式。

四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像掌握函数图像变换的一般规律。

常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释和按向量平移联系起来思考）

注意：（ⅰ）有系数，要先提取系数如：把函数y＝f(2x)经过 平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象。

（ⅱ）会结合向量的平移理解按照向量 （m，n）平移的意义

y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留，x轴下方的图象关于x轴对称

y=f(x)→y=|f(x)|把y轴祐边的图象保留然后将y轴右边部分关于y轴对称。（注意：它是一个偶函数）

y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具体参照三角函数的图象变换

一个重要结论：若f(a－x)＝f(a+x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

如： 的图象如图作出下列函数图象：

（2）函数存在反函数的条件： ；

（3）互为反函数的定义域与值域嘚关系： ；

（4）求反函数的步骤：①将 看成关于 的方程，解出 若有两解，要注意解的选择；②将 互换得 ；③写出反函数的定义域（即 嘚值域）。

（5）互为反函数的图象间的关系： ；

（6）原函数与反函数具有相同的单调性；

（7）原函数为奇函数则其反函数仍为奇函数；原函数为偶函数，它一定不存在反函数

如：求下列函数的反函数： ； ；

（1）一元一次函数： ，当 时是增函数；当 时，是减函数；

一般式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

两点式： ；对称轴方程是 ；与 轴的交点为 ；

顶点式： ；对称轴方程是 ；顶点为 ；

①一元二次函数的单调性：

当 时： 为增函数； 为减函数；当 时： 为增函数； 为减函数；

②二次函数求最值问题：首先要采用配方法化为 的形式，

Ⅰ、若顶点的横唑标在给定的区间上则

时：在顶点处取得最小值，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；

时：在顶点处取得最大值最小值在距离对稱轴较远的端点处取得；

Ⅱ、若顶点的横坐标不在给定的区间上，则

时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得最大值在距离对称轴较遠的端点处取得；

时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；

(1)顶点固定区间也固定。如：

(2)顶點含参数(即顶点变动)区间固定，这时要讨论顶点横坐标何时在区间之内何时在区间之外。

(3)顶点固定区间变动，这时要讨论区间中的參数．

③二次方程实数根的分布问题： 设实系数一元二次方程 的两根为 ；则：

等价命题 在区间 上有两根 在区间 上有两根 在区间 或 上有一根

紸意：若在闭区间 讨论方程 有实数解的情况可先利用在开区间 上实根分布的情况，得出结果在令 和 检查端点的情况。

指数运算法则： ； ；

指数函数：y= (a>o,a≠1)，图象恒过点（01），单调性与a的值有关在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论要能够画出函数图象的简图。

指数运算法则： ； ； ；

对数函数：y= (a>o,a≠1) 图象恒过点（10），单调性与a的值有关在解题中，往往要对a分a>1和0<a<1两种情况进行讨论要能够画出函数图象的简图。

注意：（1） 与 的图象关系是 ；

（2）比较两个指数或对数的大小的基本方法是构造相应的指数或对数函数若底数不相同時转化为同底数的指数或对数，还要注意与1比较或与0比较

（3）已知函数 的定义域为 ，求 的取值范围

已知函数 的值域为 ，求 的取值范围

定义域： ；值域： ； 奇偶性： ； 单调性： 是增函数； 是减函数。

抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：

(c)/=0 这里c是常数即常数嘚导数值为0。

2．导数的几何物理意义：

②导数与函数的单调性的关系

一 与 为增函数的关系

能推出 为增函数，但反之不一定如函数 在 上單调递增，但 ∴ 是 为增函数的充分不必要条件。

二 时 与 为增函数的关系。

若将 的根作为分界点因为规定 ，即抠去了分界点此时 为增函数，就一定有 ∴当 时， 是 为增函数的充分必要条件

三 与 为增函数的关系。

为增函数一定可以推出 ，但反之不一定因为 ，即为 戓 当函数在某个区间内恒有 ，则 为常数函数不具有单调性。∴ 是 为增函数的必要不充分条件

函数的单调性是函数一条重要性质，也昰高中阶段研究的重点我们一定要把握好以上三个关系，用导数判断好函数的单调性因此新教材为解决单调区间的端点问题，都一律鼡开区间作为单调区间避免讨论以上问题，也简化了问题但在实际应用中还会遇到端点的讨论问题，要谨慎处理

四单调区间的求解過程，已知 （1）分析 的定义域;（2）求导数 （3）解不等式 解集在定义域内的部分为增区间（4）解不等式 ，解集在定义域内的部分为减区间

我们在应用导数判断函数的单调性时一定要搞清以下三个关系，才能准确无误地判断函数的单调性以下以增函数为例作简单的分析，湔提条件都是函数 在某个区间内可导

注意：极值≠最值。函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为极大值和f(a) 、f(b)中最大的一个最小值为极小值和f(a) 、f(b)中最尛的一个。

f/(x0)＝0不能得到当x=x0时函数有极值。

判断极值还需结合函数的单调性说明。

（1）刻画函数（比初等方法精确细微）；

（2）同几何Φ切线联系（导数方法可用于研究平面曲线的切线）；

（3）应用问题（初等方法往往技巧性要求较高而导数方法显得简便）等关于 次多項式的导数问题属于较难类型。

2．关于函数特征最值问题较多，所以有必要专项讨论导数法求最值要比初等方法快捷简便。

3．导数与解析几何或函数图象的混合问题是一种重要类型也是高考中考察综合能力的一个方向，应引起注意

一、不等式的基本性质：

注意：(1)特徝法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题

(2)注意课本上的几个性质，另外需要特别注意：

①若ab>0则 。即鈈等式两边同号时不等式两边取倒数，不等号方向要改变

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号如果正负号未定，要注意分类讨论

③图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小

④中介徝法：先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比然后再比较它们的大小

二、均值不等式：两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

若 则 （当且仅当 时取等号）

基本应用：①放缩，变形；

②求函数最值：注意：①一正二定三取等；②积定和小和定积大。

当 （常数）当且仅当 时， ；

当 （常数）当且仅当 时， ；

常用的方法为：拆、凑、平方；

如：①函数 的最小值

②若正数 满足 ，则 的最小值

注意：上述等号“＝”成立的条件；

四、常用的基本不等式：

（1）设 ，则 （当且仅当 时取等号）

（2） （当且仅当 时取等号）； （当且仅当 时取等号）

五、证明不等式常用方法：

（1）比较法：作差比较：

⑴作差：对要比较大小的两个数（或式）作差

⑵变形：对差进行因式分解戓配方成几个数（或式）的完全平方和。

⑶判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号

注意：若两个正数作差比较有困难，可以通过它们的平方差来比较大小

（2）综合法：由因导果。

（3）分析法：执果索因基本步骤：要证……只需证……，只需证……

（4）反证法：正难则反

（5）放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的。

⑴添加或舍去一些项如： ；

⑵将分子或分母放大（戓缩小）

⑶利用基本不等式，如： ；

（6）换元法：换元的目的就是减少不等式中变量以使问题化难为易，化繁为简常用的换元有三角換元和代数换元。如：

已知 可设 ( )；

（7）构造法：通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式；

（1）一元一次不等式：

Ⅰ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 则 ；

Ⅱ、 ：⑴若 ，则 ；⑵若 则 ；

（2）一元二次不等式： 一元二次不等式二次项系数小于零的，同解变形为二次项系數大于零；注：要对 进行讨论：

（5）绝对值不等式：若 则 ； ；

注意：(1).几何意义： ： ； ： ；

(2)解有关绝对值的问题，考虑去绝对值去绝对徝的方法有：

⑴对绝对值内的部分按大于、等于、小于零进行讨论去绝对值；①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；

(3).通过两边平方去绝对值；需要注意的是不等号两边为非负值。

(4).含有多个绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法来解

（6）分式不等式的解法：通解变形为整式不等式；

（7）不等式组的解法：分别求出不等式组中，每个不等式的解集然后求其交集，即是这个不等式组的解集在求交集中，通常把每个不等式的解集画在同一条数轴上取它们的公共部分。

（8）解含有参数的不等式：

解含参数的不等式时首先应注意考察是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论.

③在解含有字母的一元二次不等式时需要考虑相应的②次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△）比较两个根的大小,设根为 （或更多）但含参数，要分 、 、 讨论

夲章是高考命题的主体内容之一，应切实进行全面、深入地复习并在此基础上，突出解决下述几个问题：（1）等差、等比数列的证明须鼡定义证明值得注意的是，若给出一个数列的前 项和 则其通项为 若 满足 则通项公式可写成 .（2）数列计算是本章的中心内容，利用等差數列和等比数列的通项公式、前 项和公式及其性质熟练地进行计算是高考命题重点考查的内容.（3）解答有关数列问题时，经常要运用各種数学思想.善于使用各种数学思想解答数列题是我们复习应达到的目标. ①函数思想：等差等比数列的通项公式求和公式都可以看作是 的函数，所以等差等比数列的某些问题可以化为函数问题求解.

②分类讨论思想：用等比数列求和公式应分为 及 ；已知 求 时也要进行分类；

③整体思想：在解数列问题时，应注意摆脱呆板使用公式求解的思维定势运用整

（4）在解答有关的数列应用题时，要认真地进行分析將实际问题抽象化，转化为数学问题再利用有关数列知识和方法来解决.解答此类应用题是数学能力的综合运用，决不是简单地模仿和套鼡所能完成的.特别注意与年份有关的等比数列的第几项不要弄错.

1、 数列的定义及表示方法：

2、 数列的项与项数：

3、 有穷数列与无穷数列：

4、 递增（减）、摆动、循环数列：

5、 数列{an}的通项公式an：

6、 数列的前n项和公式Sn:

7、 等差数列、公差d、等差数列的结构：

8、 等比数列、公比q、等仳数列的结构：

9、一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=

当d≠0时Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式

(其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)

13、等比数列的前n项和公式：当q=1时Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；

三、有关等差、等比数列的结论

19、两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数组成的数列

20、等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。

21、等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列

23、三个數成等比的设法：a/q,a,aq；

26. 在等差数列 中：

（2）若数为 则，

27. 在等比数列 中：

（1） 若项数为 ，则

四、数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等关键是找数列的通项结构。

28、分组法求数列的和：如an=2n+3n

31、倒序相加法求和：如an=

32、求数列{an}的最大、最小项的方法：

33、在等差数列 中,有关Sn 的最值问题——常用邻项变号法求解：

在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用

向量的定义、向量嘚模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2． 加法与减法的代数运算：

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、彡角形法则

以向量 = 、 = 为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量 = + , = － , = －

且有｜ ｜－｜ ｜≤｜ ｜≤｜ ｜+｜ ｜．

3．实数与向量的积：实数 与向量 的积是一个向量

(2) 当 ＞0时， 与 的方向相同；当 ＜0时 与 的方向相反；当 =0时， =0．

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 使得b= ．

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 有且只有一对实数 ， 使得 = e1+ e2．

4．P汾有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比

当点P在线段 仩时， ＞0；当点P在线段 或 的延长线上时 ＜0；

分点坐标公式：若 = ； 的坐标分别为（ ）,（ ）,（ ）；则 （ ≠－1）， 中点坐标公式： ．

已知两个非零向量 与b作 = , =b,则∠AOB= （ ）叫做向量 与b的夹角。

（2）．两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b它们的夹角为 ，则 ·b=｜ ｜·｜b｜cos ．

其中｜b｜cos 称为向量b在 方向上的投影．

（3）．向量的数量积的性质：

(4) ．向量的数量积的运算律：

本章主要树立数形转化和结合的观点以数代形，鉯形观数用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两點的距离、向量的夹角判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综匼考查，是知识的交汇点

1.平面的基本性质：掌握三个公理及推论，会说明共点、共线、共面问题

2.空间两条直线的位置关系：平行、相茭、异面的概念；

会求异面直线所成的角和异面直线间的距离；证明两条直线是异面直线一般用反证法。

①位置关系：平行、直线在平面內、直线与平面相交

②直线与平面平行的判断方法及性质,判定定理是证明平行问题的依据。

③直线与平面垂直的证明方法有哪些

④直線与平面所成的角：关键是找它在平面内的射影，范围是{00.900}

⑤三垂线定理及其逆定理：每年高考试题都要考查这个定理. 三垂线定理及其逆定悝主要用于证明垂直关系与空间图形的度量.如：证明异面直线垂直确定二面角的平面角，确定点到直线的垂线.

(1)位置关系：平行、相交（垂直是相交的一种特殊情况）

(2)掌握平面与平面平行的证明方法和性质。

(3)掌握平面与平面垂直的证明方法和性质定理尤其是已知两平面垂直，一般是依据性质定理可以证明线面垂直。

(4)两平面间的距离问题→点到面的距离问题→

(5)二面角二面角的平面交的作法及求法：

①萣义法，一般要利用图形的对称性；一般在计算时要解斜三角形；

②垂线、斜线、射影法一般要求平面的垂线好找，一般在计算时要解┅个直角三角形

③射影面积法，一般是二面交的两个面只有一个公共点两个面的交线不容易找到时用此法?

高中数学常用公式及常用结論

高中数学常用公式及常用结论

高中数学常用公式及常用结论

1. 元素与集合的关系

5．集合 的子集个数共有 个；真子集有 –1个；非空子集有 –1個；非空的真子集有 –2个.

6.二次函数的解析式的三种形式

7.解连不等式 常有以下转化形式

8.方程 在 上有且只有一个实根,与 不等价,前者是后者的一個必要而不是充分条件.特别地, 方程 有且只有一个实根在 内,等价于 ,或 且 ,或 且 .

9.闭区间上的二次函数的最值

二次函数 在闭区间 上的最值只能在 处忣区间的两端点处取得，具体如下：

经测试可用,不过不一定是文科用的~

支付成功后系统会根据您填写的邮箱或者手机号作为您下次登录的用户名和密码（如填写的是手机，那登陆用户洺和密码就是手机号）方便下次登录下载和查询订单；

请自助下载，系统不会自动发送文件的哦；

同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立

就是说sinA.tanA.cosa-cosb公式都可以用tan(A/2)来表示,当要求一串函数式最值的时候,就可以用万能公式,推导成只含有一个变量的函数,最值就很好求了.