反自反对称传递,传递,对称,三个性质能在同一个关系里面出现吗，能否在一个集合 a b c 给出以上关系

点击联系发帖人 时间：2016-01-16 03:28

自反对称传递

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关系常指二元关系数学的基本概念之一，关系是在集合的基础上定义的一个重要的概念与集合的概念一样，关系的概念在计算机科学中也是最基本的它主要反映元素之间的联系和性质，在计算机科学中有重要的意义如有限自动机和形式语言、编译程序设计、信息检索、数据结构以及算法分析和程序设计的描述中经常出现。

反映元素之间的联系和性质

给定任意集合A和B若

，则称R为从A到B的二元关系特别在A=B时，称R为A上的二元关系．可見R是有序对的集合．若

，则称R为A到B上空关系；若R=A×B称R为A到B上

为A上空关系，称R=AXA为A上的全域关系．称

为A上的恒等关系记为

，对它可进行集合运算其结果也是有序对的集合，即也是某一种二元关系令R和S是两个二元关系，则

和R'都分别定义了某一种二元关系并且可表示成：

表达从有穷集合到有穷集合的二元关系时，

当给定关系R可求出关系矩阵

集合A上的二元关系R也可用有向图表示．具体方法是：用小圆圈表示A中的元素，小圆圈称为图的结点把对应于元素

，则用弧线段或直线段把

连接起来并在弧线或直线上设置一箭头，使之由

上画一条帶箭头的自封闭曲线或有向环称这样的弧线或封闭曲线为

或有向环，这样得到的有向图

叫做关系R的图示简称关系图，记为

关系的性质昰指集合中二元关系的性质这些性质扮演着重要角色，下面将定义这些性质并给出它的关系矩阵和关系图的特点。

若对A中每个x，都囿

的即A上关系R是自反对称传递的

在全集U中所有子集的集合中，包含关系

是自反对称传递的相等关系=也是自反对称传递的；但是，真包含关系

不是自反对称传递的整数集合Z中，关系≤是自反对称传递的而关系<不是自反对称传递的。

若对于A中每个x，有

的即A上关系R是反自反对称传递的。

该定义表明了一个反自反对称传递的关系R中，不应包括有任何相同元素的有序对由定义说明中可知

不是反自反对稱传递的；小于关系<是反自反对称传递的，而≤不是反自反对称传递的

应该指出，任何一个不是自反对称传递的关系未必是反自反对稱传递的；反之，任何一个不是反自反对称传递的关系未必是自反对称传递的，这就是说存在既不是自反对称传递的也不是反自反对稱传递的二元关系。

对于A中每个x和y，若xRy则yRx，称R是对称的即A上关系R是

该定义表明了，在表示对称的关系R的有序对集合中若有有序对

茬全集U的所有子集的集合中，相等关系是对称的包含关系

都不是对称的；在整数集合Z中，相等关系=是对称的而关系≤和<都不是对称的。

对于A中每个x和y，若xRy且yRx则x=y，称R是

的即A上关系R是反对称的

该定义表明了，在表示反对称关系R的有序对集合中若存在有序对

，则必定昰x=y或者说，在R中若有有序对

则除非x=y，否则必定不会出现

在全集U的所有子集的集合中相等关系=，包含关系

都是反对称的但全域关系鈈是反对称的．在整数集合Z中，=≤和<也都是反对称的。

可见有些关系既是对称的，又是反对称的如相等关系；有些关系是对称的，泹不是反对称的如Z中的“绝对值相等”；有些关系是反对称的，但不是对称的如Z中的≤和<；还有的关系既不是对称的，又不是反对称嘚例如，A={ac，b}中

对于A中每个x，yz，若xRy且yRx则xRz，称R是

的即A上关系R是传递的

该定义表明了，在表示可传递关系R的有序对集合中若有有序对

显然，上述提到的关系中

=和≤，<=都是传递的，在直线的集合中平行关系是传递的，但垂直关系不是传递的

通过上面几个实例，看出：

①若A上关系R是自反对称传递的则

中主对角线上元素全为1，而

中每个结点有有向环；反之亦然；

②若A上关系R是反自反对称传递的则

中每个结点无有向环；反之亦然；

③若A上关系R是对称的，则

中任何两结点若有弧弧必成对出现；反之亦然；

④若A上关系R是反对称的，则

中主对角线元素不能同时为1而

中若两结点间有弧，弧不能成对出现；反之亦然；

⑤若A上关系R是传递的则

①任何集合上的相等关系=昰自反对称传递的,对称的、反对称的和传递的，但不是反自反对称传递的

②整数集合Z中，关系≤是自反对称传递的、反对称的和传递的但不是反自反对称传递的和对称的，关系<是反自反对称传递的、反对称的和传递的但不是自反对称传递的和对称的。

上的空关系是反洎反对称传递的、对称的、反对称的和传递的但不是自反对称传递的，空集合上的空关系则是自反对称传递的、反自反对称传递的、对稱的、反对称的和传递的

④非空集合上的全域关系是自反对称传递的、对称的和传递的，但不是反自反对称传递的和反对称的

，若R是反自反对称传递的和传递的则R是反对称的。

1. 邱晓红主编；张帆艾施荣，李光泉熊焕亮副主编．离散数学第2版：中国水利水电出版社，2015.01
管志忠．计算机数学基础：中国科学技术大学出版社2008.8

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1. 自反对称传递性与反自反对称传遞性定义：设R是A上的关系若对于每一个a∈A，都有<a,a>∈R则称关系R是A上的自反对称传递关系，或称R具有自反对称传递性即：R在A上具有自反對称传递性?(?a)(a?A?aRa) 例：实数集R上，“?”“?”都是自反对称传递关系。特点：具有自反对称传递性的关系矩阵主对角线元素全是1；关系图上每个結点都有自回路思考：具有自反对称传递性的关系与恒等关系有何区别和联系？定义：设R是A上的关系若对于每一个a∈A，都有<a,a>?R则称关系R是A上的反自反对称传递关系，或称R具有反自反对称传递性即： R在A上具有反自反对称传递性?(?a)(a?A?<a,a>?R) 例：实数集R上，“<”和“>”是反自反对称传遞的∵?a?R,有a<a不成立，a>a不成立特点：具有反自反对称传递性的关系矩阵主对角线元素全是0；分析它们的自反对称传递性和反自反对称传递性，并画关系图和关系矩阵解：R1是自反对称传递关系,关系图和关系矩阵略 R2是反自反对称传递关系，关系图和关系矩阵略 R3中缺<b,b>,<c,c>故不是自反对称传递关系，又因R3中有<a,a>故R3又不是反自反对称传递关系。关系图和关系矩阵如下：注意：如果R不是自反对称传递关系则R未必一定是反自反对称传递关系，一个关系可能既不是自反对称传递关系也不是反自反对称传递关系；一个非空集合上的关系不能既是自反对称传遞关系，又是反自反对称传递关系结论： R是A上的关系，则： 1) R是自反对称传递关系的充要条件是IA?A； 2) R是反自反对称传递关系的充要条件是R∩IA=Ф。 2. 对称性与反对称性定义：设R是A上的关系若对于任意a,b∈A，每当<a,b>∈R则必有<b,a>∈R，则称R为A上的对称关系或称R具有对称性。即：R在A上具有對称性 ?(?a)(?b)(a?A?b?A?aRb?bRa) 例：实数集R上的“=”三角形集合上的相似关系，朋友关系都是对称的。特点：具有对称性的关系矩阵关于主对角线对称(rij=rji)；关系圖的特点是任何两个不同的结点之间或者是一来一回两条弧，或者是没有弧是否有自回路，对对称性没有影响定义：设R是A上的关系，若对于任意a,b∈A每当<a,b>∈R且<b,a>∈R，则必有a＝b,则称R为A上的反对称关系或称R具有反对称性。即：R具有反对称性 ?(?a)(?b)(a?A?b?A?aRb?bRa?a=b) 例：实数集R上的“≤”、“≥”集合上的“?”关系，都是反对称的特点：具有反对称性的关系矩阵如果在非对角元上rij＝1，则在其对称位置上rji＝0,即rij和rji(i≠j)这两个数至多┅个是1，但允许两个均为0；关系图上任何两个不同的结点之间至多有一条弧，但允许没有弧说明： 1) 反对称性的等价说法： ?a,b∈A,如a≠b且<a,b>∈R，则必有<b,a>?R即两个不同点结点间不允许有两条弧； 2) 如R是传递关系如果结点a能通过有向弧组成的有向路通向结点x，(该有向路包含两条或两条鉯上的弧)则a必须有有向弧直接指向x否则R就不是传递的；传递关系的关系矩阵的特点不是很容易看出，后面会讲到例4：A={a,b,c}，考察下列关系嘚传递性 R1={<a,b>,<b,c>,<a,c>} R2={<b,a>}

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