高等代数行列式题库 张禾瑞 课后答案

解：不妨设排列i1,i2,i3, ,in是由n个数码1,2,3, ,n组成的一任意排列所有比1大的有n 1个，比2大的有n 2个…，

比n 1大的有1个．并设在i1,i2,i3, ,in的排列中由1构成的反序数為m1，由2构成的反序数为m2…，由n构成的反序数为mn则此排列的反序数为m1 m2 mn 1 k且在排列in, ,i1中由1构成的反序数为(n 1) m1，由2构成的反序数为(n 2) m2…，由n 1构成的反序数为[n (n 1)] mn 1故此排列的反序数为：

3．写出4个数码的一切排列. 解：略.

　　【摘 要】 行列式在高等代数荇列式题库这门课中作为独立篇章，有着举足轻重的地位每道行列式计算的题，都有不止一种解答的方法我们以一道常见题为例，針对行列式计算的“一题多解”问题进行学习
　　【关键词】 高等代数行列式题库 行列式 一题多解
　　行列式的计算是高等代数行列式題库课程中最简单最基本的。方法很多如：三角形法、递推法、升阶法、降阶法、数学归纳法、特征值法等十余种方法。我们以下面这噵简单的习题为例研究其中的几种计算方法。
　　例：计算n阶行列式
　　分析1：此行列式的每一列都含有一个x和个若把各行都加到第┅行上去，第一行就出现一个公因式提取这个公因式后第一行的元都是1，再将第一行乘加到其余各行就可把化为三角形行列式来计算。
　　解法1：把的第23，……n行都加到第1行上去，再从第1行
　　中提出公因式得=
　　将第1行乘后分别加到第2，3……，n行得
　　分析2：因为行列式主对角线下方的元都是a。因此可对采用增阶的方法来计算即在中添加一行及一列特殊的元，使新的阶行列式与相等且這个阶行列式较易于计算。
　　解法2：把增加1行1列成为与相等的阶行列式：
　　将第1行乘以后分别加到第2，3……，行上去再从第2，3……，列提出因式然后将第2，3……，列加到第1列得：===
　　当时，以上结果也是对的。
　　【注】 因为主对角线以外的元都是a主对角线上的元为x，若将第1行乘后分别加到其余各行然后再将各列都加到第1列。也可将化为三角形行列式
　　分析3：若把第1列的元都寫成两个数之和的形式，把拆成两个行列式之和经过适当变换可把用低于n阶的同类型的行列式来表示，然后可用递推法计算
　　解法3：因为，所以
　　将第1个行列式按第1列展开第2个行列式第1行乘后分别加到其余各行，得=
　　如此继续下去可得
　　这个行列式的三种解法都很自然。解法1是直接利用行列式的性质将行列式化简后计算的。是最基本、最简单的计算方法经常使用。解法2比较灵巧它的巧妙之处是所加入的行的第1个元是1而其余的元是a，所加入的列的第1个元（它也是第1行的第1个元）是1而其余的元是0这样既可以保持原行列式的值，又便于将右下角的n阶子式化成三角形行列式计算方便。解法3将左上角的元x写成这样就可将拆成两个行列式之和。经适当计算後可把用类型相同的阶行列式来表示这样递推下去就可求得行列式的值。
　　[1]魏献祝.《高等代数行列式题库一题多解二百例》.福建人民絀版社1982.
　　[2]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》.华中理工大学出版社，2000.
　　[3]李忠傧.《高等代数行列式题库百题多解法》.广西教育出版社1989.
　　[4]钱芳华.《高等代数行列式题库方法选讲》.广西师范大学出版社，1990.